Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät
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W. Brocks: Bruchmechanik σ zz ⎧⎪ 0 für ESZ = ⎨ ⎪⎩ ν ( σxx + σ yy ) für EVZ (14) die Grenzen d ( ) p ϑ des plastischen Bereichs für die beiden Fälle des ESZ und des EVZ (z. B. HAHN [1976], KUNA [2010]). d ⎧ 1+ sin + cosϑ für ESZ 2 3 2 1 ⎛K ⎞ I ⎪ 2 ϑ p( ϑ) = ⎜ ⎟ ⎨ 3 2 2 ⎝ R0 2 ( ) ( ) 2π ⎠ ⎪⎩ sin ϑ+ 1− 2ν 1+ cosϑ für EVZ (15) In einer Probe oder einem Bauteil endlicher Dicke ändern sich Größe und Form der plastischen Zone längs der Rissfront. Unter der Annahme, dass an der Probenoberfläche der ESZ und in der Probenmitte der EVZ angenähert wird, haben HAHN & ROSENFELD [1965] das Hundeknochenmodell für die dreidimensionale Form der plastischen Zone eingeführt. 3 2 ESZ EVZ 1 0 -1 0 1 2 3 -1 -2 (a) -3 (b) Form der plastischen Zone am Riss für ein K-dominiertes Spannungsfeld: 12π KI R0 normiert; (b) das Hundeknochenmodell nach HAHN & ROSENFELD [1965] (a) ESZ und EVZ, x- und y-Achse entsprechend Gl. (15) auf ( )( ) 2 5. Das BARENBLATT-Modell In der linearen Elastizitätstheorie führt die Existenz scharfer Risse zu Singularitäten in den Spannungen und Verzerrungen. Die GRIFFITHsche Sprödbruchtheorie umgeht diese Schwierigkeit durch eine energetische Betrachtungsweise. Von BARENBLATT [1959] stammt der physikalisch motivierte Vorschlag, durch Einführung von sogen. Kohäsivzonen an den Rissenden das Auftreten unendlich großer Spannungen zu vermeiden (siehe Bild links). Dabei geht er davon aus, dass ein Sprödbruch dann eintritt, wenn die Spannungen in einem kleinen Bereich vor der Rissspitze, der Prozesszone, die dort aufgrund der atomaren bzw. molekularen Anziehung wirkenden Kohäsivkräfte übersteigen. Die Schwierigkeit bei der Anwendung dieses Modells besteht darin, dass die Verteilung der Kohäsionsspannungen σ(x) an den Rissenden nicht bekannt ist. BM-SSY, 15.01.2012, - 4 -
W. Brocks: Bruchmechanik Die Modelle von BARENBLATT [1959] (links) und DUGDALE [1960] (rechts) zur Beseitigung der Singularität an der Risspitze in der LEBM Moderne Adaptionen des BARENBLATT-Konzeptes verwenden Kohäsivmodelle, bei denen die Kohäsionsspannungen über ein Kohäsivgesetz σ(δ) von der Separation δ der in der Prozesszone entstehenden neuen Rissflächen abhängt (z. B. BROCKS et al. [2003], BROCKS [2005]). 6. Das DUGDALE-Modell Dem BARENBLATTschen Modell eng verwandt ist das Streifenplastizierungsmodell (strip yield model) von DUGDALE [1962]. Er fand, dass sich an Rissen in dünnen Stahlblechen eine schmale bandförmige plastische Zone vor der Rissspitze ausbildet. Der Grundgedanke des Modells besteht darin, dass sich bei Annahme von elastisch-idealplastischem Materialverhalten unter ESZ-Bedingungen in den plastischen Zonen ein Spannungszustand σ (,0) r = R yy 0, 0 ≤r ≤ d (16) p einstellen wird (siehe Bild rechts). Der Einfluss des Fließens wird nun näherungsweise dadurch erfasst, dass man die Untersuchung nicht am Ausgangsriss der Länge 2a vornimmt, sondern an einem um die Länge der jeweiligen Fließzone der Länge d p verlängerten fiktiven