Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät

W. Brocks: Plastizität und Bruchmechanik
2.1 Postulat im Großen (large-scale)
t0
+ Δt
t0
bzw. das
0
( )
∫ σij − σ
ij
εij
dt > 0 , (3)
2.2 Postulat im Kleinen (small-scale)
e p
( )
σ ε = σ ε + ε > 0 , (4)
ij ij ij ij ij
wobei die additive Zerlegung der Verzerrungsraten
ε = ε + ε . (5)
e p
ij ij ij
eingeführt wurde.
2. Postulate für Lastzyklen
Die genannten Postulate betreffen die Arbeit der äußeren Kräfte bei monotoner Belastung. Zusätzlich
fordert DRUCKER, dass die während eines Belastungszyklus aus aufgebrachten und wieder
entfernten Störungen σ ij
0
0
(t) bei festem Ausgangszustand σ
ij
mit ϕ( σij
) ≤ 0 verrichtete Arbeit
nicht negativ ist. Die entsprechenden Postulate sind natürlich nur für inelastisches Materialverhalten
relevant, da die Arbeit während eines vollständigen Belastungszyklus in einem elastischen
Werkstoff verschwindet.
Das eingeschränkte Postulat für einen Lastzyklus im Großen lautet mit der Annahme (5)
0 p 0
( σij σij ) εij ϕ( σij
)
− ≥0 für ≤0
(6)
und für einen Lastzyklus im Kleinen
σ ε ≥ 0. (7)
ij
p
ij
Diese Postulate enthalten nicht mehr die Arbeit der Störspannungen an den reversiblen Anteilen
der Deformationen.
0
Nimmt man als Anfangszustand σ
ij
einen „sicheren Zustand“
der Fließfläche an, folgt aus (6) für einen großen Lastzyklus
( s) p (s)
( σij σij ) εij ϕ( σij
)
(s)
(s)
σ
ij
mit ( ij )
ϕ σ < 0 innerhalb
− > 0 für < 0. (6a)
Für ideal-plastisches Material gilt für einen kleinen Lastzyklus speziell
σ ε = 0 . (7a)
ij
p
ij
Das Postulat (6), auch als Minimalprinzip von PRAGER bekannt, liefert die grundlegende Beziehung
für den Beweis der Grenzlastsätze der Plastizität (DRUCKER, PRAGER & GREENBERG
Grenzlast, WB, 08.12.2011, - 3 -