8. Übungsblatt - Lehrstuhl für Thermodynamik - Technische ...
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<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
<strong>Technische</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Energielehre und Stoffverhalten<br />
Angaben und Musterlösungen der Übungsblätter
Inhaltsverzeichnis<br />
I Angaben 5<br />
1. <strong>Übungsblatt</strong> 6<br />
Aufgabe 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
Aufgabe 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
2. <strong>Übungsblatt</strong> 8<br />
Aufgabe 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
Aufgabe 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
Aufgabe 3.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
Aufgabe 3.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
3. <strong>Übungsblatt</strong> 9<br />
Aufgabe 4.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
Aufgabe 4.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
Aufgabe 4.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
4. <strong>Übungsblatt</strong> 11<br />
Aufgabe 4.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
Aufgabe 4.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
5. <strong>Übungsblatt</strong> 13<br />
Aufgabe 4.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
6. <strong>Übungsblatt</strong> 15<br />
Aufgabe 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
7. <strong>Übungsblatt</strong> 16<br />
Aufgabe 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
<strong>8.</strong> <strong>Übungsblatt</strong> 18<br />
Aufgabe 6.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
Aufgabe 6.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
Aufgabe 6.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
9. <strong>Übungsblatt</strong> 20<br />
Aufgabe 7.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
10. <strong>Übungsblatt</strong> 22<br />
Aufgabe <strong>8.</strong>10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
11. <strong>Übungsblatt</strong> 24<br />
Aufgabe <strong>8.</strong>11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
II Musterlösungen 26<br />
1. <strong>Übungsblatt</strong> 27<br />
Aufgabe 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
Aufgabe 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
2. <strong>Übungsblatt</strong> 30<br />
Aufgabe 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
Aufgabe 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
Aufgabe 3.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
Aufgabe 3.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
3. <strong>Übungsblatt</strong> 34<br />
Aufgabe 4.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
Aufgabe 4.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
Aufgabe 4.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
4. <strong>Übungsblatt</strong> 37<br />
Aufgabe 4.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
Aufgabe 4.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
5. <strong>Übungsblatt</strong> 40<br />
Aufgabe 4.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
6. <strong>Übungsblatt</strong> 43<br />
Aufgabe 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
7. <strong>Übungsblatt</strong> 47<br />
Aufgabe 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
<strong>8.</strong> <strong>Übungsblatt</strong> 52<br />
Aufgabe 6.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
Aufgabe 6.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
Aufgabe 6.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br />
9. <strong>Übungsblatt</strong> 57<br />
Aufgabe 7.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
10. <strong>Übungsblatt</strong> 62<br />
Aufgabe <strong>8.</strong>10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
11. <strong>Übungsblatt</strong> 67<br />
Aufgabe <strong>8.</strong>11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Teil I<br />
Angaben
<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
1. <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe 2.2 (Skript S. 33)<br />
Charakterisieren Sie die folgenden Systeme nach den Eigenschaften:<br />
offen - geschlossen, diabat - adiabat, ruhend - bewegt, homogen - heterogen - kontinuierlich.<br />
Beachten Sie hierbei die gegebenen Systemgrenzen!<br />
a) Perfekt isolierter Verdichter, stationär betrieben<br />
b) Campingkocher in Betrieb<br />
c) Lagerfeuer d) Segelflugzeug im Landeanflug<br />
e) Wärmeisolierter Backofen mit Kuchen f) Homogen gerührter Kuchenteig im Backofen<br />
g) Heizkörper, stationär durchströmt h) Heizkörper in Heizungsanlage, stationär<br />
durchströmt<br />
Heizkessel<br />
Wärmezufuhr<br />
6
i) Glühbirne direkt nach dem Einschalten j) Kaffee in perfekt isolierter Thermoskanne in<br />
fahrendem Auto<br />
Aufgabe 3.4 (Skript S. 56)<br />
Um Gewicht zu sparen, werden bei Formel 1 - Rennen die Reifen der Rennwagen mit Helium befüllt.<br />
Im folgenden soll eine Luftfüllung mit einer Heliumfüllung verglichen werden.<br />
a) Berechnen Sie das von einem Autoreifen (D a = 60cm, D i = 40cm, B = 25cm) eingeschlossene<br />
Gasvolumen, wenn man die Geometrie vereinfacht als Hohlzylinder annimmt und die Dicke des<br />
Reifengummis vernachlässigt.<br />
Di<br />
Da<br />
B<br />
b) Wie viel Mol Luft und wie viel Mol Helium befinden sich im Autoreifen, wenn der Druck der<br />
Füllung p f = 2bar ü und deren Temperatur ϑ f = 20 ◦ C beträgt? Der Umgebungsdruck betrage<br />
p ∞ = 1013mbar.<br />
c) Berechnen Sie die spezifischen Gaskonstanten von Luft (M Luft = 28,96 kg/kmol) und Helium<br />
(M He = 4,00 kg/kmol).<br />
d) Bestimmen Sie die jeweilige sich im Autoreifen befindende Gasmasse.<br />
e) Aufgrund von Rollreibung und mehrerer Abbremsmanöver erwärmt sich die Reifenfüllung<br />
um 10 ◦ C. Berechnen Sie <strong>für</strong> Luft und Helium den Überdruck, der sich nach der Erwärmung<br />
einstellt. Hierbei kann der Reifen als isochores System betrachtet werden, es findet also keine<br />
Volumenänderung statt.<br />
7
<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
2. <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe 3.10 (Skript S. 57)<br />
Ein mit Umgebungsluft (300 K) gefüllter Behälter soll so aufgeheizt werden, dass sich der Druck<br />
verdoppelt. Auf welche Temperatur muss der Inhalt gebracht werden? Geben Sie diese Temperatur in<br />
K, ◦ C, F und R an.<br />
Aufgabe 3.11 (Skript S. 57)<br />
Sie erwachen während eines Studienaufenthaltes an einer amerikanischen Universität in Ihrem<br />
Zimmer, schalten den Fernseher an und erfahren, dass am Nachmittag mit einer Maximaltemperatur<br />
von 120 F zu rechnen ist. Eignet sich dieser Tag besser <strong>für</strong> intensive Studien in der klimatisierten<br />
Bibliothek der Universität oder <strong>für</strong> eine ausgedehnte Wandertour? Wie hoch ist die vorhergesagte<br />
Temperatur in ◦ C?<br />
Aufgabe 3.15 (Skript S. 58)<br />
Berechnen Sie die Massenanteile ξ i , die Molmasse M und die Gaskonstante R einer aus 50 % Sauerstoff<br />
und 50 % Stickstoff (Molanteile) bestehenden Gasmischung. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit den<br />
Werten <strong>für</strong> Luft. Wie hoch ist der Druck in einem Behälter von V = 1m 3 wenn m = 1kg dieses Gemischs<br />
darin bei T = 1000K eingeschlossen werden?<br />
Aufgabe 3.16 (Skript S. 58)<br />
In die Scheibenwaschanlage eines Automobils mit einem Fassungsvermögen von 5 l wird ein Gemisch<br />
(Massenanteile) aus 50 % Wasser ( ρ w = 1000 kg/m 3) und 50 % Alkohol ( ρ a = 850 kg/m 3) eingefüllt. Welche<br />
Masse kann man einfüllen, bevor der Behälter überläuft? Bekommt man mehr hinein, wenn man<br />
reines Wasser einfüllt?<br />
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<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
3. <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe 4.12 (S. 160)<br />
Stellen Sie an den bereits bekannten Systemen aus dem 1. <strong>Übungsblatt</strong> jeweils eine vollständige<br />
Leistungs- oder Energiebilanz auf und vereinfachen Sie die Bilanzen so weit wie möglich:<br />
a) Perfekt isolierter Verdichter, stationär betrieben<br />
b) Campingkocher in Betrieb<br />
c) Lagerfeuer d) Segelflugzeug im Landeanflug<br />
e) Wärmeisolierter Backofen mit Kuchen f) Homogen gerührter Kuchenteig im Backofen<br />
g) Heizkörper, stationär durchströmt h) Heizkörper in Heizungsanlage, stationär<br />
durchströmt<br />
Heizkessel<br />
Wärmezufuhr<br />
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i) Glühbirne direkt nach dem Einschalten j) Kaffee in perfekt isolierter Thermoskanne in<br />
fahrendem Auto<br />
Aufgabe 4.13 (S. 161)<br />
Ein Swimming-Pool der Länge l = 10m, der Breite b = 5m und der Tiefe t = 2,50m ist zum Zeitpunkt 1<br />
vollständig entleert. Bis zum Zeitpunkt 2 wird er bis zur Oberkante mit Wasser befüllt. Berechnen Sie<br />
die Volumenänderungsarbeit W V,∞ , die während des Befüllvorgangs an der Umgebung (p ∞ = 1bar)<br />
verrichtet wird!<br />
Aufgabe 4.14 (S. 162)<br />
Zur Herstellung von Ziegeln werden Tonquader der Masse m = 3,5kg (spezifische Wärmekapazität<br />
c Ton = 1,2kJ/kgK) von Umgebungstemperatur (T ∞ = 20 ◦ C) auf T heiß = 1200 ◦ C erhitzt. Im stationären<br />
Betrieb werden im Elektrohochofen 5 000 Ziegel pro Stunde gebrannt. Über die Wände des Ofens wird<br />
ein Verlustwärmestrom von ˙Q Verlust = 1,2MW abgegeben.<br />
a) Stellen Sie zunächst eine vollständige Energiebilanz an einem einzelnen „Tonquader“ auf!<br />
Berechnen Sie anschließend die Wärmemenge Q Ton , die ein Tonquader während des Aufheizens<br />
aufnimmt.<br />
b) Berechnen Sie die elektrische Leistung P el , die dem Hochofen zugeführt werden muss.<br />
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<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
4. <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe 4.15 (S. 162)<br />
Leiten Sie die Bernoulli - Gleichung der Form<br />
p 1 + ρ g z 1 + ρ c 1 2<br />
2 = p 2 + ρ g z 2 + ρ c 2 2<br />
2<br />
her, indem Sie den 1. Hauptsatz <strong>für</strong> ein offenes, stationäres, adiabates und ruhendes allgemeines<br />
System aufstellen. Ferner ist das Fluid, welches das System durchströmt, als inkompressibel und<br />
isotherm zu betrachten. Es soll keine Arbeit von außen an dem System verrichtet werden. Geben Sie<br />
jeweils an, aufgrund welcher Voraussetzung Sie welchen Term der allgemeinen Formulierung des<br />
1. Hauptsatzes wegstreichen.<br />
Aufgabe 4.16 (S. 162)<br />
Im Garten eines französischen Lustschlosses wird zum Zeitvertreib der Besucher in einem Teich ein<br />
Wasserspringbrunnen stationär betrieben.<br />
D AD<br />
z<br />
η el<br />
M P<br />
η mech<br />
t<br />
ES<br />
1.) Die Geschwindigkeit des Wassers an der Austrittsdüse beträgt c AD = 10 m/s. Berechnen Sie die<br />
Höhe des ausgestoßenen Wasserstrahls (Erdbeschleunigung: g = 9,81 m/s 2 )!<br />
2.) Bestimmen Sie den Absolutwasserdruck am Einlassstutzen p ES bei einer Wassertiefe von t =<br />
10m! Der Umgebungsluftdruck ist konstant und beträgt p ∞ = 1013mbar, die Dichte von Wasser<br />
ist mit ρ H2 O = 1000 kg/m 3 = konst. anzusetzen.<br />
3.) Berechnen Sie die spezifische Verschiebearbeit w s,ES am Einlassstutzen!<br />
4.) Die Eintrittstemperatur des Wassers T ES sei gleich der Austrittstemperatur T AD . Bestimmen Sie<br />
die spezifische Enthalpiedifferenz ∆h = h AD − h ES zwischen Einlassstutzen und Austrittsdüse!<br />
11
5.) Der Durchmesser der Austrittsdüse beträgt D AD = 40mm. Berechnen Sie den Massenstrom<br />
ṁ H2 O, der durch die Springbrunnenanlage fließt!<br />
6.) Die Höhendifferenz zwischen Austrittsdüse und Einlassstutzen beträgt z = 15m. Berechnen Sie<br />
die spezifische technische Arbeit w t , die dem Wasser mittels der Pumpe P zugeführt werden<br />
muss, indem Sie den 1. Hauptsatz am System „Springbrunnen“ aufstellen! Alle Leitungen<br />
des Springbrunnens, sowie das Pumpengehäuse sollen als adiabat betrachtet werden. Die<br />
Geschwindigkeit des Wassers am Einlassstutzen kann dabei vernachlässigt werden.<br />
7.) Bestimmen Sie den Abwärmestrom des Pumpenantriebs ˙Q Motor ! Der Wirkungsgrad des Elektromotors<br />
beträgt η el = 0,96. Verluste über die Welle werden mit η mech = 0,98 angenommen. Setzen<br />
