Plastizität und Bruchmechanik - Technische Fakultät

Brocks: Plastizität, WS 2010/11
‣ Hookesches Gesetz
für die elastischen Verzerrungen bzw. die elastischen Verzerrungsanteile
σ = Eε = E( ε − ε ). (3)
e
p
‣ Be-/Entlastungsbedingung
Ausgehend von einer Spannung σ = R( ε ) > 0 gilt
p
p
σ > 0 ε
p
> 0 Belastung
. (4)
σ < 0 ε = 0 Entlastung
Verallgemeinerung auf mehrachsige Spannungszustände
‣ additive Zerlegung der Dehnraten
ε = ε + ε
(5)
e p
ij ij ij
Auf dem Wandern von Gitterversetzungen beruhende plastische Verformungen führen
nicht zu Volumenänderungen (plastische Inkompressibilität) 2 , weshalb
ε = 0 also ε = ε′ . (5a)
p p p
kk ij ij
gilt 3 . Die totalen plastischen Verzerrungen sind durch Integration über die Belastungsgeschichte
zu ermitteln
p
ij
t
ε = ∫ ε τ . (5b)
τ = 0
p
d ij
‣ Fließbedingung
p
( ij
,
ij ) 0
p
wobei ( ij ij )
ϕ σ ε ≤ , (6)
ϕ σ , ε = 0 die Fließfunktion ist 4 . ϕ = 0 heißt Fließfläche im Spannungsraum.
Üblicherweise wird ϕ als konvex angenommen (BETTEN [1979, 1982]), weil ein gerader
Belastungsweg zwischen zwei elastischen Zuständen, ϕ < 0, nicht zu plastischen Verformungen
führen sollte. Konvexität folgt auch aus DRUCKERs [1950, 1959, 1964] Postulaten
für Werkstoffstabilität. Für plastisch inkompressibles Material ist Fließen unabhängig vom
1
hydrostatischen Spannungsanteil σ = σ , und damit hat die Fließbedingung die Form
h 3 kk
2
3
4
Werkstoffe, die Mikro-Hohlräume enthalten, sind plastisch kompressibel. Hierfür wurde
die Plastizität poröser Werkstoffe insbesondere in der Schädigungsmechanik entwickelt.
Jeder Tensor (2. Stufe) lässt sich in einen Deviatoranteil und einen Kugelanteil zerlegen:
1
aij = a′
ij
+
3
akkδij
. Die Spur (1. Invariante) des Verzerrungstensorsε kk
ist die Volumendilatiation.
Im Falle einer assoziierten Fließregel (s.u.) ist ϕ zugleich das plastische „Potential“. Ausgehend
von Spannungszuständen mit ϕ( σ ij
p
,ε ij )< 0 treten nur elastische Verzerrungsänderungen
auf, Spannungszustände mit ϕ( σ ij
p
,ε ij )> 0 sind unzulässig.
Plastizitaet, 04.01.2012, - 2 -