Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät
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W. Brocks: <strong>Bruchmechanik</strong><br />
lastung abhängt. Wegen der Voraussetzung linear-elastischen Materialverhaltens können die<br />
Spannungsfelder aller drei Gr<strong>und</strong>formen superponiert werden, so dass die asymptotischen Näherungen<br />
des Spannungszustandes an Rissen durch<br />
1<br />
I II III<br />
σ (, r ϑ) = KI f ( ϑ) KII f ( ϑ) KIII<br />
f ( ϑ)<br />
ij<br />
2π r<br />
⎡ ⎣ + + ⎤<br />
ij ij ij ⎦ (1)<br />
<strong>und</strong> des Verschiebungszustandes durch<br />
1 r I II III<br />
ui(, r ϑ) = KIgi( ϑ) KIIgi ( ϑ) KIIIgi<br />
( ϑ)<br />
2G<br />
2π ⎣ ⎡ + + ⎦ ⎤<br />
(2)<br />
gegeben sind. Die Indizes (i,j) bezeichnen kartesische Koordinaten (x, y, z) oder Zylinderkoordinaten<br />
(r, ϑ, z) am Riss.<br />
• K I , K II , K III sind die Spannungsintensitätsfaktoren der drei Rissöffnungsarten <strong>und</strong><br />
III<br />
g<br />
i<br />
sind die in Tabelle 2 zusammengestellten dimensionslosen Win-<br />
I II III I II<br />
• f<br />
ij<br />
, f<br />
ij<br />
, f<br />
ij<br />
, g<br />
i<br />
, g<br />
i<br />
,<br />
kelfunktionen von ϑ .<br />
Im Bild 2 sind die Winkelfunktionen f<br />
I ij<br />
( ϑ)<br />
<strong>und</strong> f<br />
II ij<br />
( ϑ ) graphisch dargestellt. Die Normalspannungen<br />
fxx<br />
( ϑ)<br />
<strong>und</strong> f<br />
yy<br />
( ϑ)<br />
sind gerade Funktionen von ϑ für Modus I <strong>und</strong> ungerade Funktionen<br />
für Modus II, bei den Schubspannungen f ( ϑ)<br />
ist es umgekehrt.<br />
Die Spannungsintensitätsfaktoren stellen ein Maß für die Stärke der 1<br />
xy<br />
r -Singularität dar<br />
⎧K<br />
(, 0)<br />
I ⎫<br />
⎧σ<br />
yy<br />
r ϑ = ⎫<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎪<br />
⎨K ⎬ = lim 2 πr ⎨σ ( r, ϑ = 0) ⎬<br />
II<br />
xy<br />
r→0<br />
⎪K<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎩ III ⎭ ⎩σ<br />
yz<br />
(, r ϑ = 0) ⎭<br />
(3)<br />
Aus Gl. (3) lässt sich auch die Dimension von K als [Kraft × Länge -3/2 ] ablesen. Übliche Maßeinheiten<br />
sind MPa m =10 10 Nmm −32 . Für die Rissuferverschiebungen gilt entsprechend<br />
⎧ 1<br />
⎫<br />
⎪<br />
u (, r ϑ = π )<br />
⎪<br />
⎪ ⎪ 2π<br />
⎪ 1<br />
⎪<br />
⎨K ⎬= lim ⎨ u ( r, ϑ = π ) ⎬<br />
y<br />
⎧K<br />
κ + 2<br />
I ⎫ ⎪ ⎪<br />
II<br />
x<br />
r→0<br />
⎪ r 1<br />
K ⎪ ⎪κ<br />
+<br />
⎪<br />
⎩ III ⎭ ⎪1<br />
⎪<br />
uz<br />
(, r ϑ = π)<br />
⎪<br />
⎩4<br />
⎪<br />
⎭<br />
Sind die asymptotischen Spannungsverteilungen σ ij (r,ϑ) aus analytischen oder numerischen Lösungen<br />
bekannt, erhält man die K-Faktoren unmittelbar aus dem Vergleich mit Gl. (1).<br />
Für einige elementare Belastungsfälle des GRIFFITH-Risses der Länge 2a <strong>und</strong> des kreisförmigen<br />
Innenrisses vom Radius a im unendlichen Körper (SNEDDON [1973]) sind die K-Faktoren in der<br />
Tabelle 3 zusammengestellt.<br />
(4)<br />
LEBM_SIF, 05.01.2012, - 2 -
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