Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Naturwissenschaftliche Fakultät I
Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie
WS 97/98, SS 98
gelesen von Prof. Anger
gesetzt von Peter Pfaffelhuber
Version 1.10.2000

Inhaltsverzeichnis
0 Einführung 1
0 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Maße und Integrale 5
1 σ-Algebren und ihre Erzeuger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Meßbare Abbildungen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Das Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 L p -Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Konvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 Konstruktion von Maßen 61
7 Fortsetzung von Inhalten zu Maßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8 Bildmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9 Produktmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10 Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
11 Maße mit Dichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3 Gesetze der großen Zahlen 109
12 0-1-Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
13 Starkes und schwaches Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4 Grenzverteilungen 121
14 Schwache Konvergenz von Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
15 Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
16 Der Satz vom iterierten Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5 Stochastische Prozesse 149
17 Konstruktion stochastischer Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
18 Markoff’sche Scharen und Halbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
19 Prozesse mit stationären und unabhängigen Zuwächsen . . . . . . . . . . . . . . . 167
20 Die Brown’sche Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
21 Der Poisson’sche Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6 Martingaltheorie 185
22 Satz von Radon-Nikodym und bedingte Erwartungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
23 Martingale, Sub- und Supermartingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
24 Markoffzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
25 Martingalkonvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
26 Zufälliges Stoppen von Martingalen (Optional Sampling) . . . . . . . . . . . . . . . 223
27 Markoff-Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
iii

iv
INHALTSVERZEICHNIS

Literaturverzeichnis
[BM] Bauer, H. [1990], Maß- und Integrationstheorie, 2.Auflage, de Gruyter
[BW] Bauer, H. [1991], Wahrscheinlichkeitstheorie, 4.Auflage, de Gruyter
[Be] Behrends, E. [1987], Maß- und Integrationstheorie, Springer
[Bi] Billingsley [1986], Probability and measure, Wiley
[DM] Dellacherie, C., Meyer, P.A. [1987], Probabilités et Potentiel, Hermann
[El] Elstrodt, J. [1996], Maß- und Integrationstheorie, Springer
[Fl] Floret, K. [1981] Maß- und Integrationstheorie, Teubner
[GS] Gänsler, P. und Stute W. [1977], Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer
[HS] Hewitt,E., Stromberg, K. [1975], Real and Abstract Analysis, Springer
[KS] Karatzas, I., Shreve, S.E. [1988], Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer
[Me] Meyer, P. [1966], Probability and Potentials, Blaisdell Publications
[Qu] Querenburg [1979], Mengentheoretische Topologie, Springer
[RY] Revuz, D., Yor, M. [1991], Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer
[RWI] Rogers, L.C., Williams, W. [1994], Diffusion, Markov-Processes and Martingales I, Wiley
[RWII] Rogers, L.C., Williams, D. [1994], Diffusion, Markov-Processes and Martingales II, Wiley
[Ru] Rudin, W. [1973], Functional Analysis, McGraw Hill
v

vi
LITERATURVERZEICHNIS

Kapitel 0
Einführung
0 Vorbemerkungen
Erst um 1930 begründet Kolmogoroff die Wahrscheinlichkeitstheorie axiomatisch. Dabei schuf er
die Grundlagen dafür, auch auf nichtdiskreten Räumen Wahrscheinlichkeitstheorie zu betreiben.
0.1 Diskrete Stochastik
Die diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie beschäftigt sich mit dem Studium zufälliger Experimente
mit höchstens abzählbar vielen stochastisch relevanten Experimentsausgängen ω ∈ Ω. D.h., es gibt
höchstens abzählbar viele Ausgänge mit diskreten positiven Wahrscheinlichkeiten. Die zugehörige
Abbildung, die den Ausgängen Wahrscheinlichkeiten zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsmaß. Sie
hat im diskreten Fall folgende Eigenschaften:
1. P[Ω] = 1 (Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses),
2. P[A] = ∑ ω∈A
P[ω] (A ⊆ Ω).
Die Wahrscheinlichkeit von A ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zu A gehörigen Elementarereignisse.
Mit
{
1, ω ∈ A
ɛ ω : A ↦→
0, ω ∉ A und α ω := P[ω]
ist P = ∑ ω∈Ω
α ω ɛ ω . Umgekehrt ist für α ω ∈ [0; 1] mit ∑ ω∈Ω
α ω = 1 durch
A ↦→ ∑ ω∈Ω
α ω = ∑ ω∈Ω
α ω ɛ ω [A]
stets ein diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß gegeben.
0.2 Beispiele
1. Die hypergeometrische Verteilung ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß) auf Ω = {0, . . . , S} und hat
Parameter n, N ∈ N mit n ≤ N. Sie ist definiert durch
( S N−S
)
α s :=
s)(
n−s
( N
(s ∈ Ω).
n)
Man kann α s interpretieren als die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen ohne Zurücklegen von n
Kugeln aus einer Urne mit N Kugeln, von denen S schwarze und N − S weiße sind, genau s
schwarze zu ziehen.
1