Sie dazu den 1. Hauptsatz am System „Pumpenantrieb“ an!<br />
<strong>8.</strong>) Gegen Ende des Sommers ist die Wassertiefe des Springbrunnenteichs auf t 2 = 7m gesunken.<br />
Berechnen Sie die jetzt vom Elektromotor der Pumpe aufgenommene elektrische Leistung P el2 ,<br />
wenn die Höhe des ausgestoßenen Wasserstrahls gleich bleiben soll.<br />
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<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
5. <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe 4.17 (S. 163)<br />
Der Kühler eines bayerischen Motorenwagens soll hinsichtlich seiner Funktion während der Fahrt<br />
untersucht werden.<br />
Das Kraftfahrzeug fährt mit einer Geschwindigkeit von c kfz = 120 km/h. Der rechteckförmige Lufteinlass<br />
des Kühlers ist b Kühler = 50cm breit und h Kühler = 35cm hoch. Die Parameter der Umgebungsluft sind:<br />
p ∞ = 1013mbar, T ∞ = 293K und R Luft = 287 J/kgK. Kinetische und potentielle Energien aller Fluide sind<br />
<strong>für</strong> alle Teilaufgaben zu vernachlässigen.<br />
T WE<br />
T LA<br />
b Kühler<br />
p ∞<br />
hKühler<br />
T WA<br />
Kühlwassertank<br />
c kfz<br />
T ∞<br />
1.) Berechnen Sie den Luftmassenstrom ṁ Luft , der durch den Kühler strömt.<br />
2.) Die spezifische isobare Wärmekapazität von Luft beträgt c p = 1004,5J/kgK. Die Temperatur der<br />
Luft vor Eintritt in den Kühler beträgt T ∞ . Nach dem Kühleraustritt beträgt sie T LA = 303K.<br />
Wie groß ist der von der Luft an das Kühlwasser übertragene Wärmestrom ˙Q Luft ? Stellen Sie den<br />
1. Hauptsatz am System „Luftteil des Kühlers“ auf.<br />
3.) Die spezifische Wärmekapazität des Kühlwassers beträgt c W = 4,19 kJ/kgK. Berechnen Sie die<br />
Austrittstemperatur des Kühlwassers T WA aus dem Kühler bei einem Kühlwassermassenstrom<br />
von ṁ W = 0,35 kg/s und einer Kühlwassereintrittstemperatur von T WE = 363K. Stellen Sie den<br />
1. Hauptsatz am System „Wasserteil des Kühlers“ auf. Warum „kühlt“ Wasser besser als Luft?<br />
Überlegen Sie!<br />
Der Anteil der Verschiebearbeit an der spezifischen Enthalpie des Kühlwassers kann vernachlässigt<br />
werden, da deren Änderung viel kleiner ist als die Änderung der inneren Energie. Interessierte<br />
Studenten können dies nach Lösen dieser Teilaufgabe <strong>für</strong> eine Druckdifferenz des Kühlwassers<br />
über den Kühler von ∆p W = 1bar nachprüfen (ρ W = 1000 kg/m 3 ).<br />
13
4. Um die Kühlwassertemperatur im Tank konstant halten zu können, beträgt die maximale<br />
zulässige Austrittstemperatur des Kühlwassers aus dem Kühler T WA,max = 353K. Berechnen<br />
Sie den Wärmestrom ˙Q Luft,min , der mindestens über die Kühlluft abgeführt werden muss. Wie<br />
schnell muss das Kraftfahrzeug mindestens fahren, damit die Temperatur des Kühlwassers im<br />
Tank konstant bleibt? (Die Ein- und Austrittstemperatur der Kühlluft sowie die Eintrittstemperatur<br />
des Kühlwassers haben sich nicht geändert.)<br />
5. Welche Maßnahmen wenden Sie an, um eine Überhitzung des Kühlwassers zu vermeiden, wenn<br />
Sie im Stau stehen? Überlegen Sie!<br />
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<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
6. <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe 5.4 (S. 197)<br />
Zum Befüllen ihrer Tauchflaschen mit Pressluft benutzen die Waikiki-Beach-Divers einen über einen<br />
Elektromotor M angetriebenen Verdichter V, der eine Tauchflasche F über eine adiabate Drossel D<br />
befüllt.<br />
Die Parameter der Umgebungsluft sind: p ∞ = 1013mbar, T ∞ = 293K und R Luft = 287 J/kgK. Kinetische<br />
und potentielle Energien sind <strong>für</strong> alle Teilaufgaben zu vernachlässigen.<br />
b<br />
D<br />
c<br />
V<br />
M<br />
F<br />
a<br />
1.) Die Eintrittstemperatur der Luft (c p = 1004,5J/kgK) in den Verdichter betrage T a = T ∞ . Der<br />
angesaugten Luft wird über den Verdichter V die spezifische technische Arbeit w t = 600 kJ/kg<br />
zugeführt. Berechnen Sie die Temperatur T b der Luft am Verdichteraustritt. Stellen Sie den<br />
1. Hauptsatz am System „Verdichter“ auf.<br />
2.) Berechnen Sie jetzt die Temperatur T c der Luft nach der Drossel D, indem Sie den 1. Hauptsatz<br />
am System „Drossel“ aufstellen.<br />
3.) Druck und Temperatur in einer leeren Tauchflasche (V F = 10l) entsprechen den Umgebungsbedingungen.<br />
Berechnen Sie die Luftmasse in der Tauchflasche F vor dem Befüllvorgang.<br />
4.) Während des Befüllvorgangs wird der Verdichter V über eine Zeit von t 12 = 10min über den<br />
Motor M (P M = 2kW) angetrieben. Der Wirkungsgrad des Antriebsstrangs zwischen Motor und<br />
Verdichter beträgt η mech = 0,9<strong>8.</strong> Wie groß ist die Luftmasse m 12 , die während des Befüllvorgangs<br />
in die Tauchflasche F gepumpt wurde?<br />
5.) Nach dem Befüllvorgang beträgt der Druck in der Tauchflasche p 2 = 200bar. Welche Temperatur<br />
T 2 hat die Luft in der Tauchflasche nach dem Befüllvorgang?<br />
6.) Welche Wärmemenge Q 12 hat die Tauchflasche während des Befüllens an die Umgebung<br />
abgegeben? Stellen Sie den 1. Hauptsatz am System „Tauchflasche“ auf.<br />
7.) Nach dem Befüllen wird die Tauchflasche verschlossen, vom Befüllsystem getrennt und eingelagert.<br />
Nach einiger Zeit hat sich die Luft in der Tauchflasche auf T 3 = T ∞ abgekühlt. Berechnen<br />
Sie die Wärmemenge Q 23 , die während des Abkühlens an die Umgebung abgegeben wurde.<br />
Welcher Druck p 3 herrscht nun in der Gasflasche?<br />
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<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
7. <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe 5.5 (S. 197)<br />
Ein russisches Passagierflugzeug wird mit Hilfe der skizzierten Gasturbinenanordnung betrieben:<br />
˙Q<br />
b<br />
BK<br />
c<br />
V<br />
T<br />
η mech<br />
a<br />
T ∞ , p ∞<br />
d<br />
Umgebungsluft (Zustand a = ∞) wird vom adiabaten, verlustbehafteten Verdichter V (η is,V = 0,88)<br />
auf den Druck p b = 4,2bar verdichtet. Nach Durchlaufen der isobaren Brennkammer BK wird das<br />
Fluid in der adiabaten, verlustbehafteten Turbine T entspannt. Die Turbine T dient ausschließlich<br />
zum Antrieb des Verdichters V und ist mit ihm über eine Antriebswelle (η mech = 0,98) gekoppelt. Der<br />
aus der Turbine T austretende Enthalpiestrom dient zur Schuberzeugung und damit zum Antrieb des<br />
Flugzeugs.<br />
Die Parameter der Umgebungsluft sind: p ∞ = 280hPa, T ∞ = 220K, R Luft = 287 J/kgK, sowie κ Luft = 1,4<br />
(Stoffwerte konstant). Kinetische und potentielle Energien sind <strong>für</strong> alle Teilaufgaben zu vernachlässigen.<br />
1.) Berechnen Sie die theoretische Austrittstemperatur T ∗ b<br />
nach dem Verdichter V unter Annahme<br />
einer isentropen Verdichtung.<br />
2.) Berechnen Sie die tatsächliche Austrittstemperatur T b nach dem Verdichter V.<br />
3.) Bestimmen Sie den Polytropenexponenten n V des Verdichters V .<br />
4.) Ermitteln Sie die vom Verdichter aufgenommene spezifische technische Arbeit w t,V . Stellen Sie<br />
dazu den 1. Hauptsatz am Verdichter V auf.<br />
5.) Wie groß ist die spezifische Druckänderungsarbeit w d,V , die spezifische Dissipationsarbeit w r,V<br />
und der polytrope Wirkungsgrad η pol,V des Verdichters V?<br />
6.) Die Austrittstemperatur der Luft nach der Brennkammer BK beträgt T c = 1600K. Wie groß ist die<br />
zugeführte spezifische Wärmemenge q BK ?<br />
7.) Berechnen Sie die Austrittstemperatur T d nach der Turbine T, indem Sie den 1. Hauptsatz an der<br />
Turbine T aufstellen. Stellen Sie zusätzlich eine Energiebilanz an der Verbindungswelle zwischen<br />
Turbine T und Verdichter V auf.<br />
16
<strong>8.</strong>) Die spezifische Dissipationsarbeit der Turbine T beträgt w r,T = 23 kJ/kg. Bestimmen Sie die<br />
spezifische Druckänderungsarbeit w d,T , den polytropen Wirkungsgrad η pol,T und den Polytropenexponenten<br />
n T der Turbine T.<br />
9.) Wie groß ist der Austrittsdruck p d nach der Turbine?<br />
10.) Berechnen Sie den isentropen Wirkungsgrad η is,T der Turbine.<br />
11.) Berechnen Sie den Luftmassenstrom ṁ, der durch die Triebwerksanordnung strömen muss,<br />
um eine Antriebsschubleistung von P Schub = 10MW zu erzielen. Nehmen Sie dazu an, dass 60 %<br />
der spezifischen Enthalpiedifferenz zwischen Turbinenaustritt und Umgebung <strong>für</strong> den Antrieb<br />
genutzt werden können.<br />
17
<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
<strong>8.</strong> <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe 6.10 (S. 259)<br />
Beim Aufheizen des Motors eines PKW durch eine stationär arbeitende Standheizung wird im Bereich<br />
der Flamme ein Wärmestrom von ˙Q = 1kW von den Heißgasen (T HG = 1300K) über die Wand auf das<br />
Kühlwasser (T KW = 300K) übertragen.<br />
ṁ HG<br />
˙Q<br />
Ṡ irr<br />
ṁ KW<br />
1.) Berechnen Sie den vom Heißgas durch die Wärmeabfuhr abgegebenen Entropiestrom Ṡ q,HG .<br />
2.) Berechnen Sie den vom Kühlwasser durch die Wärmezufuhr aufgenommenen Entropiestrom<br />
Ṡ q,KW .<br />
3.) Bestimmen Sie die Entropieproduktion Ṡ irr in der Wand, welche dort aufgrund der Wärmeübertragung<br />
auftritt. Stellen Sie dazu eine Entropiestrombilanz an der Rohrwand zwischen Heißgas<br />
und Kühlwasser auf.<br />
Aufgabe 6.11 (S. 260)<br />
Der adiabate und stationär arbeitende Kompressor zur Druckluftversorgung eines Industriebetriebs<br />
fördert Umgebungsluft (ideales Gas, R Luft = 287 J/kgK, κ = 1,4 , T ∞ = 293K, p ∞ = 1013mbar) in das<br />
Druckluftnetz (p a = 10bar, T a,1 = 590K).<br />
˙q ab<br />
e<br />
a<br />
1.) Berechnen Sie die spezifische Entropieproduktion im Kompressor s irr,1 . Stellen Sie dazu den<br />
2. Hauptsatz am Kompressor auf.<br />
Eine Wartungsfirma verspricht, durch Einbau eines neuen Verdichterschaufelrades die Austrittstemperatur<br />
des Kompressors auf T a,2 = 550K abzusenken, während alle anderen Parameter gleich bleiben.<br />
18
2. Prüfen Sie diese Aussage, indem Sie die neue spezifische Entropieproduktion des Kompressors<br />
s irr,2 berechnen.<br />
3. Bestimmen Sie die minimal mögliche Austrittstemperatur T a,min des Kompressors mit Hilfe des<br />
2. Hauptsatzes. Nehmen Sie hierzu an, dass bei dieser Austrittstemperatur keine Entropieproduktion<br />
auftritt. Weisen Sie anschließend durch Umformen nach, dass der von Ihnen gefundene<br />
Term äquivalent zu der Ihnen bekannten Beziehung <strong>für</strong> eine isentrope Zustandsänderung ist.<br />
(<br />
T2<br />
= p κ−1 )<br />
2 κ<br />
T 1 p 1<br />
4. Welche spezifische Wärmemenge q ab müsste mindestens über die Kompressorwand abgeführt<br />
werden, um die von der Wartungsfirma versprochene Austrittstemperatur erreichen zu können?<br />
Stellen Sie dazu den 2. Hauptsatz am jetzt diabaten Kompressor auf. Nehmen Sie vereinfachend<br />
an, dass die Wärme bei einer konstanten Systemtemperatur von T sys = 420K abgegeben wird.<br />
Aufgabe 6.12 (S. 260)<br />
Aufgrund von Sonneneinstrahlung erwärmt sich der Inhalt einer geschlossenen Pressluftflasche<br />
(ideales Gas, c v = 717,5J/kgK) von T 1 = 293K auf T 2 = 313K.<br />
1.) Stellen Sie den 1. Hauptsatz am System „Inhalt der Gasflasche“ in differenzieller Form auf.<br />
2.) Berechnen Sie die spezifische Änderung der Entropie aufgrund der Wärmeübertragung s q,12 . Verwenden<br />
Sie dabei Ihr vorher gefundenes Ergebnis und integrieren Sie zwischen den Zeitpunkten<br />
1 und 2.<br />
3.) Bestimmen Sie die Änderung der Entropie aufgrund von Irreversibilitäten s irr,12 . Stellen Sie dazu<br />
den 2. Hauptsatz am System „Inhalt der Gasflasche“ auf.<br />
19
<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
9. <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe 7.8 (S. 329)<br />
Ein renommierter Kochtopfhersteller testet seinen neuen Schnellkochtopf „Profi-Gar“ bei der Stiftung<br />
Warentest. Der Umgebungsdruck betrage p ∞ = 1bar. Im Kochtopf befinde sich reines Wasser. Das<br />
maximale Fassungsvermögen beträgt V KT = 10l. Der nach der Befüllung mit flüssigem Wasser im<br />
Topf verbleibende Luftanteil, sowie die Wärmekapazität des Topfs sind zu vernachlässigen. Das<br />
Dampfablassventil V bleibt bis zum Zeitpunkt 1 geschlossen. Der Druck im Kochtopf sei zwischen<br />
