Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät

W. Brocks: Plastizität und Bruchmechanik
1
u, x() s = xu() s − yu
2 2
,
() s
x
+ y
(
n )
1
u, y() s = yu() s + xu
2 2
,
() s
x
+ y
(
n )
(18)
dar. Dieser Streifen lässt sich mit Hilfe der 2. Ableitungen
xu
, xx
+ yu
, yx
= u
, x
() s
xu
, xy
+ yu
, yy
= u
, y
() s
Au + 2 Bu + Cu = R( s)
, xx , xy , yy
(19)
fortsetzen. Über die Lösbarkeit entscheidet die Determinante
x
y
0
Δ = 0 x 2 2
y = Ay − 2Bxy + Cx ≠0. (20)
A 2B C
Für Δ ≠ 0 sind die 2. Ableitungen in einem Punkt P auf Γ 0 eindeutig bestimmbar und uxy ( , ) ist
in der Umgebung von P in eine TAYLOR-Reihe entwickelbar. Ist Δ ≠ 0 für alle Punkte P auf Γ 0
so besitzt das CAUCHY-Problem eine eindeutige Lösung.
Ist Δ = 0 für Γ 0 , so sind die 2. Ableitungen entweder gar nicht oder nicht eindeutig bestimmbar,
je nach dem Verhalten der rechten Seiten des Gleichungssystems (19), und das bedeutet, dass
entweder keine oder mehrere Lösungsflächen durch Γ 0 hindurchgehen. Einen derartigen Streifen
nennt man charakteristischen Streifen. Von besonderem Interesse sind Kurven C = Γ
0
, längs
derer Δ ≡ 0 sind, also
′ − 2 ′ + = 0
(21)
2
Ay By C
mit y′ = y x gilt. Diese gewöhnliche Differentialgleichung wird charakteristische DGl des
Anfangswertproblems bezeichnet und ihre Lösungen als Charakteristiken. Gl. (21) ist eine
quadratische Gleichung für y‘ mit den Lösungen
2
( ) B ± B −AC
y′ 1,2
x = (22)
A
die durch die Diskriminate Gl. (14) bestimmt sind, und zwar existieren für
• hyperbolische Differentialgleichungen, D > 0 , zwei reelle Scharen von Charakteristiken,
• parabolische Differentialgleichungen, D = 0 , eine reelle Schare von Charakteristiken,
• elliptische Differentialgleichungen, D < 0 , zwei komplexe Scharen von Charakteristiken.
Gleitlinien, WB, 15.01.2012 - 4 -