Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät
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Wolfgang Brocks Bruchmechanik WS 2011/12 Die Lastpunktverschiebung kann entsprechend Bild 4 in einen elastischen und einen plastischen Anteil zerlegt werden, v = v + v el pl L L L , (25) und entsprechend gilt für die mechanischen Arbeiten el pl vL vL vL el pl ∫ L ∫ L ∫ L 0 0 0 U = F dv = F dv + F dv 1 2 pl vL el pl L ∫ L el pl 0 = Fv + Fdv = U + U . (26) Mit Gl. (24) folgt daraus, dass auch J in einen elastischen und einen plastischen Anteil zerlegt werden kann, el pl J J J = + , (27) wobei sich der elastische Anteil aus dem Spannungsintensitätsfaktor K für Modus I ergibt (siehe Manuskript „LEBM_SIF“) J el = K E 2 I ′ , mit K ( ) I σ∞ πaY a W = (28) Die Spannung σ ∞ ist eine Fernfeld-Nennspannung (Kraft pro Fläche des ungerissenen Probenquerschnitts) und Y( a W ) eine Geometriefunktion. Der plastische Anteil von J folgt aus den Gln. (24) und (25) zu J pl pl pl ⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂U ∂U ⎪ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ Ba ∂ ⎠ ⎝ Bb ∂ ⎠ vL vL = ⎨ ⎛ pl ⎞ ⎛ pl ⎞ ⎪ ∂ U ∂ U ⎪ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 2Ba ∂ 2Bb ∂ ⎩ ⎝ ⎠v ⎝ ⎠ L vL für C(T) und SE(B) für M(T) und DE(T) . (29) Alternativ gilt (BEGLEY & LANDES [3], RICE et al. [10]) J F F ⎧ 1 ⎛∂vL ⎞ 1 ⎛∂vL ⎞ dF dF B∫⎜ ⎟ =− ⎜ ⎟ ∂a 0 F B∫ ⎪ ⎝ ⎠ b 0⎝ ∂ ⎠F = ⎨ F F ⎪ 1 ⎛∂vL ⎞ 1 ⎛∂vL ⎞ dF =− dF ⎪2B∫⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂a 2 0 F B∫ ⎩ ⎝ ⎠ ∂b 0⎝ ⎠F für C(T) und SE(B) für M(T) und DE(T) (30) und J pl F pl F pl ⎧ 1 ⎛∂v ⎞ L 1 ⎛∂v ⎞ L ⎪ dF dF B∫⎜ ⎟ =− ⎜ ⎟ ∂a B∫ ⎪ b 0⎝ ⎠F 0⎝ ∂ ⎠F = ⎨ F pl F pl ⎪ 1 ⎛∂v ⎞ L 1 ⎛∂v ⎞ L ⎪ dF dF 2B∫⎜ ⎟ =− ⎜ ⎟ ∂a 2B∫ ⎩ ∂b 0⎝ ⎠F 0⎝ ⎠F für C(T) und SE(B) . (31) für M(T) und DE(T) J-Integral, Brocks, 15.01.2012 - 7 -
Wolfgang Brocks Bruchmechanik WS 2011/12 J R -Kurven für C(T)-Proben [1] Bild 5: Geometrie einer C(T)-Probe Der elastische J-Anteil wird nach Gl. (28) berechnet mit σ ∞ = F BW (32a) und der Geometriefunktion ( aW) ⎡ ( aW) ( aW) ( aW) ( aW) 2 3 4 2 0.886 4.64 13.32 14.72 5.6 ⎤ ⎛ a ⎞ W ⎡ ⎣ + ⎤ ⎦ + − + − Y ⎣ ⎦ ⎜ ⎟= W a ( ) 3 2 ⎝ ⎠ π ⎡⎣1 − aW ⎤⎦ (32b) Der plastische J-Anteil bei konstanter Risslänge a 0 ist J pl pl ηU = , (33a) Bb 0 mit η = 2.0 + 0.5222( b W) = 2.0 + 0.522 ⎡1 −( a W) 0 0 ⎣ ⎤⎦ . (33b) Ausgehend vom J-Wert bei Rissinitiierung, d.h. bei der Risslänge a 0 , nach Gl. (33a) wird pl pl J() i = J ( a() i ) schrittweise für Rissinkremente Δa() i = a() i − a( i−1) nach einer Rekursionsformel ermittelt mit J ⎛ η ΔU ⎞⎛ Δa ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ , (34) ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ pl pl pl ( i−1) ( i) ( i) () i = J( i−1) + 1−γ ( i−1) b( i−1) B b( i−1) ⎧ ⎪η = 2.0 + 0.522 ⎨ ⎪⎩ γ = 1.0 + 0.76 ( b i W) ( b i W) () i () () i () . (35) Die Änderung der plastischen Verzerrungsarbeit wird mit der Trapezregel aus der Fläche unter der Last-Verformungskurve berechnet pl vLL( i ) pl pl pl pl 1 pl () i () i ( i−1) LL() i 2 ( () i ( i−1) ) LL() i pl vLL( i−1) Δ U = U − U = ∫ Fdv ≈ F + F Δv . (36) J-Integral, Brocks, 15.01.2012 - 8 -