den Zeitpunkten 1 und 2 konstant. Zur Bestimmung der thermodynamischen Stoffwerte sind die<br />
Dampftafeln <strong>für</strong> Wasser und Wasserdampf im Anhang des Skriptums zu verwenden.<br />
V<br />
KT<br />
˙Q ab<br />
˙Q zu<br />
1.) Die gewünschte Gartemperatur beträgt T 1 = 125 ◦ C. Ermitteln Sie den zugehörigen Absolutdruck<br />
p 1 . Auf welchen Überdruck p ü muss das Dampfablassventil V eingestellt werden?<br />
2.) Bestimmen Sie durch lineare Interpolation die zum Absolutdruck p 1 gehörigen Stoffgrößen v<br />
p1 ′ ,<br />
v<br />
p1 ′′ , h′ p1<br />
und h′′<br />
p1<br />
aus der Dampftafel.<br />
3.) Berechnen Sie ebenfalls die zu p 1 gehörigen spezifischen inneren Energien u<br />
p1 ′<br />
Sie diese aus den Werten <strong>für</strong> die jeweilige spezifische Enthalpie berechnen.<br />
und u′′<br />
p1 , indem<br />
4.) Zum Zeitpunkt 1 wurde die gewünschte Gartemperatur erreicht und es hat sich ein Dampfgehalt<br />
von x 1 = 0,02 im Inneren des Topfs eingestellt. Berechnen Sie die sich im Topf befindende<br />
Gesamtmasse an Wasser m 1 , sowie die Masse an gesättigtem Dampf m<br />
1 ′′ und die Masse an<br />
gesättigter Flüssigkeit m<br />
1 ′ .<br />
5.) Wieviel Liter flüssiges, kaltes Wasser (T 0 = 10 ◦ C) wurden vor dem Aufheizen in den Kochtopf<br />
gefüllt?<br />
6.) Berechnen Sie die innere Energie U 1 des 2-Phasen-Gemischs zum Zeitpunkt 1.<br />
7.) Berechnen Sie die innere Energie U 0 des kalten Wassers zum Zeitpunkt 0.<br />
20
<strong>8.</strong>) Bestimmen Sie die Wärmemenge Q 01 , die das Wasser zwischen den Zeitpunkten 0 und 1<br />
aufgenommen hat.<br />
9.) Ermitteln Sie die Zeitspanne t 01 unter der Annahme, dass die über die Herdplatte zugeführte<br />
Wärmeleistung ˙Q zu = 1kW beträgt. Berücksichtigen Sie zusätzlich eine Wärmeabgabe des<br />
diabaten Kochtopfs von ˙Q ab = −15 kJ/min an die Umgebung.<br />
10.) Zum Zeitpunkt 2 beträgt der Dampfgehalt im Topf x 2 = 0,025. Welche Masse an gesättigtem Wasserdampf<br />
m 12 ist zwischen den Zeitpunkten 1 und 2 über das Dampfablassventil V ausgeströmt?<br />
11.) Berechnen Sie die Zeitdauer t 12 . Die über die Systemgrenze „Kochtopf“ übertragenen Wärmeströme<br />
haben sich im Vergleich zur Zeitspanne t 01 nicht geändert.<br />
12.) Anschließend wird der Topf von der Herdplatte genommen und unter dem Wasserhahn mit<br />
kaltem Wasser sehr schnell abgekühlt, bis im Topf Druckausgleich mit der Umgebung stattgefunden<br />
hat. Das Dampfablassventil V ist während dieses Vorgangs geschlossen. Bestimmen Sie<br />
die nun im Kochtopf vorliegende Temperatur T 3 .<br />
13.) Welche Wärmemenge Q 23 hat der Topfinhalt an die Umgebung abgegeben?<br />
21
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10. <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe <strong>8.</strong>10 (S. 391)<br />
Zur Kühlung eines Hochtemperaturreaktors wird ein Kreisprozess mit Gasturbinen eingesetzt. Helium<br />
(ideales Gas, R = 2077,3J/kgK, κ = 1,66) vom Zustand 1 (T 1 = 780K, p 1 = 70bar) erwärmt sich aufgrund<br />
der Reaktorabwärme ˙Q R = 6MW isobar bis auf die Temperatur T 2 = 1180K. Anschließend entspannt es<br />
in der adiabaten Turbine T1 (η T1,is = 0,94) auf den Druck p 3 (T 3 = 1110K), in der adiabaten Turbine T2<br />
auf den Druck p 4 = 52,4bar (T 4 = 1060K) und in Turbine T3 unter der Wärmeabgabe ˙Q T3 reibungsfrei<br />
auf den Druck p 5 (T 5 = 844,5K).<br />
Über Wellen treiben die Turbinen T1 und T2 die Verdichter V1 und V2 und Turbine T3 den Generator G<br />
(P G = 3015kW) an. Alle drei Wellen besitzen einen mechanischen Wirkungsgrad von η mech = 0,95. Im<br />
isobaren, nach außen hin adiabaten Wärmetauscher WT wird das Helium bis auf die Temperatur T 6<br />
und anschließend im isobaren Kühler K2 bis auf die Temperatur T 7 = 285K abgekühlt. Im adiabaten<br />
Verdichter V2 erfolgt eine verlustbehaftete Komprimierung zum Zustand 8 (p 5 < p 8 < p 4 ). Bevor das<br />
Helium im adiabaten Verdichter V1 (η V1,is = 0,96) bis auf den Druck p 10 = p 1 (T 10 = 376K) komprimiert<br />
wird, kühlt es im isobaren Kühler K1 bis zum Zustand 9 ab.<br />
1.) Stellen Sie die Zustände und Zustandsänderungen qualitativ in einem T - s - Diagramm dar!<br />
2.) Ermitteln Sie die Temperatur T 6 !<br />
3.) Berechnen Sie den Wirkungsgrad η ges des Kreisprozesses und den Massenstrom ṁ!<br />
4.) Welcher Druck p 3 ergibt sich nach der Turbine T1?<br />
5.) Berechnen Sie den isentropen Wirkungsgrad η T2,is der Turbine T2!<br />
22
6.) Ermitteln Sie die Verdichterleistungen P V1 und P V2 !<br />
7.) Welcher Wärmestrom ˙Q T3 wird von der Turbine T3 an die Umgebung abgegeben?<br />
<strong>8.</strong>) Berechnen Sie die Entropieproduktion Ṡ irr,V1 im Verdichter V1!<br />
23
<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
11. <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe <strong>8.</strong>11 (S. 392)<br />
Für die Beheizung eines Wohnhauses kommt eine Wärmepumpe zum Einsatz. Dabei wird der im<br />
Wärmetauscher übertragene Wärmestrom ˙Q 67 zur Erwärmung des Heizwasserstroms ṁ W genutzt.<br />
Die Anlage besteht aus einem Niederdruckkreis (Zustände 1 bis 4) und einem Hochdruckkreis (Zustände<br />
5 bis 8). Beide Kreisläufe sind durch den nach außen hin adiabaten Mitteldruckbehälter gekoppelt,<br />
in dem der Druck p MD = 6bar herrscht.<br />
Als Medium wird <strong>für</strong> diesen Kaltdampfprozess das Kältemittel R134a verwendet. Es durchläuft dabei<br />
folgende Zustände bzw. Zustandsänderungen:<br />
Niederdruckkreis:<br />
Massenstrom ṁ a<br />
1 → 2 adiabate Drosselung der gesättigten Flüssigkeit bis zur Temperatur T 2 = −26 ◦ C<br />
2 → 3 vollständige, isobare Verdampfung unter der Wärmeaufnahme ˙Q 23 von der Umgebung<br />
3 → 4 Adiabate Kompression des trocken gesättigten Dampfes auf den Druck p 4 = p MD ; isentroper<br />
Verdichterwirkungsgrad η is,Va = 0,8<br />
24
Hochdruckkreis:<br />
Massenstrom ṁ b<br />
5 → 6 Adiabate Kompression des trocken gesättigten Dampfes auf den Druck p 6 = 14bar ; isentroper<br />
Verdichterwirkungsgrad η is,Vb = 0,8<br />
6 → 7 vollständige, isobare Kondensation unter Abgabe der Heizwärme ˙Q 67 an das Heizwasser<br />
7 → 8 adiabate Drosselung auf den Druck p 8 = p MD<br />
Im nach außen hin adiabaten Wärmetauscher erwärmt sich unter Aufnahme des Wärmestroms ˙Q 67<br />
der Heizwassermassenstrom ṁ W = 0,2kg/s (Wärmekapazität c W = 4,18 kJ/kg) von T W1 = 20 ◦ C auf<br />
T W2 = 44 ◦ C. Sämtliche Zustandsänderungen sind als stationär zu betrachten.<br />
Auszug aus der Dampftafel <strong>für</strong> R134a:<br />
Sättigungszustand<br />
T p v ′ v ′′ h ′ h ′′ s ′ s ′′<br />
◦ C bar m 3 /kg m 3 /kg kJ/kg kJ/kg kJ/kgK kJ/kgK<br />
-26,00 1,02 0,0007 0,1882 16,82 231,62 0,0699 0,9390<br />
21,58 6,00 0,0008 0,0341 79,48 259,19 0,2999 0,9097<br />
52,43 14,00 0,0009 0,0140 125,26 273,40 0,4453 0,9003<br />
Überhitzter Dampf<br />
T p v h s<br />
◦ C bar m 3 /kg kJ/kg kJ/kgK<br />
30,00 6 0,0358 267,89 0,9388<br />
40,00 6 0,0377 278,09 0,9719<br />
52,43 14 0,0140 273,40 0,9003<br />
60,00 14 0,0149 283,10 0,9297<br />
———————————————————–<br />
1.) Stellen Sie die Zustände 1 bis 8 und die entsprechenden Zustandsänderungen qualitativ in einem<br />
T - s - Diagramm dar.<br />
2.) Zeichnen Sie die spezifische Wärmemenge q 67 in das T - s - Diagramm ein.<br />
3.) Ermitteln Sie die Wärmeleisung ˙Q 67 der Heizung.<br />
4.) Berechnen Sie unter Berücksichtigung des isentropen Wirkungsgrads η is,Va die spezifische<br />
technische Arbeit w t,Va des Niederdruckverdichters V a .<br />
5.) Wie groß ist der ist der Dampfgehalt x 2 nach der adiabaten Drossel D a ?<br />
6.) Bestimmen Sie die Austrittstemperatur T 6 aus dem Verdichter V b .<br />
7.) Berechnen Sie den Massenstrom ṁ b .<br />
<strong>8.</strong>) Ermitteln Sie den Massenstrom ṁ a . Stellen Sie dazu den 1. Hauptsatz am System „Mitteldruckbehälter“<br />
auf.<br />
9.) Bestimmen Sie die Leistungsziffer ɛ der Wärmepumpe.<br />
25
Teil II<br />
Musterlösungen
<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
Musterlösung zum 1. <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe 2.2<br />
Charakterisieren Sie die folgenden Systeme nach den Eigenschaften:<br />
offen - geschlossen, diabat - adiabat, ruhend - bewegt, homogen - heterogen - kontinuierlich.<br />
Beachten Sie hierbei die gegebenen Systemgrenzen!<br />
a) Perfekt isolierter Verdichter<br />
Lösung: offen, adiabat, ruhend, kontinuierlich<br />
b) Campingkocher in Betrieb<br />
Lösung: offen, diabat, ruhend, heterogen<br />
c) Lagerfeuer<br />
Lösung: offen, diabat, ruhend, heterogen<br />
d) Segelflugzeug<br />
Lösung: geschlossen, diabat, bewegt, heterogen<br />
e) Wärmeisolierter Backofen mit Kuchen<br />
Lösung: geschlossen, adiabat, ruhend, heterogen<br />
f) Homogen gerührter Kuchenteig im Backofen<br />
Lösung: geschlossen, diabat, ruhend, homogen<br />
g) Heizkörper<br />
Lösung: offen, diabat, ruhend, kontinuierlich<br />
h) Heizkörper in Heizungsanlage<br />
Lösung: geschlossen, diabat, ruhend, heterogen (die ganze Anlage) oder homogen (nur das<br />
zirkulierende Wasser)<br />
i) Glühbirne homogen<br />
Lösung: geschlossen, diabat, ruhend, homogen (nur die Gasfüllung) oder heterogen (gesamte<br />
Glühbirne)<br />
j) Kaffee in perfekt isolierter Thermoskanne in fahrendem Auto<br />
Lösung: geschlossen, adiabat, bewegt, homogen<br />
27
Aufgabe 3.4<br />
Um Gewicht zu sparen, werden bei Formel 1 - Rennen die Reifen der Rennwagen mit Helium befüllt.<br />
Im folgenden soll eine Luftfüllung mit einer Heliumfüllung verglichen werden.<br />
a) Berechnen Sie das von einem Autoreifen (D a = 60cm, D i = 40cm, B = 25cm) eingeschlossene<br />
Gasvolumen, wenn man die Geometrie vereinfacht als Hohlzylinder annimmt und die Dicke des<br />
Reifengummis vernachlässigt.<br />
Lösung:<br />
V = π (<br />
D<br />
2<br />
4 a − D 2 ) [ π (<br />
i B = 0,6 2 − 0,4 2) · 0,25]m 3 = 0,0392m 3<br />
4<br />
= 39,2l<br />
b) Wie viel Mol Luft und wie viel Mol Helium befinden sich im Autoreifen, wenn der Druck der<br />
Füllung p f = 2bar ü und deren Temperatur ϑ f = 20 ◦ C beträgt? Der Umgebungsdruck betrage<br />
p ∞ = 1013mbar.<br />
Lösung: Ideales Gas<br />
p V = n R T<br />
n Reifen = p V<br />
R T<br />
= 4,85mol<br />
=<br />
301300 · 0,0392<br />
8,314 · 293,15 mol<br />
c) Berechnen Sie die spezifischen Gaskonstanten von Luft (M Luft = 28,96 kg/kmol) und Helium<br />
(M He = 4,00 kg/kmol).<br />
Lösung:<br />
R m,Luft =<br />
R m,Helium =<br />
R = 8,314<br />
M Luft 0,02896 J /kgK<br />
= 287 J/kgK<br />
R<br />
= 8,314<br />
M Helium 0,004 J /kgK<br />
= 2078 J/kgK<br />
d) Bestimmen Sie die jeweilige sich im Autoreifen befindende Gasmasse.<br />
Lösung:<br />
m Luft = n Reifen M Luft = (4,85 · 28,96)g<br />
= 140,5g<br />
m Helium = n Reifen M Helium = (4,85 · 4)g<br />
= 19,4g<br />
28
e) Aufgrund von Rollreibung und mehrerer Abbremsmanöver erwärmt sich die Reifenfüllung<br />
um 10 ◦ C. Berechnen Sie <strong>für</strong> Luft und Helium den Überdruck, der sich nach der Erwärmung<br />
einstellt. Hierbei kann der Reifen als isochores System betrachtet werden, es findet also keine<br />
Volumenänderung statt.<br />
Lösung: Ideales Gas<br />
p V = n R T<br />
p ü = p Reifen − p ∞ = n Reifen R (T f + ∆T )<br />
− p ∞<br />
V<br />
4,85 · 8,314 · (293,15 + 10)<br />
= Pa − 101300Pa = 210534Pa<br />
0,0392<br />
= 2,10534bar<br />
29
<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
Musterlösung zum 2. <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe 3.10<br />
geg.: ideales Gas; T = 300K; p ′ = 2 p<br />
ges.: T ′ in K, ◦ C, F, R<br />
Die thermische Zustandsgleichung <strong>für</strong> ideale Gase lautet<br />
p V = m R T → p = m R<br />
V<br />
}{{}<br />
konst.<br />
T.<br />
Wenn also p ′ = 2 p, dann muss gelten T ′ = 2T = 600K. Der Behälter muss also so aufgeheizt werden,<br />
dass sich die Temperatur verdoppelt.<br />
ϑ C<br />
◦ C = T 600K<br />
− 273,15 = − 273,15 = 326,85<br />
K K<br />
→ ϑ C = 326,85 ◦ C<br />
ϑ F ϑ C<br />
F = 9 5<br />
◦ C + 32 = 9 5<br />
→ ϑ F = 620,33F<br />
326,85 ◦ C<br />
+ 32 = 620,33<br />
◦ C<br />
R = 9 T<br />
5 K = 9 600K<br />
5 K = 1080<br />
→ T R = 1080R<br />
T R<br />
Aufgabe 3.11<br />
geg.: Temperatur in F<br />
ges.: Temperatur in ◦ C<br />
