¨Ubungen zu Mathematische Methoden der Physik - Theoretische ...

Übungen zu Mathematische Methoden der Physik
WiSe 2009/2010
Prof. Dr. A. Khodjamirian, Ch. Klein, A. Roßbach, M. Schmidt
Präsenzübung 7 / Klausurvorbereitung — Besprechung: 27.01.2010
Aufgabe 1:
Differentialrechnung
Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen:
(a) f(x) = x e −x
(b) f(x) = ln 4 (sin x)
(c) f(x) = ( √ ( )
1
x + 1) √ x
− 1
(d) f(x) =
ln x2
x
Aufgabe 2:
Regel von l’Hospital
Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:
(a) lim
x→∞
x
sinh x
cot x
(b) lim
x→0 + ln x
x
(c) lim
x→0 e x
(d) lim x x
x→0
Aufgabe 3:
Taylor-Entwicklung
(a) Bestimmen Sie die Taylorentwicklung von
f(x) = artanh(x)
um x 0 = 0 bis zur 3. Ordnung
Machen Sie eine Restgliedabschätzung bei x = 1 2 .
(b) Berechnen Sie den Grenzwert:
cos x − √ 1 − x
lim
2
x→0 x 4
bitte wenden

Aufgabe 4:
Integralrechnung
Berechnen Sie die folgenden Integrale:
(a) ∫ dx 2 x ln 2 (x)
(b) ∫ sin 2x
dx
3+sin 2 x
(c) ∫ dx e x (1 − 3x + x 2 )
(d)
∫ 1
−1
dx −2 x √
1−x 2
Aufgabe 5:
Eigenwertproblem
Lösen Sie das Eigenwertproblem zu folgender Matrix und geben Sie die Transformationsmatrix
auf Diagonalform an:
⎛ ⎞
1 0 1
A = ⎝0 0 0⎠
1 0 1
Aufgabe 6:
Lösen von Gleichungssystemen
Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme:
(a)
2 x − z = 2
x + y − z = 1
3 x − 2 y = 1
(b)
wobei p ∈ R ein beliebiger Parameter ist.
x + y + z = 2
(p − 1) y + p z = 2 p − 1
2 x + (3 − p) y + 3 z = 7