2 KAPITEL 0. EINFÜHRUNG
2. Die Binomialverteilung ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf auf Ω = {0, . . . , n} mit Parameter
p ∈ [0; 1] und ist definiert durch
α k :=
( n
k)
p k (1 − p) n−k =: B(n, p)[k]
(k ∈ Ω).
Man kann α k interpretieren als Wahrscheinlichkeit, beim n-maligen Spiel desselben Spiels k-
mal zu gewinnen, wobei die Wahrschelichkeit eines einzelnen Gewinns p ist. Ist n = 1, so spricht
man auch von der Bernoulli-Verteilung.
3. Die Poisson-Verteilung ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω = N 0 mit Parameter λ ∈ R + . Sie
ist definiert durch
α k := λ k e−λ
=: π λ [k] (k ∈ Ω).
k!
Dabei ist α k die’Wahrscheinlichkeit, genau k ’seltene’ Ereignisse in einem Zeitraum zu beobachten,
wenn man durchschnittlich λ beobachtet.
Beispiele, bei denen man mit der Poisson-Verteilung als gutes Modell rechnet, sind der radioaktive
Zerfall oder Anrufe in einer Telefonzentrale.
4. Die wichtige Normalverteilung ist nicht diskret.
0.3 Zusammenhang diskrete - nichtdiskrete Stochastik
Die Bedingung 2. ist im Falle diskreter Wahrscheinlichkeitsmaße äquivalent zur Gültigkeit der
Gesamtheit der Bedingungen:
3. P[A ⊎ B] = P[A] + P[B] (A, B, ⊆ Ω, A ∩ B = ∅)
(Additivität unvereinbarer Ereignisse)
[
⋂ ∞
4. P
n=1
A n
]
= lim
n→∞ P[A n] (A n ⊆ Ω mit A n+1 ⊆ A n n ∈ N)
5. Es gibt ein B ⊆ Ω höchstens abzählbar mit P[CB] = 0
(Stetigkeit von oben)
(abzählbare Trägermenge)
Ferner sind 3. und 4. äquivalent zu
[ ⊎
∞
6. P
n=1
A n
]
=
∞∑
P[A n ]
n=1
((A n ) n∈N paarweise fremd)
(σ-Additivität)
n=1
Die Bedingung 3. läßt sich z.B. mit Hilfe relativer Häufigkeiten leicht motivieren. Um 4. zu motovieren,
wiederholt man ein zufälliges Experiment, was durch ein diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß
P 0 auf Ω 0 mit mindestens zwei stochastisch relevanten Ausgängen beschrieben wird, unendlich
∏
oft. Dann ist Ω := ∞ Ω 0 der Ergebnisraum dieser Folge von Experimenten und jedes Wahrscheinlichkeitsmaß
P auf Ω, das das Experiment beschreibt, hat wegen der Unabhängigkeit der einzelnen
Experimente die Eigenschaft:
[
P B 1 × . . . × B n × ∏ ]
= P 0 [B 1 ] · . . . · P 0 [B n ] (B i ⊆ Ω),
Ω 0
i>n
} {{ }
=:A n⊆Ω

0. VORBEMERKUNGEN 3
wobei
∏
A n ↓ ∞ B i =: A ⊆ Ω.
i=1
Somit liefert 4. die plausible Wahrscheinlichkeit
P[A] = lim
n→∞ i=1
∞∏
P 0 [B i ].
Beispielsweise wirft man unendlich oft hintereinander eine Münze. Dabei sei p die Wahrscheinlichkeit,
bei einem bestimmten Wurf ’Kopf’ zu werfen. Dann ist
B i = beim i-ten Ereignis fällt Kopf,
A n = bei den ersten n Versuchen fällt Kopf.
Dann liefert 4.
P[A] = lim
n→∞ pn = 0
Um den Begriff des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf nichtdiskrete Räume zu verallgemeinern, liegt
es nahe, auf Eigenschaft 5. zu verzichten und 1. und 6. zu fordern. Um ein Wahrscheinlichkeitsmaß
sauber zu definieren, muss man die Mengen, die das maß misst, einschränken. Zentral ist hierbei
der Begriff der σ-Algebra.
Problem: Existiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf Ω mit den Eigenschaften 1. und
6.?

4 KAPITEL 0. EINFÜHRUNG

Kapitel 1
Maße und Integrale
1 σ-Algebren und ihre Erzeuger
Sei stets Ω ≠ ∅ beliebig. In der Stochastik heißt die Menge Ω Grundgesamtheit, Ereignis-,
Merkmals-, Ergebnis- oder Stichprobenraum. Außerdem bezeichne E ⊆ P(Ω) ein Mengensystem
in Ω, das in der Stochastik dann eine Menge von Ereignissen darstellt.
1.1 Definition
Ein Mengensystem A ⊆ P(Ω) in Ω heißt σ-Algebra in Ω, wenn gilt:
1. Ω ∈ A,
2. A ∈ A ⇒ CA ∈ A
3. A n ∈ A (n ∈ N) ⇒ ⋃ n∈N
A n ∈ A.
1.2 Satz
In jeder σ-Algebra A von Ω gilt:
4. ∅ ∈ A
5. A n ∈ A (n ∈ N) ⇒ ⋂ A n ∈ A
n∈N
6, A, B ∈ A ⇒ A ∪ B, A ∩ B, A \ B ∈ A
Beweis.
4. Da Ω ∈ A, folgt die Behauptung mit 2. aus ∅ = CΩ ∈ A
5. Es gilt
Damit folgt die Behauptung nach 2.
6. Es gilt
n=1
∞⋂
n=1
(
⋃ ∞
A n = C
n=1
CA
}{{} n
∈A
} {{ }
∈A
∞⋃
∞⋂
A ∪ B = A ∪ B ∪ ∅, A ∩ B = A ∩ B ∩ Ω, und A \ B = A ∩ CB.
5
n=1
)
.