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Wolfgang Brocks <strong>Bruchmechanik</strong> WS 2011/12<br />
Die Lastpunktverschiebung kann entsprechend Bild 4 in einen elastischen <strong>und</strong> einen plastischen<br />
Anteil zerlegt werden,<br />
v = v + v<br />
el pl<br />
L L L<br />
, (25)<br />
<strong>und</strong> entsprechend gilt für die mechanischen Arbeiten<br />
el<br />
pl<br />
vL vL vL<br />
el<br />
pl<br />
∫ L ∫ L ∫ L<br />
0 0 0<br />
U = F dv = F dv + F dv<br />
1<br />
2<br />
pl<br />
vL<br />
el pl<br />
L ∫ L<br />
el pl<br />
0<br />
= Fv + Fdv = U + U<br />
. (26)<br />
Mit Gl. (24) folgt daraus, dass auch J in einen elastischen <strong>und</strong> einen plastischen Anteil zerlegt<br />
werden kann,<br />
el pl<br />
J J J<br />
= + , (27)<br />
wobei sich der elastische Anteil aus dem Spannungsintensitätsfaktor K für Modus I ergibt (siehe<br />
Manuskript „LEBM_SIF“)<br />
J<br />
el<br />
=<br />
K<br />
E<br />
2<br />
I<br />
′ , mit K<br />
( )<br />
I<br />
σ∞<br />
πaY a W<br />
= (28)<br />
Die Spannung σ ∞<br />
ist eine Fernfeld-Nennspannung (Kraft pro Fläche des ungerissenen<br />
Probenquerschnitts) <strong>und</strong> Y( a W ) eine Geometriefunktion. Der plastische Anteil von J folgt aus<br />
den Gln. (24) <strong>und</strong> (25) zu<br />
J<br />
pl<br />
pl<br />
pl<br />
⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
∂U<br />
∂U<br />
⎪ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟<br />
⎪ ⎝ Ba ∂ ⎠ ⎝ Bb ∂ ⎠<br />
vL<br />
vL<br />
= ⎨ ⎛<br />
pl ⎞ ⎛<br />
pl ⎞<br />
⎪ ∂ U ∂ U<br />
⎪ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟<br />
2Ba<br />
∂ 2Bb<br />
∂<br />
⎩ ⎝ ⎠v<br />
⎝ ⎠<br />
L<br />
vL<br />
für C(T) <strong>und</strong> SE(B)<br />
für M(T) <strong>und</strong> DE(T)<br />
. (29)<br />
Alternativ gilt (BEGLEY & LANDES [3], RICE et al. [10])<br />
J<br />
F<br />
F<br />
⎧ 1 ⎛∂vL<br />
⎞ 1 ⎛∂vL<br />
⎞<br />
dF<br />
dF<br />
B∫⎜ ⎟ =− ⎜ ⎟<br />
∂a 0 F<br />
B∫<br />
⎪ ⎝ ⎠ b<br />
0⎝ ∂ ⎠F<br />
= ⎨<br />
F<br />
F<br />
⎪ 1 ⎛∂vL<br />
⎞ 1 ⎛∂vL<br />
⎞<br />
dF =−<br />
dF<br />
⎪2B∫⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
∂a 2<br />
0 F<br />
B∫<br />
⎩ ⎝ ⎠ ∂b<br />
0⎝ ⎠F<br />
für C(T) <strong>und</strong> SE(B)<br />
für M(T) <strong>und</strong> DE(T)<br />
(30)<br />
<strong>und</strong><br />
J<br />
pl<br />
F pl<br />
F pl<br />
⎧ 1 ⎛∂v<br />
⎞<br />
L<br />
1 ⎛∂v<br />
⎞<br />
L<br />
⎪ dF<br />
dF<br />
B∫⎜ ⎟ =− ⎜ ⎟<br />
∂a B∫<br />
⎪<br />
b<br />
0⎝ ⎠F<br />
0⎝ ∂ ⎠F<br />
= ⎨<br />
F pl<br />
F pl<br />
⎪ 1 ⎛∂v<br />
⎞<br />
L<br />
1 ⎛∂v<br />
⎞<br />
L<br />
⎪<br />
dF<br />
dF<br />
2B∫⎜ ⎟ =− ⎜ ⎟<br />
∂a 2B∫<br />
⎩<br />
∂b<br />
0⎝ ⎠F<br />
0⎝ ⎠F<br />
für C(T) <strong>und</strong> SE(B)<br />
. (31)<br />
für M(T) <strong>und</strong> DE(T)<br />
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