Umrechnung erfolgt über<br />
ϑ F<br />
F = 9 5<br />
ϑ C<br />
◦ C + 32<br />
→ ϑ C = 5 9<br />
( ϑ<br />
F<br />
F − 32 )<br />
◦ C<br />
= 48,9 ◦ C.<br />
Es empfiehlt sich folglich in der klimatisierten Bibliothek zu lernen.<br />
30
Aufgabe 3.15<br />
geg.: ideales Gasgemisch; M O2 = 32 kg/kmol; M N2 = 28 kg/kmol; ψ O2 = 0,5; ψ N2 = 0,5<br />
ges.: ξ O2 ; ξ N2 ; M; R<br />
M = ∑ i<br />
ψ i M i = ψ O2 M O2 + ψ N2 M N2 = 0,5 · 32 kg/kmol + 0,5 · 28 kg/kmol<br />
= 30 kg/kmol<br />
ξ i = m i<br />
m = n i M i<br />
n M = ψ M i<br />
i<br />
M<br />
M O2<br />
ξ O2 = ψ O2<br />
M<br />
= 0,533<br />
∑<br />
ξ i = 1<br />
i<br />
→ ξ N2 = 1 − 0,533<br />
= 0,467<br />
= 0,5 · 32 kg/kmol<br />
30 kg/kmol<br />
R = R m<br />
M = 8,31451 kJ/kmolK<br />
30 kg/kmol<br />
= 277,15 J/kgK<br />
Analog <strong>für</strong> Luft mit einer Zusammensetzung von 21 % Sauerstoff und 79 % Stickstoff (Molanteile):<br />
M = 28,84 kg/kmol<br />
ξ O2 = 0,233<br />
ξ N2 = 0,767<br />
R = 288,3J/kgK<br />
geg.: V = 1m 3 ; m = 1kg; T = 1000K; R = 277,15 J/kgK<br />
ges.: p<br />
m R T = p V<br />
→ p = m R T = 1kg · 277,15 J/kgK · 1000K<br />
V<br />
1m 3 = 277150Pa<br />
= 2,7715bar<br />
31
Aufgabe 3.16<br />
geg.: V = 5l = 5 · 10 −3 m 3 , ζ W = 0,5, ζ A = 0,5, ρ W = 1000 kg/m 3 , ρ A = 850 kg/m 3<br />
ges.: m ges<br />
ρ A V A<br />
ζ A = 0,5 =<br />
ρ A V A + ρ W V W<br />
→ ρ A<br />
ρ W<br />
= V W<br />
V A<br />
V −V A<br />
V A<br />
= 5 · 10−3 m 3<br />
V A<br />
− 1<br />
[( )<br />
]<br />
ρA<br />
1 −1<br />
V A = + 1 ·<br />
ρ W 5 · 10 −3 m 3<br />
= 2,7027 · 10 −3 m 3<br />
→ V W = V −V A<br />
= 2,297 · 10 −3 m 3<br />
m W = V W · ρ W<br />
= 2,297kg<br />
→ m A = V A · ρ A<br />
= 2,297kg<br />
m ges = m W + m A<br />
≈ 4,59kg<br />
Die Frage, ob man mehr Masse mit reinem Wasser oder Wasser/Alkohol-Gemisch einfüllen kann, lässt<br />
sich wie folgt beantworten:<br />
ρ G < ρ W | ·V → m G < m W .<br />
Man kann also mehr Masse mit reinem Wasser einfüllen.<br />
Hinweis: Die Berechnung über eine falsch berechnete gemittelte Dichte führt zu einem falschen<br />
Ergebnis:<br />
ρ ≠ ∑ i<br />
ζ i ρ i = ρ W + ρ A<br />
2<br />
= 925 kg/m 3 (<br />
richtig: ρ = 918,82 kg/m 3)<br />
Eine Berechnung über<br />
ρ = m A + m W<br />
V<br />
= ρ W V W + ρ A V A<br />
V<br />
= ...<br />
würde aber zum richtigen Ergebnis führen.<br />
Der Grund, dass es über die einfache Mittelung nicht funktioniert ist der, dass die jeweilige Dichte der<br />
Komponente eine Größe des Gewichts bezogen auf ein Volumen ist. Da aber die jeweiligen Volumina<br />
32
der Komponenten (obwohl ihre Massenverteilung 1:1 ist) nicht identisch sind, funktioniert das hier<br />
nicht.<br />
Eine Berechnung über Volumenprozente X i wäre zwar richtig, würde aber hier nicht zum Ergebnis<br />
führen, da diese Werte nicht gegeben sind:<br />
ρ = ∑ i<br />
X i ρ i .<br />
33
<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
Musterlösung zum 3. <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe 4.12<br />
a) Perfekt isolierter Verdichter<br />
Lösung:<br />
dE Sys<br />
dt<br />
= ∑ ˙Q i + ∑ Ẇ i + ∑ ṁ i<br />
(<br />
0 = 0 +Ẇ t + ṁ<br />
[<br />
h i + g z i + c2 i<br />
2<br />
)<br />
| stationär, adiabat<br />
h ein − h aus + g (z ein − z aus ) + c2 ein − c2 aus<br />
2<br />
]<br />
b) Campingkocher in Betrieb<br />
Lösung: offen, diabat, ruhend, heterogen, instationär<br />
c) Lagerfeuer<br />
E Sys,2 − E Sys,1 = ∑ Q i ,12 + ∑ W i ,12 + ∑ m i ,12<br />
(<br />
( )<br />
U 2 −U 1 = Q 12 + m 12 h aus + c2 aus<br />
2<br />
Lösung: offen, diabat, ruhend, heterogen, instationär<br />
E Sys,2 − E Sys,1 = ∑ Q i ,12 + ∑ W i ,12 + ∑ m i ,12<br />
(<br />
U 2 −U 1 = Q 12 + m ein h ein − m aus h aus<br />
)<br />
h i ,12 + g z i ,12 + c2 i ,12<br />
2<br />
)<br />
h i ,12 + g z i ,12 + c2 i ,12<br />
2<br />
d) Segelflugzeug<br />
Lösung: geschlossen, diabat, bewegt, heterogen, instationär<br />
E Sys,2 − E Sys,1 = ∑ Q i ,12 + ∑ W i ,12 + ∑ m i ,12<br />
(<br />
m<br />
[<br />
u 2 − u 1 + g (z 2 − z 1 ) + c2 2 − c2 1<br />
2<br />
]<br />
= Q 12<br />
)<br />
h i ,12 + g z i ,12 + c2 i ,12<br />
2<br />
34
e) Wärmeisolierter Backofen mit Kuchen<br />
Lösung: geschlossen, adiabat, ruhend, heterogen, instationär<br />
E Sys,2 − E Sys,1 = ∑ Q i ,12 + ∑ W i ,12 + ∑ m i ,12<br />
(<br />
U 2 −U 1 = W 12 = P el ∆t<br />
)<br />
h i ,12 + g z i ,12 + c2 i ,12<br />
2<br />
f) Homogen gerührter Kuchenteig im Backofen<br />
Lösung: geschlossen, diabat, ruhend, homogen, instationär<br />
E Sys,2 − E Sys,1 = ∑ Q i ,12 + ∑ W i ,12 + ∑ m i ,12<br />
(<br />
U 2 −U 1 = Q 12<br />
)<br />
h i ,12 + g z i ,12 + c2 i ,12<br />
2<br />
g) Heizkörper<br />
Lösung: offen, diabat, ruhend, kontinuierlich, stationär<br />
dE Sys<br />
dt<br />
= ∑ ˙Q i + ∑ Ẇ i + ∑ ṁ i<br />
(<br />
0 = ˙Q + ṁ (h ein − h aus )<br />
h i + g z i + c2 i<br />
2<br />
)<br />
h) Heizkörper in Heizungsanlage<br />
Lösung: geschlossen, diabat, ruhend, heterogen (die ganze Anlage) oder homogen (nur das<br />
zirkulierende Wasser), instationär<br />
E Sys,2 − E Sys,1 = ∑ Q i ,12 + ∑ W i ,12 + ∑ m i ,12<br />
(<br />
U 2 −U 1 = Q 12<br />
)<br />
h i ,12 + g z i ,12 + c2 i ,12<br />
2<br />
i) Glühbirne direkt nach dem Einschalten<br />
Lösung: geschlossen, diabat, ruhend, homogen (nur die Gasfüllung) oder heterogen (gesamte<br />
Glühbirne), instationär<br />
E Sys,2 − E Sys,1 = ∑ Q i ,12 + ∑ W i ,12 + ∑ m i ,12<br />
(<br />
U 2 −U 1 = Q 12 + P el ∆t<br />
)<br />
h i ,12 + g z i ,12 + c2 i ,12<br />
2<br />
j) Kaffee in perfekt isolierter Thermoskanne in fahrendem Auto<br />
Lösung: geschlossen, adiabat, bewegt, homogen, instationär<br />
E Sys,2 − E Sys,1 = ∑ Q i ,12 + ∑ W i ,12 + ∑ m i ,12<br />
(<br />
m<br />
[<br />
u 2 − u 1 + g (z 2 − z 1 ) + c2 2 − c2 1<br />
2<br />
]<br />
= 0<br />
)<br />
h i ,12 + g z i ,12 + c2 i ,12<br />
2<br />
35
Aufgabe 4.13<br />
geg: l, b, t, p ∞<br />
ges: W v,∞<br />
Es ist nach der an der Umgebung verrichteten Arbeit gefragt, somit stellt die Umgebung in diesem Fall<br />
das betrachtete System dar. Die Volumenänderung (V ∞,2 −V ∞,1 ) ist negativ, da durch die Befüllung<br />
des Pools das „Umgebungsvolumen“ abnimmt.<br />
W v,∞ = −<br />
∫ 2<br />
1<br />
= 12,5MJ<br />
p ∞ dV ∞ = −p ∞<br />
(<br />
V∞,2 −V ∞,1<br />
)<br />
= −10 5 Pa · (−125m 3) = 12500000J<br />
Aufgabe 4.14<br />
geg: m, c Ton , T ∞ , T max , ˙Q Verlust , Ziegeldurchsatz ż<br />
a) ges: Q Ton<br />
E Sys,2 − E Sys,1 = ∑ Q i ,12 + ∑ W i ,12 + ∑ m i ,12<br />
(<br />
m c Ton (T max − T ∞ ) = Q Ton<br />
Q Ton = 4,956MJ<br />
)<br />
h i ,12 + g z i ,12 + c2 i ,12<br />
2<br />
b) ges: P el<br />
P el = Q Ton ż + ˙Q Verlust = 8,083MW<br />
36
<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
Musterlösung zum 4. <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe 4.15<br />
Wir stellen zuerst den 1. Hauptsatz der <strong>Thermodynamik</strong> (Leistungsbilanz) in allgemeiner Form auf:<br />
dE Sys<br />
dt<br />
= ∑ i<br />
˙Q i + ∑ j<br />
Ẇ j + ∑ e<br />
ṁ e<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )e<br />
− ∑ a<br />
Mit Hilfe folgender Annahmen kann dieser vereinfacht werden:<br />
• stationär: dE Sys<br />
= 0 und ṁ e = ṁ a = ṁ,<br />
dt<br />
• offen: ṁ ≠ 0,<br />
• adiabat: ˙Q i = 0,<br />
• keine Arbeitseinwirkung von außen: Ẇ j = 0.<br />
Somit ergibt sich:<br />
Mit<br />
(<br />
)<br />
0 = ṁ h e − h a + c2 e<br />
2 − c2 a<br />
2 + g z e − g z a<br />
| : ṁ.<br />
(<br />
ṁ a h + c2<br />
2<br />
)a<br />
+ g z .<br />
h = u + p v = c v T + p ρ<br />
folgt:<br />
c v T e + p e<br />
ρ e<br />
+ c2 e<br />
2 + g z e = c v T a + p a<br />
ρ a<br />
+ c2 a<br />
2 + g z a.<br />
Mit den Annahmen isotherm: T e = T a = T und inkompressibel: ρ e = ρ a = ρ erhält man<br />
c v T + p e<br />
ρ + c2 e<br />
2 + g z e = c v T + p a<br />
ρ + c2 a<br />
2 + g z a | − (c v T ) | · ρ<br />
und daraus wiederum<br />
p e + ρ 2 c2 e + ρg z e = p a + ρ 2 c2 a + ρ g z a.<br />
Aufgabe 4.16<br />
1.) Wir stellen den 1. Hauptsatz am System Wasserstrahl von der Auslassdüse bis zur maximalen Höhe<br />
H des Strahls auf. Wie in Aufgabe 1 vereinfacht er sich zu<br />
(<br />
)<br />
0 = ṁ h e − h a + c2 e<br />
2 − c2 a<br />
2 + g z e − g z a<br />
37
und über die oben gezeigten Schritte zu<br />
p AD + ρ 2 c2 AD + ρ g z AD = p H + ρ 2 c2 H + ρ g z H.<br />
Die Druckunterschiede zwischen den beiden Punkten können vernachlässigt werden: p AD = p H .<br />
Das Nullniveau wird auf AD gelegt: z AD = 0; z H = H. Das Wasser hat in der Höhe H gerade keine<br />
Geschwindigkeit mehr: c H = 0. Daraus folgt:<br />
ρ<br />
2 c2 AD = ρ g H<br />
H = c2 AD<br />
2 g = (10 m/s) 2<br />
2 · 9,81 m/s 2<br />
= 5,1m.<br />
2.) Wieder stellen wir den 1. Hauptsatz mit den Bedingungen aus Aufgabe 1 auf, diesmal von der<br />
Wasseroberfläche OF zum Einlassstutzen ES:<br />
p OF + ρ 2 c2 OF + ρ g z OF = p ES + ρ 2 c2 ES + ρ g z ES.<br />
Keine Geschwindigkeiten an OF und ES: c OF = c ES = 0. Das Nullniveau wird bei ES festgelegt: z ES = 0<br />
und z OF = t.<br />
p ES = p OF + ρ g t = 101300Pa + 1000 kg/m 3 · 10m · 9,81 m/s 2 = 199400Pa<br />
= 1,994bar<br />
3.) Die spezifische Verschiebearbeit w s,ES am Einlassstutzen ergibt sich aus dem gerade berechneten<br />
Druck p ES am Einlassstutzen und der Dichte des Wassers:<br />
w s,ES = p ES v = p ES<br />
ρ<br />
= 199,4J/kg.<br />
4.) Die spezifische Enthalpiedifferenz erhält man aus dem allgemeinen Zusammenhang h = u + p v<br />
sowie der kalorischen Zustandsgleichung <strong>für</strong> inkompressible Flüssigkeiten: ∆u = c w ∆T . Mit c w =<br />
4,19 kJ/kgK und T AD = T ES = T W = 293K ergibt sich <strong>für</strong> ∆h:<br />
∆h = h AD − h ES = c w (T AD − T ES ) + ( p ∞ − p ES<br />
)<br />
vw = ( p ∞ − p ES<br />
)<br />
vw<br />
= (101300 N/m 2 − 199400 N/m 2 ) · 1 m 3 /1000kg<br />
= −98 J/kg.<br />
5.) Den Massenstrom erhält man aus Fließgeschwindigkeit, Dichte und der durchströmten Fläche:<br />
A = D2 AD π<br />
= (0,04m)2 π<br />
4<br />
4<br />
= 1,257 · 10 −3 m 2<br />
ṁ = ρ A c AD = 1000 kg/m 3 · 1,257 · 10 −3 m 2 · 10 m/s<br />
= 12,57 kg/s.<br />
38
6.) Für die spezifische technische Arbeit stellen wir eine Leistungsbilanz auf:<br />
dE Sys<br />
dt<br />
= ∑ i<br />
˙Q i + ∑ j<br />
Ẇ j + ∑ e<br />
ṁ e<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )e<br />
− ∑ a<br />
(<br />
ṁ a h + c2<br />
2<br />
)a<br />
+ g z .<br />
Mit<br />
(<br />
einer Division<br />
)<br />
durch ṁ, dem Wegstreichen der Wärmeströme ˙Q, einer stationären Betrachtung<br />
dESys<br />
= 0 , der spezifischen Enthalpiedifferenz ∆h (siehe Aufgabe 2.4), der Geschwindigkeit am<br />
dt<br />
Einlassstutzen c ES = 0, der Höhendifferenz z = 15m und Auflösen nach w t ergibt sich:<br />
w t = ∆h + g z + c2 AD<br />
2 = −98 J/kg + 9,81 N/kg · 15m + (10 m/s) 2<br />
2<br />
= 99,05 J/kg.<br />
7.) Der Gesamtwirkungsgrad besteht aus den Einzelwirkungsgraden η mech und η el und ergibt sich zu<br />
η ges = η mech · η el = 0,98 · 0,96 = 0,940<strong>8.</strong><br />
D.h. nur 94,08 % können <strong>für</strong> technische Arbeit genutzt werden, der Rest ist Abwärme. Um die<br />
benötigte technische Arbeitsleistung aufzubringen, muss die Pumpe<br />
P el = ṁ · w t ·<br />
= 1,325kW<br />
1 ṁ · w t<br />
=<br />
= 12,57 kg/s · 99,15 J/kg<br />
η ges η mech · η el 0,98 · 0,96<br />
in Form von elektrischer Leistung aufnehmen.<br />
Der Abwärmestrom ist jetzt die Differenz zwischen aufgenommener (hier: elektrischer) und<br />
abgegebener Nutzleistung<br />
˙Q Motor = P el − ṁ · w t = 1325W − 12,57 kg/s · 99,15 J/kg<br />
= 78,43W.<br />
<strong>8.</strong>) Die elektrische Leistung bei Sommerbetrieb P el2 wird wie in Aufgabe 2.7 berechnet, wobei der<br />
Massenstrom ṁ und die Wirkungsgrade η mech , η el gleich bleiben - die spezifische technische Arbeit<br />
w t2 wird wie in Aufgabe 2.6 bestimmt. Mit<br />
und<br />
∆h = 1 ρ<br />
= −g t 2<br />
( ) 1 [<br />
p∞ − p ES = p∞ − ( )] 1 ( )<br />
p ∞ + ρ g t 2 = −ρ g t2<br />
ρ<br />
w t2 = ∆h + g z + c2 AD<br />
2 = g (z − t 2) + c2 AD<br />
2 = 9,81 N/kg · (15m − 7m) + (10 m/s) 2<br />
2<br />
= 128,48 J/kg<br />
ergibt sich die gesuchte Leistung<br />
P el2 =<br />
ṁ w t2<br />
= 12,57 kg/s · 128,48 J/kg<br />
η mech η el 0,98 · 0,96<br />
= 1,72kW.<br />
ρ<br />
39