6 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
Damit folgen die Behauptungen nach 3. und 5.
1.3 Beispiele
1. Immer ist {∅, Ω} die kleinste und P(Ω) die größte σ-Algebra in Ω.
2. Beh.: Das Mengensystem
ist eine σ-Algebra
Denn:
1. Da CΩ = ∅ abzählbar ist, ist Ω ∈ A,
{A ⊆ Ω : A oder CA höchstens abzählbar}
2. Sei A ∈ A. Dann ist entweder A oder CA abzählbar. Falls A abzählbar ist, so ist C(CA) = A
abzählbar und damit CA ∈ A.
Falls CA abzählbar ist, ist sowieso CA ∈ A
3. Sei A n ∈ A (n ∈ N) Falls alle A k abzählbar sind, ist ⋃ n∈N
A n abzählbar als abzählbare Vereinigung
abzählbarer Mengen. Falls ein CA k abzählbar ist, so ist
✷
C ⋃ A n = ⋂ CA n ⊆ CA k
n∈N n∈N
abzählbar, also ⋃ n∈N
A n ∈ A.
1.4 Satz
Zu jedem Ereignissystem E in Ω gibt es eine kleinste, E enthaltende σ-Algebra in Ω, bezeichnet
mit σ Ω (E). Dabei heißt E Erzeugendensystem von σ Ω (E).
Es gilt:
σ Ω (E) = ⋂ {A ⊆ P(Ω) : E ⊆ A, Aσ-Algebra}
✷
Beweis: Definiere
S(E) := {A ⊇ E : Aσ-Algebra}
S := ⋂ {A ⊆ P(Ω) : A ∈ S(E)}
Beh: S ist die kleinste σ-Algebra, die E enthält.
1. S ist σ-Algebra:
1. Sei A ∈ S(E). Dann ist Ω ∈ A und da A beliebig war, auch
Ω ∈ ⋂ {A ⊆ P(Ω) : A ∈ S(E)} = S.
2. Sei A ∈ S. Dann ist A ∈ A für alle A ∈ S(E) und damit CA ∈ A für A ∈ S(E). Somit ist
CA ∈ S.

1. σ-ALGEBREN UND IHRE ERZEUGER 7
3. Sei A n ∈ S (n ∈ N) und A ∈ S(E). Dann ist A n ∈ A (n ∈ N) und damit auch ⋃ n∈N
A n ∈ A
für A ∈ S(E). Somit ist ⋃ n∈N
A n ∈ S.
2. S ist minimal
Angenommen,
⋂
es gibt eine σ-Algebra  mit E ⊆  S. Dann ist  ∈ S(E) und auch S :=
{A ⊆ P(Ω) : A ∈ S(E)} ⊆ Â. Das ist aber ein Widerspruch.
1.5 Bemerkung und Beispiel
1. Sind keine Verwechslungen zu befürchten, schreibt man auch
2. Sei E ⊆ Ω Dann gilt für E := {E} :
1.6 Definition
σ(E) := σ Ω (E)
σ(E) = {E, CE, ∅, Ω}.
1. Sei Ω ein topologischer (z.B. metrischer) Raum und G(Ω) = {U ⊆ Ω : U offen} das System
offener Teilmengen. Dann heißen die Elemente von
B(Ω) := σ ( G(Ω) )
Borel’sche Mengen in Ω. Die σ-Algebra B(Ω) heißt dann Borel’sche σ-Algebra
✷
2. Definiere für E ⊆ P(Ω)
1.7 Bemerkung
1. Sei E ein Ereignissystem.
Beh: Dann gilt
X −1 (E) := {X −1 (E) : E ∈ E}.
σ ( σ(E) ) = σ(E).
Denn: Wegen der Minimalität von σ(E) gilt für jede σ-Algebra A in Ω:
A ⊇ E ⇐⇒ A ⊇ σ(E).
Also:
σ(σ(E)) = ⋂ {A ⊆ P(Ω) : σ(E) ⊆ A, A ist σ-Algebra}
= ⋂ {A ⊆ P(Ω) : E ⊆ A, A σ-Algebra} = σ(E).
2. Da in einem topologischen Raum (Ω, G(Ω)) für die Menge F(Ω) aller abgeschlossenen Mengen
gilt:
F(Ω) := {A ⊆ Ω : ∃U ∈ G(Ω) : A = CU}
wird B(Ω) auch vom System F(Ω) der abgeschlossenen Mengen erzeugt. Ist Ω Hausdorff’sch
(z.B. metrisch), so ist jede kompakte Menge abgeschlossen und damit Borel’sch.
✷

8 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
Ist überdies Ω σ-kompakt, d.h. es gibt eine Folge kompakter Mengen (K n ) n∈N ⊆ (P(Ω))N mit
Ω =
∞⋃
K n ,
so ist jede abgeschlossene Menge Vereinigung abzählbar vieler kompakter Mengen.
Beh: Dann wird B(Ω) auch von allen kompakten Mengen erzeugt (z.B. Ω = R n ).
Denn: Definiere
C(Ω) := {K ⊆ Ω : K kompakt}.
Sei A ∈ F(Ω). Dann ist für K ∈ C A ∩ K kompakt, also gilt für A ∈ F(Ω)
A = A ∩ ⋃ n∈N
n=1
K n = ⋃ A ∩ K n ∈ σ(C(Ω))
} {{ }
n∈N
kompakt
und damit
also
σ(F(Ω)) ⊆ σ(σ(C(Ω))) = σ(C(Ω)) ⊆ σ(F(Ω)),
σ(F(Ω)) = σ(C(Ω)).
✷
3. Im R n ist jedes n-dimensionale Intervall (d.h. jedes Produkt eindimensionaler, nicht notwendig
beschränkter Intervalle) Schnitt eines offenen und eines abgeschlossenen Intervalles, also
Borel’sch. Umgekehrt ist jede offene Menge Vereinigung aller in ihr enthaltenen
1. beschränkten offenen Intervallen,
2. beschränkten abgeschlossenen Intervallen,
3. beschränkten halboffenen Intervallen,
4. endlichen Differenzen unbeschränkter halboffener Intervalle
jeweils mit komponentenweisen rationalen Endpunkten. Deshalb wird σ(R n ) von den Mengensystemen
aus 1.-4. erzeugt.
4. Obwohl letztlich alle in der Analysis auftretenden Mengen auch durch abzählbare Vereinigung
bzw. Durchschnitt von offenen Mengen bilden lassen und damit Borel’sch sind, gibt es nicht-
Borel’sche Mengen in jedem R n (siehe [BM]), die sogar alle Projektionen hochdimensionaler
Borelsch’er Mengen sind (siehe [Fl], Bsp. 17.25)
1.8 Satz
Sei X : Ω ′ −→ Ω und E ⊆ P(Ω). Dann gilt:
(
X −1 (E) ) = X −1( σ Ω (E) )
σ Ω ′
Insbesondere ist für jede σ-Algebra A in Ω das Mengensystem X −1 (A) eine σ-Algebra in Ω ′ .
Beweis.
1. Sei A eine σ-Algebra in Ω
Beh: X −1 (A) ist eine σ-Algebra in Ω ′ .
1. Ω ′ = X −1 (Ω) ∈ X −1 (A).
2. Sei A ′ ∈ X −1 (A). Dann gibt es ein A ∈ A mit A ′ = X −1 (A). Damit ist CA ′ = CX −1 (A) =
X −1 (CA) ∈ X −1 (A).

