Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät

Wolfgang Brocks Bruchmechanik WS 2011/12
x 2 σ
ij
= σ
ij
( x1, x2) , ui = ui
( x1, x2)
n i
da = h ds
Γ 1
Γ + Γ 2
x 1
n= n e = sinϑe + cosϑe
i
i
1 2
Γ-
dx = cosϑ
ds
dx
1
2
= sinϑ
ds
Bild 2: Zur Definition der J-Integrals
Die Rissflanken seien gerade und spannungsfrei,
nds
1
= sinϑ
ds= dx2
= 0⎫ ⎬
σ
jknk = tj
= 0 ⎭
auf Γ , Γ
+ −
(16)
Dann verschwindet die erste Komponente, i = 1, der Integrale längs Γ , Γ
⎣wni− σ
jknku ji , ⎦ds = ⎣wni− σ
jknku ji , ⎦ds
= 0
+ −
Γ
Γ
+ −
∫
⎡ ⎤ ∫ ⎡ ⎤ . (17)
Außerdem gilt wie in Gl. (4)
∫
⎡
⎣wn − σ n u ⎤
⎦ds =− ⎡
⎣wn −σ
n u ⎤
⎦ds
. (18)
i jk k j, i i jk k j,
i
Γ2 Γ2
∫
und man erhält die Wegunabhängigkeit der ersten Komponente des J-Vektors
∫ ⎡
⎣ σ ⎤
jk k j ⎦ ∫ [ ] ∫ [ ] . (19)
J1 = wn1 − n u
,1
ds= .. ds=
.. ds
Γ Γ Γ
1 2
Dies ist das von C.P. CHEREPANOV [5] und J.R. RICE [8] in die Bruchmechanik eingeführte J-
Integral. Die Integration entlang Γ erfolgt im mathematisch positiven Sinne um die Rissspitze.
∫
⎡
⎣ 2
σ
ij j i,1
⎤
⎦. (20)
Γ
J = wdx − n u ds
Wegen der Wegunabhängigkeit kann J im Fernfeld des Risses berechnet werden und bestimmt
zugleich das Nahfeld an der Rissspitze. Für eine kreisförmige Kontur um die Rissspitze ist
+ π
∫ ⎡
⎣ (, ϑ)cos ϑ σij (, ϑ)
⎤
j i,
x ⎦ ϑ. (21)
−π
J = r w r − r n u d
Für r → 0 behält J dann und nur dann einen endlichen (von Null verschiedenen) Wert, wenn die
Verzerrungsenergiedichte w eine Singularität der Ordnung r -1 hat.
J-Integral, Brocks, 15.01.2012 - 3 -