Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät
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W. Brocks: <strong>Bruchmechanik</strong> WS 2011/12<br />
2<br />
1 ∂Φ<br />
1 ∂ Φ 1 1<br />
rr<br />
= + ′ + <br />
2 2 2<br />
r ∂r r ∂θ<br />
r r<br />
∂ ⎛1 ∂Φ<br />
⎞ ⎛1<br />
⎞<br />
′<br />
rθ<br />
=− ⎜ ⎟<br />
− Φ<br />
⎜ ⎟<br />
∂r⎝r ∂θ<br />
⎠ ⎝r<br />
⎠<br />
2<br />
∂ Φ<br />
θθ<br />
= Φ′′<br />
∂<br />
2<br />
σ Φ Φ<br />
σ<br />
σ<br />
r<br />
identisch erfüllt. 5 Mithilfe der Kompatibilitätsbedingung<br />
1 1 1 2<br />
( rε )′′ θθ<br />
+ ε<br />
2 rr<br />
− ε′<br />
rr<br />
−<br />
2<br />
( r εr<br />
θ )′<br />
= 0<br />
(10)<br />
r r r r<br />
wird durch Elimination der Verzerrungen über das Stoffgesetz Gl. (4) eine partielle nichtlineare<br />
homogene Differentialgleichung vierter Ordnung für die Funktion Φ(r,θ) jeweils für den ESZ<br />
<strong>und</strong> den EVZ hergeleitet (siehe z.B. BROCKS et al. [1990]).<br />
Die spannungsfreien Rissflanken, σ ( r θ π) σ ( r θ π)<br />
in Φ formulierten Randbedingungen<br />
( r )<br />
( r )<br />
Φ , θ =± π = 0<br />
Φ<br />
, θ =± π = 0<br />
θθ<br />
(9)<br />
, = ± = , =± = 0 sind mit Gl. (9) durch die<br />
zu realisieren. Die homogene Differentialgleichung mit den homogenen Randbedingungen<br />
beschreibt ein Eigenwertproblem.<br />
3. Singuläre Rissspitzenfelder<br />
Für die asymptotische Lösung wird ein Separationsansatz<br />
( r )<br />
s<br />
Φ , θ = K r φ( θ)<br />
(12)<br />
σ<br />
gemacht. Die Potenz in r, d.h. der Exponent s, stellt den dominierenden singulären Term einer<br />
allgemeineren Potenzreihenentwicklung in r dar. Einsetzen in Gl. (9) liefert<br />
<br />
( )<br />
s−2 s−2<br />
σ<br />
rr<br />
= K r s σ<br />
φ + φ = Kσr<br />
σrr<br />
( θ)<br />
σ = Kr 1 − s<br />
φ = Kr σ ( θ)<br />
. (13)<br />
( )<br />
( )<br />
s−2 s−2<br />
rθ σ σ rθ<br />
s−2 s−2<br />
θθ<br />
= Kσ r s s− = Kσ r θθ<br />
σ 1 φ σ ( θ)<br />
Auch die Vergleichsspannung Gl. (5) bzw. (7) hat die gleiche Struktur, so dass allgemein<br />
s−2<br />
σ<br />
ij<br />
Kσ<br />
r σij<br />
( θ)<br />
= . (14)<br />
geschrieben werden kann. Das zugehörige Verzerrungsfeld ergibt sich mit Gl. (4) zu<br />
n<br />
n<br />
3 ⎛K<br />
⎞<br />
σ ns ( −2) ⎛K<br />
⎞<br />
σ ns ( −2)<br />
ij<br />
=<br />
0⎜ ⎟ r ′<br />
ij<br />
=<br />
0⎜ ⎟ r ij<br />
2 σ0 σ0<br />
ε αε σ ( θ ) σ ( θ ) αε ε ( θ ). (15)<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
rθ<br />
(11)<br />
5<br />
Zur vereinfachten Schreibweise wurde ∂Φ ∂ r = Φ′<br />
<strong>und</strong> ∂Φ ∂ θ = Φ eingeführt.<br />
HRR-Feld, 04.01.2012, - 3 -
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