Riss der Länge 2c= 2a+ 2d , (17) p der durch die Spannungen σ 0 = R F im Bereich der Fließzonen a≤ x ≤ c geschlossen wird. Außerhalb des fiktiven Risses wird elastisches Verhalten unterstellt. Die Rissöffnungsspannung σ yy ist auf R 0 begrenzt, besitzt also keine Singularität. Die Größe der plastischen Zone ist dementsprechend zu bestimmen. Die elastizitätstheoretische Behandlung des DUGDALE-Modells erfolgt durch Superposition zweier elastischer Teillösungen: (1) lastfreier Riss der Länge 2c im einachsigen Zugfeld σ ∞ (GRIFFITH-Riss), (2) an den Rissenden a≤ x ≤ c durch Zugspannungen σ 0 = R0 teilbelasteter Riss. Die entsprechenden Spannungsintensitätsfaktoren sind (1) (2) 2 KI = σ πc , KI R0 πcarccos a ∞ =− , (18) π c BM-SSY, 15.01.2012, - 5 -
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W. Brocks: <strong>Bruchmechanik</strong><br />
Die Modelle von BARENBLATT [1959] (links) <strong>und</strong> DUGDALE [1960] (rechts) zur Beseitigung der<br />
Singularität an der Risspitze in der LEBM<br />
Moderne Adaptionen des BARENBLATT-Konzeptes verwenden Kohäsivmodelle, bei denen die<br />
Kohäsionsspannungen über ein Kohäsivgesetz σ(δ) von der Separation δ der in der Prozesszone<br />
entstehenden neuen Rissflächen abhängt (z. B. BROCKS et al. [2003], BROCKS [2005]).<br />
6. Das DUGDALE-Modell<br />
Dem BARENBLATTschen Modell eng verwandt ist das Streifenplastizierungsmodell (strip yield<br />
model) von DUGDALE [1962]. Er fand, dass sich an Rissen in dünnen Stahlblechen eine schmale<br />
bandförmige plastische Zone vor der Rissspitze ausbildet. Der Gr<strong>und</strong>gedanke des Modells<br />
besteht darin, dass sich bei Annahme von elastisch-idealplastischem Materialverhalten unter<br />
ESZ-Bedingungen in den plastischen Zonen ein Spannungszustand<br />
σ (,0) r = R yy 0, 0 ≤r ≤ d<br />
(16)<br />
p<br />
einstellen wird (siehe Bild rechts). Der Einfluss des Fließens wird nun näherungsweise dadurch<br />
erfasst, dass man die Untersuchung nicht am Ausgangsriss der Länge 2a vornimmt, sondern an<br />
einem um die Länge der jeweiligen Fließzone der Länge d p verlängerten fiktiven Riss der Länge<br />
2c= 2a+ 2d<br />
, (17)<br />
p<br />
der durch die Spannungen σ 0<br />
= R F<br />
im Bereich der Fließzonen a≤ x ≤ c geschlossen wird.<br />
Außerhalb des fiktiven Risses wird elastisches Verhalten unterstellt. Die Rissöffnungsspannung<br />
σ yy ist auf R 0 begrenzt, besitzt also keine Singularität. Die Größe der plastischen Zone ist<br />
dementsprechend zu bestimmen.<br />
Die elastizitätstheoretische Behandlung des DUGDALE-Modells erfolgt durch Superposition<br />
zweier elastischer Teillösungen:<br />
(1) lastfreier Riss der Länge 2c im einachsigen Zugfeld σ ∞ (GRIFFITH-Riss),<br />
(2) an den Rissenden a≤ x ≤ c durch Zugspannungen σ<br />
0<br />
= R0<br />
teilbelasteter Riss.<br />
Die entsprechenden Spannungsintensitätsfaktoren sind<br />
(1) (2) 2<br />
KI = σ πc , KI R0<br />
πcarccos a<br />
∞<br />
=− , (18)<br />
π<br />
c<br />
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