Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät
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W. Brocks: Plastizität und Bruchmechanik die „mittlere“ Hauptspannung σ III ein. Neben der Fließbedingung müssen die Gleichgewichtsbedingungen ∂σ ∂x ∂σ xx xy ∂x ∂σ xy + = 0 ∂y ∂σ yy + = 0 ∂y (7) erfüllt sein. Damit stehen drei Gleichungen für die drei unbekannten Spannungen zur Verfügung. Lässt sich dieses Gleichungssystem bei Vorgabe von Spannungsrandbedingungen integrieren, spricht man von einem statisch bestimmten Fließzustand. Das Geschwindigkeitsfeld kann dann aus dem Spannungsfeld mithilfe der Fließregel berechnet werden. In vielen Fällen liegen auch kinematische Randbedingungen vor, und man erhält ein gemischtes Randwertproblem. Die Gln. (5) und (7) sind durch zwei weitere Beziehungen zur Bestimmung des Geschwindigkeitsfeldes zu ergänzen. Die eine ist die Bedingung, dass plastische Verformungen isochor ablaufen, ε . (8) xx + ε yy = ux, x + uy, y = 0 Eine weitere Gleichung folgt daraus, dass bei isotropem Material die Hauptachsen des Spannungstensors 2σ xy tan 2ϕ = tan(2 ϕ+ π) = σ −σ xx yy (9) und der (plastischen) Verzerrungsgeschwindigkeit 2 ε xy tan 2ϕ = tan(2 ϕ + π) = ε − ε xx yy (10) zusammenfallen, also ϕ = ϕ . Damit erhält man die Gleichungen nach LÉVI [1971] und VON MISES [1913] dε xy dεxx − dεyy = . (11) σ σ −σ xy xx yy Mit diesem gekoppelten System partieller Differentialgleichungen (5), (7), (8), (11) ist das Problem des ebenen plastischen Fließens vollständig beschrieben. Für seine Lösung ist der Typ des Differentialgleichungssystems von Bedeutung. 2. Partielle Differentialgleichungen Für das oben beschriebene Gleichungssystem ist das Lösungsverhalten sogen. quasilinearer partieller Differentialgleichungen 2. Ordnung sowie von Systemen partieller Differentialgleichungen 1. Ordnung von Bedeutung. der Funktion. Die allgemeinste Form einer quasilinearen partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung einer Funktion uxylautet ( , ) 1 1 mit u,x =∂u ∂ x, u = ∂ u ∂ x ,xx 2 2 Gleitlinien, WB, 15.01.2012 - 2 -
W. Brocks: Plastizität und Bruchmechanik Axyuu ( , , , , u ) u + 2 Bxyuu ( , , , , u ) u + , x , y , xx , x , y , xy + Cxyuu ( , , , , u ) u = Rxyuu ( , , , , u ) , x , y , yy , x , y (12) Sie ist linear in den höchsten Ableitungen. Man nennt sie fastlinear, falls A, B, C nur noch Funktionen der unabhängigen Variablen x, y sind, und linear falls darüber hinaus die rechte Seite die Darstellung besitzt. R( xyuu , , , , u ) = R( xyu , ) + R( xyu , ) + R( xyu , ) + R( xy , ) (13) , x , y 3 , x 2 , y 1 0 Eine allgemeine Lösung partieller Differentialgleichungen m-ter Ordnung enthält m freie Funktionen, die durch Zusatzbedingungen wie Anfangs- und Randbedingungen festgelegt werden. Das Lösungsverhalten klassifiziert man aufgrund des Vorzeichens der Diskriminante ⎧> 0 hyperbolisch ⎪ = − ⎨ = 0 parabolisch . (14) ⎪ ⎩ < 0 elliptisch 2 D B AC Es ist i.a. von x, y, u, u ,x , u ,y abhängig. Die rechte Seite beeinflusst das Lösungsverhalten nicht. Zu jedem Typ der partiellen Differentialgleichungen gehören „geeignete“ Anfangs- 2 bzw. Randbedingungen, die das Problem zu einem sachgemäß gestellten (well posed) Problem machen. Dazu gehören die Forderungen: Die Lösung muss existieren, eindeutig sein und stetig von den Anfangs- bzw. Randwerten abhängen. Die CAUCHYsche Anfangswertaufgabe Gesucht ist die