Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät
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W. Brocks: <strong>Plastizität</strong> <strong>und</strong> <strong>Bruchmechanik</strong><br />
Bei einem kreisförmigen spannungsfreien Rand sind in jedem<br />
Punkt die radiale <strong>und</strong> die Umfangsrichtung Hauptrichtungen,<br />
die von den Charakteristiken (Gleitlinien) unter ± 45° geschnitten<br />
werden. Die Gleitlinien sind damit logarithmische Spiralen,<br />
r,<br />
θ durch<br />
die in einem Polarkoordinatensystem ( )<br />
r<br />
θ + ln = Cα<br />
a<br />
. (41)<br />
r<br />
θ − ln = Cβ<br />
a<br />
beschrieben werden. Entlang BP (α-Linie) bzw. AP (β-Linie) gilt<br />
r rP<br />
θ + ln = ln<br />
a a<br />
. (42)<br />
r rP<br />
θ − ln =−ln<br />
a a<br />
mit r P<br />
= OP<br />
. Im Punkt A ist θA<br />
= γ <strong>und</strong> r A<br />
= a <strong>und</strong> damit<br />
P<br />
γ = ln r . (43)<br />
a<br />
In einem beliebigen Punkt auf der x-Achse ( θ = 0 ), der vom Ursprung den Abstand x= a+<br />
ξ<br />
hat, ist der Spannungszustand<br />
⎛ ξ ⎞<br />
σxx<br />
= σrr<br />
( θ = 0) = 2k0<br />
ln⎜1+<br />
⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
⎡ ⎛ ξ ⎞⎤<br />
σ<br />
yy<br />
= σθθ<br />
( θ = 0) = 2k0<br />
⎢1+ ln⎜1+<br />
⎟<br />
a<br />
⎥ . (44)<br />
⎣ ⎝ ⎠⎦<br />
σ = σ ( θ = 0) = 0<br />
xy<br />
rθ<br />
Gleitlinien, WB, 15.01.2012 - 8 -
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