Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät

Brocks: Plastizität, WS 2010/11
‣ Be-/Entlastungsbedingung
⎧> ≠
p
∂ϕ ⎪ 0 Belastung εij
0
σ
ij ⎨< p
σ
ij
0 Entlastung εij
= 0
∂
⎪⎩
(10)
‣ Verfestigungsgesetz
p
beschreibt die Änderung der Fließfunktion ϕ ( σij,
εij
)
skalare und tensorielle innere Variable,
p ( n)
( ′
ij ij ) ( ′
ij ij n )
′ mit der Belastungsgeschichte über
ϕ σ , ε = ϕ σ , ξ , κ = 0, (11)
die speziellen Evolutionsgesetzen
( n) P P p p
( , , , , , , )
n
( , , , , , , )
κn = f σkl ξkl κn εkl εkl
ε ε
ξ = g σ ξ κ ε ε ε ε
( n) ( ) P P p p
ij ij kl kl n kl kl
(11a)
folgen. Meist ist die Zahl der inneren Variablen auf zwei beschränkt, nämlich eine akkumulierte
plastische Vergleichsdehnung ε = ∫ ε dτ
bzw. das arbeitskonjugierte
t
p p
Span-
p
nungsmaß κε ( ) und der als deviatorisch angenommene Rückspannungstensor ξij = ξ′
ij
.
Nimmt man die Fließbedingung in der Form 5
2 p 2 2 p
( ′
ij ij ) ( s′
ij ) s
ϕ σ , ξ , κ = ϕ − κ ( ε ) = − κ ( ε ) = 0
(11b)
mit dem „effektiven“ Spannungstensor sij = σ
ij
− ξij
und einer einachsigen „effektiven“
Spannung s = ϕ() s ij
an, lassen sich skalare und tensorielle innere Variable wie folgt interpretieren:
0
p
• κε ( ) beschreibt die Zunahme des Radius des Fließzylinders, die isotrope Verfestigung,
und
• ξ ij
eine Parallelverschiebung der Zylinderachse, die kinematische Verfestigung.
p
Während κε ( ) experimentell aus dem einachsigen Zugversuch bestimmt werden kann,
erfordert ξ
ij
ein Evolutionsgesetz nach Gl. (11a). Zwei klassische Ansätze hierfür,
P p
P
ξ = c( ε ) ε ξ = c( ε ) σ −ξ
, gehen auf PRAGER [1955] bzw. ZIEGLER [1959]
bzw. ( )
ij
ij
ij ij ij
zurück. Neuere und kompliziertere Evolutionsgesetze haben CHABOCHE & ROUSSELIER
[1983] zur Beschreibung komplexer Verfestigungsphänomene und Belastungsgeschichten
eingeführt (z.B. BROCKS & OLSCHEWSKI [1989]).
5
Diese Form der Darstellung ist nicht immer möglich, wie die TRESCAsche Fließbedingung
Gl. (13a) zeigt.
Plastizitaet, 04.01.2012, - 4 -