Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät
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Plastizität und Bruchmechanik WS 2011/12 duktiles Risswachstum Bruchfläche: Wabenbruch Die ersten Modelle zur Berechnung von Hohlraumwachstum in einem duktilen Material wurden von MCCLINTOCK [1968] und RICE & TRACEY [1969] entwickelt. Das Modell von MCCLINTOCK ist zweidimensional unter Annahme des EVZ, das Modell von RICE & TRACEY dreidimensional und kugelsymmetrisch. Beide Modelle zeigen die Bedeutung des hydrostatischen Spannungszustandes und erklären damit die von BRIDGMEN [1952] experimentell gefundene Abhängigkeit der Bruchdehnung vom hydrostatischen Spannungsanteil. Modell von MCCLINTOCK [1968] Modell von RICE & TRACEY [1969] MCCLINTOCK [1968] betrachtet eine regelmäßige Anordnung von Einheitszellen der Abmessungen x × y mit elliptischen Hohlräumen der Hauptachsen rx , r y im EVZ und führt das additive logarithmische Schädigungmaß ( r ) d⎡ln x x ⎤ ηzx = dη ⎣ ⎦ ∫ zx = ∫ ≤1. (2) ln 0 0 ( x rx ) ein, das bei Bruch, also Hohlraumvereinigung 2r x = x . (3) den Wert 1 annimmt. Für ein nach der LUDVIK-Gleichung Brocks, 13.01.2012, Schaedigung, - 3 -
Plastizität und Bruchmechanik WS 2011/12 σ n = cε . (4) potenzverfestigendes Material 3 kann unter Vernachlässigung der (reversiblen) elastischen Verformungen das Hohlraumwachstum berechnet werden dη 1 ⎡ ∞ ∞ 3 ⎛ ∞ ∞ 3(1 ) ( ) zx − n σxx + σ ⎞ yy 3σxx −σ ⎤ yy = ⎢ sinh + ⎥, (5) ∞ 0 0 dε ln ( ) 2(1 n) 2 4 x r − ⎜ σ ⎟ σ x ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ und mit dem Koaleszenzkriterium (3) erhält man die Bruchdehnung 0 0 ( x rx ) (1 − n) ln ε f = sinh (1 ) 2 3 ⎣ ⎦ ⎡ ∞ ∞ ( − n ( σxx + σ yy ) ( σ ) ⎤) , (6) die exponentiell von dem Quotienten aus hydrostastischer Spannung und Vergleichsspannung, der sog. Spannungsmehrachsigkeit σ h σ kk σ xx + σ yy = = σ 3σ 2σ (EVZ) (7) abhängt. RICE & TRACEY [1969] betrachten einen kugelförmigen Hohlraum in einem Dehnungsfeld 4 1 ε yy = , ε ε xx = εzz =− 2 ε eines „unendlichen“ starr-idealplastischen Kontinuums und berechnen dessen Dilationsrate näherungsweise für große Mehrachsigkeiten D r εr ⎛2σ ⎞ 0.283exp . (8) ⎝ 3 σ ⎠ h = ≈ ⎜ ⎟ Auch dieses Modell zeigt die exponentielle Abhängigkeit des Hohlraumwachstums von der Spannungsmehrachsigkeit Basierend auf dem Hohlraumwachstumsmodell hat BEREMIN [1981] den local approach für duktiles Risswachstum formuliert. Ebenso wie das Spaltbruchmodell erlaubt dieser Ansatz lediglich eine nachträgliche Berechnung der Schädigung aus dem mit einem klassischen elastisch-plastischen Stoffgesetz berechneten Spannungs- und Dehnungsfeld. Eine Kopplung, bei der die Schädigung als innere Variable in das Stoffgesetz eingeht, erfolgt in den Modellen von GURSON [1977] und ROUSSELIER [1987]. 3 4 σ , ε sind die Vergleichsspannung bzw. Vergleichsdehnung nach VON MISES, siehe Gln. (15a) und (16a) im Manuskript „Plastizitaet“. Man beachte die Bedingung der Volumenkonstanz bei plastischen Deformationen ε + ε + ε = 0 xx yy zz Brocks, 13.01.2012, Schaedigung, - 4 -