<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
Musterlösung zum 5. <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe 4.17<br />
Die kinetische und potentielle Energie aller Fluide kann in allen Teilaufgaben vernachlässigt werden.<br />
c 2<br />
2 = 0<br />
g z = 0<br />
1.) In der ersten Aufgabe soll der Luftmassenstrom ṁ Luft , der durch den Kühler strömt, berechnet<br />
werden. Hierzu wird die Kontinuitätsgleichung<br />
ṁ = ρ c A<br />
verwendet. Die Geschwindigkeit des Autos c kfz ist gegeben. Die rechteckige Fläche des Kühlers kann<br />
aus der gegebenen Breite b Kühler und der gegebenen Höhe h Kühler berechnet werden. Die Dichte<br />
der Luft ρ Luft erhält man über das ideale Gasgesetz.<br />
ρ Luft =<br />
p Luft<br />
R Luft T ∞<br />
=<br />
= 1,205 kg/m 3<br />
1,013bar<br />
287 J/kgK · 298K<br />
A Kühler = b Kühler h Kühler = 0,5m · 0,35m<br />
= 0,175m 2<br />
ṁ Luft = ρ Luft c kfz A Kühler = 1,205 kg/m 3 · 120 km/h · 0,175m 2<br />
= 7,03 kg/s<br />
2.) In der zweiten Aufgabe soll der von der Luft an das Kühlwasser übertragene Wärmestrom ˙Q Luft<br />
berechnet werden. Da das Auto mit einer konstanten Geschwindigkeit fährt, handelt es sich um<br />
einen stationären Strömungsvorgang. Somit wird der erste Hauptsatz als Leistungsbilanz aufgestellt.<br />
1. Hauptsatz der <strong>Thermodynamik</strong> in allgemeiner Form am System Luft:<br />
dE Sys<br />
dt<br />
= ∑ i<br />
˙Q i + ∑ j<br />
Ẇ j + ∑ e<br />
ṁ e<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )e<br />
− ∑ a<br />
ṁ a<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )a<br />
• stationär: dE Sys<br />
dt<br />
• keine Arbeiten: Ẇ j = 0<br />
= 0 und ṁ = ṁ e = ṁ a = ṁ Luft<br />
• auftretende Wärmeströme: ˙Q Luft<br />
Damit vereinfacht sich der 1. Hauptsatz zu:<br />
0 = ˙Q Luft + ṁ Luft (h e − h a ).<br />
40
Da die Luft als ideales Gas betrachtet wird, kann die Enthalpiedifferenz durch das Produkt der<br />
isobaren Wärmekapazität und der Temperaturdifferenz dargestellt werden. Unter Berücksichtigung,<br />
dass der von der Luft abgegebene Wärmestrom gesucht ist folgt:<br />
0 = − ˙Q Luft + ṁ Luft c p,Luft (T ∞ − T LA )<br />
˙Q Luft = ṁ Luft c p,Luft (T ∞ − T LA ) = 7,03 kg/s · 1004,5J/kgK · (293K − 303K)<br />
= −70,62kW.<br />
3.) Unter Vernachlässigung der Verschiebearbeit soll die Kühlwasseraustrittstemperatur T WA bei<br />
gegebener spezifischer Wärmekapazität c w , gegebenem Kühlwassermassenstrom ṁ Wasser und<br />
gegebener Kühlwassereintrittstemperatur T WE berechnet werden. Analog zur Aufgabe 2 wird der<br />
1. Hauptsatz am System Kühlwasser aufgestellt.<br />
1. Hauptsatz der <strong>Thermodynamik</strong> in allgemeiner Form am System Kühlwasser:<br />
dE Sys<br />
dt<br />
= ∑ i<br />
˙Q i + ∑ j<br />
Ẇ j + ∑ e<br />
ṁ e<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )e<br />
− ∑ a<br />
ṁ a<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )a<br />
• stationär: dE Sys<br />
dt<br />
• keine Arbeiten: Ẇ j = 0<br />
= 0 und ṁ = ṁ e = ṁ a = ṁ Wasser<br />
• auftretende Wärmeströme: ˙Q Wasser<br />
Damit vereinfacht sich der 1. Hauptsatz zu:<br />
0 = ˙Q Wasser + ṁ Wasser c w (T WE − T WA ).<br />
Da der Wärmestrom von der Luft vollständig auf das Wasser übertragen wird gilt:<br />
˙Q Wasser = ˙Q Luft .<br />
T WA =<br />
˙Q Wasser<br />
−70,62kW<br />
+ T WE =<br />
ṁ Wasser c w 0,35 kg/s · 4,19 + 363K<br />
kJ/kgK<br />
= 314,84K<br />
( )<br />
Die Verschiebearbeit Ẇ = ṁWasser<br />
ρ pein<br />
Wasser<br />
− p aus kann vernachlässigt werden, denn<br />
Ẇ = ṁWasser ( ) 0,35 kg/s<br />
pein − p aus =<br />
ρ Wasser 1000 · 1bar<br />
kg/m 3<br />
= 35W ≪ − ˙Q Wasser = − ˙Q Luft .<br />
41
4.) Im ersten Teil der Aufgabe soll der Wärmestrom ˙Q Luft,min , der mindestens über die Kühlluft<br />
abgeführt werden muss, berechnet werden, wenn die maximal zulässige Austrittstemperatur des<br />
Kühlwassers aus dem Kühler T WA,max = 353K beträgt.<br />
1. Hauptsatz der <strong>Thermodynamik</strong> in allgemeiner Form am System Kühlwasser:<br />
dE Sys<br />
dt<br />
= ∑ i<br />
˙Q i + ∑ j<br />
Ẇ j + ∑ e<br />
ṁ e<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )e<br />
− ∑ a<br />
(<br />
ṁ a h + c2<br />
2<br />
)a<br />
+ g z .<br />
• stationär: dE Sys<br />
dt<br />
• keine Arbeiten: Ẇ j = 0<br />
= 0 und ṁ = ṁ e = ṁ a = ṁ Wasser<br />
• auftretende Wärmeströme: ˙Q Wasser,min<br />
Damit vereinfacht sich der 1. Hauptsatz zu:<br />
0 = ˙Q Wasser,min + ṁ Wasser c w<br />
(<br />
TWE − T WA,max<br />
)<br />
˙Q Wasser,min = ṁ Wasser c w<br />
(<br />
TWA,max − T WE<br />
)<br />
= 0,35 kg/s · 4,19 kJ/kgK · (353K − 363K)<br />
= −14,67kW.<br />
Es gilt wiederum: ˙Q Luft,min = ˙Q Wasser,min = −14,67kW.<br />
Im zweiten Aufgabenteil soll die Mindestgeschwindigkeit des Autos berechnet werden, die benötigt<br />
wird um die Kühlwassertemperatur im Tank konstant zu halten.<br />
1. Hauptsatz der <strong>Thermodynamik</strong> in allgemeiner Form am System Luft:<br />
dE Sys<br />
dt<br />
= ∑ i<br />
˙Q i + ∑ j<br />
Ẇ j + ∑ e<br />
ṁ e<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )e<br />
− ∑ a<br />
(<br />
ṁ a h + c2<br />
2<br />
)a<br />
+ g z .<br />
• stationär: dE Sys<br />
dt<br />
• keine Arbeiten: Ẇ j = 0<br />
= 0 und ṁ = ṁ e = ṁ a = ρ Luft A Kühler c kfz<br />
• auftretende Wärmeströme: ˙Q Luft,min<br />
Damit vereinfacht sich der 1. Hauptsatz zu:<br />
c kfz,min =<br />
0 = − ˙Q Luft,min + ρ Luft c kfz,min A Kühler c p,Luft (T ∞ − T LA )<br />
=<br />
˙Q Luft,min<br />
ρ Luft A Kühler c p,Luft (T ∞ − T LA )<br />
−14,67kW<br />
1,205 kg/m 3 · 0,175m 2 · 1004,5J/kgK · (293K − 303K) = 6,9 m/s<br />
= 24,9km/h.<br />
5.) Maßnahmen zur Vermeidung einer Überhitzung des Kühlwassers im Stau:<br />
• Heizung anschalten<br />
• Ventilator zuschalten um Strömungsgeschwindigkeit zu erhöhen<br />
• . . .<br />
42
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Musterlösung zum 6. <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe 5.4<br />
Kinetische und potentielle Energien sind <strong>für</strong> alle Teilaufgaben zu vernachlässigen:<br />
c 2<br />
2 = 0<br />
g z = 0.<br />
1.) Gesucht ist die Temperatur T b der Luft nach dem Verdichter. Zum Lösen der Aufgabe sind die<br />
Eintrittstemperatur T a , die spezifische technische Arbeit w t (die im Verdichter zugeführt wird)<br />
und c p,Luft gegeben. Der 1. Hauptsatz wird als Leistungsbilanz aufgestellt, da es sich um einen<br />
stationären Strömungsvorgang handelt.<br />
1. Hauptsatz der <strong>Thermodynamik</strong> in allgemeiner Form:<br />
dE Sys<br />
dt<br />
= ∑ i<br />
˙Q i + ∑ j<br />
Ẇ j + ∑ e<br />
ṁ e<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )e<br />
− ∑ a<br />
ṁ a<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )a<br />
• stationär: dE Sys<br />
= 0 und ṁ e = ṁ a = ṁ<br />
dt<br />
• offen: ṁ ≠ 0<br />
• adiabat: ˙Q i = 0<br />
• Arbeitseinwirkung von außen: Ẇ j = w t · ṁ<br />
dE Sys<br />
= ∑ ˙Q i + ∑ Ẇ j + ∑ (<br />
ṁ e h + c2<br />
}<br />
dt<br />
{{ } i j e 2 + g z −<br />
)e ∑ (<br />
ṁ a h + c2<br />
a 2<br />
)a<br />
+ g z } {{ }<br />
=0<br />
} {{ } } {{ }<br />
=0 =ṁ·w t<br />
=ṁ(h e −h a )<br />
Damit vereinfacht sich der 1. Hauptsatz zu:<br />
0 = ṁ · w t + ṁ (h e − h a ) | : ṁ<br />
0 = w t + c p,Luft (T ein − T aus ).<br />
Es ergibt sich<br />
T aus = T b =<br />
= 890,31K.<br />
w t<br />
+ T ein =<br />
600 kJ/kg<br />
c + 293K<br />
p,Luft 1004,5J/kgK<br />
43
2.) Der Befüllvorgang soll weiter untersucht werden, indem jetzt die Temperatur T c der Luft nach der<br />
adiabaten Drossel ermittelt wird.<br />
Der 1. Hauptsatz kann wie in Aufgabe 1 aufgestellt und vereinfacht werden. Dadurch ergibt sich ein<br />
einfacher Zusammenhang der <strong>für</strong> eine adiabate Drossel grundsätzlich gilt:<br />
h ein = h aus<br />
T ein = T aus .<br />
Damit ist die Temperatur nach der Drossel D gleich der Temperatur nach dem Verdichter.<br />
T c = 890,31K<br />
3.) Die Luftmasse in der Tauchflasche vor dem Befüllvorgang lässt sich einfach über das ideale<br />
Gasgesetz beschreiben. Druck und Temperatur entsprechen den Umgebungsbedingungen.<br />
Berechnung mit idealem Gasgesetz:<br />
m R T = p V<br />
aufgelöst<br />
m Anfang =<br />
p Anfang V F<br />
R Luft T Anfang<br />
=<br />
= 0,01205kg (= m 1 ).<br />
1,013bar · 10l<br />
287 J/kgK · 293K<br />
4.) Die im Zeitintervall t 12 = 10min = 600s eingefüllte Luftmasse ergibt sich durch einen Vergleich der<br />
nutzbaren Motorleistung und der spezifischen technischen Arbeit w t , die einem kg Luft zugeführt<br />
wird.<br />
P M,nutz = η mech · P M = 0,98 · 2kW<br />
= 1,96kW<br />
Das ist die Leistung, die im Verdichter genutzt werden kann. Außerdem gilt:<br />
P M,nutz · t 12 = m 12 · w t .<br />
Durch mathematische Umformung erhält man:<br />
m 12 = P M,nutz · t 12<br />
w t<br />
= 1,96kg.<br />
1,96kW · 600s<br />
=<br />
600 kJ/kg<br />
5.) Betrachtet wird nun die befüllte Tauchflasche. In ihr hat sich der Druck auf p 2 = 200bar erhöht.<br />
Da die Luftmasse und das Volumen der Tauchflasche bekannt sind, kann über das ideale Gasgesetz<br />
auf die Temperatur T 2 nach dem Befüllvorgang geschlossen werden.<br />
Der gesamte Inhalt der Tauchflasche setzt sich zusammen aus der Luft, die schon vor dem<br />
Befüllvorgang in der Tauchflasche war (m 1 = 0,01205kg berechnet in Teilaufgabe 3) und der Luft,<br />
die mithilfe der Motorleistung über den Verdichter in die Flasche gepumpt wird (Teilaufgabe 4:<br />
m 12 = 1,96kg).<br />
m 2 = m Anfang + m 12 = 1,97205kg<br />
44
Berechnung über ideales Gasgesetz:<br />
aufgelöst<br />
m R T = p V<br />
T 2 =<br />
p 2 V F<br />
m 2 R Luft<br />
=<br />
= 353,37K.<br />
200bar · 10l<br />
1,97205kg · 287 J/kgK<br />
6.) Während des Befüllvorgangs hat die diabate Tauchflasche Wärme an die Umgebung abgegeben.<br />
Zur Berechnung muss sowohl die innere Energie der Luftmasse in der Tauchflasche vor und<br />
nach der Befüllung berücksichtigt werden (∆U ), aber auch die Enthalpie der eingeströmten Luft<br />
h c = c p,Luft · T c (T c wurde in Teilaufgabe 2 berechnet).<br />
Noch klarer wird dies, wenn wir uns den 1. Hauptsatz vor Augen führen. Diesmal als Energiebilanz:<br />
∆U = ∑ i<br />
Q i + ∑ j<br />
W j + ∑ e<br />
• instationär: U 2 −U 1 ≠ 0<br />
• abgegebene Wärme: Q i ≠ 0<br />
m e<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )e<br />
− ∑ a<br />
• keine Arbeitseinwirkung von außen: W j = 0<br />
m a<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )a<br />
∆U = ∑ Q i + ∑ W j + ∑<br />
i j e<br />
} {{ } } {{ }<br />
=Q 12<br />
=0<br />
m e<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )e<br />
} {{ }<br />
m 12·h c<br />
Dann vereinfacht sich der 1. Hauptsatz zu:<br />
∆U = Q 12 + m 12 · h c .<br />
− ∑ (<br />
m a h + c2<br />
a 2<br />
)a<br />
+ g z } {{ }<br />
=0 reiner Befüllvorgang<br />
Wie schon erwähnt entspricht ∆U der Differenz der inneren Energie in der Tauchflasche vor und<br />
nach dem Befüllvorgang. Die innere Energie U berechnet sich wie folgt:<br />
wobei<br />
U = m · c v,Luft · T,<br />
c v,Luft = c p,Luft − R = 717,5J/kgK<br />
U 2 −U 1 = ∆U = m 2 · c v · T 2 − m 1 · c v · T 1<br />
Q 12 = m 2 · c v · T 2 − m 1 · c v · T 1 − m 12 · c p,Luft · T c<br />
= −1,2554MJ.<br />
45
7.) Die Tauchflasche wird nun vom Befüllsystem abgetrennt und verschlossen. In ihr kühlt sich die Luft<br />
weiterhin bis auf Umgebungsniveau ab, wobei eine bestimmte Wärmemenge Q 23 übertragen wird.<br />
Zur Berechnung der abgegebenen Wärme dient derselbe Ansatz wie in Aufgabe 6, jedoch mit der<br />
Vereinfachung eines geschlossenen Systems.<br />
∆U = Q 23<br />
Q 23 = m 2 · c v · T 3 − m 2 · c v · T 2<br />
Q 23 = 1,97205kg · 717,5J/kgK · (353,37K − 293K)<br />
= −85,42kJ<br />
Berechnung des Drucks über ideales Gasgesetz (m 2 = m 3 ):<br />
p 3 = m 3 R Luft T ∞<br />
V F<br />
= 165,83bar.<br />
= 1,97205kg · 287 J/kgK · 293K<br />
10l<br />
46
<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
Musterlösung zum 7. <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe 5.5<br />
1.) Hier kann einfach der Zusammenhang <strong>für</strong> eine isentrope Zustandsänderung verwendet werden:<br />
T ∗ ( ) κ−1<br />
b pb κ<br />
= ,<br />
T ∞ p ∞<br />
woraus sich <strong>für</strong> T ∗ b ergibt:<br />
