Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät

Plastizität und Bruchmechanik WS 2011/12
(NEMAT-NASSER & HORI [1993]). Hierzu bedient man sich des Konzeptes repräsentativer
Volumenelemente (RVE). Ein RVE ist ein materielles Volumen, das als statistisch repräsentativ
für die Umgebung eines beliebigen materiellen Punktes angesehen wird. Für periodische
Mikrostrukturen spricht man auch von Einheitszellen.
Das konstitutive Verhalten wird auf einer Meso-Ebene durch mesoskopische Spannungs- und
Verzerrungsfelder beschrieben, die durch Homogenisierung, d.h. Mittelung über das RVE
definiert sind
1 1
Σ = σ ( x ) dV = x t dS
∫ ∫ , (9)
ij ij k i j
V0 V
V0 0 ∂V0
1 1
E = u + u dV = nu + n u dS
1 1
∫ 2( , , ) ∫ 2( ) . (10)
ij i j j i i j j i
V0 V
V0 0 ∂ V0
Typische Einheitszellen zur Beschreibung von duktiler Schädigung sind Zylinder mit kugelförmigen
oder ellipsoidischen Hohlräumen (KOPLIK & NEEDLEMAN [1988], BROCKS et al.
[1995]). Die Entwicklung von Stoffgesetzen für „poröse“ plastische Werkstoffe (porous metal
plasticity) ist aber nur ein mögliches Anwendungsgebiet der Mikromechanik.
Das GURSON-Modell
GURSON [1977] hat durch Homogenisierung die mesoskopischen Fließfläche für zwei- und
dreidimensionale rotationssymmetrische Einheitszellen bei idealplastischem Werkstoff berechnet,
2
Σ ⎛3Σ
⎞
h
2
+ 2f
cosh 1 f 0
2 ⎜ 2 ⎟− − =
R0 2R0
, (11)
⎝ ⎠
die vom (lokalen) Hohlraumanteil
ΔV
void
f = , (12)
ΔV
RVE
also der Schädigung abhängt. Für f = 0 geht Gl. (11) in die VON MISESsche Fließbedingung
2 2
3
Σ − R 0
= 0 über, wobei Σ =
2
Σ′ ijΣ′
die mesoskopische Vergleichsspannung im Sinne von
Gl. (9) und R 0 die Fließspannung des Matrixmaterials ist. Das Hohlraumwachstum folgt der
Brocks, 13.01.2012, Schaedigung, - 6 -