Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät
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W. Brocks: Plastizität und Bruchmechanik spannung π φ = ϕ± (29) 4 und ϕ die Richtung der größten Hauptspannung (siehe MOHRschen Spannungskreis). Längs der Gleitlinien gilt σ = τ =± k , (30) nt m 0 wobei n, t die Richtungen der Normalen und der Tangente an die Gleitlinie darstellt. Die Komponenten des Spannungstensors im x,y-System sind σ ˆ xx = σ −k0 sin 2φ σ ˆ yy = σ + k0 sin 2φ . (31) σ = k cos 2φ xy 0 Damit ist der Spannungszustande in jedem Punkt durch den Wert der mittleren Hauptspannung ˆ σ = σ III und der Orientierung φ der Linien maximaler Schubspannung gegenüber der x-Achse vollständig festgelegt. Die Gln. (28) beschreiben ein orthogonales Netzwerk. Man nennt die gegenüber der x-Achse um den Winkel φ im mathematisch positiven Sinne (gegen den Uhrzeiger) gedrehte Kurvenschar α-Linien und die dazu orthogonalen Kurven β-Linien. Die Hauptachse I teilt den rechten Winkel zwischen ihnen. Auf ein in den Hauptrichtungen orientiertes materielles Element wirken die Spannungen σ I,II = ˆ σ ± k ˆ 0 , σIII = σ . Mit ˆ σ und φ nehmen die Gleichgewichtsbedingungen (23) die Form ∂ ˆ σ ∂φ ∂φ −2k0cos2φ − 2k0sin2φ = 0 ∂x ∂x ∂y ∂φ ∂ ˆ σ ∂φ − 2k0sin2φ + + 2k0cos2φ = 0 ∂x ∂y ∂y an. Aus der Lösungsbedingung für dieses Gleichungssystem hat HENCKY [1923] die Gleichungen d ˆ σ ⎧α − Linien ∓ 2k0 = 0 für ⎨ (33) dφ ⎩β − Linien hergeleitet, d.h. dass in jedem Punkt die Ableitung der Größe ˆ σ ∓ 2k0φ in Richtung der α- bzw. β-Linien verschwindet, also ˆ σ ∓ 2k0φ konstant ist, ˆ σ − 2k0 φ = Cα längs α −Linie . (34) ˆ σ + 2k φ = C längs β −Linie 0 β Die Konstanten C α und C β variieren von einer α- bzw. β-Linie zur anderen. Die Charakteristiken der Spannungsgleichungen und der Geschwindigkeitsgleichungen stimmen überein. Die Geschwindigkeitsänderungen entlang der α- bzw. β-Linien sind (32) Gleitlinien, WB, 15.01.2012 - 6 -
W. Brocks: Plastizität und Bruchmechanik du du x y + tanφ = 0 α −Linie dφ dφ . (35) du du x y − cotφ = 0 β −Linie dφ dφ Mit u = u cosφ −u x u = u sinφ + u y α α β β sinφ cosφ (36) erhält man als Pendant zu den HENCKYschen Gleichungen für die Spannungen die GEIRINGERschen Gleichungen für die Dehnungsgeschwindigkeiten du α − u β = 0 längs α −Linie dφ . (37) du β + u α = 0 längs β −Linie dφ 4. Konstruktion von Gleitlinienfeldern - Randbedingungen Beim CAUCHY-Problem sind die Spannungen σ xx , σ xx , σ xx , längs einer Nichtcharakteristik AB vorgegeben. Dann existiert die Lösung im Dreieck ABP und ist eindeutig. Für den Schnittpunkt E der durch C und D gehenden α- bzw. β-Linien gilt mit Gl. (34) ˆ σ C − 2k ˆ 0φC = σE −2k0φE , (38) ˆ σ − 2k φ = ˆ σ −2k φ also D 0 D E 0 E 1 1 φ = σ − σ + φ + φ ( ˆ ˆ ) ( ) E D C D C 4k0 2 1 ˆ σ E = ˆ σD + ˆ σC + 2 0 φD −φC 2 ( ) k ( ) . (39) Ist der Bogen (Rand) AB spannungsfrei, so ist die Normale Hauptrichtung und die Charakteristiken schneiden die Oberfläche unter ± 45° . Das Gleitlinienfeld ABP und damit der Spannungszustand werden durch die Form des Randes bestimmt. Ist die Oberfläche eben, so ist der Spannungszustand homogen σ xx =± 2k0 σ zz =± k0 . (40) σ = σ = 0 yy xy Gleitlinien, WB, 15.01.2012 - 7 -
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W. Brocks: <strong>Plastizität</strong> <strong>und</strong> <strong>Bruchmechanik</strong><br />
du<br />
du<br />
x<br />
y<br />
+ tanφ<br />
= 0 α −Linie<br />
dφ<br />
dφ<br />
. (35)<br />
du<br />
du<br />
x<br />
y<br />
− cotφ<br />
= 0 β −Linie<br />
dφ<br />
dφ<br />
Mit<br />
u = u cosφ<br />
−u<br />
x<br />
u = u sinφ<br />
+ u<br />
y<br />
α<br />
α<br />
β<br />
β<br />
sinφ<br />
cosφ<br />
(36)<br />
erhält man als Pendant zu den HENCKYschen Gleichungen für die Spannungen die GEIRINGERschen<br />
Gleichungen für die Dehnungsgeschwindigkeiten<br />
du<br />
α<br />
− u<br />
β<br />
= 0 längs α −Linie<br />
dφ<br />
. (37)<br />
du<br />
β<br />
+ u<br />
α<br />
= 0 längs β −Linie<br />
dφ<br />
4. Konstruktion von Gleitlinienfeldern - Randbedingungen<br />
Beim CAUCHY-Problem sind die Spannungen σ xx , σ xx , σ xx , längs<br />
einer Nichtcharakteristik AB vorgegeben. Dann existiert die Lösung<br />
im Dreieck ABP <strong>und</strong> ist eindeutig. Für den Schnittpunkt E der durch<br />
C <strong>und</strong> D gehenden α- bzw. β-Linien gilt mit Gl. (34)<br />
ˆ σ<br />
C<br />
− 2k<br />
ˆ<br />
0φC = σE −2k0φE<br />
, (38)<br />
ˆ σ − 2k<br />
φ = ˆ σ −2k<br />
φ<br />
also<br />
D 0 D E 0 E<br />
1 1<br />
φ = σ − σ + φ + φ<br />
( ˆ ˆ ) ( )<br />
E D C D C<br />
4k0<br />
2<br />
1<br />
ˆ σ<br />
E<br />
= ˆ σD + ˆ σC + 2<br />
0<br />
φD −φC<br />
2<br />
( ) k ( )<br />
. (39)<br />
Ist der Bogen (Rand) AB spannungsfrei, so ist die Normale Hauptrichtung <strong>und</strong> die Charakteristiken<br />
schneiden die Oberfläche unter ± 45° . Das Gleitlinienfeld ABP <strong>und</strong> damit der Spannungszustand<br />
werden durch die Form des Randes bestimmt.<br />
Ist die Oberfläche eben, so ist der Spannungszustand homogen<br />
σ<br />
xx<br />
=± 2k0<br />
σ<br />
zz<br />
=± k0<br />
. (40)<br />
σ = σ = 0<br />
yy<br />
xy<br />
Gleitlinien, WB, 15.01.2012 - 7 -
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