Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät

W. Brocks: Plastizität und Bruchmechanik
Axyuu ( , , , , u ) u + 2 Bxyuu ( , , , , u ) u +
, x , y , xx , x , y , xy
+ Cxyuu ( , , , , u ) u = Rxyuu ( , , , , u )
, x , y , yy , x , y
(12)
Sie ist linear in den höchsten Ableitungen. Man nennt sie fastlinear, falls A, B, C nur noch Funktionen
der unabhängigen Variablen x, y sind, und linear falls darüber hinaus die rechte Seite die
Darstellung
besitzt.
R( xyuu , , , , u ) = R( xyu , ) + R( xyu , ) + R( xyu , ) + R( xy , )
(13)
, x , y 3 , x 2 , y 1 0
Eine allgemeine Lösung partieller Differentialgleichungen m-ter Ordnung enthält m freie Funktionen,
die durch Zusatzbedingungen wie Anfangs- und Randbedingungen festgelegt werden.
Das Lösungsverhalten klassifiziert man aufgrund des Vorzeichens der Diskriminante
⎧> 0 hyperbolisch
⎪
= − ⎨ = 0 parabolisch . (14)
⎪
⎩ < 0 elliptisch
2
D B AC
Es ist i.a. von x, y, u, u ,x , u ,y abhängig. Die rechte Seite beeinflusst das Lösungsverhalten nicht.
Zu jedem Typ der partiellen Differentialgleichungen gehören „geeignete“ Anfangs- 2 bzw. Randbedingungen,
die das Problem zu einem sachgemäß gestellten (well posed) Problem machen.
Dazu gehören die Forderungen: Die Lösung muss existieren, eindeutig sein und stetig von den
Anfangs- bzw. Randwerten abhängen.
Die CAUCHYsche Anfangswertaufgabe
Gesucht ist die Lösungsfläche uxy, ( , ) die durch eine beliebige Kurve Γ im durch x, y, u aufgespannten
Raum geht. Dazu sind längs einer Anfangskurve Γ : 0 ( ) die Anfangswerte
u( x(), s y() s ) = u () s
(15)
mit stetig differenzierbarer Funktion us ( ) vorgegeben. Durch.
us
= u
= ux
+ u y (16)
()
, s , x , y
ist die Ableitung längs der Tangente t an Γ 0 und durch
u , n()
s =− u , xy + u,
yx
(17)
die Ableitung längs der Normalen n zu Γ 0 gegeben. Mit vorgegebenen Anfangswerten us
() = u,
s
und u, n
() s ist ein infinitesimaler Lösungsstreifen der Lösungsfläche uxybekannt, ( , ) denn die
Gln (16) und (17) stellen ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der partiellen Ableitungen
2
bei Differentialgleichungen, bei denen die Zeit t an die Stelle der Ortskoordinate y tritt, wie der Wärmeleitungs-
oder der Wellengleichung.
Gleitlinien, WB, 15.01.2012 - 3 -