Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät

W. Brocks: Plastizität und Bruchmechanik
3. Die Charakteristiken des ebenen Verzerrungszustandes
Die beiden Gleichgewichtsbedingungen (7) und Fließbedingung (5) können durch Elimination
der Spannung σ
yy
wie folgt geschrieben werden
∂σ
∂σ
xx xy
+ = 0
∂x
∂y
. (23)
∂σ
∂σxy 2σ xx
xy
∂σxy
+ ± = 0
∂y ∂x 2 2
k −σ
∂y
0
xy
Dies stellt ein System von zwei gekoppelten quasilinearen partieller Differentialgleichungen 1.
Ordnung dar. Sind entsprechend der CAUCHYschen Anfangswertaufgabe die Anfangswerte
σxx
() s = σxx
( x(), s y()
s )
(24)
σ () s = σ x(), s y()
s
xy
xy
( )
auf einer Anfangskurve Γ 0 gegeben mit stetigen Ableitungen
∂σ
xx
∂σ
xx
x
+ y
= σ
xx
() s
∂x
∂y
,
∂σxy
∂σxy
x
+ y
= σ
xy
() s
∂x
∂y
(25)
so lassen sich die partiellen Ableitungen σ
xx,
x, σ
xx,
y, σ
xy,
x, σ
xy,
y
auf Γ 0 berechnen, falls die
Determinante
Δ =
x
y
0 0
0 0 x
y
1 0 0 0
0 1 1 ±
2σ
xy
k −σ
2 2
0 xy
auf Γ 0 nicht verschwindet. Die zum Differentialgleichungssystem (23) gehörende charakteristische
Gleichung
y
2σ
∓ 1 0
(27)
2
xy
′ y′− =
2 2
k0
−σ
xy
ist vom hyperbolischen Typ. Ihre Lösungen
y
± σ + k
xy 0
′
1
= =
2 2
k0
−σ
xy
tanφ
. (28)
± σ −k
y′ = = tan( φ + )
xy 0
π
2
2 2
2
k0
−σ
xy
liefern die Richtungsfelder zweier orthogonaler Scharen reeller Charakteristiken, die physikalisch
Linien maximaler Schubspannungen bzw. maximaler Schergeschwindigkeiten darstellen
undGleit- oder Fließlinien (slip lines) genannt werden. φ ist die Richtung der größten Schub-
(26)
Gleitlinien, WB, 15.01.2012 - 5 -