Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät
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Brocks: Plastizität, WS 2010/11 ε = λσ ′ . (20) p ij ij berechnet und λ über die einachsige Zugfließkurve in formaler Analogie zu Gl. (16b) bestimmt 3 ε p 3 λ = = (20a) 2 R 2S F mit Sp( ε p) RF ε p p = als dem plastischen Sekantenmodul. Da nur Belastungen zulässig sind, muss immer σ = RF erfüllt sein. Die totalen Verzerrungen sind dann ⎛ 1 3 ⎞ 1 εij = + σ′ ij + σhδij . (21) ⎜2G 2S ⎟ ⎝ p ⎠ 3K Aus der Darstellung des plastischen Anteils in Hauptrichtungen 1 ε = ⎡⎣σ − ( σ + σ ) ⎤⎦ (21a) p 1 I I 2 II III Sp 1 erkennt man mit der sogen. plastischen Querkontraktionszahl ν p = 2 sofort die formale Analogie zum HOOKEschen Gesetz e 1 εI = ⎡σI − ν ( σII + σIII ) ⎤ E ⎣ ⎦ . (21b) Setzt man insbesondere entsprechend dem Potenzverfestigungsgesetz von RAMBERG & OSGOOD [1945] S ( ε ) p p 1−n σ ⎛ 0 σ ⎞ = ⎜ ⎟ αε0 σ 0 ⎝ ⎠ (22) mit den materialspezifischen Verfestigungskennwerten α > 0 und n ≥ 1 und den Normierungsgrößen σ 0 und ε 0 , so nimmt der plastische Anteil des HENCKY- Gesetzes die Form n−1 p εij 3 ⎛ σ ⎞ σ ′ ij = α ⎜ ⎟ (23) ε 0 2 ⎝σ0 ⎠ σ0 an. Diese Gleichung wird auch als dreidimensionale Verallgemeinerung des RAMBERG- OSGOOD-Gesetzes bezeichnet, wobei üblicherweise σ 0 = R0 und ε 0 = σ 0 E gesetzt wird. Da dieses Gesetz von Anfang an nichtlinear ist, treten „plastische“ Verzerrungen schon bei beliebig kleinen Belastungen auf, und es gibt keinen definierten Übergang von elastischem zu plastischem Materialverhalten, also auch keine Fließbedingung. Plastizitaet, 04.01.2012, - 9 -
Brocks: Plastizität, WS 2010/11 Elastizitätskonstanten λ = μ = E = ν = K = G = λ, μ λ μ μ( 3λ + 2μ) λ + μ λ 2 λ + μ ( ) λ + 2 3 μ μ G, K K − 2 3 G G 9 K ⋅G 3K + G 3K − 2G 6K + 2G K G E, ν Eν (1 + ν )(1 −2 ν ) E 2(1 + ν) E ν E 3(1− 2ν) E 2(1 + ν) λ, μ LAMÉ's coefficients LAMÉsche Konstanten G shear modulus Schubmodul K bulk modulus Kompressionsmodul E YOUNG's modulus Elastizitätsmodul ν POISSON's ratio Querkontraktionszahl Literatur W. Brocks, J. Olschewski [1989]: Application of internal time and internal variable theories of plasticity to complex load histories, Arch. Mech. 41, 133-155. K. Burth, W. Brocks [1992]: Plastizität - Grundlagen und Anwendungen für Ingenieure. Vieweg, Braunschweig. J. Betten [1976]: Ein Beitrag zur Invariantentheorie in der Plastomechanik inkompressibler isotroper Werkstoffe. Der Stahlbau 5. J. Betten [1979]: Über die Konvexität von Fließkörpern isotroper und anisotroper Stoffe. Acta Mech. 32, 233-247. J. Betten [1985]: Elastizitäts- und Plastizitätslehre. Vieweg, Braunschweig. O. Cazacu, F. Barlat [2004]: A criterion for description of anisotropy and yield differential effects in pressure insensitive metals. Int. J. Plasticity 20, 2027-2045. J.L. Chaboche [1989]: Constitutive equations for cyclic plasticity and cyclic viscoplasticity, Int. J. Plasticity 5 (1989), 247-302. J.L. Chaboche, G. Rousselier [1983]: On the plastic and viscoplastic constitutive equations - Part I: Rules developed with internal variables. J. Press. Vess. Techn. 