1. σ-ALGEBREN UND IHRE ERZEUGER 9
3. Sei A ′ n ∈ X −1 (A) (n ∈ N). Dann gibt es A n ∈ A mit A ′ n = X −1 (A n ) (n ∈ N). Damit ist
⋃
n∈N
A ′ n = ⋃ n∈N
2.
Beh: σ Ω ′(
X −1 (E) ) = X −1( σ Ω (E) ) .
X −1 (A n ) = X −1( ⋃ )
A n ∈ X −1 (A).
n∈N
“⊆”: Da E ⊆ σ Ω (E), ist X −1 (E) ⊆ X −1 (σ Ω (E)) und damit
σ Ω ′(X −1 (E)) ⊆ σ Ω ′(X −1 (σ Ω (E))) 1.
= X −1 (σ Ω (E)).
“⊇”: Definiere
1.9 Korollar
Beh.: A ist eine σ-Algebra in Ω:
A := {A ∈ σ Ω (E) : X −1 (A) ∈ σ Ω ′(X −1 (E))}.
1. Ω ∈ σ Ω (E) mit X −1 (Ω) = Ω ′ ∈ σ Ω ′(X −1 (E)). Damit ist Ω ∈ A
2. Sei A ∈ A Damit ist A ∈ σ Ω (E) und X −1 (A) ∈ σ Ω ′(E)), also CA ∈ σ Ω (E) und
X −1 (CA) = CX −1 (A) ∈ σ Ω ′(X −1 (E)). Somit ist CA ∈ A.
3. Sei A n ∈ A (n ∈ N). Damit ist A n ∈ σ Ω (E) und X −1 (A n ) ∈ σ Ω ′(X −1 (E)) (n ∈ N),
also ⋃ A n ∈ σ Ω (E) und X −1( ⋃ )
A n = ⋃ X −1 (A n ) ∈ σ Ω ′(X −1 (E)). Somit
n∈N
n∈N
n∈N
ist ⋃ A n ∈ A .
n∈N
Also ist A eine σ-Algebra und es gilt E ⊆ A ⊆ σ Ω (E), also σ(E) ⊆ σ(A) = A ⊆ σ Ω (E)
und somit A = σ(E). Für A ∈ σ Ω (E) ist also X −1 (A) ∈ σ Ω ′(X −1 (E)) und damit
X −1 (σ Ω (E)) ⊆ σ Ω ′(X −1 (E)).
Sei A ⊆ Ω und E ⊆ P(Ω). Definiere die Spur von E in A durch
Dann gilt:
1. A ∩ σ Ω (E) = σ A (A ∩ E).
A ∩ E := {A ∩ E; E ∈ E}.
2. Ist A eine σ−Algebra in Ω, so ist die Spur A ∩ A von A in A eine σ-Algebra in A. Falls A ∈ A,
so ist A ∩ A = {B ∈ A : B ⊆ A}.
✷

10 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
Beweis:
1. Definiere X als die kanonische Injektion
X :
{
A → Ω
ω ↦→ ω.
Dann ist
also
X −1 (E) = {X −1 (E) : E ∈ E} = {A ∩ E : E ∈ E} = A ∩ E,
A ∩ σ Ω (E) = X −1 (σ Ω (E)) 1.8
= σ A (X −1 (E)) = σ A (A ∩ E).
2.
Beh: Ist A ∈ A so gilt A ∩ A = {B ∈ A : B ⊆ A}
“⊆”: Sei E ∈ A ∩ A. Dann gibt es ein  ∈ A mit E = A ∩ Â, also E ∈ A und E ⊆ A.
“⊇”: Sei E ∈ A und E ⊆ A. Dann gilt E = A ∩ E ∈ A ∩ A.
1.10 Korollar
Sei Ω ein topologischer Raum und A ⊆ Ω. Dann sind die Borel’schen Mengen eines Unterraumes
A genau die Elemente der Spur von B(Ω) in Ω, d.h.
B(A) = A ∩ B(Ω).
✷
Beweis: Es gilt
1.11 Beispiele
B(A) 1.6
= σ(G(A)) = σ(A ∩ G(Ω)) 1.9
= A ∩ σ(G(Ω)) 1.6
= A ∩ B(Ω).
1. B(R) := σ R {(−∞; α〉, α ∈ R} = σ R {〈α; ∞), α ∈ R} mit 〈∈ { [, ( } , 〉 ∈ { ], ) } .
2. Versieht man R = [−∞; ∞] mit der Metrik, die die Schränkungstransformation
⎧
⎪⎨ ∞, x = 1
1
g : x ↦−→
1−||x||
x ∈] − 1; 1[
⎪⎩
−∞ x = −1
zu einer Isometrie macht, so ist bekanntlich R homöomorph zu [−1; 1] und R ein affiner Teilraum
von R, also
B(R) = R ∩ B(R) = {A ∈ B(R) : A ⊆ R},
B(R) = { B ∪ A : B ∈ B(R), A ⊆ {−∞, ∞} } ,
B(R) = σ R
{
[−∞; α〉, α ∈ R
}
= σR
{
〈α; ∞] : α ∈ R
}
.
✷

