Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät

Brocks: Plastizität, WS 2010/11
folgt. Die Inkompressibilitätsbedingung
III
∑
α = I
ε = 0 ist erfüllt.
p
α
Aus der Äquivalenz der Dissipationsraten für σ
I
> σII > σIII
p p p
= σ ε = λ σ − σ = σ ε
(14c)
W
α α
( )
I
III
kann der plastische Multiplikator bestimmt werden. In einem einachsigen Zugversuch ist
σ = n , σ
I
> σII = σIII = 0 , also
σ I I
p p
⎛ ∂ϕ1
∂ϕ
⎞
6
ε = εα nα = λ⎜
nα + nα
⎟= λ( 2nI −nII −nIII)
,
⎝∂σα
∂σα
⎠
p p p p
und W
= σ
αεα
= 2 λσI
= σ ε = R
Fε
,
1
woraus λ = ε resultiert und damit
2 p
( n n n )
ε = ε − − . (14d)
p 1 1
p I 2 II 2 III
Neben den Unstetigkeiten der TRESCAschen Fließbedingung in den Ecken ist die aufwendige
Formulierung der Fließregel ein Grund für die bevorzugte Anwendung der Fließbedingung
nach VON MISES [1913, 1928] insbesondere in numerischen Anwendungen. Oft
wird die TRESCAsche Bedingung unter Verletzung des Prinzips der Äquivalenz der Dissipationsraten
auch mit der zur MISES-Bedingung assoziierten Fließregel kombiniert.
‣ Theorie nach VON MISES, PRANDTL und REUß:
Die (inkrementelle) Theorie besteht aus der Fließbedingung nach VON MISES [1913, 1928]
und den Formänderungsgleichungen nach PRANDTL [1924] und REUß [1930].
Die Fließbedingung lautet
3 J − R ( ε ) = σ − R ( ε ) = 0
(15)
2 2 2
2 F p F p
mit der Vergleichsspannung nach VON MISES
σ = 3J 2
= 3 2
σ ij
′ σ ij
′ ,
und
F p F
(15a)
R ( ε ) = 3τ
. 9 (15b)
Da J 3 unberücksichtigt bleibt, wird die auf der MISESschen Fließbedingung beruhende
Fließtheorie als J 2 -Theorie bezeichnet.
Die assoziierte Fließregel erhält man aus Gl. (12b) zu
ε = λσ ′ . (16)
p
ij
ij
Die Äquivalenz der Dissipationsraten Gl. (9) liefert die Definition einer arbeitskonjugierten
plastischen Vergleichsdehnrate 10 ,
9
Man beachte den Unterschied zu Gl. (13a).
10 Diese Definition gilt ebenso wie die Definition der Vergleichsspannung in Gl. (15a) nur im
Zusammenhang mit der MISESschen Fließbedingung!
Plastizitaet, 04.01.2012, - 7 -