Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät
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p ( ) ij ij ij ij h ij Brocks: Plastizität, WS 2010/11 ϕ σ′ , ε ≤ 0 mit σ′ = σ − σ δ . (6a) und wird graphisch durch einen (konvexen) Fließzylinder im Hauptspannungsraum repräsentiert, dessen Achse in der Raumdiagonale liegt. Fließzylinder im Hauptspannungsraum siehe z.B. BURTH & BROCKS [1992] 1 hydrostatische Spannung σ = σ Deviatorspannung h 3 kk σ ′ = σ −σ δ ij ij h ij ‣ Hookesches Gesetz für elastische Verzerrungsänderungen e e 1 e 1 1 ε = ε ′ + ( 1 ) ( 1 ) ( 1 2 ) ij ij h 3 ε δ = ⎡ kk ij E ⎣ + ν σ − νσ δ ⎤ ⎡ ij kk ij ⎦ = E ⎣ + ν σ ′ − − ν σ δ ⎤ ij ij ⎦ . (7) Die Verzerrungsraten sind hier in einen deviatorischen Anteil, die Gestaltänderungen, und einen Kugelanteil, die Volumendilatation, aufgespalten, die jeweils linear über den Gleitmodul G = E 21 ( + ν ) von der Spannungsdeviatorrate bzw. über den Kompressionsmodul K = E 31− 2ν von der hydrostatischen Spannungsrate abhängen. ( ) ‣ Fließregel: Stoffgesetz für plastische Verzerrungsänderungen Es wird i.a. eine „assoziierte“ Fließregel angenommen, bei der die Fließfunktion zugleich plastisches „Potential“ ist, ∂ϕ , (8) p εij = λ ∂σ ij wobei λ ≥ 0 der plastische Multiplikator ist, der nach dem Prinzip der Äquivalenz der Dissipationsraten des mehrachsigen und des einachsigen Zustands aus der einachsigen Fließkurve R( ε p) berechnet wird. Gl. (8) wird auch als Normalitätsbedingung oder Normalitätsregel bezeichnet und folgt ebenfalls aus DRUCKERs [1950, 1959, 1964] Stabilitätspostulaten. ‣ Äquivalenz der Dissipationsraten für den mehrachsigen und den einachsigen Spannungszustand W ∂ϕ = σ ε = λ σ = σ ε , (9) p p p ij ij ij ∂σ ij p mit σ als der (einachsigen) Vergleichsspannung und ε = ε p der zugehörigen (arbeitskonjugierten) plastischen Vergleichsdehnrate. Plastizitaet, 04.01.2012, - 3 -
Brocks: Plastizität, WS 2010/11 ‣ Be-/Entlastungsbedingung ⎧> ≠ p ∂ϕ ⎪ 0 Belastung εij 0 σ ij ⎨< p σ ij 0 Entlastung εij = 0 ∂ ⎪⎩ (10) ‣ Verfestigungsgesetz p beschreibt die Änderung der Fließfunktion ϕ ( σij, εij ) skalare und tensorielle innere Variable, p ( n) ( ′ ij ij ) ( ′ ij ij n ) ′ mit der Belastungsgeschichte über ϕ σ , ε = ϕ σ , ξ , κ = 0, (11) die speziellen Evolutionsgesetzen ( n) P P p p ( , , , , , , ) n ( , , , , , , ) κn = f σkl ξkl κn εkl εkl ε ε ξ = g σ ξ κ ε ε ε ε ( n) ( ) P P p p ij ij kl kl n kl kl (11a) folgen. Meist ist die Zahl der inneren Variablen auf zwei beschränkt, nämlich eine akkumulierte plastische Vergleichsdehnung ε = ∫ ε dτ bzw. das arbeitskonjugierte t p p Span- p nungsmaß κε ( ) und der als deviatorisch angenommene Rückspannungstensor ξij = ξ′ ij . Nimmt man die Fließbedingung in der Form 5 2 p 2 2 p ( ′ ij ij ) ( s′ ij ) s ϕ σ , ξ , κ = ϕ − κ ( ε ) = − κ ( ε ) = 0 (11b) mit dem „effektiven“ Spannungstensor sij = σ ij − ξij und einer einachsigen „effektiven“ Spannung s = ϕ() s ij an, lassen sich skalare und tensorielle innere Variable wie folgt interpretieren: 0 p • κε ( ) beschreibt die Zunahme des Radius des Fließzylinders, die isotrope