Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät
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W. Brocks: Plastizität und Bruchmechanik Wegen der Bedingungen (4) und (7a) muss σ ij = 0 und damit nach dem HOOKEschen Gesetz (c)e auch ε = 0 werden. ij Satz (I): Beim Erreichen der plastischen Grenzlast (Kollapslast) verschwinden alle elastischen (c)e Verzerrungsgeschwindigkeiten, ε ij = 0 2 , es treten nur plastische Verzerrungsgeschwindigkeiten ε auf, und die Spannungen bleiben konstant, (c)p ij ε = ε , u = u , σ = 0 . (c) (c)p (c) (c)p ij ij i i ij (z) Definition (II): Ein Spannungszustand σ ij heißt statisch zulässig, wenn er die Gleichgewichtsbedingungen σ + f = im Volumen V und die Randbedingungen nσ = t auf (z) (z) dem Rand V ij, i j 0 (z) ∂ des Körpers sowie die Fließbedingung ( ij ) (s) (s) σ ij , wenn ϕ( σ ij ) < 0 ist. ϕ σ ≤ 0 erfüllt. Er heißt statisch zulässig und sicher, Satz (II): Statischer Satz i ij, i j a) Solange zu jeder Belastungsstufe eine statisch zulässige und sichere Spannungsverteilung σ gefunden werden kann, tritt unter diesem Belastungszustand kein Kollaps ein. (s) ij b) Solange kein Kollaps auftritt, kann zu jeder Belastungsstufe eine statisch zulässige und sichere Spannungsverteilung gefunden werden. Würde ein Kollapsmechanismus u (c) i existieren, obwohl eine statisch zulässige und sichere (s) Spannungsverteilung σ ij gefunden werden kann, führt dies auf einen Widerspruch zum DRU- CKERschen Postulat (6a). (k) Definition (III): Ein Geschwindigkeitsfeld u i heißt kinematisch möglich (Kollapsmechanismus), wenn die geometrischen Randbedingungen auf ∂V und die Inkompressibilitätsbedingung ε (k) (k) (k)p (k) (k) (k) ii = u i, i = 0 , d.h. 1 εij = εij = 2 ( ui , j + u j, i ) in V erfüllt sind und die nach (k) der Fließregel ε = (k) λ∂ϕ ∂σ ϕ σ ≤ 0 im Volumen V erfüllen. Satz (III): Kinematischer Satz ij ij zugehörigen Spannungen die Fließbedingung ( ij ) a) Wenn für irgendeine Belastung ein kinematisch möglicher (Kollaps-)Mechanismus u (k) i gefunden werden kann, für den ∫ ∫ ∫ t u dS + f u dV > σ ε dV (k) (k) (k) (k) j j j i ij ij ∂V V V gilt 3 , so wird diese Belastung vom System nicht getragen. 2 Entgegen manchmal in der Literatur vertretenen Auffassungen muss also zur Herleitung der Grenzlastsätze kein starr-(ideal)plastisches Werkstoffverhalten vorausgesetzt werden. Grenzlast, WB, 08.12.2011, - 6 -
W. Brocks: Plastizität und Bruchmechanik b) Wenn für irgendeine Belastung ein kinematisch möglicher (Kollaps-)Mechanismus u (k) i gefunden werden kann, für den ∫ ∫ ∫ t u dS + f u dV = σ ε dV (k) (k) (k) (k) j j j j ij ij ∂V V V gilt, so tritt unter dieser Belastung Kollaps ein. Der Beweis von Teil (a) des Satzes erfolgt wieder durch Nachweis eines Widerspruchs zum DRUCKERschen Postulat (6a) für den angenommenen Fall, dass ein statisch zulässiger und sicherer Spannungszustand σ (s) ij existiert. Die Annahme eines statisch zulässigen Spannungszustandes σ (z) ij bei Erfüllung der Gleichgewichtsbedingung in (b) führt dagegen auf keinen Widerspruch. Aus Satz (II) und (III) folgt unmittelbar (z) Satz (IV): Wenn für irgendeine Belastung ein statisch zulässiger Spannungszustand σ ij und ein kinematisch möglicher Kollapsmechanismus u (k) j gefunden werden können, ist dies die (z) (k) pl plastische Grenzlast der Struktur, σ = σ = σ . Weitere Folgerungen sind: ij ij ij • Hinzufügen von (gewichtslosem) Material kann die plastische Grenzlast nicht erniedrigen. • Entfernen von (gewichtslosem) Material kann die plastische Grenzlast nicht erhöhen. • Erhöhen der Fließspannung in einem Teilbereich kann die plastische Grenzlast nicht erniedrigen. • Eigenspannungen und Restdeformationen haben keinen Einfluss auf die plastische Grenzlast 4 , solange sie nicht als Geometrieänderungen in den Gleichgewichtsbedingungen zu berücksichtigen sind. Beim Beweis der Sätze werden stetige Spannungs- und Verschiebungsfelder in V vorausgesetzt. Eine Verallgemeinerung auf unstetige Felder ist möglich unter Beachtung, dass die in einem nicht gerissenen Kontinuum möglichen Unstetigkeiten lediglich große Gradienten des Feldes innerhalb einer sehr dünnen Schicht sind. Ein einfaches Unstetigkeitsfeld der Spannungen zur Konstruktion eines statisch zulässigen Spannungszustandes bei gekerbten Proben wird weiter unten behandelt. Unstetige Verschiebungsfelder für kinematisch mögliche Mechanismen können mit Hilfe der Gleitlinientheorie konstruiert werden. 