1. Klausur: Experimentalphysik III - Theoretische Physik 1 ...

1. Klausur: Experimentalphysik III - Quantenmechanik WS 04/05
Bearbeitungszeit: 120 min
Aufgabe 1: Schwarzkörperstrahlung
Das Plancksche Strahlungsgesetz
E.!; T / D „!3 1
4 2 c 2 exp „!
k B T
1
gibt an, wie die spektrale Strahlungsintensität eines schwarzen Körpers von der Strahlungsfrequenz
! abhängt.
(a) Bei welcher Strahlungsfrequenz liegt das Maximum? (Wiensches Verschiebungsgesetz)
Hinweis: Wenn Sie eine Bestimmungsgleichung in x D „!
im Vergleich zu den anderen Termen vernachlässigen.
k B T
erhalten, so können Sie e
x
(5 Punkte)
(b) Zeigen Sie, dass die gesamte Strahlungsleistung R 1
d! E.!; T / proportional zu T 4 ist.
0
(Stefan-Boltzmann-Gesetz)
(4 Punkte)
(c) Zeigen Sie, dass man für große ! näherungsweise das Wien 0 sche Strahlungsgesetz
E.!; T / D „!3
4 2 c 2 e „!
k B T
erhält.
(4 Punkte)
Aufgabe 2: Photoelektrischer Effekt
Eine Metallplatte werde elektrisch auf die Ladung Q D 1 C aufgeladen. Das Licht einer
Quecksilberdampflampe ( D 350 nm) mit einer Lichtleistung von 50 W werde auf die Metallplatte
gebündelt. Die Auslösearbeit für Elektronen aus dem Metall betrage 3 eV.
(a) Wie lange dauert es, bis die Platte vollständig entladen ist?
(6 Punkte)
(b) Warum misslingt das Experiment, wenn man eine Natriumdampflampe ( D 589 nm)
benutzt?
(3 Punkte)
Aufgabe 3: Compton Rückstreuung
Eine Möglichkeit, hochenergetische Photonen zu erhalten, besteht darin, ein hochenergetisches
Elektron und ein Photon frontal (Winkel 180 ı ) aufeinander stoßen zu lassen.
Das Elektron habe den Impuls p e in positive x-Richtung. Da wir davon ausgehen, dass das
Elektron hochenergetisch ist, kann man seine Masse vernachlässigen und seine Energie ist
E e D p e c. Das Photon habe die Frequenz und fliege anfänglich in die negative x-Richtung.
237

cos
Berechnen Sie die Frequenz des Photons nach dem Stoß.
(8 Punkte)
Aufgabe 4: Halbklassischer Potentialtopf
Ein klassisches Teilchen bewege sich in einem (eindimensionalen) unendlich hohen Potentialtopf
der Breite a hin und her. Berechnen Sie die erlaubten Energieniveaus unter den Quantisierungsbedingung
H dx p D n h. H dx bedeutet dabei die Integration über eine Periode
(Bewegung von x D 0 : : : a und zurück).
(8 Punkte)
Aufgabe 5: Quantenmechanischer Doppelspalt
Ein Strahl von Elektronen mit der Geschwindigkeit v z in z-Richtung werde auf einen Doppelspalt
(Spaltabstand 2L, Spaltbreite a) gelenkt.
D
0
z
f(x)
Schirm
Q (d|D)
x
x
(a) Wir betrachten zuerst die Zusammensetzung des Wellenpaketes
in x-Richtung. Im Ortsraum hat der Elektronenstrahl
hinter dem Spalt die Amplitude
8
0 x < L a 2
1
p ˆ< 2a
L a < x < L C a 2 2
f .x/ D 0 L C a < x < L a 2 2
p
1
2a
L a 2
ˆ:
< x < L C a 2
0 x > L C a 2
Um daraus die Amplitude im Impulsraum (Impulskomponente in x-Richtung) zu erhalten,
berechne Sie die Fouriertransformation
f Q.k/ D p 1 Z 1
dx f .x/ e ikx :
2 1
Hinweis: Benutzen Sie e ix C e ix D 2i cos.x/ und e ix
Ergebnis als Produkt von Sinus und Cosinus zu schreiben.
e ix D 2i sin.x/, um das
(10 Punkte)
(b) Die Wahrscheinlichkeits(dichte), einen bestimmten Impuls p x D „k zu messen, ist
P.p x / D jf Q .k/j 2 . Aus p x und p z D m e v z lässt sich die Richtung bestimmen, in die die
Elektronen fliegen, so dass sie am Punkte d auf dem Schirm auftreffen .d=D D p x =p z /.
Bestimmen Sie P.p x / und schreiben Sie das Resultat weiter als Funktion von d. Das
Resultat ist das Beugungsmuster, das auf dem Schirm zu sehen ist.
Entwickeln Sie das Resultat für kleine Spaltbreiten a ! 0 (sin.x/ D x für kleine x).
(6 Punkte)
238

