Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät

W. Brocks: Plastizität und Bruchmechanik
Gleitlinientheorie
1. Grundgleichungen des ebenen Verzerrungszustandes (EVZ)
Es werde der ebene Fließzustand eines idealplastischen Körpers in der x,y-Ebene betrachtet. Das
Geschwindigkeitsfeld ux( x, y), uy( x, y), u
z
= 0 stellt sich bei einer hinreichenden Größe der Last
ein (s. Manuskript „Grenzlast“) und führt zu rein plastischen Verzerrungsänderungen
p ∂u
x
εxx = εxx = = u
x,
x
∂x
∂u
p y
εyy = εyy = = u
y,
y
∂y
. (1)
u
p ⎛∂u
∂
1 x y ⎞
1
εxy = εxy =
2⎜
+ ⎟= 2( ux, y
+ uy,
x)
⎝ ∂y
∂x
⎠
ε = ε = ε = 0
zz xz yz
Hierzu gehört ein Spannungszustand
⎛σxx
( xy , ) σxy
( xy , ) 0 ⎞
⎜
⎟
( σij ) = σxy ( xy , ) σ
yy
( xy , ) 0
.
⎜ 0 0 σ
zz
( x, y)
⎟
⎝
⎠
Mit der mittleren Normalspannung
( )
1
ˆ
2 xx yy
σ = σ + σ
(2)
und der maximalen Schubspannung
( ) 2 2
τ = σ − σ + σ (3)
1
m 2 xx yy
4
xy
lassen sich die Hauptspannungen aus
MOHRscher Spannungskreis
σ
I
= ˆ σ + τm
σ ˆ
II
= σ −τm
. (4)
σ = ˆ σ
III
berechnen (siehe den MOHRschen Spannungskreis). Im Fließzustand müssen die Spannungen die
Fließbedingung erfüllen. Die Bedingungen nach TRESCA und VON MISES (siehe Manuskript
„Plastizitaet“) lassen sich in der einheitlichen Form
( ) 2 2 2
σ σ σ
− + = (5)
1
4 xx yy xy
k 0
mit der Schubfließgrenze
k
⎧ R0
⎪ 2
= τ =⎨
⎪⎪
R0
⎩ 3
0 0
Tresca
von Mises
(6)
schreiben. Im Gegensatz zum Kriterium nach TRESCA geht in die Bedingung nach VON MISES
Gleitlinien, WB, 15.01.2012 - 1 -