Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät

Brocks: Plastizität, WS 2010/11
Isotropes Fließen: Weitere vereinfachende Annahmen und Sonderfälle
‣ Isotrope Fließfläche
Die Darstellung der Fließfläche darf nicht von der Wahl des Koordinatensystems abhängen,
d.h. nur von der 2. und der 3. Invarianten des Deviators 6 der effektiven Spannungen
(PRAGER [1945], DRUCKER [1959], BETTEN [1976, 1985]). Kinematische Verfestigung ist
weiterhin möglich.
‣ Rein isotrope Verfestigung
Kinematische Verfestigung wird ausgeschlossen, also ξ ij
= 0 . Dann ist
( 2( ′), 3( ′
ij ij
))
= σ = ϕ σ σ , (12a)
2 2
s J J
die Vergleichsspannung mit
J ( ) ⎡( ) ( ) ( ) ⎤
⎢⎣
⎥⎦
1 1
=
2
+ + =
6
− + − + −
⎣
J ( σ′ ) = det( σ′ ) = σ σ σ = σ′ σ′ σ′
2 2
1 1
2 2 2 2
2( σ ′
ij
) =
2
σ′ ikσ′
ki
=
6
σxx − σ
yy
+ σ
yy
− σzz + σzz − σxx + σxy + σ
yz
+ σxz
2 2 2
( σ′ I
σ′ II
σ′
III ) ⎡( σI σII ) ( σII σIII ) ( σIII σI
)
1
3 ij ij 3 ij jk ki I II III
‣ Einfluss der 3. Invarianten
2 2 2
⎤,
⎦
. (12b)
2
Eine Fließfläche der Form ϕ = J ( ) 0
2
σ′
ij
− κ = ist rotationssymmetrisch und wird durch
Kreiszylinder im Spannungsraum bzw. Kugeln im Deviatorraum repräsentiert, siehe die
weiter unten beschriebene Fließbedingung nach VON MISES [1913, 1928]. Mit J 3 werden
Abweichungen von der Rotationssymmetrie beschrieben. Es gibt eine Reihe von Fließbedingungen
unter Einschluss der dritten Invarianten: BETTEN [1976, 1985], ISMAR & MAH-
RENHOLTZ [1979, 1982], MAHRENHOLTZ & ISMAR [1981], von denen die TRESCAsche
Fließbedingung die bekannteste ist. Fließbedingungen der Form J 3 2
( 2
+ cJ 3 ) beschreiben
ein symmetrisches Fließverhalten unter Zug und Druck (DRUCKER [1949, 1959]), während
Fließbedingungen der Form ( J 32 2
+ cJ 3 ) auf ein asymmetrisches Fließverhalten (BETTEN
[1979, 1985], CAZACU & BARLAT [2004]) führen, da J 3 eine ungerade, kubische Funktion
der Spannungen ist. In beiden Fällen schränkt die Konvexitätsbedingung zulässige Wertebereiche
für die Konstante c ein (PRAGER [1945], DRUCKER [1959], BETTEN [1979, 1985]).
‣ Fließbedingung nach TRESCA:
TRESCAs Fließbedingung ist auch als Hypothese der maximalen Schubspannungen bekannt.
Zur Vereinfachung wird sie üblicherweise mit Hilfe der Hauptspannungen
σ = σα
nα
( α = I,II,III)
7 als stückweise lineare Beziehung formuliert, die als das TRESCAsche
Sechseck bekannt ist 8 .
6
7
8
Die erste Invariante des Spannungsdeviators verschwindet definitionsgemäß.
n α
(α = I, II, III) sind die Hauptachsen.
Werden die Hauptspannungen als σ I
≥ σ II
≥ σ III
angeordnet, ist nur ϕ 1 für die Fließbedingung
relevant. Zur Berechnung der plastischen Verzerrungsrate ε
p = εα nα
, in den Ecken
Plastizitaet, 04.01.2012, - 5 -