Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät

W. Brocks: Plastizität und Bruchmechanik
rigen Verschiebungen bzw. Verzerrungen verrichtete Arbeit positiv ist. Diese als eingeschränktes
Stabilitätskriterium bezeichnete Definition bezieht sich auf einen festgelegten Anfangszustand.
Um auch mit Belastungsänderungen einhergehende Instabilitäten zu behandeln, hat
DRUCKER das klassische Kriterium erweitert: Wieder wird eine beliebige Störung zur Zeit t 0 aufgebracht,
die den tatsächlichen Belastungspfad ändert. Die Struktur heißt stabil, wenn die Arbeit
der zusätzlichen Spannungen an den Verzerrungsdifferenzen im tatsächlichen und im gestörten
Zustand nicht negativ ist. Dieses erweiterte Kriterium ist eher ein Eindeutigkeits- als ein Stabilitätskriterium.
Anders als in klassischen Stabilitätsanalysen, bei denen die Störungen als infinitesimal
klein angenommen werden (small-scale stability), sind bei den DRUCKERschen Postulaten
auch endlich große Störungen zugelassen (large-scale stability).
Aus diesen Kriterien leitet DRUCKER die Definition der Werkstoffstabilität ab, indem er jegliche
geometrischen Effekte vernachlässigt, die einen wesentlichen Effekt auf die Strukturstabilität
haben können. Man mag sich zur Veranschaulichung einen materiellen Würfel unter einem homogenen
Spannungs- und Verzerrungszustand vorstellen. Das Konzept dient der Klassifizierung
des Werkstoffverhaltens entsprechend den aus der Stabilitätstheorie bekannten Kategorien und
erlaubt grundlegende Schlussfolgerungen über die Gestalt der Fließfläche und die Fließregel
(PALMER, MAIER & DRUCKER [1967]). Es ist widerspruchsfrei sowohl auf Werkstoffe als auch
auf Bauteile und ganze Strukturen anwendbar, wobei die beiden letztgenannten geometrische
Effekte einschließen (BROCKS & BURTH [1977]).
1. Erweiterte Postulate
1.1 Postulat im Großen (large-scale)
Der tatsächliche Lastpfad σ
ij
() t wird durch den hochgestellten Index (1) der gestörte durch (2)
bezeichnet. Die Störung wird zur Zeit t 0 aufgebracht. Für eine endlich große Störung wird
t0
+ Δt
t0
gefordert.
(2) (1) (2) (1)
( σij σij )( εij εij
)
∫ − − dt > 0
(1)
1.1 Postulat im Kleinen (small-scale)
Aus einer TAYLOR-Entwicklung folgt für infinitesimal benachbarte Zustände
(2) (1) (2) (1)
( σij σij )( ε
ij
εij
)
− − > 0 . (2)
2. Eingeschränkte Postulate
(1) (1) 0 (1)
Wenn der Zustand (1) zeit-unabhängig ist, also σ
ij
() t = σij ( t0)
= σij
und ε
ij
= 0 , und der Index
(2)
(2) weggelassen wird, σ = σ , liefern die Gln. (1) bzw. (2) das
ij
ij
Grenzlast, WB, 08.12.2011, - 2 -