T ∗ b = T ∞<br />
= 476,9K.<br />
( ) κ−1 ( ) 1,4−1<br />
pb κ<br />
4,2bar 1,4<br />
= 220K<br />
p ∞ 0,28bar<br />
2.) Über den isentropen Wirkungsgrad am Verdichter η is erschließt sich jetzt die tatsächliche Temperatur<br />
T b :<br />
η is = T ∗ b − T ∞<br />
T b − T ∞<br />
⇒ T b =<br />
(<br />
T<br />
∗<br />
b − T )<br />
∞<br />
+ T ∞ = 1 (476,9K − 220K) + 220K<br />
η is 0,88<br />
= 511,96K.<br />
3.) Über den Zusammenhang zwischen den thermischen Zustandsgrößen p und T bei einer polytropen<br />
Zustandsänderung und ein paar Umformungen lässt sich der Polytropenexponent n V des<br />
Verdichters berechnen.<br />
Erstmal allgemein:<br />
T<br />
( 2 p2<br />
) n−1<br />
n<br />
=<br />
T 1 p 1<br />
⇒ ln T (<br />
2 p2<br />
) n−1<br />
n<br />
= ln<br />
T 1 p 1<br />
⇒ ln T 2<br />
T 1<br />
= n − 1<br />
n ln p 2<br />
p 1<br />
,<br />
weiter<br />
⇒ n ln T 2<br />
T 1<br />
ln p = n − 1 ⇒ 1 = n<br />
(1 − ln T 2<br />
T 1<br />
2<br />
p 1<br />
ln p 2<br />
und schließlich<br />
⇒ n =<br />
(1 + ln T 2<br />
T 1<br />
ln p 1<br />
p 2<br />
)−1<br />
.<br />
p 1<br />
)<br />
47
An unsere Aufgabe angepasst bedeutet das:<br />
n V =<br />
(1 + ln T b<br />
T ∞<br />
= 1,453.<br />
ln p ∞<br />
p b<br />
)−1<br />
=<br />
(<br />
1 +<br />
)<br />
511,96K −1<br />
ln<br />
220K<br />
ln 0,28bar<br />
4,2bar<br />
4.) Wie in der Angabe gefordert stellen wir den 1. Hauptsatz am Verdichter V auf.<br />
Allgemein:<br />
dE Sys<br />
= ∑<br />
}<br />
dt<br />
{{ } i=1<br />
=0, stationär<br />
W˙<br />
i + ∑ ˙<br />
j =1<br />
Q j<br />
} {{ }<br />
=0, adiabat<br />
+ ∑ k=1ṁ · e k .<br />
Wir eliminieren ṁ, ersetzen das jeweilige h und erhalten daraus die spezifische technische Arbeit<br />
w t,V :<br />
0 = Ẇ t + ṁ (h ein − h aus ) | : ṁ<br />
w t,V =<br />
κ<br />
κ − 1 R (T b − T ∞ ) = 1,4<br />
1,4 − 1 · 287 J/kgK · (511,96K − 220K)<br />
= 293,3kJ/kg.<br />
5.) Da der Verdichter nicht verlustfrei (also nicht isentrop) arbeitet, kann nicht die gesamte technische<br />
Arbeit zur Verdichtung genutzt werden. Hier liegt also eine polytrope Zustandsänderung<br />
vor, weshalb die Druckänderungsarbeit nicht gleich der technischen Arbeit ist. Die Druckänderungsarbeit<br />
muss über den Ansatz w d = ∫ v dp bestimmt werden, welcher <strong>für</strong> ideale Gase (siehe<br />
Formelsammlung) lautet:<br />
w d =<br />
n<br />
n − 1 R (T 2 − T 1 ).<br />
w d,V =<br />
n V<br />
n V − 1 R (T b − T ∞ ) = 1,453<br />
1,453 − 1 · 287 J/kgK · (511,96K − 220K)<br />
= 268,8kJ/kg<br />
Den polytropen Wirkungsgrad η pol,V kann man sich jetzt als Quotient aus der nutzbaren Druckänderungsarbeit<br />
und der aufzuwendenden technischen Arbeit berechnen. Analog zur üblichen<br />
Wirkungsgradberechnung η = Nutzen<br />
Aufwand :<br />
η pol,V = w d,V<br />
= 268,8 J/kgK<br />
w t,V 293,3J/kgK<br />
= 0,92.<br />
Die spezifische Dissipationsarbeit w r,V ist dabei der Verlust im Verdichter, also der Anteil der<br />
technischen Arbeit, der nicht in Form von Druckänderungsarbeit genutzt werden kann:<br />
w r,V = w t,V − w d,V = 293,3kJ/kg − 268,8kJ/kg<br />
= 24,5kJ/kg.<br />
48
6.) Man geht wie in Aufgabe 4 vor und stellt den 1. Hauptsatz an der Brennkammer auf. Da keine<br />
technische Arbeit zu- oder abgeführt und das System wieder stationär betrieben wird, ergibt sich:<br />
0 = ˙Q b + ṁ c p (T b − T c ) | : ṁ<br />
und durch die Elimination von ṁ<br />
mit<br />
q b = −c p (T b − T c )<br />
c p =<br />
κ<br />
κ − 1 R = 1,4<br />
1,4 − 1 · 287 J/kgK<br />
= 1004,5J/kgK.<br />
Schließlich lässt sich q b berechnen:<br />
q b = −c p (T b − T c ) = −1004,5J/kgK · (511,96K − 1600K)<br />
= 1093 kJ/kg.<br />
7.) Wieder der obligatorische 1. Hauptsatz (hier adiabat, h wird wieder ersetzt) mit stationärer Leistungsbilanz:<br />
0 = Ẇ t + ṁ c p (T c − T d ) | : ṁ<br />
0 = w t,T + c p (T c − T d )<br />
Die technische Arbeit am Verdichter w t,V wird von der Turbine verrichtet. An der Verbindungswelle<br />
gehen davon aber 2% wegen η mech = 0,98 verloren, d.h. dass die spezifische technische Arbeit w t,T ,<br />
die an der Turbine abgegeben wird, mit<br />
w t,T = −w t,V<br />
= −293,3 kJ/kg<br />
η mech 0,98<br />
= −299,3kJ/kg<br />
größer als die spezifische technische Arbeit w t,V , die am Verdichter ankommt, sein muss. Das<br />
gegensätzliche Vorzeichen, weil sie bei der Turbine „raus“ kommt und beim Verdichter „rein“ geht.<br />
Eine kleine Umformung und schon erhält man<br />
T d = w t,T<br />
c p<br />
= 1302K.<br />
+ T c = −299,3 kJ/kg<br />
1004,5J/kgK + 1600K<br />
49
<strong>8.</strong>) Bei der Turbine verhält es sich genau andersrum als beim Verdichter: Hier verrichtet die Druckänderung<br />
Arbeit, gibt einen Großteil als technische Arbeit w t,T ab und verliert einen Teil als spezifische<br />
Dissipationsarbeit w r,T (gegeben). Betragsmäßig ist damit |w d,T | die Summe aus |w t,T | und |w r,T |.<br />
Da sowohl die Druckänderungsarbeit als auch die technische Arbeit in der Turbine negativ sind,<br />
gilt immer noch die gleiche Formel wie in Aufgabe 5:<br />
w d,T = w t,T − w r,T = −299,3kJ/kg − 23 kJ/kg<br />
= −322,3kJ/kg.<br />
Der Wirkungsgrad ist wie immer η = Nutzen<br />
Aufwand , hier mit dem Nutzen w t,T und dem Aufwand w d,T :<br />
η pol,T = |w t,T|<br />
|w d,T | = 299,3 kJ/kg<br />
322,3kJ/kg<br />
= 0,93.<br />
Analog zu Aufgabe 5 stellen wir die Formel <strong>für</strong> die Druckänderungsarbeit auf und erhalten so den<br />
Polytropenexponenten <strong>für</strong> die Turbine n T :<br />
w d,T =<br />
n T<br />
n T − 1 R (T d − T c )<br />
n T =<br />
w d,T<br />
R(T d −T c )<br />
w d,T<br />
R(T d −T c ) − 1 =<br />
= 1,361.<br />
−322,3 kJ /kg<br />
287 J /kgK(1302K−1600K)<br />
−322,3 kJ /kg<br />
287 J /kgK(1302K−1600K) − 1<br />
Man beachte: Hier ist der Polytropen- kleiner als der Isentropenkoeffizient!<br />
9.) Nachdem jetzt n T bekannt und p c = p b (isobare Brennkammer) ist, kann man über eine polytrope<br />
Zustandsänderung den Austrittsdruck p d berechnen:<br />
p d = p c<br />
(<br />
Td<br />
T c<br />
) n T<br />
= 1,931bar.<br />
n T −1<br />
= 4,2bar<br />
( 1302K<br />
1600K<br />
) 1,361<br />
1,361−1<br />
50
10.) Den isentropen Wirkungsgrad η is,T können wir aus<br />
η is,T = T d − T c<br />
T ∗ d − T c<br />
erhalten wir über eine angenommene verlust-<br />
berechnen. Die fehlende isentrope Temperatur T ∗ d<br />
freie Expansion über die Turbine (also: κ!):<br />
T ∗ d = T c<br />
und damit<br />
( ) κ−1<br />
pd κ<br />
= 1600K<br />
p c<br />
= 1281,4K<br />
η is,T = T d − T c<br />
T ∗ d − T =<br />
c<br />
= 0,94.<br />
( 1,931bar<br />
4,2bar<br />
1302K − 1600K<br />
1281,4K − 1600K<br />
) 1,361<br />
1,361−1<br />
11.) Mit einer Leistungsbilanz und der Tatsache, dass nur 60% der Enthalpiedifferenz genutzt werden<br />
können, erhalten wir:<br />
P Schub = 0,6 · ṁ c p (T d − T ∞ )<br />
ṁ =<br />
P Schub<br />
0,6 · c p (T d − T ∞ ) = 10MW<br />
0,6 · 1004,5J/kgK(1302K − 220K)<br />
= 15,3kg/s.<br />
51
<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
Musterlösung zum <strong>8.</strong> <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe 6.10<br />
1.) Das Heißgas gibt einen Wärmestrom von ˙Q = 1kW bei einer konstant angenommenen Temperatur<br />
von 1300 K über die Wand an das Kühlwasser ab. Der Entropiestrom infolge der Wärmeabgabe<br />
berechnet sich wie folgt:<br />
Ṡ q,i = ˙Q i<br />
T i<br />
→ Ṡ q,HG = −<br />
˙Q = − 1000W<br />
T HG 1300K<br />
= −0,769 W/K.<br />
Das negative Vorzeichen kommt daher, dass Wärme abgegeben wird.<br />
2.) Analog zu Aufgabe 1.1! Zu beachten ist jedoch das Vorzeichen und die Wandtemperatur auf der<br />
Kühlwasserseite von 300 K.<br />
Ṡ q,KW =<br />
˙Q = 1000W<br />
T KW 300K<br />
= 3,333 W/K<br />
3.) 2. Hauptsatz an der Wand:<br />
dS sys<br />
dt<br />
= ∑ Ṡ q,i + Ṡ irr + Ṡ e − Ṡ a<br />
• stationär: dS sys<br />
dt<br />
= 0<br />
• kein Massenstrom über die Wand: Ṡ e = Ṡ a = 0<br />
Führt zur vereinfachten Gleichung:<br />
0 = ∑ Ṡ q,i + Ṡ irr .<br />
Der durch Wärmeabfuhr vom Heißgas abgegebene Entropiestrom wird von der Wand aufgenommen:<br />
Ṡ q,e = −Ṡ q,HG . Der durch Wärmezufuhr vom Kühlwasser aufgenommene Entropiestrom wird<br />
von der Wand abgegeben: Ṡ q,a = −Ṡ q,KW . Daraus ergibt sich <strong>für</strong> die Entropieproduktion in der Wand<br />
infolge der Wärmeübertragung:<br />
→ Ṡ irr = Ṡ q,KW + Ṡ q,HW = 3,333 W/K − 0,769 W/K<br />
= 2,564 W/K.<br />
52
Aufgabe 6.11<br />
1.) 2. Hauptsatz am Kompressor:<br />
dS sys<br />
dt<br />
• stationär: dS sys<br />
dt<br />
= ∑ Ṡ q,i + Ṡ irr + Ṡ e − Ṡ a<br />
• adiabat: Ṡ q,i = 0.<br />
= 0 und ṁ e = ṁ a = ṁ<br />
Damit vereinfacht sich der 2. HS. zu<br />
0 = Ṡ irr + Ṡ e − Ṡ a | : ṁ.<br />
Daraus folgt:<br />
s irr = s a − s e .<br />
Die spezifische Entropieproduktion aufgrund von Irreversibilitäten entspricht der Differenz der<br />
spezifischen Entropie an Ein- und Austritt. Diese ist über die Gibbs’sche Fundamentalgleichung zu<br />
berechnen:<br />
mit<br />
∫ a<br />
∫<br />
dh − vdp a<br />
s a − s e =<br />
=<br />
e T<br />
e<br />
( )<br />
Ta<br />
= c p · ln − R · ln<br />
T e<br />
c p =<br />
c p<br />
∫ a<br />
T dT − e<br />
)<br />
p e<br />
(<br />
pa<br />
κ<br />
κ − 1 · R = 1,4<br />
1,4 − 1 · 287 J/kgK<br />
= 1004,5J/kgK.<br />
Daraus ergibt sich:<br />
R<br />
p dp<br />
s irr = s a − s e<br />
( ) ( )<br />
Ta,1 pa<br />
= c p · ln − R · ln<br />
T e p e<br />
( )<br />
( )<br />
590K<br />
10bar<br />
= 1004,5J/kgK · ln − 287 J/kgK · ln<br />
293K<br />
1,013bar<br />
= 45,965 J/kgK.<br />
53
2.) Völlig analoge Berechnung möglich:<br />
s irr = s a − s e<br />
= c p · ln<br />
(<br />
Ta,2<br />
= −24,555 J/kgK.<br />
T e<br />
)<br />
− R · ln<br />
(<br />
pa<br />
p e<br />
)<br />
Durch Einsetzen der von der Wartungsfirma versprochenen Austrittstemperatur ergibt sich eine<br />
Entropieproduktion kleiner Null. Damit ist klar, dass der Prozess unmöglich und die Aussage der<br />
Firma falsch ist.<br />
3.) Mit Hilfe der selben Gleichung soll nun die minimal mögliche Austrittstemperatur gefunden werden.<br />
Dazu wird der Term <strong>für</strong> die spezifische Entropieproduktion aufgrund von Irreversibilitäten gleich<br />
Null gesetzt und umgeformt:<br />
( ) ( )<br />
Ta,2 pa<br />
s irr = s a − s e = c p · ln − R · ln = 0.<br />
T e p e<br />
Daraus folgt:<br />
( )<br />
Ta,min<br />
c p · ln = R · ln<br />
T e<br />
(<br />
pa<br />
( )<br />
Ta,min<br />
ln = R · ln<br />
T e c p<br />
( )<br />
Ta,min<br />
ln = ln<br />
T e<br />
Daraus ergibt sich:<br />
p e<br />
)<br />
( )<br />
pa<br />
p e<br />
( ) R ( ) κ−1<br />
pa cp pa κ<br />
= ln .<br />
p e p e<br />
( ) κ−1 ( ) 1,4−1<br />
pa κ 10bar 1,4<br />
T a,min = · Te = · 293K<br />
p e 1,013bar<br />
= 563,61K.<br />
Es zeigt sich, dass die Gibbs’sche Fundamentalgleichung beim Einsetzen der Nebenbedingung<br />
eines idealen Prozesses ∆s = 0 der zuvor gelernten Isentropenbeziehung entspricht.<br />
4.) Wiederum 2. Hauptsatz am nun diabaten Kompressor:<br />
dS sys<br />
dt<br />
• stationär: dS sys<br />
dt<br />
= ∑ Ṡ q,i + Ṡ irr + Ṡ e − Ṡ a<br />
• isentrop: Ṡ irr = 0<br />
= 0 und ṁ e = ṁ a = ṁ<br />
Warum geht man hier von einem idealen Prozess aus?<br />
Die Frage ist, welche Wärmemenge muss mindestens - also trotz eines isentropen Prozesses -<br />
zusätzlich abgeführt werden, um die versprochene Austrittstemperatur einhalten zu können. Von<br />
der in Teilaufgabe 2 ermittelten Entropieproduktion des adiabaten Prozesses sollte man sich hier<br />
nicht verunsichern lassen. Daraus folgt:<br />
0 = s q,i + s e − s a = q ab<br />
T sys<br />
+ s e − s a .<br />
54
Der Ausdruck s a − s e entspricht dem in Teilaufgabe 2 gefundenen Ergebnis. Der Prozess ist jedoch<br />
nur möglich, wenn die aus diesem Term resultierende spezifische Entropieproduktion durch<br />
Wärmeabfuhr kompensiert wird. Damit ergibt sich:<br />
[ ( ) ( )]<br />
Ta pa<br />
q ab = T sys · (s a − s e ) = c p · ln − R · ln · T sys<br />
T e p e<br />
= −10313,1J/kg.<br />
Aufgabe 6.12<br />
1.) 1. Hauptsatz an der Luft in der Pressluftflasche (differentielle, spezifische Form):<br />
du = ∑ i<br />
dq i + ∑ j<br />
dw j + ∑ k<br />
)<br />
d<br />
(h k + c2<br />
2 + g z<br />
• instationär du ≠ 0<br />
• geschlossen ∑ (<br />
