Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät

Wolfgang Brocks Bruchmechanik WS 2011/12
hergeleitet, wobei w eine Energiedichte ist, z.B. die Verzerrungsenergiedichte eines
hyperelastischen Materials, siehe Gl. (11), und ui( x
j)
das Verschiebungsfeld. Mit dem
ESHELBY-Tensor können materielle Kräfte berechnet werden, die auf Singularitäten (Defekte) im
Kontinuum wie Versetzungen oder Einschlüsse wirken,
F
= ∫
i ij j
∂B
Pn da. (7)
Eine solche materielle Kraft ist das J-Integral nach CHEREPANOV [5] und RICE [8] für die
singuläre Rissspitze.
J-Integral
Das Randwertproblem für quasistatische Belastungen eines festen Körpers B werde durch
folgende Gleichungen beschrieben:
• Gleichgewichtsbedingung σ
ij, j
= 0
in B (8)
• Randbedingungen σ
ijni = tj
auf ∂B
σ
ui
= ui
auf ∂B
u
1
• Kleine (lineare) Verzerrungen
ij 2 ( ui, j
uj,
i )
(9a)
(9b)
ε = + in B (10)
• Hyperelastisches Material
Die Komponenten der materiellen Kraft
σ
ij
∂w
= in B (11)
∂ ε
ij
∫
F = ⎡
⎣w( ε ) n −σ
n u ⎤
⎦da, (12)
i ij i jk k j,
i
∂B
sind von Null verschieden, wenn B eine Singularität enthält. Das Integral wird jetzt angewendet
auf eine Scheibe konstanter Dicke h, die einen geraden Riss entlang der x 1 -Achse hat, Bild 2.
Das Gebiet innerhalb der geschlossenen Kontur
Γ = Γ ∪Γ ∪Γ ∪ Γ
(13)
+ −
0 1 2
enthält keine Singularität, also
F
Man nennt
∫ ⎡
⎣wni σ
jknku ⎤
j, i⎦ds ∫ [] .. ds ∫ [] .. ds ∫[] .. ds ∫
[] .. ds 0 . (14)
= − = + + + =
i
h
Γ0 Γ
+
1 Γ
Γ
−
2
Γ
J = ∫
⎡
⎣wn −σ
n u ⎤
⎦ds. (15)
i i jk k j,
i
Γ1
den J-Vektor.
J-Integral, Brocks, 15.01.2012 - 2 -