3 4 (k) d.h. dass σ ij die Gleichgewichtsbedingung verletzt Eigenspannungen bilden für sich einen Gleichgewichtszustand mit ∫ σε ij ij dV = 0 , können also wegen der Linearität der Gleichungen abgetrennt werden. V Grenzlast, WB, 08.12.2011, - 7 -
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Wegen der Bedingungen (4) <strong>und</strong> (7a) muss σ<br />
ij<br />
= 0 <strong>und</strong> damit nach dem HOOKEschen Gesetz<br />
(c)e<br />
auch ε = 0 werden.<br />
ij<br />
Satz (I): Beim Erreichen der plastischen Grenzlast (Kollapslast) verschwinden alle elastischen<br />
(c)e<br />
Verzerrungsgeschwindigkeiten, ε<br />
ij<br />
= 0 2<br />
, es treten nur plastische Verzerrungsgeschwindigkeiten<br />
ε auf, <strong>und</strong> die Spannungen bleiben konstant,<br />
(c)p<br />
ij<br />
ε = ε , u = u , σ = 0 .<br />
(c) (c)p (c) (c)p<br />
ij ij i i ij<br />
(z)<br />
Definition (II): Ein Spannungszustand σ<br />
ij<br />
heißt statisch zulässig, wenn er die Gleichgewichtsbedingungen<br />
σ + f = im Volumen V <strong>und</strong> die Randbedingungen nσ = t auf<br />
(z)<br />
(z)<br />
dem<br />
Rand V<br />
ij, i j<br />
0<br />
(z)<br />
∂ des Körpers sowie die Fließbedingung ( ij )<br />
(s)<br />
(s)<br />
σ<br />
ij<br />
, wenn ϕ( σ<br />
ij ) < 0 ist.<br />
ϕ σ ≤ 0 erfüllt. Er heißt statisch zulässig<br />
<strong>und</strong> sicher,<br />
Satz (II): Statischer Satz<br />
i ij,<br />
i j<br />
a) Solange zu jeder Belastungsstufe eine statisch zulässige <strong>und</strong> sichere Spannungsverteilung<br />
σ gef<strong>und</strong>en werden kann, tritt unter diesem Belastungszustand kein Kollaps ein.<br />
(s)<br />
ij<br />
b) Solange kein Kollaps auftritt, kann zu jeder Belastungsstufe eine statisch zulässige <strong>und</strong><br />
sichere Spannungsverteilung gef<strong>und</strong>en werden.<br />
Würde ein Kollapsmechanismus u (c)<br />
i<br />
existieren, obwohl eine statisch zulässige <strong>und</strong> sichere<br />
(s)<br />
Spannungsverteilung σ<br />
ij<br />
gef<strong>und</strong>en werden kann, führt dies auf einen Widerspruch zum DRU-<br />
CKERschen Postulat (6a).<br />
(k)<br />
Definition (III): Ein Geschwindigkeitsfeld u<br />
i<br />
heißt kinematisch möglich (Kollapsmechanismus),<br />
wenn die geometrischen Randbedingungen auf ∂V<br />
<strong>und</strong> die Inkompressibilitätsbedingung<br />
ε<br />
(k) (k)<br />
(k)p (k) (k) (k)<br />
ii<br />
= u i, i<br />
= 0 , d.h. <br />
1<br />
εij = εij =<br />
2 ( ui , j<br />
+ u j,<br />
i ) in V erfüllt sind <strong>und</strong> die nach<br />
(k)<br />
der Fließregel ε = <br />
(k)<br />
λ∂ϕ ∂σ<br />
ϕ σ ≤ 0<br />
im Volumen V erfüllen.<br />
Satz (III): Kinematischer Satz<br />
<br />
ij<br />
ij<br />
zugehörigen Spannungen die Fließbedingung ( ij )<br />
a) Wenn für irgendeine Belastung ein kinematisch möglicher (Kollaps-)Mechanismus u<br />
(k)<br />
i<br />
gef<strong>und</strong>en werden kann, für den<br />
∫ ∫ ∫<br />
<br />
t u dS + f u<br />
dV > σ ε dV<br />
(k) (k) (k) (k)<br />
j j j i ij ij<br />
∂V V V<br />
gilt 3 , so wird diese Belastung vom System nicht getragen.<br />
2<br />
Entgegen manchmal in der Literatur vertretenen Auffassungen muss also zur Herleitung der Grenzlastsätze<br />
kein starr-(ideal)plastisches Werkstoffverhalten vorausgesetzt werden.<br />
Grenzlast, WB, 08.12.2011, - 6 -
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