105, 153-158. D.C. Drucker [1949]: Relation of experiments to mathematical theories of plasticity. J. Appl. Mech. 16, 349-357. D.C. Drucker [1950]: Some implications of work hardening and ideal plasticity. Quart. Appl. Math. 7 (1950). 411-418. Plastizitaet, 04.01.2012, - 10 -
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Brocks: <strong>Plastizität</strong>, WS 2010/11<br />
ε = λσ ′ . (20)<br />
p<br />
ij<br />
ij<br />
berechnet <strong>und</strong> λ über die einachsige Zugfließkurve in formaler Analogie zu Gl. (16b) bestimmt<br />
3 ε<br />
p 3<br />
λ = = (20a)<br />
2 R 2S<br />
F<br />
mit Sp( ε<br />
p)<br />
RF ε<br />
p<br />
p<br />
= als dem plastischen Sekantenmodul. Da nur Belastungen zulässig sind,<br />
muss immer σ = RF<br />
erfüllt sein. Die totalen Verzerrungen sind dann<br />
⎛ 1 3 ⎞ 1<br />
εij = + σ′<br />
ij<br />
+ σhδij<br />
. (21)<br />
⎜2G 2S ⎟<br />
⎝<br />
p ⎠ 3K<br />
Aus der Darstellung des plastischen Anteils in Hauptrichtungen<br />
1<br />
ε = ⎡⎣σ − ( σ + σ ) ⎤⎦ (21a)<br />
p 1<br />
I I 2 II III<br />
Sp<br />
1<br />
erkennt man mit der sogen. plastischen Querkontraktionszahl ν<br />
p<br />
=<br />
2<br />
sofort die formale Analogie<br />
zum HOOKEschen Gesetz<br />
e 1<br />
εI = ⎡σI − ν ( σII + σIII<br />
) ⎤<br />
E<br />
⎣ ⎦ . (21b)<br />
Setzt man insbesondere entsprechend dem Potenzverfestigungsgesetz<br />
von RAMBERG & OSGOOD<br />
[1945]<br />
S ( ε )<br />
p<br />
p<br />
1−n<br />
σ ⎛<br />
0<br />
σ ⎞<br />
= ⎜ ⎟<br />
αε0 σ<br />
0<br />
⎝<br />
⎠<br />
(22)<br />
mit den materialspezifischen Verfestigungskennwerten<br />
α > 0 <strong>und</strong> n ≥ 1 <strong>und</strong> den Normierungsgrößen σ 0<br />
<strong>und</strong> ε 0 , so nimmt der plastische Anteil des HENCKY-<br />
Gesetzes die Form<br />
n−1<br />
p<br />
εij<br />
3 ⎛ σ ⎞ σ ′<br />
ij<br />
= α ⎜ ⎟<br />
(23)<br />
ε<br />
0<br />
2 ⎝σ0 ⎠ σ0<br />
an. Diese Gleichung wird auch als dreidimensionale Verallgemeinerung des RAMBERG-<br />
OSGOOD-Gesetzes bezeichnet, wobei üblicherweise σ<br />
0<br />
= R0<br />
<strong>und</strong> ε<br />
0<br />
= σ<br />
0<br />
E gesetzt wird. Da<br />
dieses Gesetz von Anfang an nichtlinear ist, treten „plastische“ Verzerrungen schon bei beliebig<br />
kleinen Belastungen auf, <strong>und</strong> es gibt keinen definierten Übergang von elastischem zu<br />
plastischem Materialverhalten, also auch keine Fließbedingung.<br />
Plastizitaet, 04.01.2012, - 9 -
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