Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät

W. Brocks: Plastizität und Bruchmechanik
b) Wenn für irgendeine Belastung ein kinematisch möglicher (Kollaps-)Mechanismus u
(k)
i
gefunden werden kann, für den
∫ ∫ ∫
t u dS + f u
dV = σ ε dV
(k) (k) (k) (k)
j j j j ij ij
∂V V V
gilt, so tritt unter dieser Belastung Kollaps ein.
Der Beweis von Teil (a) des Satzes erfolgt wieder durch Nachweis eines Widerspruchs zum
DRUCKERschen Postulat (6a) für den angenommenen Fall, dass ein statisch zulässiger und sicherer
Spannungszustand σ (s)
ij
existiert. Die Annahme eines statisch zulässigen Spannungszustandes
σ
(z)
ij
bei Erfüllung der Gleichgewichtsbedingung in (b) führt dagegen auf keinen Widerspruch.
Aus Satz (II) und (III) folgt unmittelbar
(z)
Satz (IV): Wenn für irgendeine Belastung ein statisch zulässiger Spannungszustand σ
ij
und ein
kinematisch möglicher Kollapsmechanismus u (k)
j
gefunden werden können, ist dies die
(z) (k) pl
plastische Grenzlast der Struktur, σ = σ = σ .
Weitere Folgerungen sind:
ij ij ij
• Hinzufügen von (gewichtslosem) Material kann die plastische Grenzlast nicht erniedrigen.
• Entfernen von (gewichtslosem) Material kann die plastische Grenzlast nicht erhöhen.
• Erhöhen der Fließspannung in einem Teilbereich kann die plastische Grenzlast nicht erniedrigen.
• Eigenspannungen und Restdeformationen haben keinen Einfluss auf die plastische
Grenzlast 4 , solange sie nicht als Geometrieänderungen in den Gleichgewichtsbedingungen
zu berücksichtigen sind.
Beim Beweis der Sätze werden stetige Spannungs- und Verschiebungsfelder in V vorausgesetzt.
Eine Verallgemeinerung auf unstetige Felder ist möglich unter Beachtung, dass die in einem
nicht gerissenen Kontinuum möglichen Unstetigkeiten lediglich große Gradienten des Feldes
innerhalb einer sehr dünnen Schicht sind. Ein einfaches Unstetigkeitsfeld der Spannungen zur
Konstruktion eines statisch zulässigen Spannungszustandes bei gekerbten Proben wird weiter
unten behandelt. Unstetige Verschiebungsfelder für kinematisch mögliche Mechanismen können
mit Hilfe der Gleitlinientheorie konstruiert werden.
3
4
(k)
d.h. dass σ
ij
die Gleichgewichtsbedingung verletzt
Eigenspannungen bilden für sich einen Gleichgewichtszustand mit ∫ σε
ij ij
dV = 0 , können also wegen
der Linearität der Gleichungen abgetrennt werden.
V
Grenzlast, WB, 08.12.2011, - 7 -