2. MASSE 11
2 Maße
Sei stets Ω ≠ ∅ eine beliebige Menge.
2.1 Definition
1. Ein Mengensystem R ⊆ P(Ω) heißt Ring in Ω, wenn gilt:
1. ∅ ∈ R,
2. A, B ∈ R ⇒ A ∩ B ∈ R,
3. A, B ∈ R ⇒ A ∪ B ∈ R,
4. A, B ∈ R ⇒ A \ B ∈ R.
2. Sei R ein Ring in Ω. Eine Mengenfunktion µ : R → [0; ∞] heißt Inhalt bzw. Prämaß, wenn gilt:
1. µ[∅] = 0,
2. Für A i ∈ R (i ∈ I) paarweise fremd und ⋃ A i ∈ R ist für endliches bzw. abzählbares I
i∈I
[ ⊎ ]
µ A i = ∑ µ[A i ] (Additivität bzw. σ-Additivität).
i∈I
i∈I
3. Ein Prämaß m : A → [0; ∞] auf einer σ-Algebra A heißt Maß.
4. Ein Inhalt µ : R → [0; ∞] heißt semiendlich, falls
µ[A] = sup{µ[K] : K ∈ R, K ⊆ A, µ[K] < ∞}.
5. Ein Maß m heißt endlich, falls
m[Ω] < ∞.
6. Ein Maß m heißt Wahrscheinlichkeitsmaß, falls
m[Ω] = 1
7. Ein Tripel (Ω, A, P) heißt Wahrscheinlichkeitsraum, falls A ein σ-Algebra und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß
auf A ist.
2.2 Bemerkungen
1. Jede σ-Algebra ist ein Ring.
2. Sei R ein Ring und µ : R → [0; ∞] Dann gilt:
µ Prämaß =⇒ µ Inhalt.
3. Sei m : A → [0; ∞] ein Maß, d.h. A ist eine σ-Algebra. Dann gilt:
m Wahrscheinlichkeitsmaß =⇒ m endlich =⇒ m semiendlich.

12 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
2.3 Satz
Jeder Inhalt µ : R → [0; ∞] hat folgende Eigenschaften:
3. A, B ∈ R : A ⊆ B ⇒ µ[A] ≤ µ[B] (Isotonie)
4. A, B ∈ R, A ⊆ B, µ[A] < ∞ ⇒ µ[B \ A] = µ[B] − µ[A] Subtraktivität
5. A, B ∈ R ⇒ µ[A ∪ B] + µ[A ∩ B] = µ[A] + µ[B] (starke Additivität)
A, B ∈ R ⇒ µ[A ∪ B] ≤ µ[A] + µ[B] (Subadditivität)
Beweis:
3. es gilt
µ[A] ≤ µ[A] + B \ A = µ[A ⊎ (B \ A)] = µ[B].
} {{ }
≥0
4. Es ist µ[A] + µ[B \ A] = µ[B], also µ[B \ A] = µ[B] − µ[A].
5. Es gilt
µ[A ∪ B] + µ[A ∩ B] = µ[A ⊎ (B \ A)] + µ[A ∩ B]
= µ[A] + µ[B \ A] + µ[A ∩ B] = µ[A] + µ[A ∩ CB] + µ[A ∩ B]
= µ[A] + µ[(A ∩ CB] ⊎ (A ∩ B)] = µ[A] + µ[B]
und, falls µ[A ∩ B] < ∞
µ[A ∪ B] = µ[A] + µ[B] − µ[A ∩ B] ≤ µ[A] + µ[B].
Im Fall µ[A ∩ B] = ∞ ist µ[A] = µ[B] = µ[A ∪ B] = ∞ und damit µ[A ∪ B] = µ[A] + µ[B].
✷

2. MASSE 13
2.4 Hauptsatz
1. Sei µ : R −→ [0; ∞] ein Inhalt. Dann gilt:
µ ist ein Prämaß ⇐⇒ µ stetig von unten, d.h.
[
⋃ ∞
(A n ) n∈N ∈ R N , A n ↑ A ∈ R ⇒ µ
Dann ist µ auch stetig von oben:
n=1
[
⋂ ∞
(A n ) n∈N ∈ R N , A n ↓ A ∈ R, µ[A 1 ] < ∞ ⇒ µ
2. Sei µ : R → [0; ∞] ein semiendlicher Inhalt. Dann sind äquivalent:
1. µ ist ein Prämaß,
2. µ ist stetig von unten,
3. µ ist stetig von oben,
4. µ ist stetig von oben in ∅.
3. Ist µ : R → [0; ∞] ein Prämaß, so ist µ σ-subadditiv, d.h.
]
A n = sup µ[A n ].
n∈N
n=1
A n
]
= inf
n∈N µ[A n].
(A n ) n∈N ∈ R N ,
n⋃
i=1
[ ⋃
∞
A i ↑ A ∈ R ⇒ µ
n=1
A n
]
≤
∞∑
µ[A n ].
n=1
Beweis:
1. “ ⇒ ”: Sei (A n ) n∈N ∈ R N , A n ↑ A ∈ R.
Definiere
B 1 := A 1 , B n+1 := A n+1 \ A n
(n ∈ N).
Dann ist B i ∩ B j = ∅ (i ≠ j) und
[ ⋃
∞
µ
n=1
] [ ⊎
∞
A n = µ
n=1
B n
]
=
= µ[A 1 ] + lim
∞⋃ ∞⊎
A n = B n , also, da µ ein Prämaß ist
n=1
∞∑
µ[B n ]
n=1
n∑
n→∞
i=1
n=1
(
µ[Ai+1 ] − µ[A i ] ) = lim
n→∞ µ[A n]
= sup µ[A n ].
n∈N
“ ⇐ ”: Sei (B n ) n∈N ∈ R N , B i ∩ B j = ∅ (i ≠ j),
∞⊎
B n ∈ R. Definiere
n=1
n⊎
A n := B i .
i=1

