¨Ubungen zu Mathematische Methoden der Physik I - Theoretische ...
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Übungen <strong>zu</strong> <strong>Mathematische</strong> <strong>Methoden</strong> <strong>der</strong> <strong>Physik</strong> I<br />
WiSe 2010/2011<br />
Prof. Dr. A. Khodjamirian, S. Gadatsch, P. Gelhausen, D. Rosenthal<br />
Präsenzübung 5 — Besprechung: 15. Dezember 2010<br />
Aufgabe 15: Integrationstechnik<br />
Berechnen Sie folgende Integrale mit einer geeigneten Substitution o<strong>der</strong> durch partielle<br />
Integration.<br />
∫<br />
∫<br />
a) dx sin(2x + 1)<br />
d) dxx cos x<br />
∫<br />
∫<br />
1<br />
b) dx√ e) dx sin 2 x<br />
1 − x 2<br />
∫<br />
c) dx 1<br />
∫<br />
f) dx sin x cosh x<br />
sin x<br />
Aufgabe 16: Partialbruchzerlegung<br />
a) Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung folgen<strong>der</strong> rationaler Funktionen.<br />
• R(x) = x + 1<br />
x(x − 1) 2<br />
• R(x) = −2x3 − 2x 2 + 2x + 14<br />
(x + 1) 2 (x 2 + 2x + 5)<br />
b) Berechnen Sie die Integrale <strong>der</strong> auftauchenden Terme <strong>der</strong> Form<br />
a<br />
•<br />
(x − x 0 ) n<br />
( )<br />
bx + c<br />
•<br />
(x 2 + px + q) n , q > p2<br />
4<br />
c) Finden Sie nun die Stammfunktion <strong>der</strong> Funktion R(x) =<br />
1 + 3x + 3x2<br />
1 + 2x + 2x 2 + x 3 .<br />
bitte wenden
Aufgabe 17: Wurfparabel<br />
Von einem Turm <strong>der</strong> Höhe h = 50 m<br />
wird ein Ball in horizontaler Richtung<br />
mit <strong>der</strong> Geschwindigkeit v = 10 m s<br />
geworfen. Berechnen Sie die Länge <strong>der</strong><br />
Flugbahn bis <strong>der</strong> Ball am Boden aufprallt.<br />
Hinweise:<br />
h<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
• Die in Abbildung 3 gezeigte Bahnkurve<br />
ist unter Vernachlässigung des<br />
Luftwi<strong>der</strong>stands als Funktion <strong>der</strong><br />
Zeit gegeben durch x = vt, y =<br />
h − gt2<br />
5 10 15 20 25 30<br />
Abbildung 3: Wurfparabel.<br />
2 .<br />
x<br />
Aufgabe 18: Rotationskörper<br />
Zeigen Sie, dass für einen Drehkörper<br />
dessen Oberfläche definiert ist durch die<br />
Funktion f(x) = 1 mit <strong>der</strong> x-Achse<br />
x<br />
als Drehachse für 1 ≤ x ≤ ∞ Volumen<br />
endlich, aber Oberfläche unbeschränkt<br />
sind.<br />
Hinweise:<br />
• Die Integration über einen<br />
Drehkörper kann oft durch Integration<br />
über scheibenförmige<br />
Differentiale ersetzt werden.<br />
1<br />
2<br />
3<br />
Abbildung 4:<br />
Rotationskörper für 1 ≤ x ≤ 5.<br />
4<br />
5<br />
1.0<br />
0.5<br />
0.0<br />
0.5<br />
0.0<br />
1.0<br />
0.5<br />
0.5<br />
1.0 1.0