Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät

W. Brocks: Bruchmechanik
Zur Lösung des zweiten Teilproblems siehe MUSCHELISHWILI [1971] oder HAHN [1976]. Die
Risslänge c ist so zu bestimmen, dass sich die Singularitäten der beiden Teillastfälle bei x = ± c
(1) (2)
gerade aufheben: K + K = . Es folgt für das Verhältnis ac
I I
0
a
c
⎛π
σ
cos ∞
⎞
= ⎜ ⎟
⎝ 2 R0
⎠
. (19)
Mit Gl. (17) ist dann die Fließzone
dp
c ⎡ ⎛π
σ ⎞
1 cos ⎤ a
⎡ ⎛π
σ ⎞
∞
∞
= ⎢ − ⎜ ⎟⎥ = ⎢sec⎜ ⎟−1
⎤
⎥
⎣ ⎝ 2 R0 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 2 R0
⎠ ⎦
. (20)
Zur Herleitung der Gln. (19) und (20) wurde keine Einschränkung der Größe der plastischen
Zone eingeführt. Für SSY, d.h. R0 1 ergibt sich aus der Reihenentwicklung des Cosinus
σ ∞
2 2
2
π ⎛σ
⎞ ⎛
∞
σ ⎞
∞
dp
≈ c⎜ ⎟ ≈1.23a⎜ ⎟
8 R
R
⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠
. (21)
Zum Vergleich: der Durchmesser der plastischen Zone nach IRWIN beim GRIFFITH-Riss für den
ESZ ist nach Gl. (2)
d
IRWIN
p
2 2
1 ⎛K
⎞ ⎛σ
⎞
I
∞
= ⎜ ⎟ = a⎜ ⎟
π ⎝ R0 ⎠ ⎝ R0
⎠
. (22)
das DUGDALE-Modell liefert also gegen über dem IRWIN-Modell eine um 23% größere plastische
Zone. Man beachte, dass das DUGDALE-Modell für die (unendlich große) Scheibe mit Mittenriss
unter Zugbelastung, den GRIFFITH-Riss, hergeleitet wurde, und deshalb im Gegensatz zum
IRWIN-Modell keine Abhängigkeit von der Proben- oder Bauteilgeometrie enthält.
Für die Rissuferverschiebung findet man in Rissmitte (x = 0)
1
( 2
πσ∞
R0
)
1
( πσ R )
R ⎛sin + 1⎞
0
uy
( x= 0, y = 0) = aln Eπ
⎜
sin
2 ∞ 0
− 1 ⎟
⎝
⎠
(23)
und am Ende des realen Risses (x = a)
R ⎛
F
π σ ⎞
∞
uy
( x= a, y = 0) = 4 alnsec⎜ ⎟
Eπ
⎝ 2 RF
⎠
. (24)
In der Bruchmechanik findet vor allem die durch
δ
t
= 2 u ( x= a, y = 0) . (25)
y
definierte Rissspitzenverschiebung (CTOD)
8 R ⎛
0
π σ ⎞
t a ln sec
∞
δ = ⎜ ⎟
π E ⎝ 2 R0
⎠
(26)
BM-SSY, 15.01.2012, - 6 -