14 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
Dann ist A n ↑
Stetigkeit von oben:
∞⊎
B n und damit, da µ stetig von unten ist,
n=1
[ ⊎
∞
µ
n=1
] [ ⋃
∞
B n = µ
=
n=1
∞∑
µ[B n ].
n=1
]
A n = sup µ[A n ] = sup
n∈N
n∈N
n∑
µ[B i ]
Sei (A n ) n∈N ∈ R N , A n ↓ A ∈ R, µ[A 1 ] < ∞. Dann ist A 1 \ A n ↑ A 1 \ A und damit
(
µ[A 1 ] − µ[A] = µ[A 1 \ A] = sup µ[A 1 \ A n ] = sup µ[A1 ] − µ[A n ] )
n∈N
n∈N
= µ[A 1 ] − inf µ[A n],
n∈N
also µ [ ∞ ⋂
n=1
A n
]
= µ[A] = inf
n∈N µ[A n].
2. “1. ⇔ 2. ⇒ 3.”: siehe 1.
“3. ⇒ 4.”: nichts zu zeigen
“4. ⇒ 2.”: Sei (A n ) n∈N ∈ R N , A n ↑ A ∈ R
[ ⋃
∞ ]
Beh: µ A n = sup µ[A n ]
n∈N
n=1
“≥”: Es gilt ⋃ i∈N
A i ⊇ A n
i=1
(n ∈ N). Also ist µ [ ⋃ ]
A i ≥ µ[An ] (n ∈ N) und damit
µ [ ∞ ⋃
n=1
i∈N
]
A n ≥ sup µ[A n ].
n∈N
“≤”: Da µ semiendlich ist, gibt es für jedes α mit 0 < α < µ[A] eine Menge
K α ∈ R mit
K α ⊆ A und α < µ[K α ] < ∞.
Außerdem ist dann
K α \ A n ∈ R und K α \ A n ↓ K α \ A = ∅.
Da µ stetig von oben in ∅ ist, gilt inf
n∈N µ[K α \ A n ] = 0 und
und damit
µ[A n ] ≥ µ[A n ∩ K α ] = µ[K α ] − µ[K α \ A n ]
sup µ[A n ] ≥ µ[K α ] − inf µ[K α \ A n ] = µ[K α ] > α,
n∈N
n∈N
also, da 0 < α < µ[A] beliebig war,
sup µ[A n ] ≥ µ[A] = µ [ ⋃
∞ ]
A n .
n∈N
n=1

2. MASSE 15
3. Sei (A n ) n∈N ∈ R N ,
n⋃
A i ↑ A ∈ R
i=1
[ ⋃
n ]
Mit 2.3.5 zeigt man induktiv µ A i ≤
Mit 1. gilt:
[ ⋃
∞
µ
n=1
i=1
n∑
µ[A i ]
i=1
] [ ⋃
n ]
A n = sup µ A i ≤ sup
n∈N
i=1
n∈N
(n ∈ N).
n∑
∞∑
µ[A i ] = µ[A n ].
i=1
n=1
✷
2.5 Beispiele
Sei R ein Ring in Ω und µ : R → [0; ∞].
1. m = 0 ist ein Maß.
2. m : A ↦−→ |A| ist ein semiendliches Maß.
{
0, A = ∅
3. m : A ↦→
ist ein Maß, aber i.A. nicht semiendlich.
∞, A ≠ ∅
4. Sei Ω überabzählbar, z.B. Ω = R und
A := {A ⊆ Ω : A abzählbar ∨ CA abzählbar}
die σ-Algebra in Ω aus 1.3.2.
Beh: Dann ist
ein Wahrscheinlichkeitsmaß .
Denn:
m : A ↦→
{
0, A = abzählbar
1, CA abzählbar
1. µ[∅] = 0 ist klar.
2. Zum Beweis der σ-Additivität sei (A n ) n∈N ∈ A N paarweise fremd. Dann gibt es zwei Fälle:
• Alle A n sind abzählbar.
Dann ist ⊎ n∈N
A n abzählbar und
m [ ⊎ ] ∑
A n = 0 =
n∈N
n∈N
0 = ∑ n∈N
m[A n ].
• Es gibt ein k ∈ N, so dass CA k abzählbar ist.
Dann ist A n abzählbar (n ≠ k), denn falls es ein k ′ ≠ k gibt, so dass CA k ′ abzählbar ist,
so ist
A k ∩ A k ′ = C ( )
CA k ∪ CA k ′ ,
} {{ }
abzählbar
also überabzählbar, insbesondere also A k ∩ A k ′ ≠ ∅, d.h. ein Widerspruch.
Damit ist C ⊎ A n = ⋂ CA n ⊆ CA k abzählbar , also
n∈N n∈N
m [ ⊎
n∈N
A n
]
= 1 = m[Ak ] + ∑ n≠k
m[A n ] = ∑ n∈N
m[A n ].