(c) Benutzen Sie das Ergebnis für kleine Spaltbreiten, um den Abstand d des ersten Beugungsminimums
zu bestimmen.
(5 Punkte)
(d) Bestimmen Sie den Ort des ersten Beugungsminimums auf die klassische Weise (Wellen
mit der de-Broglie-Wellenlänge , erstes Beugungsminimums beim Gangunterschied
D ).
(7 Punkte)
2
Aufgabe 6: Potentialtopf und Parität
Wir betrachten einen unendlichen hohen Potentialtopf der Breite a: V.x/ D 0 für jxj < a=2
und 1 sonst.
Die erlaubten Wellenfunktionen haben entweder gerade oder ungerade Parität.
(a) Welche Bedingung müssen die Wellenfunktionen mit ungerader Parität am Ursprung
x D 0 erfüllen?
(4 Punkte)
(b) Zeigen Sie durch Vergleich der Randbedingungen, dass die Energieniveaus mit ungerader
Parität die gleichen sind, wie die Energieniveaus (mit beliebiger Parität) eines Potentialtopfs
der Breite a=2.
(4 Punkte)
Aufgabe 7: Harmonischer Oszillator
Die Wellenfunktion für den Grundzustand des harmonischen Oszillators ist
1
m!
4
1 m!
' 0 .x/ D e 2 „ x2 :
„
Zeigen Sie, dass man durch Anwenden des Erzeugens-Operators
a D p 1 r
@
m!
X ; X D
2 @X
„ x
auf ' 0 die Wellenfunktion des ersten angeregten Zustands erhält:
m 3 ! 3 1
4 2x
' 1 .x/ D p e 1 m!
„ 3 2 „ x2 :
2
(5 Punkte)
Aufgabe 8: Wasserstoffatom: Drehimpuls
Bestimmen Sie den Erwartungswert für die z-Komponente des Drehimpulses L z D „ @
für i @'
die Zustände .l; m/ D .1; 0/; .1; 1/; .1; 1/. (6 Punkte)
Hinweis:
r r r
3
3
3
Y mD0
lD1
D
4 cos ; Y 1
1 D 8 sin ei' ; Y 1
1 D
8 sin e i' :
239

Aufgabe 9: Wassserstoffatom: Radius
Die Radialanteile der Wellenfunktion des Wasserstoffatoms für die Zustände n D 1, l D 0 und
n D 2, l D 0 sind
R 10 .r/ D 2
a 2=3
0
e
r
a 0 ; R 20 .r/ D 2
.2a 0 / 3 2
wobei a 0 D „2
me 2 =4" 0
der Bohr-Radius ist.
1
r
e
2a 0
(a) Bestimmen Sie den Erwartungswert hr 2 i für die Zustände n D 1 und n D 2.
(10 Punkte)
Hinweis: Substituieren Sie das Integral so, dass Sie im Integranden e x erhalten und
benutzen Sie R 1
0 dx xn e x D nŠ.
(b) Bestimmen Sie r 2 für die beiden Zustände nach dem Bohr-Modell (setzen Sie die Coulombkraft
2 mv2
1 e
4" 0
gleich der Zentripetalkraft und benutzen Sie die Drehimpulsquantelung)
und vergleichen Sie mit dem obigen Resultat.
(5
r r
Punkte)
r
2a 0
240