Verfestigung, und • ξ ij eine Parallelverschiebung der Zylinderachse, die kinematische Verfestigung. p Während κε ( ) experimentell aus dem einachsigen Zugversuch bestimmt werden kann, erfordert ξ ij ein Evolutionsgesetz nach Gl. (11a). Zwei klassische Ansätze hierfür, P p P ξ = c( ε ) ε ξ = c( ε ) σ −ξ , gehen auf PRAGER [1955] bzw. ZIEGLER [1959] bzw. ( ) ij ij ij ij ij zurück. Neuere und kompliziertere Evolutionsgesetze haben CHABOCHE & ROUSSELIER [1983] zur Beschreibung komplexer Verfestigungsphänomene und Belastungsgeschichten eingeführt (z.B. BROCKS & OLSCHEWSKI [1989]). 5 Diese Form der Darstellung ist nicht immer möglich, wie die TRESCAsche Fließbedingung Gl. (13a) zeigt. Plastizitaet, 04.01.2012, - 4 -
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p<br />
( )<br />
ij ij ij ij h ij<br />
Brocks: <strong>Plastizität</strong>, WS 2010/11<br />
ϕ σ′ , ε ≤ 0 mit σ′<br />
= σ − σ δ . (6a)<br />
<strong>und</strong> wird graphisch durch einen (konvexen) Fließzylinder im Hauptspannungsraum repräsentiert,<br />
dessen Achse in der Raumdiagonale liegt.<br />
Fließzylinder im Hauptspannungsraum<br />
siehe z.B. BURTH & BROCKS [1992]<br />
1<br />
hydrostatische Spannung σ = σ<br />
Deviatorspannung<br />
h 3 kk<br />
σ ′ = σ −σ δ<br />
ij ij h ij<br />
‣ Hookesches Gesetz für elastische Verzerrungsänderungen<br />
e e 1 e 1 1<br />
ε = ε ′ + ( 1 ) ( 1 ) ( 1 2 )<br />
ij ij h<br />
3<br />
ε δ = ⎡ kk ij<br />
E ⎣ + ν σ − νσ δ ⎤ ⎡ ij kk ij ⎦ =<br />
E ⎣ + ν σ ′ − − ν σ δ ⎤<br />
ij ij ⎦ . (7)<br />
Die Verzerrungsraten sind hier in einen deviatorischen Anteil, die Gestaltänderungen, <strong>und</strong><br />
einen Kugelanteil, die Volumendilatation, aufgespalten, die jeweils linear über den Gleitmodul<br />
G = E 21 ( + ν ) von der Spannungsdeviatorrate bzw. über den Kompressionsmodul<br />
K = E 31− 2ν<br />
von der hydrostatischen Spannungsrate abhängen.<br />
( )<br />
‣ Fließregel: Stoffgesetz für plastische Verzerrungsänderungen<br />
Es wird i.a. eine „assoziierte“ Fließregel angenommen, bei der die Fließfunktion zugleich<br />
plastisches „Potential“ ist,<br />
∂ϕ<br />
, (8)<br />
p<br />
εij<br />
= λ ∂σ<br />
ij<br />
wobei λ ≥ 0 der plastische Multiplikator ist, der nach dem Prinzip der Äquivalenz der Dissipationsraten<br />
des mehrachsigen <strong>und</strong> des einachsigen Zustands aus der einachsigen Fließkurve<br />
R( ε<br />
p)<br />
berechnet wird. Gl. (8) wird auch als Normalitätsbedingung oder Normalitätsregel<br />
bezeichnet <strong>und</strong> folgt ebenfalls aus DRUCKERs [1950, 1959, 1964] Stabilitätspostulaten.<br />
‣ Äquivalenz der Dissipationsraten<br />
für den mehrachsigen <strong>und</strong> den einachsigen Spannungszustand<br />
W<br />
∂ϕ<br />
= σ ε = λ σ = σ ε , (9)<br />
p p p<br />
ij ij ij<br />
∂σ<br />
ij<br />
p<br />
mit σ als der (einachsigen) Vergleichsspannung <strong>und</strong> ε = ε p<br />
der zugehörigen (arbeitskonjugierten)<br />
plastischen Vergleichsdehnrate.<br />
Plastizitaet, 04.01.2012, - 3 -
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