Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät
Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät
Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
Wolfgang Brocks <strong>Bruchmechanik</strong> WS 2011/12<br />
Wegunabhängige Integrale<br />
Es sei ϕ ( x i<br />
) eine (skalare, vektorielle oder tensorielle) Feldgröße, die im Gebiet B stetig<br />
differenzierbar mit<br />
∂ ϕ<br />
ϕ, i<br />
= 0 in B . (1)<br />
∂<br />
x i<br />
ist. Nach dem GAUßschen Satz gilt<br />
∫<br />
B<br />
ϕ<br />
∫<br />
, i<br />
dv = ϕni<br />
da = 0<br />
∂B<br />
, (2)<br />
mit n i als äußerer Normale auf dem Rand ∂B . Wenn eine Singularität S in B existiert, dann ist<br />
ϕ ( x i ) in diesem Punkt nicht differenzierbar, <strong>und</strong> der GAUßsche Satz ist nur in einem Gebiet<br />
+ −<br />
B0 = B−B S<br />
mit dem geschlossenen Rand ∂ B0 =∂B∪∂BS<br />
∪∂B ∪∂B anwendbar, das diese<br />
Singularität ausschließt, Bild 1.<br />
Bild 1: Gebiet B mit Singularität S<br />
Dann gilt<br />
∫ ∫ ∫ ∫ ∫<br />
ϕnda= ϕnda+ ϕnda+ ϕnda+ ϕnda=<br />
0, (3)<br />
i i i i i<br />
∂B − +<br />
0 ∂B ∂B<br />
∂BS<br />
∂B<br />
<strong>und</strong> wegen<br />
(..) =− (..) <strong>und</strong> (..) =− (..)<br />
∫ ∫ ∫ ∫<br />
+ −<br />
∂B<br />
∂B<br />
∂B<br />
∂B<br />
(4)<br />
erhält man die Wegunabhängigkeit aller Linienintegrale, die die Singularität im selben<br />
Umlaufsinn umschließen<br />
∫<br />
∂B<br />
ϕnda=<br />
i<br />
∫<br />
∂BS<br />
ϕnda. (5)<br />
i<br />
ESHELBY [6] hat einen Erhaltungssatz für den Energieimpulstensor (energy momentum tensor)<br />
∂w<br />
P = wδ<br />
− u mit P = 0 . (6)<br />
ij ij k, i ij,<br />
j<br />
∂uk,<br />
j<br />
J-Integral, Brocks, 15.01.2012 - 1 -
Change language