Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät
Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät
W. Brocks: Bruchmechanik Die K-Faktoren sind von der Geometrie des belasteten Körpers, der Beanspruchungsart (z.B. Zug oder Biegung), der Risskonfiguration und (linear) von der äußeren Belastung abhängig. Ihre exakte Ermittlung ist für reale Strukturen in praxisrelevanten Fällen in der Regel nur mit aufwendigen mathematischen Methoden analytischer (komplexe Spannungsfunktionen, Integraltransformationen) oder numerischer Art (Finite-Elemente-, Randelemente-Verfahren) verbunden. Bei Anwendung analytischer Methoden braucht das Randwertproblem allerdings nicht vollständig gelöst zu werden, sondern es genügt die Kenntnis des Spannungsfeldes um die Rissspitze; insbesondere sind Spannungsfelder ohne die charakteristische 1 r -Singularität ohne Einfluss auf den Spannungsintensitätsfaktor. Liegen numerische Lösungen des Spannungs- oder Verschiebungsfeldes vor, können die K-Faktoren durch Auswerten von Gl. (3) bzw. (4) bestimmt werden. Andere numerische Verfahren beruhen auf dem Zusammenhang zwischen K- Faktoren und Energiefreisetzungsrate. GRIFFITH-Riss K I K II K III einachsiger Zug σ yy ∞ ∞ σ π a 0 0 yy reiner Schub σ yx ∞ = σ xy ∞ 0 σ ∞ xy π a 0 antiebener Schub σ yz ∞ 0 0 σ ∞ yz π a konstanter Rissflächendruck p 0 p0 π a 0 0 zwei Einzelkräfte F, "Aufkeil"- Problem F π Ba π a 0 0 kreisförmiger Innenriss K I K II K III einachsiger Zug σ yy ∞ 2 σ yy π a 0 0 ∞ π konstanter Rissflächendruck p 0 veränderlicher Rissflächendruck p(R) 2 p0 π π a 2 a RpR ( ) dR π a π ∫ a 0 2 2 a − R 0 0 0 0 Tabelle 3: Spannungsintensitätsfaktoren für elementare Belastungsfälle Die Gewinnung und Anwendung von Näherungslösungen für K hat hohe Bedeutung für eine ingenieurmäßige Anwendung der Bruchmechanik. Für ein beliebiges ebenes Rissproblem kann man K in Verallgemeinerung der in Tabelle 3 angegebenen Gleichungen in der Form LEBM_SIF, 05.01.2012, - 4 -
W. Brocks: Bruchmechanik ( Geometrie) K = σ πa Y (5) ∞ schreiben. Dabei ist σ ∞ eine geeignet definierte "Brutto-Nennspannung" im Fernfeld des Risses und Y eine dimensionslose Funktion geometrischer Parameter, die aus analytischen oder numerischen Näherungslösungen ermittelt werden kann. Für eine Vielzahl von "Modellfällen" kann Y als tabellierte Funktion oder als Approximationsfunktion einschlägigen Handbüchern wie dem • "Compendium of Stress Intensity Factors" von ROOKE und CARTWRIGHT [1976], • "Stress Analysis of Cracks Handbook" von TADA, PARIS und IRWIN [1985], • "Stress Intensity Factors Handbook" von MURAKAMI et al. [1992] und anderen entnommen werden. Der Erfahrung und dem Abstraktionsvermögen des Ingenieurs ist es vorbehalten, reale Strukturen auf die in den Handbüchern zusammengestellten Probleme zurückzuführen und so Näherungslösungen zu erhalten. Dabei liefert das Superpositionsprinzip eine universelle Methodik, um K-Faktoren bzw. Geometriefunktionen komplexer Strukturen und Beanspruchungsfälle aus Lösungen einfacherer Probleme zu gewinnen. Wegen des zugrundeliegenden elastischen Stoffgesetzes und der Annahme kleiner Verformungen ist das Randwertproblem linear, d.h. Spannungs- und Verformungsfelder verschiedener Lastfälle können additiv überlagert, und damit K-Faktoren für gleichen Rissöffnungsmodus addiert werden: Kα = ∑ Kαn , α = I, II, III , n= Lastfälle (6) n Ein einfaches Beispiel ist die Scheibe mit schräg liegendem GRIFFITH-Riss unter Zug- und Schubbelastung, für die man erhält. K K I II ( ∞ ∞ ) ( ) = σ sinα −τ cosα sinα πa = σ cosα + τ sinα sinα πa ∞ ∞ INGLIS, C.E. [1913]: Stresses in a plate due to the presence of cracks und sharp corners, Trans. Inst. Naval Arch. 60, 219-230. IRWIN, G.R. [1957]: Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate, J. Appl. Mech. 24, 361-364. SNEDDON, I.N. [1946]: The distribution of stress in the neighbourhood of a crack in an elastic solid. Proc. Roy. Soc. A187, 229-260. SNEDDON, I.N. [1973]: Integral transform methods - Circular cracks. In: Mechanics of Fracture (ed. by G.C. SIH), 1. Methods of analysis und solution of crack problems, 350-363. WESTERGAARD, H.M. [1939]: Bearing pressures und cracks, J. Appl. Mech. 6, 49-53. (7) LEBM_SIF, 05.01.2012, - 5 -
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Die K-Faktoren sind von der Geometrie des belasteten Körpers, der Beanspruchungsart (z.B.<br />
Zug oder Biegung), der Risskonfiguration <strong>und</strong> (linear) von der äußeren Belastung abhängig. Ihre<br />
exakte Ermittlung ist für reale Strukturen in praxisrelevanten Fällen in der Regel nur mit aufwendigen<br />
mathematischen Methoden analytischer (komplexe Spannungsfunktionen, Integraltransformationen)<br />
oder numerischer Art (Finite-Elemente-, Randelemente-Verfahren) verb<strong>und</strong>en.<br />
Bei Anwendung analytischer Methoden braucht das Randwertproblem allerdings nicht vollständig<br />
gelöst zu werden, sondern es genügt die Kenntnis des Spannungsfeldes um die Rissspitze;<br />
insbesondere sind Spannungsfelder ohne die charakteristische 1 r -Singularität ohne Einfluss<br />
auf den Spannungsintensitätsfaktor. Liegen numerische Lösungen des Spannungs- oder<br />
Verschiebungsfeldes vor, können die K-Faktoren durch Auswerten von Gl. (3) bzw. (4) bestimmt<br />
werden. Andere numerische Verfahren beruhen auf dem Zusammenhang zwischen K-<br />
Faktoren <strong>und</strong> Energiefreisetzungsrate.<br />
GRIFFITH-Riss K I K II K III<br />
einachsiger Zug σ yy<br />
∞<br />
∞<br />
σ π a<br />
0 0<br />
yy<br />
reiner Schub σ yx ∞ = σ xy<br />
∞<br />
0<br />
σ<br />
∞<br />
xy<br />
π a<br />
0<br />
antiebener Schub σ yz<br />
∞<br />
0 0<br />
σ<br />
∞<br />
yz<br />
π a<br />
konstanter Rissflächendruck p 0<br />
p0<br />
π a<br />
0 0<br />
zwei Einzelkräfte F, "Aufkeil"-<br />
Problem<br />
F<br />
π Ba π a<br />
0 0<br />
kreisförmiger Innenriss K I K II K III<br />
einachsiger Zug σ yy<br />
∞<br />
2<br />
σ<br />
yy<br />
π a<br />
0 0<br />
∞<br />
π<br />
konstanter Rissflächendruck p 0<br />
veränderlicher Rissflächendruck p(R)<br />
2<br />
p0<br />
π<br />
π a<br />
2 a RpR ( ) dR π a<br />
π<br />
∫<br />
a<br />
0 2 2<br />
a − R<br />
0 0<br />
0 0<br />
Tabelle 3: Spannungsintensitätsfaktoren für elementare Belastungsfälle<br />
Die Gewinnung <strong>und</strong> Anwendung von Näherungslösungen für K hat hohe Bedeutung für eine<br />
ingenieurmäßige Anwendung der <strong>Bruchmechanik</strong>. Für ein beliebiges ebenes Rissproblem kann<br />
man K in Verallgemeinerung der in Tabelle 3 angegebenen Gleichungen in der Form<br />
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