Lösungsfläche uxy, ( , ) die durch eine beliebige Kurve Γ im durch x, y, u aufgespannten Raum geht. Dazu sind längs einer Anfangskurve Γ : 0 ( ) die Anfangswerte u( x(), s y() s ) = u () s (15) mit stetig differenzierbarer Funktion us ( ) vorgegeben. Durch. us = u = ux + u y (16) () , s , x , y ist die Ableitung längs der Tangente t an Γ 0 und durch u , n() s =− u , xy + u, yx (17) die Ableitung längs der Normalen n zu Γ 0 gegeben. Mit vorgegebenen Anfangswerten us () = u, s und u, n () s ist ein infinitesimaler Lösungsstreifen der Lösungsfläche uxybekannt, ( , ) denn die Gln (16) und (17) stellen ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der partiellen Ableitungen 2 bei Differentialgleichungen, bei denen die Zeit t an die Stelle der Ortskoordinate y tritt, wie der Wärmeleitungs- oder der Wellengleichung. Gleitlinien, WB, 15.01.2012 - 3 -
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die „mittlere“ Hauptspannung σ III ein.<br />
Neben der Fließbedingung müssen die Gleichgewichtsbedingungen<br />
∂σ<br />
∂x<br />
∂σ<br />
xx<br />
xy<br />
∂x<br />
∂σ<br />
xy<br />
+ = 0<br />
∂y<br />
∂σ<br />
yy<br />
+ = 0<br />
∂y<br />
(7)<br />
erfüllt sein. Damit stehen drei Gleichungen für die drei unbekannten Spannungen zur Verfügung.<br />
Lässt sich dieses Gleichungssystem bei Vorgabe von Spannungsrandbedingungen integrieren,<br />
spricht man von einem statisch bestimmten Fließzustand. Das Geschwindigkeitsfeld kann dann<br />
aus dem Spannungsfeld mithilfe der Fließregel berechnet werden.<br />
In vielen Fällen liegen auch kinematische Randbedingungen vor, <strong>und</strong> man erhält ein gemischtes<br />
Randwertproblem. Die Gln. (5) <strong>und</strong> (7) sind durch zwei weitere Beziehungen zur Bestimmung<br />
des Geschwindigkeitsfeldes zu ergänzen. Die eine ist die Bedingung, dass plastische Verformungen<br />
isochor ablaufen,<br />
ε . (8)<br />
xx<br />
+ ε<br />
yy<br />
= ux, x<br />
+ uy, y<br />
= 0<br />
Eine weitere Gleichung folgt daraus, dass bei isotropem Material die Hauptachsen des Spannungstensors<br />
2σ<br />
xy<br />
tan 2ϕ = tan(2 ϕ+ π)<br />
=<br />
σ −σ<br />
xx<br />
yy<br />
(9)<br />
<strong>und</strong> der (plastischen) Verzerrungsgeschwindigkeit<br />
2 ε<br />
xy<br />
tan 2ϕ = tan(2 ϕ + π)<br />
=<br />
ε − ε<br />
xx<br />
yy<br />
(10)<br />
zusammenfallen, also ϕ = ϕ . Damit erhält man die Gleichungen nach LÉVI [1971] <strong>und</strong> VON<br />
MISES [1913]<br />
dε xy<br />
dεxx − dεyy<br />
= . (11)<br />
σ σ −σ<br />
xy xx yy<br />
Mit diesem gekoppelten System partieller Differentialgleichungen (5), (7), (8), (11) ist das Problem<br />
des ebenen plastischen Fließens vollständig beschrieben. Für seine Lösung ist der Typ des<br />
Differentialgleichungssystems von Bedeutung.<br />
2. Partielle Differentialgleichungen<br />
Für das oben beschriebene Gleichungssystem ist das Lösungsverhalten sogen. quasilinearer<br />
partieller Differentialgleichungen 2. Ordnung sowie von Systemen partieller Differentialgleichungen<br />
1. Ordnung von Bedeutung. der Funktion. Die allgemeinste Form einer quasilinearen<br />
partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung einer Funktion uxylautet ( , )<br />
1<br />
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mit u,x<br />
=∂u ∂ x,<br />
u = ∂ u ∂ x<br />
,xx<br />
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