Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät

W. Brocks: Bruchmechanik
Der energetische Ansatz
GRIFFITH [3], [4] behandelte das Problem des Bruchs elastischer Festkörper mit dem Satz vom
Minimum der Energie und wendete diese Theorie auf eine unendlich Scheibe mit Mittenriss
der Länge 2a nach Bild 1 an.
Bild 1: Der GRIFFITH-Riss
Die elastische Verzerrungsenergie pro Einheitsdicke B = 1, die in einem kreisförmigen Gebiet
von Radius r in einer Scheibe unter einachsigem Zug ohne Riss gespeichert ist, beträgt
2 2
el πr
σ
2 2
U0 = ∞
⎡( κ − 1)(1 + λ) + 2(1 −λ)
⎤
16G
⎣ ⎦ . (1)
Dabei ist σ ∞ die anliegende Fernfeldspannung, G = E 2(1 + ν ) der Gleitmodul und κ ein von
der Querkontraktionszahl ν abhängiger Parameter
⎧3−
4ν
für EVZ
⎪
κ = ⎨ 3−ν
. (2)
⎪ für ESZ
⎩ 1 + ν
Die Verzerrungsenergie hängt von der Größe der Scheibe ab und wird unendlich für r → ∞.
Schneidet man ein Loch in die Scheibe, ändern sich Spannungs- und Verzerrungszustand und
also auch die Verzerrungsenergie. Abhängig von der Randbedingung nimmt sie zu oder ab.
Nimmt man konstante Verschiebung (fixed-grip) an, wird Energie freigesetzt (released),
U = U − U . (3)
el el el
0 rel
Die Abnahme der Verzerrungsenergie infolge eines elliptischen Loches mit den Halbachsen a
und b, kann mit Hilfe der Gleichungen von INGLIS [5] berechnet werden,
2
el πσ
∞ 2 2 2 2 2 2 2 2
Urel = (1 + κ) ⎡( 1− λ) ( a+ b) + 2 ( 1−λ )( a − b ) + ( 1+ λ) ( a + b ) ⎤
32G
⎣ ⎦ . (4)
Sie hängt nur von den Abmessungen des Loches ab und ist immer endlich. Der Parameter λ
berücksichtigt zweiachsigen Zug. Den GRIFFITH-Riss der Länge 2a erhält man für b → 0,
2 2
el πa
σ∞
U
rel
= (1 + κ)
. (5)
8G
Griffith, 14.01.2012, - 1 -