Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät

W. Brocks: Plastizität und Bruchmechanik
spannung
π
φ = ϕ± (29)
4
und ϕ die Richtung der größten Hauptspannung (siehe MOHRschen Spannungskreis). Längs der
Gleitlinien gilt
σ = τ =± k , (30)
nt
m 0
wobei n, t die Richtungen der Normalen und der Tangente an die Gleitlinie darstellt. Die Komponenten
des Spannungstensors im x,y-System sind
σ ˆ
xx
= σ −k0
sin 2φ
σ ˆ
yy
= σ + k0
sin 2φ
. (31)
σ = k cos 2φ
xy
0
Damit ist der Spannungszustande in jedem Punkt durch den Wert der mittleren Hauptspannung
ˆ σ = σ
III
und der Orientierung φ der Linien maximaler Schubspannung gegenüber der x-Achse
vollständig festgelegt. Die Gln. (28) beschreiben ein orthogonales Netzwerk. Man nennt die
gegenüber der x-Achse um den Winkel φ im mathematisch positiven Sinne (gegen den Uhrzeiger)
gedrehte Kurvenschar α-Linien und die dazu orthogonalen Kurven β-Linien. Die Hauptachse
I teilt den rechten Winkel zwischen ihnen. Auf ein in den Hauptrichtungen orientiertes materielles
Element wirken die Spannungen σ
I,II
= ˆ σ ± k ˆ
0
, σIII
= σ .
Mit ˆ σ und φ nehmen die Gleichgewichtsbedingungen (23) die Form
∂ ˆ σ ∂φ ∂φ
−2k0cos2φ
− 2k0sin2φ
= 0
∂x ∂x ∂y
∂φ ∂ ˆ σ ∂φ
− 2k0sin2φ
+ + 2k0cos2φ
= 0
∂x ∂y ∂y
an. Aus der Lösungsbedingung für dieses Gleichungssystem hat HENCKY [1923] die Gleichungen
d ˆ σ
⎧α
− Linien
∓ 2k0
= 0 für ⎨ (33)
dφ
⎩β
− Linien
hergeleitet, d.h. dass in jedem Punkt die Ableitung der Größe ˆ σ ∓ 2k0φ
in Richtung der α- bzw.
β-Linien verschwindet, also ˆ σ ∓ 2k0φ
konstant ist,
ˆ σ − 2k0
φ = Cα
längs α −Linie
. (34)
ˆ σ + 2k
φ = C längs β −Linie
0
β
Die Konstanten C α und C β variieren von einer α- bzw. β-Linie zur anderen.
Die Charakteristiken der Spannungsgleichungen und der Geschwindigkeitsgleichungen stimmen
überein. Die Geschwindigkeitsänderungen entlang der α- bzw. β-Linien sind
(32)
Gleitlinien, WB, 15.01.2012 - 6 -