Lösungsvorschlag
1. (a) Maximum der Schwarzkörperstrahlung
E.!; T / D „!3 1
4 2 c 2 exp „!
k B T
1 ;
dazu berechne man die erste Ableitung
dE.!; T /
D
3 „!2 1
d! 4 2 c 2 exp „!
k B
1 C „!3 1
4 2 c 2
T
exp
„!
k B
1 „
2
k B T e „!
k B T
T
D „!2
„!
1
4 2 c 2 exp „!
k B
1 k
3
B T
exp „!
T
k B
1 e „!
k B T
T
Für ein Maximum muss die erste Ableitung verschwinden, d.h mit x D „!
k B T folgt
0 D 3
x e x
e x 1 , 3ex 3 D xe x , .3 x/e x 3 D 0 , .3 x/ 3e x D 0
Mit 3e x 0 liegt das Maximum bei
„!
k B T
D 3, und somit
! max D 3 k BT
„
:
(b) Mit x D „!
k B
, berechne man die totale Abstrahlung
T
E tot D
D
(c) große !:
Z 1
0
Z 1
0
d! „!3 1
4 2 c 2 exp „!
dx
„
x 3
4 2 c 2
D „
4 2 c kB T
2 „
k B
1
T
3
kB T
„
4 Z 1
x 3
dx T 4
0 e x 1
„ ƒ‚ …
unabhängigvonT
k BT
„ 1
e x 1
e „!
k B T
1 ) E.!; T / „!3
4 2 c 2 e „!
k B T
:
241

2. (a) Auslösearbeit des Kupfers: W A D 3 eV. Energie des Photons: E D h D hc
,
Anzahl Photonen
Sekunde
D n D W A
E
;
Anzahl der Elektronen N e D Q , damit ist die Zeit
e
t D N e
D Q n e 1
W hc
D 1 e 1
.3; 54 eV/ D
50 J s
3; 54
50
s D 0; 071 s :
(b) Bedingung: hc
> Auslösearbeit W A. Natrium,
hc
2; 11 eV ;
zu klein um Auszulösen.
3. Compton Back-Scattering
Vorher Elektron Impuls p e
Energie E e D p e c
Photon Impuls p D h c
Energie E D h
Nachher fliege das Elektron nach links, d.h. pe 0 D
p 0 D C h0 . c
.1/ p 0 e C h0
c
D p h
e Impulserhaltung ;
c
.2/ h 0 C p 0 e c D p ec C h Energieerhaltung :
Aus (1) folgt
jp0 ej, das Photon fliege nach rechts:
p 0 e D p e C h c . C 0 / ;
eingesetzt in (2) ergibt
h 0
p e c C h C h 0 D p e c C h
2h 0 D 2p e c ) 0 D p ec
„ :
242

4. Eine Periode spaltet sich auf in eine Bewegung links ! recht,
p D Cjpj
Z a
0
dx p D jpja ;
und eine Bewegung rechts ! links
p D
somit
jpj
Z 0
a
dx p D jpja ;
I
dx p D 2jpja D n h ;
E D jpj2
2m ) E n D 1
2m n2 h 2
4a 2 :
5. (a) Es gilt
f Q.k x / D p 1 Z 1
dx f .x/ e ik xx
2 1
somit
D 1 p
2
1
p
2a
Z
LC a
2
L a 2
D 1 e
ik
2 p x
x LC a
2
a ik x
L a 2
dx e ik xx C
Z LC a
2
L a 2
e
ik x
x LC a
2
C
ik x
L a 2
dx e ik xx
1
D p ˚eik. LC a 2 / e ik x. L a 2 / e ik x.LC a 2 / C e ik x. L a / 2
2ik x a
1
ik
D p
˚e x
L e ik x a 2 e ik x a 2
2ik x a „ ƒ‚ … C e
ik x
L e ik x a 2 e ik x a 2
a
D 2i sin.k x 2
/
D
D
1 a
p
˚sin k x
k x a 2
2
k x
p a
sin
k x
a
2
e ikxL C e ik xL
„ ƒ‚ …
D 2 cos.k x L/
cos.kL/ ;
f Q.k x / D 2 sin k
x a cos.kx L/
2
p :
k x a
243