16 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
3. Sei A eine σ-Algebra in Ω und a ∈ Ω, Dann ist
{
1, a ∈ A
ɛ a : A ↦→
0, a /∈ A
ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω, das Dirac-Maß von a, bzw. die Einheitsmasse
die singuläre Verteilung von a.
4. Sei A eine σ-Algebra auf Ω, m ein Maß auf A, A ∈ A mit m[A] > 0. Dann ist
bzw.
m A
m[A] : ⎧
⎨
⎩
m A
m[A] : ⎧
⎨
⎩
A −→ [0; ∞]
B ↦−→
m[A ∩ B]
m[A]
A ∩ A −→ [0; ∞]
A ∩ B ↦−→
m[A ∩ B]
m[A]
=: m[B|A]
=: m[B|A]
in a, bzw.
ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf A bzw. auf A ∩ A. Man spricht hierbei auh von ’Massentilgung
außerhalb von A’. Man sagt, m[B|A] ist die ’bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der
Hypothese A.
2.6 Satz (Bayes’sche Formel)
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit A 1 , . . . , A n+1 ∈ A, (B n ) ∈ A N .
1. Ist P[A 1 ∩ . . . ∩ A n ] > 0, so gilt
P [ A 1 ∩ . . . ∩ A n+1
]
= P[A1 ] · P[A 2 |A 1 ] · . . . · P[A n+1 |A n ].
2. Ist A ⊆ ⋃ n∈N
B n , so gilt
P[A] = ∑ n∈N
P[B n ] · P[A|B n ]
und
P[B n |A] = P[B n] · P[A|B n ]
P[A]
= P[B n] · P[A|B n ]
∑
P[B k ] · P[A|B k ] .
k∈N
Beweis: Analog dem Beweis aus der elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie.
2.7 Bemerkungen
Sei A eine σ-Algebra in Ω.
1. Mit m 1 und m 2 sind auch m 1 +m 2 und αm 1 (α ∈ R + ) Maße.
2. Ist (m i ) i∈I eine aufsteigend filtrierende Menge von Maßen auf A, d.h. für jedes Paar i, j ∈ I
gibt es ein k ∈ I mit
m i , m j ≤ m k .
Beh.: Dann ist
m := sup
i∈I
m i : A ↦→ sup m i [A]
i∈I
ein Maß auf A.
Denn: Wegen 2.4 genügt es zu zeigen, daß sup m i ein von unten stetiger Inhalt ist.
i∈I

2. MASSE 17
1. m[∅] = 0 ist klar.
2. Seien A 1 , . . . , A n ∈ A paarweise fremd. Dann ist
( )[ ⊎
n
sup m i
i∈I
k=1
] [ ⊎
n
A k = sup m i
i∈I
k=1
3. Sei (A n ) n∈N ∈ A N , A n ↑ A. Dann ist
Insbesondere ist
ein Maß.
sup
i∈I
m i [A] = sup
i∈I
∑
i∈I
sup
n∈N
A k
]
= sup
i∈I
m i : A ↦→ sup
J⊆I
n∑
m i [A k ] =
k=1
n∑
k=1
m i [A n ] = sup sup m i [A n ].
n∈N i∈I
endl.
j∈J
∑
m j [A]
sup m i [A k ].
i∈I
Zum Beispiel bei diskreten Maßen: ∑ n∈N
a n ɛ αn ist für a n ∈ R + , α n ∈ Ω wieder ein Maß. Ist Ω
höchstens abzählbar, a n = 1 (n ∈ N) und {α n : n ∈ N} = Ω, so spricht man vom Zählmaß auf
Ω.
4. Wir zeigen später, dass es genau ein Maß λ n auf B(R n ) gibt mit
[ n∏
]
λ n ∏
[a i ; b i ] = n (b i − a i ).
i=1
Dabei heißt λ n Lebesgue-Borel’sches Maß. Jede einpunktige und damit jede abzählbare Menge
in R n hat λ n -Maß 0.
i=1

18 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
3 Meßbare Abbildungen und Funktionen
Seien stets Ω, Ω ′ Mengen mit σ-Algebren A bzw A ′ in Ω bzw. Ω ′ , kurz Messräume (Ω, A), (Ω ′ , A ′ ).
3.1 Definition
Eine Abbildung X : Ω → Ω ′ heißt A − A ′ -messbar oder Zufallsvariable, wenn X −1 (A ′ ) ⊆ A. Wir
bezeichnen mit
L 0 (Ω, A) := L 0 (Ω, A, R) := {f : Ω → R; fA − B(R) − messbar}
die Menge aller messbaren Abbildungen.
3.2 Bemerkung
1. Sind B ⊇ A bzw. B ′ ⊆ A ′ , so ist jede A − A ′ -messbare Abbildung auch B − B ′ -messbar.
2. Sei X : Ω → Ω ′ eine Zufallsvariable. Gemäß 1.8 ist X −1 (A ′ ) eine σ-Algebra in Ω und offenbar
die kleinste σ-Algebra A in Ω, so dass X A − A ′ -messbar ist.
3. In der Stochastik bedeutet, dass eine Abbildung eine Zufallsvariable ist, dass die Ereignisse
’durch’ X beschreibbar sind.
{X ⊆ A ′ } := {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A ′ } = X −1 (A ′ ) (A ′ ∈ A ′ )
Also ist X genau dann eine Zufallsvariable, wenn die durch X beschreibbaren ’Ereignisse’ in A)
sind.
3.3 Satz
Sei E ′ ⊆ P(Ω ′ ) mit σ Ω ′(E ′ ) = A ′ . Dann gilt für eine Abbildung X : Ω → Ω ′ :
X ist A − A ′ -messbar ⇐⇒ X −1 (E ′ ) ⊆ A.
Beweis:
”⇒”: klar nach 3.1.
”⇐”: Ist X −1 (E ′ ) ⊆ A, so auch σ Ω (X −1 (E ′ )) ⊆ σ Ω (A) = A und damit
X −1 (A ′ ) = X −1 (σ Ω ′(E ′ )) 1.8
= σ Ω (X −1 (E ′ )) ⊆ A.
✷
3.4 Beispiel
Seien Ω, Ω ′ topologische Räume mit Systemen G(Ω), G(Ω ′ ) ihrer offenen Teilmengen, so gilt nach
Definition für jede Abbildung X : Ω → Ω ′ :
X stetig ⇐⇒ X −1( G(Ω ′ ) ) ⊆ G(Ω)
Also ist nach 3.3 jede stetige Abbildung X B(Ω) − B(Ω ′ ) Borel-messbar.

