Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät

W. Brocks: Bruchmechanik WS 2011/12
Damit der Ansatz Gl. (12) das singuläre Rissspitzenfeld beschreibt, muss s < 2 sein. Andererseits
muss die in einer Kreisscheibe der Dicke h und vom Radius r 0 um die Rissspitze gespeicherte
Verzerrungsenergie
r0
π
w h w(, r θ ) rdrdθ
= ∫ ∫ . (16)
r= 0 θ=−π
endlich bleiben, also darf die Verzerrungsenergiedichte
n+
1
n ⎛K
⎞
σ ( s− 2)( n+ 1) n 1
σ
ij
εij
αε0σ +
∫ 0
σ . (17)
n 1 σ
0
w= d = ⎜ ⎟ r
+ ⎝ ⎠
höchstens eine r -2 -Singularität haben 6 , also s 2n ( n 1)
> + (HUTCHINSON [1968a]).
Mit dem Separationsansatz (12) kann die partielle Differentialgleichung für Φ(r,θ) auf eine
gewöhnliche nichtlineare homogene Differentialgleichung für φ ( θ ) reduziert werden, die linear
in der höchsten Ableitung ist
( φφφφ , , , )
φ = f . (18)
Die Randbedingungen (11) nehmen die Form
φ θ =± = 0
φ θ =± = 0
( π)
( π)
an. Sie lassen sich alternativ durch Ausnutzung der Symmetrie der Mode-I-Belastung,
σ
rr
(, r − θ) = σrr
(, r + θ)
, σθθ
( r, − θ) = σθθ
( r, + θ)
, σ
rθ
( r, θ ) = 0 auch
φ θ = π = 0 , φ θ = π = 0
(20)
φ θ = 0 = 0 , = 0 = 0
( ) ( )
( )
φ ( θ )
formulieren. Homogene Differentialgleichung (19) und homogene Randbedingungen (20) bilden
zusammen ein nichtlineares Eigenwertproblem mit den Exponenten s als Eigenwert.
HUTCHINSON [1968a] hat durch numerische Lösung den Zusammenhang
2n
+ 1
s =
(21)
n + 1
gefunden. RICE & ROSENGREN [1968] schließen aus der Wegunabhängigkeit des J-Integrals für
hyperelastisches Material, dass die Verzerrungsenergiedichte in Gl. (17) eine r -1 -Singularität
(19)
haben muss 7 n+
1
n ⎛K
⎞
σ − 1 n+
1
w= αε0σ0
⎜ ⎟ r σ . (22)
n + 1 ⎝ σ ⎠
0
und kommen so ebenfalls auf den Zusammenhang nach Gl. (21).
6
7
dafür ist dann
∫ ∫
−2 −1
r rdr = r dr = ln r
siehe Manuskript „J-Integral“ und die folgende Gl. (24)
HRR-Feld, 04.01.2012, - 4 -