Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät
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W. Brocks: <strong>Bruchmechanik</strong> WS 2011/12<br />
Damit lauten die singulären Spannungs- <strong>und</strong> Verzerrungsfelder<br />
1<br />
−<br />
n + 1<br />
<br />
σ ij<br />
( )<br />
n<br />
n<br />
⎛K<br />
⎞ −<br />
σ n 1<br />
0<br />
r +<br />
ij<br />
σ<br />
0<br />
σij<br />
= Kr σ θ<br />
. (23)<br />
εij<br />
= αε ⎜ ⎟ ε ( θ )<br />
⎝ ⎠<br />
Sie werden nach ihren Autoren HUTCHINSON [1968a, b], RICE & ROSENGREN [1968] zusammenfassend<br />
als HRR-Feld bezeichnet. Die Winkelfunktionen σ<br />
ij<br />
( θ ) <strong>und</strong> εij<br />
( θ ) liegen aufgr<strong>und</strong><br />
numerischer Lösungen der DGl. (18) in tabellierter Form für Polar- <strong>und</strong> kartesische Koordinaten<br />
vor (SHIH [1983], BROCKS et al. [1990]).<br />
Winkelfunktion σ xx<br />
2<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
n=15<br />
n=10<br />
n=5<br />
Winkelfunktion σ yy<br />
3<br />
2,5<br />
2<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
n=15<br />
n=10<br />
n=5<br />
Winkelfunktion σ xy<br />
0,25<br />
0<br />
-0,25<br />
-0,5<br />
n=5<br />
n=10<br />
n=15<br />
0<br />
0 45 90 135 180<br />
θ []<br />
0<br />
0 45 90 135 180<br />
θ []<br />
-0,75<br />
0 45 90 135 180<br />
θ []<br />
Winkelfunktionen σ<br />
xx( θ ) , σ<br />
yy<br />
( θ ) , σ<br />
xy<br />
( θ ) des ebenen Verzerrungszstandes (EVZ)<br />
für n = 5, 10, 15.<br />
Für n = 1 haben Spannungen <strong>und</strong> Verzerrungen die bekannte 1<br />
4. Das J-Integral als Rissspitzenintensität<br />
r -Singularität der LEBM.<br />
In den Darstellungen der Rissspitzenfelder nach Gl. (23) ist (wie für jedes Eigenwertproblem)<br />
der Intensitätsparameter K σ unbestimmt. Er hängt von der äußeren Belastung ab. Analog zur<br />
LEBM kann dieser Zusammenhang durch eine auf nichtlineares Materialverhalten verallgemeinerte<br />
Energiefreisetzungsrate, das J-Integral beschrieben werden. Für eine kreisförmige<br />
Kontur um die Rissspitze ist 8<br />
+ π<br />
J = r∫ ⎡<br />
⎣w(, r θ )cos θ −σij (, r θ)<br />
nju ⎤<br />
i,<br />
x ⎦dθ<br />
. (24)<br />
−π<br />
Mit wrϑ (, ) nach Gl. (22) <strong>und</strong><br />
σ<br />
σ<br />
,<br />
cos ( , , ) sin rr<br />
rθ<br />
σijnu j i x<br />
= θ σrrur r<br />
+ σr θuθ r<br />
+ θ ⎡ ⎢ ( uθ −ur, θ) − ( ur<br />
−uθ,<br />
θ )<br />
⎤<br />
r<br />
r ⎥<br />
⎣ ⎦ . (25)<br />
erhält man nach Integration der Verschiebungs-Verzerrungsrelationen (BROCKS et al. [1990])<br />
<strong>und</strong> längerer Rechnung den Zusammenhang<br />
1<br />
⎛<br />
n 1<br />
J ⎞<br />
=<br />
0 ⎜ ⎟<br />
0 0In<br />
+<br />
Kσ σ , (26)<br />
⎝ ασ ε ⎠<br />
8<br />
siehe Manuskript „J-Integral“<br />
HRR-Feld, 04.01.2012, - 5 -
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