Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät
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W. Brocks: <strong>Bruchmechanik</strong> WS 2011/12<br />
Asymptotische Lösung für das Spannungs- <strong>und</strong> Verzerrungsfeld an der Rissspitze in der<br />
EPBM (HRR-Feld)<br />
1. Die Deformationstheorie der <strong>Plastizität</strong><br />
Im Unterschied zu den inkrementellen Formänderungsgesetzen von PRANDTL <strong>und</strong> REUß hat<br />
HENCKY [1924] ein finites Formänderungsgesetz für nichtlineares Materialverhalten aufgestellt 1 ,<br />
das noch heute insbesondere in der elastisch-plastischen <strong>Bruchmechanik</strong> (EPBM) in Verbindung<br />
mit dem Verfestigungspotenzgesetz von RAMBERG & OSGOOD [1945] viel verwendet wird.<br />
Tatsächlich beschreibt diese „Deformationstheorie der <strong>Plastizität</strong>“ gar kein plastisches sondern<br />
lediglich nichtlinear-elastisches (hyperelastisches) Materialverhalten, für das<br />
∂w<br />
σ<br />
ij<br />
= (1)<br />
∂ ε<br />
ij<br />
mit w als Verzerrungsenergiedichte gilt 2 . Sie hat aber den Vorteil, mathematisch einfacher<br />
handhabbar zu sein <strong>und</strong> in einigen Fällen sogar geschlossene Lösungen von Randwertproblemen<br />
zu ermöglichen wie das weiter unten hergeleitete nach seinen Autoren als HRR-Feld bezeichnete<br />
singuläre Spannungsfeld an einer Rissspitze (HUTCHINSON [1968a, b], RICE & ROSENGREN<br />
[1968]).<br />
Auch in der finiten <strong>Plastizität</strong>stheorie gelten die Voraussetzungen über Isotropie <strong>und</strong> Inkompressibilität<br />
des Werkstoffs. Anstelle der additiven Zerlegung der Dehnraten wird eine<br />
Zerlegung der Gesamtverzerrungen in einen elastischen <strong>und</strong> einen plastischen Anteil angenommen,<br />
εij = εij + εij<br />
, <strong>und</strong> anstelle der Fließregel der inkrementellen <strong>Plastizität</strong>stheorie<br />
e p<br />
werden die plastischen Verzerrungen über die einachsige Zugfließkurve aus<br />
3 ε 3<br />
ε = σ′ = σ′<br />
(2)<br />
p p<br />
ij<br />
2 R<br />
ij F<br />
2S<br />
ij<br />
p<br />
mit Sp( ε<br />
p)<br />
= RF ε<br />
p<br />
als dem plastischen Sekantenmodul bestimmt. Die totalen Verzerrungen sind<br />
dann<br />
⎛ 1 3 ⎞ 1<br />
εij = + σ′<br />
ij<br />
+ σhδij<br />
. (3)<br />
⎜2G 2S ⎟<br />
⎝<br />
p ⎠ 3K<br />
Mit dem Potenzverfestigungsgesetz von RAMBERG & OSGOOD [1945] nimmt der plastische<br />
Anteil des HENCKY-Gesetzes die Form<br />
n−1<br />
p<br />
εij<br />
3 ⎛ σ ⎞ σ ′<br />
ij<br />
= α ⎜ ⎟<br />
ε<br />
0<br />
2 ⎝σ0 ⎠ σ0<br />
(4)<br />
1<br />
2<br />
siehe Manuskript „Plastizitaet“<br />
siehe Manuskript „J-Integral“<br />
HRR-Feld, 04.01.2012, - 1 -
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