¨Ubungen zur Physik III - Theoretische Physik 1 ...

Übungen zur Physik III WS 04/05
Prof. Dr. T. Mannel, M. Melcher
Blatt 11 — Ausgabe: 13.1.2005 — Abgabe: Donnerstag, 20.1.2005, 11:45 Uhr
Aufgabe 1: Strahlungsübergänge im Wasserstoffatom
Die Übergangsrate für Strahlungsübergänge ist gegeben durch
mit dem Dipolmatrixelement
(α: Feinstrukturkonstante).
R m→k = 4 3 αω3 c 2 ∣ ∣∣ ⃗ Dkm
∣ ∣∣ 2
∫
⃗D km = d 3 ⃗xφ ∗ k(⃗x)⃗xφ m (⃗x).
(a) 1,5 P Zeigen Sie, dass es keine Übergänge zwischen s-Zuständen gibt.
(b) 1,5 P Berechnen Sie das Dipolmatrixelement für den Übergang 2p → 1s.
(c) 1,5 P Berechnen Sie das Dipolmatrixelement für den Übergang 3d → 1s.
(d) 1,5 P Berechnen Sie die zugehörigen Übergangsraten.
Hinweise:
• Es genügt, m = 0 zu betrachten.
• Winkelanteile Yl m der Wellenfunktionen: Y0 0 1
(θ, ϕ) = √
4π
, Y1 0(θ,
ϕ) = √ 3
cosθ, 4π
Y3 0 = √ 7
(5 16π cos3 θ − 3 cosθ).
• Radialanteile R nl der Wellenfunktionen: R 10 (r) = 2a −3/2
0 e −3/a 0
, R 21 (r) = √ 6
R 32 (r) = 2√ 30 r 3
a −3/2
955 0 e −r/3a 0
.
a 3 0
• Die Parität macht das Leben leichter.
r
12 a 0
a −3/2
0 e −r/2a 0
,
Bitte wenden

Aufgabe 2: Natürliche Linienbreite
Siehe Vorlesung: Emissionslinien haben eine endliche Lebensdauer, wodurch diese
Linien verbreitert werden. Aus den zugehörigen Wellenfunktionen wird dann
ψ(⃗x, t) = ∑ n
a n e −iωnt φ n (⃗x) Endl.Lebensdauer −→
∑
a n e −i(ωn− i 2 Γn)t φ n (⃗x) für t ≥ 0
n
wobei Γ n die ”
Zerfallskonstanten“ der Linien sind. Die für den Zerfall verantwortliche
Störung werde bei t = 0 eingeschaltet.
(a) 1 P
Durch diese Störung verändert sich das Spektrum. Berechnen Sie
∫ ∞
0
dte −i(ω k− i 2 Γ k)t e iωt .
(b) 1 P Wie hängt dieses Resultat mit der in der Vorlesung angegebenen Breit-
Wigner-Formel zusammen?
Aufgabe 3: Relativ- und Schwerpunktskoordinaten
In einem Zweiteilchensystem führt man die Relativkoordinaten ⃗r = ⃗r 1 −⃗r 2 und Schwerpunktkoordinaten
R ⃗ = 1
m 1 +m 2
(m 1 ⃗r 1 + m 2 ⃗r 2 ) mit den zugehörigen Impulsen ⃗p = 1
m 1 +m 2
(m 2 ⃗p 1 − m 1 ⃗p 2 )
und P ⃗ = ⃗p 1 + ⃗p 2 ein.
(a) 1 P Zeigen Sie, dass für die Kommutatoren [⃗r, ⃗p] und [ R, ⃗ P] ⃗ das gleiche gilt wie
für die ursprünglichen Koordinaten und Impulse.
(b) 1 P
Zeigen Sie, dass die Kommutatoren [⃗r, ⃗ P] und [ ⃗ R, ⃗p] verschwinden.