Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät

Brocks: Plastizität, WS 2010/11
⎧σI ≥σII ≥ σIII : ϕ1 = σI −σIII − 2τF
= 0⎫
⎪
σII σI σIII : ϕ2 σII σIII 2τF
0
⎪
⎪
≥ ≥ = − − =
⎪
⎪σII ≥σIII ≥ σI : ϕ3 = σII −σI − 2τF
= 0
⎪
⎨
⎬, (13)
⎪σIII ≥σII ≥ σI : ϕ4 = σIII −σI − 2τF
= 0⎪
⎪σIII ≥σI ≥ σII : ϕ5 = σIII −σII − 2τF
= 0⎪
⎪
⎪
⎪⎩σI ≥σIII ≥ σII : ϕ6 = σI −σII − 2τF
= 0⎪⎭
Die hier eingeführte Schubfließgrenze hängt mit der einachsigen Zugfließgrenze über
τ ( ε ) = R ( ε )
(13a)
1
F p 2 F p
zusammen. Die zugehörige Vergleichsspannung nach TRESCA ist
( ) 2
σ = max σ − σ = max σ − σ
(13b)
α β α β
α≠β α≠β
Beachtet man, dass das Produkt ϕ1⋅ϕ2⋅ϕ3⋅ϕ4⋅ϕ5⋅ ϕ6 = 0 ist, kann die TRESCAsche Fließbedingung
auch in der geschlossenen Form
4J −27J − 9RJ + 6RJ − R = 0, (13c)
3 2 2 2 4 6
2 3 F 2 F 2 F
geschrieben werden, woraus erkennbar wird, dass sie auch die 3. Invariante enthält.
Fließbedingungen nach TRESCA und
VON MISES in der Deviatorebene
Da die Fließfunktion nur stückweise definiert ist, gilt dies auch für die assoziierte Fließregel,
z. B. für σ
I
> σII > σIII
:
∂ϕ
ε = ε n = λ n = λ n −n
, (14)
p p 1
α α α
∂σ
α
( )
I
III
und in einer Ecke σ
I
= σII > σIII:
p ∂ϕ1 ∂ϕ2
ε = λ1 nα
+ λ2 nα
= λ1nI + λ2nII − (
λ1 + λ2 ) nIII
. (14a)
∂σα
∂σα
Für isotropes Verhalten kann man λ1 = λ2
annehmen, so dass daraus
p
ε = λ n + n −2n
(14b)
( )
I II III
des Sechsecks, σ I
= σ II
> σ III
oder σ I
> σ II
= σ III
müssen auch ϕ 2 oder ϕ 6 ausgewertet
werden, siehe Gl. (14a).
Plastizitaet, 04.01.2012, - 6 -