(b) Der Impuls Ep kann eine Komponenten p x D „k D v x m e in x-Richtung und eine Komponente
p z D v z m 0 in z-Richtung zerlegt werden. Der Skizze entnimmt man mit dem
Strahlensatz
p x
D d p z D :
px
α
p z
D
d
Daraus folgt
p x
p z
D
„k x
D d v z m 0 D ) k x D v zm 0 d
„ D :
Es gilt P.p x / D jf Q .k x /j 2 mit f Q.k x / D 2 sin.k x a 2 / cos.k xL/
p
k x a
aus (c) folgt
P.p x / D 4 sin2 a
k x 2
cos 2 .k x L/
kx 2a mit k x D v zm 0 d
„ D
aus (d)
P.d/ D
4„ 2 D 2
avz 2m2 0 sin 2 avz m 0
2 d 2„D d cos 2 vz m 0 L
d
D„
Mit der Kleinwinkelnäherung: sin x x für a ! 0 folgt
P.d/
4„ 2
2 D a 2 vz 2m2 0 2 d 2
avz 2m2 0 2 d
D a cos2
vz m 0 L
D„
d
cos 2 vz m 0 L
d
4„ 2 D 2 D„
) P.d/ D a cos2
vz m 0 L
D„
d
(c) Damit ein Minimum vorliegt, muss die Wahrscheinlichkeit P.d/ verschwinden. Mit
P.d/ cos 2 ˇ aus (e) folgt
cos ˇ D 0 8 ˇ D .2n 1/ 2 ;
das Minimum 1. Ordnung somit für n D 1, d.h.
2 D v zm 0 L
d ) d D D„
2
„
v z m 0
(d) Aus der Geometrie der Anordnung folgt
D
L
tan ˛ D d D
) d D D tan ˛ ;
244

und 1 D 2L sin ˛ 2L˛. Mit D für das erste Minimum und
2
m e v z D p z D „k z D „ 2 ) D 2„
m e v z
schließlich
2L d D D „
m e v z
) d D D 2L „
m e v z
:
6. (a) Randbedingung: . a / D . a
/ D 0. Ungerade Parität bedeudet .x/ D . x/, für
2 2
x ! 0, somit .0/ D .0/: .0/ D 0.
(b) Aus (a) folgen die neuen Randbedingungen
.0/ D 0 ^ ˙a
D 0
2
Entspricht einem Potentialtopf mti der Breite a 2 .
7. Es gilt für die Wellenfunktion mit X D p m!
„ x,
' 0 .x/ D 4 r m!
„ e m!
2„ x2 ) ' 0 .X/ D 4 r m!
„ e 1 2 X2 ;
anwenden des Erzeugungsoperators ergibt
a ' 0 .X/ D p 1 r
4 m! @
X e 1 2 X2 D 1 r
4 m!
p
2 „ @X
2 „ 2X e 1 2 X2
und somit
8. Es gilt
' 1 .x/ D 4 r
m3 ! 3
hL z i D
Z 2
0
„ 3
d'
Z
0
2x
p e 1 m!
2 „ x2 :
2
sin d Y m0
l
.; '/ L 0
z Y m
l
.; '/ :
Für l D 1 ist mit OL z D
i„@ '
m D 0 W
OL z Y m
l
D 0 )hL z i D 0 ;
m D 1 W OL z Y m
l
.; '/ D „Y m
l
.; '/ ) hL z i D „
m D 1 W hL z i D „ :
245

9. (a) Für die Kugelflächenfunktionen gilt
Z
d˝ Y
lm .; '/Y lm.; '/ D 1 :
n D 1
hr 2 i D
D
n D 2
Z 1
0
Z 1
0
Z 1
dr r 2 R 10 .r/ r2 R 10 .r/
dr r 4 4 a 3 0
e 2r=a 0
D a2 0
8
Z 1
hr 2 i D dr r 2 R 20 .r/ r2 R 20 .r/
0
D 4 Z 1
dr r 4 r
1 C r2
.2a 0 / 3 0
a 0 4a0
2 Z 1 Z 1
D a2 0
dx x 4 e x dx x 5 e x C 1 2
4
D 42a 2 0
0
0
0
dx x 4 e x D 3a 2 0
e r=a 0
Z 1
(b) Coulombkraft wirkt als Radialkraft und L D mrv D n„ ergibt
0
dx x 6 e x
1
e2
4" 0 r D mv2
2 r
) r n D n2 „ 2
m 4" 0
e 2 D n 2 a 0 :
somit für n D 1: r 2 D a 2 0 und für n D 2: r2 D 16a 2 0 .
246