¨Ubungen zur Quantenchromodynamik - Theoretische Physik 1 ...

Übungen zur Quantenchromodynamik
SoSe 2012
Prof. Dr. A. Khodjamirian, P. Gelhausen,
Blatt 3 — Ausgabe: Do, 03.05.2012 — Abgabe: Di, 08.05.2012
Aufgabe 5: Freie Quarkfelder
Betrachten Sie das freie Quarkfeld Ψ j q (x), q bezeichnet hier den Flavour.
10 P
a) Zeigen Sie, dass die Ebene-Wellen-Zerlegungen für Ψ j q (x) und ¯Ψ j q (x) die Dirac-
Gleichung erfüllen. Welche Bewegungsgleichungen müssen die Bispinoren u q (p)
bzw. v q (p) erfüllen?
b) Bestimmen Sie die Lösung dieser Bewegungsgleichungen im Ruhesystem, sowie
in einem allgemeinem Bezugssystem. Benutzen Sie dazu die Normierungsbedingungen
ū q (p)u q (p) = 2m q bzw. ¯v q (p)v q (p) = −2m q .
c) Benutzen Sie nun die Ebene-Wellen-Zerlegung und die Dirac-Algebra, um folgende
Relationen zu zeigen:
{Ψ i q (⃗x,t),Ψj q (⃗y,t)} = {¯Ψ i q (⃗x,t), ¯Ψ j q (⃗y,t)} = 0 ,
{Ψ i q(⃗x,t), ¯Ψ j q(⃗y,t)} = γ 0 δ (3) (⃗x−⃗y)δ ij .
Aufgabe 6: Propagator der freien Quarkfelder
10 P
Der Propagator des freien Quarkfeldes lautet
iS (0)ij
qαβ (x−y) = 〈 0 ∣ ∫
{ T Ψ
i
qα (x)¯Ψ j qβ (y)}∣ 〉
∣ 0 = iδ
ij
d 4 p (/p+m q )
.
(2π) 4 p 2 −m 2 q +iǫe−ip(x−y)
a) ZeigenSie,dassderPropagatordieGleichungfürdieGreenscheFunktionerfüllt:
(i∂ µ γ µ −m q )S (0)ij
q (x−y) = δ ij δ (4) (x−y) .
b) Betrachten Sie nun den masselosen Fall m q = 0. Zeigen Sie, dass der masselose
Propagator im Ortsraum als
gegeben ist.
iS (0) (x−y) = i(/x− /y)
2π 2 (x−y) 4
bitte wenden

Hinweis:
• Führen Sie in Aufgabenteil b) eine Wick-Drehung durch. Nutzen Sie dann die
Relation
∫0
1
a =
−∞
dξe ξa .