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<strong>Plastizität</strong> <strong>und</strong> <strong>Bruchmechanik</strong> WS 2011/12<br />
σ<br />
n<br />
= cε<br />
. (4)<br />
potenzverfestigendes Material 3 kann unter Vernachlässigung der (reversiblen) elastischen<br />
Verformungen das Hohlraumwachstum berechnet werden<br />
dη<br />
1<br />
⎡<br />
∞ ∞<br />
3 ⎛<br />
∞ ∞<br />
3(1 ) ( )<br />
zx<br />
− n σxx + σ ⎞<br />
yy 3σxx −σ<br />
⎤<br />
yy<br />
= ⎢ sinh<br />
+ ⎥, (5)<br />
∞<br />
0 0<br />
dε ln ( ) 2(1 n) 2 4<br />
x<br />
r − ⎜<br />
σ ⎟ σ<br />
x<br />
⎢<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎦<br />
<strong>und</strong> mit dem Koaleszenzkriterium (3) erhält man die Bruchdehnung<br />
0 0<br />
( <br />
x<br />
rx<br />
)<br />
(1 − n) ln<br />
ε<br />
f<br />
=<br />
sinh (1 ) 2 3<br />
⎣<br />
⎦<br />
⎡<br />
∞ ∞<br />
( − n ( σxx<br />
+ σ<br />
yy ) ( σ )<br />
⎤)<br />
, (6)<br />
die exponentiell von dem Quotienten aus hydrostastischer Spannung <strong>und</strong> Vergleichsspannung,<br />
der sog. Spannungsmehrachsigkeit<br />
σ<br />
h<br />
σ kk<br />
σ<br />
xx<br />
+ σ<br />
yy<br />
= =<br />
σ 3σ 2σ<br />
(EVZ)<br />
(7)<br />
abhängt.<br />
RICE & TRACEY [1969] betrachten einen kugelförmigen Hohlraum in einem Dehnungsfeld 4<br />
<br />
1<br />
ε<br />
yy<br />
= , ε ε<br />
xx<br />
= εzz<br />
=− <br />
2<br />
ε eines „unendlichen“ starr-idealplastischen Kontinuums <strong>und</strong> berechnen<br />
dessen Dilationsrate näherungsweise für große Mehrachsigkeiten<br />
D<br />
r<br />
εr<br />
⎛2σ<br />
⎞<br />
0.283exp . (8)<br />
⎝ 3 σ ⎠<br />
h<br />
= ≈ ⎜ ⎟<br />
Auch dieses Modell zeigt die exponentielle Abhängigkeit des Hohlraumwachstums von<br />
der Spannungsmehrachsigkeit<br />
Basierend auf dem Hohlraumwachstumsmodell hat BEREMIN [1981] den local approach<br />
für duktiles Risswachstum formuliert. Ebenso wie das Spaltbruchmodell erlaubt dieser Ansatz<br />
lediglich eine nachträgliche Berechnung der Schädigung aus dem mit einem klassischen<br />
elastisch-plastischen Stoffgesetz berechneten Spannungs- <strong>und</strong> Dehnungsfeld. Eine<br />
Kopplung, bei der die Schädigung als innere Variable in das Stoffgesetz eingeht, erfolgt in<br />
den Modellen von GURSON [1977] <strong>und</strong> ROUSSELIER [1987].<br />
3<br />
4<br />
σ , ε sind die Vergleichsspannung bzw. Vergleichsdehnung nach VON MISES, siehe Gln. (15a) <strong>und</strong><br />
(16a) im Manuskript „Plastizitaet“.<br />
Man beachte die Bedingung der Volumenkonstanz bei plastischen Deformationen<br />
ε + ε + ε = 0<br />
xx yy zz<br />
Brocks, 13.01.2012, Schaedigung, - 4 -
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