Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät

W. Brocks: Bruchmechanik WS 2011/12
mit den materialspezifischen Verfestigungskennwerten
α > 0 und n ≥ 1 an. Die Normierungsgrößen werden
üblicherweise zu σ
0
= R0
und ε
0
= σ
0
E gesetzt.
Da dieses Gesetz von Beginn an nichtlinear ist, treten
„plastische“ Verzerrungen schon bei beliebig kleinen
Belastungen auf, und es gibt keinen definierten Übergang
von elastischem zu plastischem Materialverhalten, also
auch keine Fließbedingung.
2. Das Randwertproblem
Das Nahfeld der Rissspitzenumgebung wird in einem
Polarkoordinatensystem (r, θ) beschrieben, und es werden
die Grenzfälle ebener Spannungszustand (ESZ) und ebener
(plastischer) Verzerrungszustand (EVZ) für Modus I betrachtet.
Die elastischen (linearen) Verzerrungen in Gl. (4)
werden gegenüber den „plastischen“ (nichtlinearen)
Verzerrungen vernachlässigt.
ESZ: σ
zz
= σrz = σ θ z
= 0
Damit erhält man die Vergleichsspannung im ESZ
σ = σ − σ σ + σ + 3σ
(5)
2 2 2 2
rr rr θθ rr rθ
EVZ: ε
zz
= εrz = ε θ z
= 0
n−1
p α ⎛ σ ⎞
1
zz zz
⎡
zz 2 rr
E σ
0
( )
ε ≈ ε = ⎜ ⎟ ⎣σ − σ + σθθ
⎤⎦
= 0
⎝ ⎠
Die Spannung in Dickenrichtung ist 3
( )
σ = σ + σ
(6)
1
zz 2 rr θθ
und die Vergleichsspannung
( ) 2
σ = σ − σ + σ . (7)
2 3
2
4 rr θθ
3
rθ
Die Gleichgewichtsbedingungen für ebene Zustände mit ∂ ( ) ∂ z = 0
∂σ
rr
∂σ
rθ
1
+ + ( σrr
− σθθ
) = 0
∂r r∂θ
r
∂σr
θ
∂σθθ
2
+ + σ
rθ
= 0
∂r r∂θ
r
werden durch Einführung einer AIRYschen Spannungsfunktion 4 Φ(r,θ) mit
(8)
3
4
1
Man beachte die formale Ähnlichkeit zum EVZ in der Elastizitätstheorie für ν → .
2
siehe z.B. HAHN [1992], GROSS et al. [1995]
HRR-Feld, 04.01.2012, - 2 -