Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät
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W. Brocks: <strong>Plastizität</strong> <strong>und</strong> <strong>Bruchmechanik</strong> WS 2011/12<br />
enthält zwei zusätzliche „Formparameter“ σ 1 <strong>und</strong> δ 1 . In der „konkaven“ Form (z.B.<br />
σ1 = 0.2 σc, δ2 = 0.2δc) wird es für Beton verwendet (BAŽANT [1993, 2003], MAIER et al.<br />
[2006]), in der „konvexen“ Form (z.B. σ1 = σc, δ2 = 0.5δc) ist es für duktiles Risswachstum<br />
geeignet.<br />
Für duktile Werkstoffe hat NEEDLEMAN [1987] als Kohäsivgesetz für Modus I ein Polynom<br />
3. Grades (c) eingeführt, das TVERGAARD [1990] auch für ein Modus-II-Problem, die<br />
Ablösung von Fasern in einem faserverstärkten Metall eingesetzt hat,<br />
2<br />
27 δ ⎛ δ ⎞<br />
9<br />
σ = σc<br />
⎜1−<br />
⎟ , Γ<br />
c<br />
=<br />
16<br />
σδ<br />
c c. (4c)<br />
4 δc<br />
⎝ δc<br />
⎠<br />
Das exponentielle Kohäsivgesetz (d) von NEEDLEMAN [1990]<br />
16 2 δ ⎛ 16 δ ⎞<br />
9<br />
σ = σc<br />
e exp⎜−<br />
e ⎟ , Γ<br />
c<br />
=<br />
16<br />
σδ<br />
c c<br />
, (4d)<br />
9 δc<br />
⎝ 9 δc<br />
⎠<br />
mit e = exp()<br />
1 wurde aus einer Energiefunktion für atomare Bindungskräfte von ROSE et al.<br />
[1981] hergeleitet. Die Besonderheit dieses Modells besteht darin, dass für δ = δc<br />
die<br />
Kohäsivspannung nicht Null wird, sondern den Wert σ ( δc)<br />
= 0.105σc<br />
hat. Die<br />
Separationsenergie bei δ = δc<br />
ist die gleiche wie für das Modell (c). Es wurde sowohl für<br />
spröde (XU & NEEDLEMAN [1994]) als auch für duktile Werkstoffe (SIEGMUND & BROCKS<br />
[1998]) eingesetzt.<br />
Ein trilineares Separationsgesetz (e) für duktiles Risswachstum unter Modus I <strong>und</strong> Modus II<br />
mit zwei zusätzlichen Formparametern δ 1 <strong>und</strong> δ 2 stammt von TVERGAARD & HUTCHINSON<br />
[1992, 1993]<br />
⎧<br />
⎪<br />
δ<br />
für<br />
δ ≤ δ<br />
1<br />
δ1<br />
⎪<br />
⎛<br />
1<br />
1 2<br />
c⎨<br />
1 für<br />
1 2<br />
, Γ<br />
c<br />
=<br />
2<br />
σcδc⎜1− δ +<br />
δ<br />
⎪ δc<br />
−δ<br />
⎝ δc<br />
δc<br />
⎪ für δ2 ≤δ ≤δc<br />
δc −δ2<br />
σ = σ δ ≤δ ≤δ<br />
⎪⎩<br />
⎞<br />
⎟. (4e)<br />
⎠<br />
Die Formparameter erhöhen die Flexibilität seines Einsatzes für verschiedenartige Separationsprozesse.<br />
In der Darstellung (e) ist δ 1<br />
= 0.1δ<br />
c<br />
<strong>und</strong> δ 2<br />
= 0.7δ<br />
c<br />
bzw. δ 2<br />
= 0.2δ<br />
c<br />
. Als<br />
Sonderfälle erhält man das Modell (a) von HILLERBORG für δ 2<br />
= δ 1<br />
→ 0 <strong>und</strong> das sogen.<br />
„rechteckige“ Kohäsivgesetz (LIN et al. [1998]) für δ1 →0,<br />
δ2 → δc.<br />
Der trilinearen Funktion (4e) von TVERGAARD & HUTCHINSON ähnlich ist die von SCHEIDER<br />
[2001] vorgeschlagene Funktion<br />
2<br />
⎧ ⎛ δ ⎞ ⎛ δ ⎞<br />
⎪ 2⎜ ⎟−⎜ ⎟ für δ ≤δ1<br />
⎪ ⎝δ1⎠ ⎝δ1⎠<br />
⎪<br />
σ = σ ⎨<br />
1 für δ ≤δ ≤δ<br />
,<br />
c 1 2<br />
⎪ 3 2<br />
⎪ ⎛ δ − δ2 ⎞ ⎛ δ − δ2<br />
⎞<br />
⎪<br />
2⎜ ⎟ − 3⎜ ⎟ + 1 für δ2 ≤δ ≤δc<br />
δc −δ2 δc −δ2<br />
⎩<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
- Kohaesivmodell, WB, 07.01.2012 - 4 -
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