)<br />
k d h k + c2<br />
2 + g z = 0<br />
• keine Arbeitseinwirkung von außen dw = 0<br />
Damit ergibt sich:<br />
du = dq.<br />
2.) Die spezifische Änderung der Entropie aufgrund von Wärmeübertragung wird differentiell durch<br />
ds q = dq<br />
T<br />
angegeben. Setzt man den Ausdruck aus Teilaufgabe 1 ein, so erhält man:<br />
ds q = dq<br />
T = du<br />
T .<br />
Zur Ermittlung des zugehörigen Zahlenwertes muss jetzt integriert werden:<br />
∫ 2<br />
∫ 2<br />
∫<br />
du 2<br />
s q,12 = ds q =<br />
1<br />
1 T = c v<br />
1 T dT<br />
( )<br />
T2<br />
= c v · ln<br />
T 1<br />
(<strong>8.</strong>1)<br />
( ) 313K<br />
→ s q,12 = 717,5J/kgK · ln<br />
293K<br />
= 47,377 J/kgK.<br />
55
3.) 2. Hauptsatz in differentieller Form<br />
dS sys = dS q + dS irr + dm · (s e − s a )<br />
Geschlossenes System: dm = 0<br />
Teilen durch die Systemmasse liefert die spezifische Form:<br />
ds sys = ds q + ds irr<br />
s 2 − s 1 = s q,12 + ∆s irr (<strong>8.</strong>2)<br />
Die Änderung der spezifischen Entropie des Systems s 2 − s 1 kann mit der Gibbs’schen Fundamentalgleichung<br />
berechnet werden:<br />
( ) ( )<br />
T2 v2<br />
s 2 − s 1 = c v · ln + R · ln<br />
T 1 v 1<br />
Für das hier vorliegende isochore System (v 2 = v 1 ) vereinfacht sich Gleichung (<strong>8.</strong>3) zu<br />
( )<br />
T2<br />
s 2 − s 1 = c v · ln . (<strong>8.</strong>4)<br />
T 1<br />
Gleichung (<strong>8.</strong>4) entspricht exakt der in der 2. Teilaufgabe ermittelten Gleichung (<strong>8.</strong>1) <strong>für</strong> die<br />
spezifische Änderung der Entropie aufgrund von Wärmeübertragung. Somit kann der 2. Hauptsatz<br />
aus Gleichung (<strong>8.</strong>2) zu<br />
∆s irr = 0<br />
vereinfacht werden. Folglich wird während des Wärmeübertragungsvorgangs keine Entropie aufgrund<br />
von Irreversibilitäten ∆s irr erzeugt. Der Vorgang ist theoretisch somit reversibel. Es wird<br />
deutlich, dass aufgrund reiner Wärmeübertragung keine Irreversibilitäten auftreten. Diese treten<br />
nur auf, wenn Temperaturgradienten vorhanden sind. Bei dem hier gezeigten Beispiel würde bei<br />
Temperaturunterschieden in der Flaschenwand aufgrund der Temperaturleitung (siehe Teilaufgabe<br />
1) Entropie produziert werden.<br />
(<strong>8.</strong>3)<br />
56
<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
Musterlösung zum 9. <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe 7.8<br />
1.) Für die Temperatur T 1 ist kein Wert <strong>für</strong> den Druck in der Dampftafel angeben. Daher muss dieser<br />
linear interpoliert werden.<br />
p 1 = p 2bar + ( ) T 1 − T 2bar<br />
p 3bar − p 2bar ·<br />
T 3bar − T 2bar<br />
125 ◦ C − 120,23 ◦ C<br />
= 2bar + (3bar − 2bar) ·<br />
133,39 ◦ C − 120,23 ◦ C<br />
= 2,362bar<br />
Der Überdruck, auf den das Ablassventil eingestellt werden muss, ergibt sich aus der Differenz<br />
zwischen Absolutdruck und Umgebungsdruck.<br />
p ü = p 1 − p ∞ = 2,362bar − 1bar<br />
= 1,362bar<br />
2.) Das spezifische Volumen der Flüssigkeit ist ohne Interpolation der Dampftafel zu entnehmen und<br />
wird als konstant betrachtet.<br />
v ′ p1 = 0,001 m 3 /kg<br />
Der Druck p 1 liegt zwischen 3bar und 2bar, also muss auch zwischen diesen beiden Werten<br />
interpoliert werden.<br />
v p1 ′′ = v′′ 2bar + ( v ′′<br />
3bar − T 1 − T 2bar<br />
2bar) v′′ ·<br />
T 3bar − T 2bar<br />
= 0,8852 m 3 /kg + ( 125<br />
0,6056 m 3 /kg − 0,8852 m /kg) ◦ C − 120,23 ◦ C<br />
3<br />
·<br />
133,39 ◦ C − 120,23 ◦ C<br />
= 0,7838 m 3 /kg<br />
h p1 ′ = h′ 2bar + ( h ′ 3bar − T 1 − T 2bar<br />
2bar) h′ ·<br />
T 3bar − T 2bar<br />
125<br />
= 504,52 kJ/kg + (561,20 kJ/kg − 504,52 kJ/kg) ◦ C − 120,23 ◦ C<br />
·<br />
133,39 ◦ C − 120,23 ◦ C<br />
= 525,06 kJ/kg<br />
h p1 ′′ = h′′ 2bar + ( h ′′<br />
3bar − T 1 − T 2bar<br />
2bar) h′′ ·<br />
T 3bar − T 2bar<br />
125 ◦ C − 120,23 ◦ C<br />
= 2704,6kJ/kg + (2723,2kJ/kg − 2704,6kJ/kg) ·<br />
133,39 ◦ C − 120,23 ◦ C<br />
= 2711,3kJ/kg<br />
57
3.) Die spezifische innere Energie u errechnet sich allgemein aus der spezifischen Enthalpie und der<br />
Verschiebearbeit:<br />
u ′ = h ′ − p v ′<br />
u ′′ = h ′′ − p v ′′<br />
bzw.<br />
u ′ p1 = h′ p1 − p 1 v ′ p1 = 525,06 kJ/kg − 2,362bar · 0,001 m 3 /kg<br />
= 524,82 kJ/kg<br />
u ′′<br />
p1 = h′′ p1 − p 1 v ′′<br />
p1 = 2711,3 kJ/kg − 2,362bar · 0,7839 m 3 /kg<br />
= 2526,1kJ/kg.<br />
4.) Die Gesamtmasse an Wasser im Topf setzt sich zusammen aus dem dampfförmigen und dem<br />
flüssigen Anteil. Mit diesem spezifischen Volumen des Wasser-Dampf Gemisches lässt sich bei<br />
Kenntnis des Topfvolumens die Masse errechnen.<br />
v 1 = v p1 ′ + x ( v ′′ − v ′) p1 = 0,001 m 3 /kg + 0,02 · (0,7839 )<br />
m 3 /kg − 0,001 m 3 /kg<br />
= 0,0167 m 3 /kg<br />
m 1 = V KT<br />
v 1<br />
= 0,01m3<br />
0,0167 m 3 /kg<br />
= 0,599kg<br />
Welche Massen nun Dampf und Flüssigkeit im Topf haben, lässt sich wiederum mit dem Dampfgehalt<br />
bestimmen.<br />
m ′′<br />
1 = x · m 1 = 0,02 · 0,599kg<br />
= 0,012kg<br />
m 1 ′ = m 1 − m 1 ′′ = 0,599kg − 0,012kg<br />
= 0,587kg<br />
5.) Die Masse an flüssigem Wasser, die vor dem Kochvorgang in den Topf gegeben wurde, entspricht<br />
der Masse m 1 , da der Topf zwischen den Zeitpunkten 0 und 1 nicht geöffnet wurde.<br />
m 0 = m 1<br />
Das spezifische Volumen v 0 ist das spezifische Volumen der Flüssigkeit bei vorliegendem Druck<br />
und Temperatur und ist der Dampftafel <strong>für</strong> unterkühlte Flüssigkeit zu entnehmen.<br />
v 0 = v 1bar, = 0,001 m 3 /kg<br />
10 ◦ C<br />
Aus Masse und spezifischem Volumen lässt sich so das Volumen der unterkühlten Flüssigkeit am<br />
Anfang bestimmen.<br />
V 0 = m 1 · v 0 = 0,599l<br />
58
6.) Zum Zeitpunkt T 1 herrscht im Kochtopf eine Temperatur von 125 ◦ C und der Druck p 1 . Des weiteren<br />
ist der Dampfgehalt x 1 bekannt. Mit ihm lässt sich die spezifische innere Energie aus den in<br />
Teilaufgabe 3 bestimmten Werten berechnen.<br />
u 1 = u ′ p1 + x 1<br />
(<br />
u ′′ − u ′) p1 = 524,82 kJ/kg + 0,02 · (2526,1kJ/kg − 524,82 kJ/kg)<br />
= 564,85 kJ/kg<br />
Die innere Energie des Wassers zum Zeitpunkt 1 ergibt sich durch Multiplikation mit der Wassermasse<br />
m 1 .<br />
U 1 = u 1 · m 1 = 338,35kJ<br />
7.) Um die innere Energie der unterkühlten Flüssigkeit zu berechnen, benötigt man die Enthalpie zum<br />
Zeitpunkt 0. Aus der Dampftafel <strong>für</strong> Wasser und Wasserdampf lässt sich dieser Wert bei 10 ◦ C und<br />
1bar Druck ablesen.<br />
h 0 = h 1bar, = 42,1kJ/kg<br />
10 ◦ C<br />
Die innere Energie ergibt sich wiederum aus dem bekannten Zusammenhang.<br />
u 0 = h 0 − p 0 v 0 = 42,1kJ/kg − 1bar · 0,001 m 3 /kg<br />
= 42,0kJ/kg<br />
Durch Multiplikation mit der Gesamtmasse des Wassers ergibt sich dessen innere Energie.<br />
U 0 = u 0 · m 0 = 25,16kJ<br />
<strong>8.</strong>) Für die Wärmemenge, die benötigt wird um das Wasser zu erwärmen, wird eine Energiebilanz am<br />
Kochtopf aufgestellt (geschlossenes System, keine äußeren Arbeiten).<br />
Q 01 = U 1 −U 0 = 338,35kJ − 25,16kJ<br />
= 313,19kJ<br />
9.) Um die Zeit zu berechnen, die benötigt wird um das Wasser im Topf von Zustand 0 auf Zustand 1<br />
zu bringen, wird eine Leistungsbilanz am System Kochtopf aufgestellt (geschlossenes System, keine<br />
äußeren Arbeiten).<br />
dE Sys<br />
dt<br />
= ˙Q zu − ˙Q ab<br />
Dieser Zusammenhang lässt sich nach der Zeit auflösen.<br />
U 1 −U 0<br />
= ˙Q zu + ˙Q ab<br />
t 01<br />
→ t 01 = 418s = 6min58s<br />
59
10.) Der Dampfgehalt ist zwischen den Zuständen 1 und 2 gestiegen, folglich ändert sich auch das<br />
spezifische Volumen des Wasser-Wasserdampf Systems. Da der Druck konstant bleibt, können die<br />
zum Druck p 1 gehörigen Stoffgrößen verwendet werden.<br />
v 2 = v p1 ′ + x (<br />
2 v ′′ − v ′) p1 = 0,001 m 3 /kg + 0,025 · (0,7838 )<br />
m 3 /kg − 0,001 m 3 /kg<br />
= 0,0206 m 3 /kg<br />
Die Masse ergibt sich wieder durch Division des Topfvolumens durch das spezifische Volumen.<br />
m 2 = V KT<br />
v 2<br />
= 0,485kg<br />
Die Masse, die zwischen den Zeitpunkten 1 und 2 aus dem Topf entwichen ist, errechnet sich aus<br />
der Differenz der jeweiligen Massen zu den beiden Zeitpunkten.<br />
m 12 = m 2 − m 1 = 0,114kg<br />
11.) Die Zeitdauer zwischen den Zuständen 1 und 2 lässt sich wieder mit einer Leistungsbilanz am<br />
System Kochtopf bestimmen. Dieses Mal ist jedoch das System nicht geschlossen, da zwischen den<br />
Zeitpunkten 1 und 2 gesättigter Dampf der Masse m 12 und der Enthalpie h ′′<br />
p1 entweicht.<br />
U 2 −U 1<br />
t 12<br />
= ˙Q zu + ˙Q ab −<br />
m 12 h ′′<br />
p1<br />
t 12<br />
Die innere Energie zum Zeitpunkt 2 lässt sich wieder mit der bekannten Formel bestimmen.<br />
U 2 = m 2<br />
[u ′ p1 + x 2<br />
( )]<br />
u p1 ′′ − u′ p1<br />
= 0,485kg · [524,82 kJ/kg + 0,025(2526,1kJ/kg − 524,82 kJ/kg)]<br />
= 278,81kJ<br />
→ t 12 = 332s = 5min32s<br />
12.) Da ein Druckausgleich mit der Umgebung stattfindet, ist der Druck im Topf p 3 = 1bar. Dadurch ist<br />
der Zustand des Zweiphasengemisches im Topf festgelegt und die entsprechenden Informationen<br />
lassen sich der Dampftafel entnehmen.<br />
T 3 = 99,63 ◦ C<br />
13.) Die übertragene Wärmemenge ergibt sich aus einer Energiebilanz am System Topf zwischen den<br />
Zeitpunkten 2 und 3 (geschlossenes System, keine äußeren Arbeiten).<br />
U 3 −U 2 = Q 23<br />
Hierbei ist neben der Wärmemenge auch die innere Energie zum Zeitpunkt 3 unbekannt. Für sie<br />
gelten folgende Zusammenhänge:<br />
U 3 = m 3 · u 3 = m 2 · u 3<br />
u 3 = u ′ 1bar + x (<br />
3 u<br />
′′<br />
1bar − 1bar) u′ .<br />
Der Topf bleibt während des Abkühlens geschlossen, jedoch ändert sich sein Dampfgehalt, da<br />
der Inhalt abkühlt. Für das spezifische Volumen gilt ebenfalls, dass es konstant bleibt, weil keine<br />
60
Masse das System verlässt und das Topfvolumen ebenfalls konstant bleibt. Damit lässt sich der<br />
Dampfgehalt x 3 im Topf zum Zeitpunkt 3 berechnen.<br />
v 2 = v 3<br />
x 3 = v 3 − v ′<br />
v ′′ − v ′ = 0,0206 m 3 /kg − 0,001 m 3 /kg<br />
1,6940 m 3 /kg − 0,001 m 3 /kg<br />
= 0,012<br />
Die inneren Energien errechnen sich aus den Enthalpien und Volumenänderungsarbeiten <strong>für</strong><br />
p = 1bar.<br />
u ′ = h ′ − p v ′ = 417,33 kJ/kg − 1bar · 0,001 m 3 /kg<br />
= 417,23 kJ/kg<br />
u ′′ = h ′′ − p v ′′ = 2673,8kJ/kg − 1bar · 1,6940 m 3 /kg<br />
= 2504,4kJ/kg<br />
Eingesetzt ergibt sich somit<br />
u 3 = 442,28 kJ/kg<br />
Q 23 = −64,30kJ.<br />
61
<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
Musterlösung zum 10. <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe <strong>8.</strong>10<br />
Die kinetische und potentielle Energie aller Fluide kann in allen Teilaufgaben vernachlässigt werden.<br />
c 2<br />
2 = 0<br />
g z = 0<br />
1.) Der Kreisprozess soll in ein T - s - Diagramm eingetragen werden. Insbesondere zu beachten<br />
ist, dass vom Punkt 4 zu Punkt 5 die spezifische Entropie aufgrund von Wärme abnimmt.<br />
2.) Gesucht ist die Temperatur T 6 . Zur Bestimmung dieser Temperatur wird der 1. Hauptsatz am<br />
Wärmetauscher aufgestellt.<br />
1. Hauptsatz der <strong>Thermodynamik</strong> in allgemeiner Form am System Wärmetauscher:<br />
dE Sys<br />
dt<br />
= ∑ i<br />
˙Q i + ∑ j<br />
Ẇ j + ∑ e<br />
ṁ e<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )e<br />
− ∑ a<br />
ṁ a<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )a<br />
• stationär: dE Sys<br />
dt<br />
= 0 und ṁ = ṁ e = ṁ a<br />
62
• keine Arbeiten: Ẇ j = 0<br />
• keine auftretenden Wärmeströme: ˙Q i = 0<br />
Damit vereinfacht sich der 1. Hauptsatz zu<br />
ṁ (h 5 + h 10 − h 6 − h 1 ) = 0.<br />
mit h = c p T und<br />
c p = R<br />
κ<br />
κ − 1 = 2077,3 1,66<br />
J/kgK ·<br />
1,66 − 1<br />
= 5224,7J/kgK<br />
folgt:<br />
T 6 = T 10 − T 1 + T 5 = 376K − 780K + 844,5K<br />
= 440,5K.<br />
3.) Zunächst soll der Gesamtwirkungsgrad η ges des Kreisprozesses bestimmt werden. Dieser ist als Quotient<br />
zwischen Nutzen und Aufwand definiert. Im vorliegenden Kreisprozess steht dem Aufwand<br />
˙Q R der Nutzen P G gegenüber. Somit folgt:<br />
η ges = P G<br />
˙Q R<br />
= 3015kW<br />
6MW<br />
= 0,5025.<br />
Zusätzlich ist der Massenstrom ṁ gesucht. Hierzu wird der 1. Haupsatz am Kernreaktor aufgestellt.<br />
1. Hauptsatz der <strong>Thermodynamik</strong> in allgemeiner Form am System Kernreaktor:<br />
dE Sys<br />
dt<br />
= ∑ i<br />
˙Q i + ∑ j<br />
Ẇ j + ∑ e<br />
ṁ e<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )e<br />
− ∑ a<br />
ṁ a<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )a<br />
• stationär: dE Sys<br />
dt<br />
• keine Arbeiten: Ẇ j = 0<br />
= 0 und ṁ = ṁ e = ṁ a<br />
• auftretende Wärmeströme: ˙Q R<br />
Mit dh = c p dT vereinfacht sich der 1. Hauptsatz zu:<br />
0 = − ˙Q R + ṁ c p (T 2 − T 1 )<br />
ṁ =<br />
˙Q R<br />
c p (T 2 − T 1 ) =<br />
= 2,871 kg/s.<br />
6MW<br />
5224,7J/kgK(1180K − 780K)<br />
63
4.) Gesucht ist der Druck p 3 , der sich nach der Turbine T1 einstellt. Dieser wird über die Isentropengleichung<br />
berechnet, indem man eine isentrope Zustandsänderung von Punkt 2 zu Punkt 3 annimmt<br />
(gestrichelte Linie im T -s-Diagramm). Hierzu wird die Temperatur T3 ∗ im Falle einer isentropen<br />
Zustandsänderung benötigt. Diese wird mit Hilfe des bekannten isentropen Wirkungsgrads η is,T1<br />
der Turbine T1 bestimmt.<br />
T3 ∗ = 1 (T 3 − T 2 ) + T 2 = 1 (1110K − 1180K) + 1180K<br />
η is,T1 0,94<br />
= 1105,53K<br />
Daraus folgt <strong>für</strong> den Druck p 3 :<br />
p 3 = p 2<br />
( T<br />
∗<br />
3<br />
T 2<br />
) κ<br />
= 59,41bar.<br />
κ−1<br />
= 70bar<br />
( 1105,53K<br />
1180K<br />
) 1,66<br />
1,66−1<br />
5.) Der isentrope Wirkungsgrad η is,T2 der Turbine T2 soll berechnet werden. Analog zu Aufgabe 4<br />
wird zuerst mit Hilfe der Isentropengleichung die Temperatur T4 ∗ <strong>für</strong> eine isentrope Zustandsänderung<br />
von Punkt 3 nach Punkt 4 berechnet. Anschließend kann der isentrope Wirkungsgrad η is,T2<br />
bestimmt werden.<br />
T ∗ 4 = T 3<br />
( ) κ−1 ( ) 1,66−1<br />
p4 κ<br />
52,4bar 1,66<br />
= 1110K<br />
p 3 59,41bar<br />
= 1056,02K<br />
η is,T2 = T 4 − T 3<br />
T4 ∗ − T =<br />
3<br />
= 0,926<br />
1060K − 1110K<br />
1056,02K − 1110K<br />
6.) Die Verdichterleistungen der Verdichter V1 und V2 sind zu ermitteln. Hierzu wird der 1. Hauptsatz<br />
an der zugehörigen Turbine aufgestellt und über den mechanischen Wirkungsgrad die Verdichtungsleistung<br />
berechnet.<br />
1. Hauptsatz der <strong>Thermodynamik</strong> in allgemeiner Form am System Turbine T1:<br />
dE Sys<br />
dt<br />
= ∑ i<br />
˙Q i + ∑ j<br />
Ẇ j + ∑ e<br />
ṁ e<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )e<br />
− ∑ a<br />
ṁ a<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )a<br />
• stationär: dE Sys<br />
= 0 und ṁ = ṁ e = ṁ a<br />
dt<br />
• auftretende Leistungen: P T1<br />
• keine Wärmeströme: ˙Q i = 0<br />
Mit h = c p T vereinfacht sich der 1. Hauptsatz zu:<br />
0 = −P T1 + ṁ c p (T 3 − T 2 ).<br />
Daraus folgt:<br />
P T1 = ṁ c p (T 3 − T 2 ) = 2,871 kg/s · 5224,7J/kgK · (1110K − 1180K)<br />
= −1050,0kW<br />
64
P V1 = −P T1 η mech = 1050,0kW · 0,95<br />
= 997,51kW.<br />
Analog folgt <strong>für</strong> den Verdichter V2:<br />
P T2 = ṁ c p (T 4 − T 3 ) = 2,871 kg/s · 5224,7J/kgK · (1060K − 1110K)<br />
= −750,0kW<br />
P V2 = −P T2 η mech = 750,0kW · 0,95<br />
= 712,51kW.<br />
7.) Gesucht ist der Wärmestrom ˙Q T3 , der von der Turbine T3 an die Umgebung abgegeben wird. Hier<strong>für</strong><br />
wird wiederum der 1. Hauptsatz an der Turbine T3 aufgestellt.<br />
1. Hauptsatz der <strong>Thermodynamik</strong> in allgemeiner Form am System Turbine T3:<br />
dE Sys<br />
dt<br />
= ∑ i<br />
˙Q i + ∑ j<br />
Ẇ j + ∑ e<br />
ṁ e<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )e<br />
− ∑ a<br />
ṁ a<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )a<br />
• stationär: dE Sys<br />
= 0 und ṁ = ṁ e = ṁ a<br />
dt<br />
• auftretende Leistungen: P T3<br />
• auftretende Wärmeströme: ˙Q T3<br />
Mit dh = c p dT und P T3 =<br />
0 = − ˙Q T3 − P G<br />
η mech<br />
+ ṁ c p (T 4 − T 5 ).<br />
Daraus folgt:<br />
P G<br />
˙Q T3 = − + ṁ c p (T 4 − T 5 )<br />
η mech<br />
= − 3015kW<br />
0,95<br />
= 58,84kW.<br />
P G<br />
η mech<br />
vereinfacht sich der 1. Hauptsatz zu:<br />
+ 2,871 kg/s · 5224,7J/kgK · (1060K − 844,5K)<br />
<strong>8.</strong>) Die Entropieproduktion Ṡ irr im Verdichter V1 soll berechnet werden. Es wird der zweite Hauptsatz<br />
am Verdichter V1 aufgestellt.<br />
2. Hauptsatz der <strong>Thermodynamik</strong> in allgemeiner Form am System Turbine T3:<br />
dS Sys<br />
dt<br />
= ∑ i<br />
Ṡ q + Ṡ irr + ∑ e<br />
ṁ e s e − ∑ a<br />
ṁ a s a<br />
• stationär: dS Sys<br />
dt<br />
= 0 und ṁ = ṁ e = ṁ a<br />
• keine Entropieänderungen durch Wärmeströme: Ṡ q = 0<br />
Somit folgt:<br />
Ṡ irr = ṁ (s 10 − s 9 ).<br />
65
Die spezifische Entropiedifferenz (s 10 − s 9 ) wird mit Hilfe der Gibbs‘schen Fundamentalgleichung<br />
berechnet.<br />
( ) ( )<br />
T10 p10<br />
s 10 − s 9 = c p ln − R ln<br />
T 9 p 9<br />
Die noch unbekannten Größen T 9 und p 9 werden über den 1. Hauptsatz am Verdichter V1 und die<br />
Isentropenbeziehungen unter Berücksichtigung des Isentropenwirkungsgrades des Verdichters V1<br />
analog zu den Aufgaben 4 und 6 berechnet.<br />
T 9 = − P V1<br />
997,51kW<br />
+ T 10 = −<br />
ṁ c p 2,871 kg/s · + 376K<br />
5224,7J/kgK<br />
= 309,5K<br />
T ∗ 10 = η is,V1 (T 10 − T 9 ) + T 9 = 0,96(376K − 309,5K) + 309,5K<br />
= 373,34K<br />
( ) κ ( ) 1,66<br />
T9 κ−1 309,5K 1,66−1<br />
p 9 = p 10 = 70bar<br />
T10<br />
∗ 373,34K<br />
= 43,68bar<br />
Somit ergibt sich <strong>für</strong> die spezifische Entropiedifferenz<br />
( ) ( )<br />
T10 p10<br />
s 10 − s 9 = c p ln − R ln<br />
T 9 p 9<br />
( ) ( )<br />
376K<br />
70bar<br />
= 5224,7J/kgK ln − R ln<br />
309,5K 43,68bar<br />
= 37,094 J/kgK<br />
und die Entropieproduktion:<br />
Ṡ irr = ṁ (s 10 − s 9 ) = 2,871 kg/s · 37,094 J/kgK<br />
= 106,5J/Ks.<br />
66
<strong>Technische</strong> Universität München<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> <strong>für</strong> <strong>Thermodynamik</strong><br />
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer<br />
Prof. W. Polifke Ph.D.<br />
Musterlösung zum 11. <strong>Übungsblatt</strong><br />
Aufgabe <strong>8.</strong>11<br />
1.)<br />
2.) siehe T - s - Diagramm Aufgabe 1<br />
dq = T · ds<br />
3.) 1. Hauptsatz am Wärmetauscher (nur Heizwasser):<br />
dE Sys<br />
dt<br />
= ∑ i<br />
˙Q i + ∑ j<br />
Ẇ j + ∑ e<br />
ṁ e<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )e<br />
− ∑ a<br />
ṁ a<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )a<br />
• stationär: dE Sys<br />
dt<br />
• diabat: ˙Q i ≠ 0<br />
= 0 und ṁ e = ṁ a = ṁ<br />
• keine Arbeitseinwirkung: Ẇ j = 0<br />
˙Q 67 = ṁ w c w (T W2 − T W1 ) = 0,2kg/s · 4,18 kJ/kgK · (44 ◦ C − 20 ◦ C )<br />
= 20,06kW<br />
67
4.) 1. Hauptsatz am Verdichter:<br />
dE Sys<br />
dt<br />
= ∑ ˙Q i + ∑ Ẇ j + ∑<br />
i j e<br />
ṁ e<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )e<br />
− ∑ a<br />
ṁ a<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )a<br />
• stationär: dE Sys<br />
dt<br />
• adiabat: ˙Q i = 0<br />
= 0 und ṁ e = ṁ a = ṁ<br />
• Arbeitseinwirkung von außen: Ẇ j = w t · ṁ<br />
0 = w t · ṁ + ṁ(h 3 − h 4 )<br />
Die spezifische technische Arbeit entspricht also der Differenz der Enthalpien an Ein- und Austritt.<br />
Diese sind jedoch unbekannt! Eintritt: Der eintretende Massenstrom wurde im Schritt zuvor bei<br />
1,02bar vollständig verdampft, d.h. es liegt Sättigungszustand vor. (Tabelle)<br />
h 3 = h ′′ 1,02bar = 231,62 kJ/kg<br />
Austritt: Hier wird es schwieriger. Bei einer isentropen Zustandsänderung (s = const.) ergäbe sich<br />
eine Enthalpie h4 ∗ mit der zugehörigen Entropie s a = s e = s ′′ (Sättigungszustand). Über den<br />
1,02bar<br />
isentropen Wirkungsgrad kann dann die tatsächliche Enthalpie am Austritt bestimmt werden.<br />
aus Interpolation:<br />
Einsetzen:<br />
h ∗ 4 = h 30 ◦ C + h 40 ◦ C − h 30 ◦ C<br />
s 40 ◦ C − s 30 ◦ C<br />
h 4 = h 3 + h∗ 4 − h 3<br />
η is,Va<br />
= 277,03 kJ/kg<br />
w t,Va = h 4 − h 3 = 45,41 kJ/kg<br />
(<br />
)<br />
s ′′ 1,02bar − s 30 ◦ C = 267,95 kJ/kg<br />
5.) Definition des Dampfgehalts am Beispiel der Enthalpie:<br />
h = h ′ + x<br />
(h ′′ − h ′)<br />
Nach Umformung:<br />
x 2 =<br />
h 2 − h ′ −26 ◦ C<br />
h ′′ −26 ◦ C − h′ −26 ◦ C<br />
Die Enthalpie ist hier sehr einfach zu bestimmen: Gesättigte Flüssigkeit (h = h ′ ) wird durch eine<br />
6bar<br />
adiabate Drossel geleitet (h = const.). Damit ergibt sich:<br />
Eingesetzt:<br />
h 2 = h ′ 6bar = 79,48 kJ/kg.<br />
x 2 =<br />
h 2 − h ′ −26 ◦ C<br />
h ′′ −26 ◦ C − = 0,2917.<br />
h′ −26 ◦ C<br />
68
6.) Unter Annahme eines isentropen Prozesses (s = const.) kann die Enthalpie h6 ∗ durch Interpolation<br />
mit s = s ′′ (Sattdampf aus dem Mitteldruckbehälter) bestimmt werden.<br />
6bar<br />
s ∗ 6 = s 5 = s ′′ 6bar<br />
= 0,9097 kJ/kgK<br />
h ∗ 6 = h 52,43 ◦ C + h 60 ◦ C − h 52,43 ◦ C<br />
s 60 ◦ C − s 52,43 ◦ C<br />
= 276,5kJ/kg<br />
(<br />
s<br />
∗<br />
6 − s 52,43 ◦ C)<br />
Über den gegebenen Wirkungsgrad η is,Vb = 0,8 ergibt sich dann die Enthalpie h 6 .<br />
h 6 = h 5 + h∗ 6 − h 5<br />
η is,Vb<br />
= 280,83 kJ/kg<br />
Beachte die Analogie zu Aufgabe 4: Die Interpolation mithilfe eines angenommenen isentropen<br />
Prozesses bei s = s e und das anschließende Umrechnen in reale Werte ist das übliche Vorgehen bei<br />
solchen Problemen und sollte wirklich verstanden werden.<br />
Erst jetzt kann die Temperatur T 6 über Interpolation in der Dampftafel mit der Enthalpie h 6 ermittelt<br />
werden!<br />
T 6 = 52,43 ◦ C + 60 ◦ C − 52,43 ◦ C (<br />
h6 − h 52,43 C)<br />
h 60 ◦ C − h ◦ 52,43 ◦ C<br />
= 58,2 ◦ C<br />
WICHTIG: insbesondere gilt T 6 ≠ h 6<br />
c p<br />
(kein ideales Gas)<br />
Gebiet des idealen Gases befindet sich im h - s - Diagramm beim stark überhitzten Dampf. Die<br />
Temperatur nimmt dort auf einer Isobaren mit zunehmender spezifischer Entropie exponentiell zu.<br />
7.) 1. Hauptsatz am Wärmetauscher (nur Hochdruckkreis):<br />
dE Sys<br />
dt<br />
= ∑ i<br />
˙Q i + ∑ j<br />
Ẇ j + ∑ e<br />
ṁ e<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )e<br />
− ∑ a<br />
ṁ a<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )a<br />
• stationär: dE Sys<br />
dt<br />
• diabat: ˙Q i ≠ 0<br />
= 0 und ṁ e = ṁ a = ṁ<br />
• keine Arbeitseinwirkung: Ẇ j = 0<br />
0 = − ˙Q 67 + ṁ b (h 6 − h 7 )<br />
Zusätzlich ist der Angabe zu entnehmen, dass eine vollständige, isobare Kondensation bei p 6 =<br />
14bar vorliegt. (Tabelle: Sättigungszustand)<br />
h 7 = h ′ 14bar = 125,26 kJ/kg<br />
h 6 ist bekannt aus Aufgabe 6, ˙Q 67 aus Aufgabe 3!<br />
ṁ b = − ˙Q 67<br />
h 7 − h 6<br />
= 0,129 kg/s<br />
69
<strong>8.</strong>) 1. HS am Mischbehälter:<br />
dE Sys<br />
dt<br />
= ∑ ˙Q i + ∑ Ẇ j + ∑<br />
i j e<br />
ṁ e<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )e<br />
− ∑ a<br />
ṁ a<br />
(<br />
h + c2<br />
2 + g z )a<br />
• stationär: dE Sys<br />
dt<br />
• adiabat: ˙Q i = 0<br />
= 0<br />
• keine Arbeitseinwirkung: Ẇ j = 0<br />
mit:<br />
0 = ṁ a · h 4 + ṁ b · h 8 − ṁ a · h 1 − ṁ b · h 5<br />
ṁ a = −ṁb (h 8 − h 5 )<br />
h 4 − h 1<br />
h 1 = h ′ 6bar = 79,48 kJ/kg<br />
h 8 = h 7 = 125,26 kJ/kg<br />
h 5 = h ′′ 6bar = 259,19 kJ/kg<br />
ṁ a = −ṁb (h 8 − h 5 )<br />
h 4 − h 1<br />
(adiabate Drossel)<br />
= 0,0874 kg/s<br />
9.) Die Leistungsziffer ist definiert als Nutzen pro Aufwand. Nutzbringend ist in diesem Fall die<br />
Heizleistung ˙Q 67 , während die beiden Verdichterleistungen den Aufwand darstellen.<br />
˙Q 67<br />
ɛ =<br />
P Va + P Vb<br />
Für Verdichter V a wurde bereits die spezifische technische Arbeit ermittelt, die nun nur noch mit<br />
dem Massenstrom zu multiplizieren ist:<br />
P Va = ṁ a w t,Va = 3,95kW.<br />
Die Verdichterleistung P Vb bestimmt sich aus der Differenz der Enthalpien an Ein- und Austritt,<br />
multipliziert mit dem Massenstrom ṁ b . Die Herleitung wurde bereits in Aufgabe 4 ausführlich<br />
dargestellt. Sowohl h 5 als auch h 6 wurden bereits berechnet. Damit folgt:<br />
P Vb = ṁ b (h 6 − h 5 ) = 2,79kW.<br />
ɛ =<br />
˙Q 67<br />
P Va + P Vb<br />
=<br />
= 2,97<br />
20,06kW<br />
3,95kW + 2,79kW<br />
Es wird empfohlen den 1. Hauptsatz am Verdichter V b zur Übung dennoch aufzustellen.<br />
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