3. MESSBARE ABBILDUNGEN UND FUNKTIONEN 19
3.5 Satz
Seien (Ω i , A i ) Messräume (i = 1, 2, 3), X 1 : Ω 1 → Ω 2 , X 2 : Ω 2 → Ω 3 A 1 − A 2 - bzw. A 2 − A 3 -
messbar.
Dann ist X 2 ◦ X 1 : Ω 1 → Ω 3 A 1 − A 3 -messbar.
Beweis: Sei A ∈ A 3 . Dann gilt (X 2 ◦ X 1 ) −1 (A) = X1 −1 (X−1 2
} {{ (A) ) ∈ A 1 . ✷
}
∈A 2
3.6 Satz (Restriktion und Zusammensetzung messbarer Abbildungen)
1. Sei X : Ω → Ω ′ messbar und A ⊆ Ω. Dann ist X| A A ∩ A − A ′ -messbar
2. Sei I höchstens abzählbar, (A i ) i∈I ∈ A I , X : ⋃ i∈I
A i → Ω ′ Dann gilt:
X| Ai A i ∩ A − A ′ -messbar (i ∈ I) ⇒ X
( ⋃
i∈I
A i
)
∩ A − A ′ -messbar.
Ist insbesondere ⋃ i∈I
A i = Ω, so gilt:
X| Ai A i ∩ A − A ′ -messbar (i ∈ I) ⇒ X A − A ′ -messbar.
Beweis:
1. Für A ′ ∈ A ′ ist (X| A ) −1 (A ′ ) = A ∩ X −1 (A ′ ) ∈ A ∩ A.
2. Für A ′ ∈ A ′ ist
A i ∩ X −1 (A ′ ) = (X| Ai ) −1 (A ′ ) ∈ A i ∩ A ⊆ A
(i ∈ I).
Damit gilt
( ⋃ ) ( ⋃ )
X −1 (A ′ ) = A i ∩ X −1 (A ′ ) ∈ A i ∩ A.
i∈I
i∈I
✷
3.7 Definition
Eine Funktion f : Ω → R heißt (A)-messbar oder Borel-messbar, wenn f A − B(R)-messbar ist.
3.8 Beispiel
Für A ⊆ Ω heißt
1 A : ω ↦→
{
1, ω ∈ A
0, ω ∈ CA
Indikatorfunktion von A. Damit ist (1 A ) −1 (B(R)) = {∅, Ω, A, CA}. Also gilt:
1 A ist messbar ⇐⇒ A ∈ A ⇐⇒ A messbar.

20 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
3.9 Hauptsatz
Für jede Funktion f : Ω → B ∈ B(R) sind äquivalent:
1. f ist A − B(R)-messbar,
2. f ist A − B ∩ B(R)-messbar,
3. {f < α} ∈ A für alle α ∈ R.
In 3. kann man dabei ’’,’≤’ oder ’≥’ ersetzen.
Beweis:
“1. ⇒ 2.”: Ist klar, da B ∩ B(R) ⊆ B(R).
⎧
[−∞, α] für ’ ≤ ’,
⎪⎨
[−∞, α) für ’ < ’,
“2. ⇒ 3.”: Sei α ∈ R und C α :=
[α; ∞] für ’ ≥ ’,
⎪⎩
(α; ∞] für ’ > ’.
Im Fall ’ α} ∈ A
und
{g ≤ f} = C{f < g} ∈ A.
Durch Vertauschen von f und g folgt die Behauptung bis auf
{f = g} = {f ≤ g} ∩ {g ≤ f} ∈ A
und
{f ≠ g} = C{f = g} ∈ A.
✷

3. MESSBARE ABBILDUNGEN UND FUNKTIONEN 21
3.12 Erweiterung von Ordnung, Addition, Multiplikation auf R
1. Erweiterung von Addition und Multiplikation.
{
∞, α = +∞, β = −∞
α + β = β + α =
±∞, α ∈ R, β = ±∞
⎧
⎪⎨ ±∞, α > 0, β = ±∞
α · β = β · α = ∓∞, α < 0, β = ±∞
⎪⎩
0, α = 0, β = ±∞
Man beachte, dass i.A. −(α + β) ≠ −α − β gilt.
Die Distributivgesetze gelten weiterhin, d.h.
(α + β)γ = αγ + βγ (α, β ∈ R, γ ∈ R + ),
α(β + γ) = αβ + αγ
(α ∈ R + , β, γ ∈ R).
Die Division wird erweitert durch:
{
1
α := 0, α = ±∞
∞, α = 0
mit β α := β · 1
α .
2. Die Ordnung wird erweitert durch
−∞ < α < ∞
(α ∈ R).
Es gelten die Regeln
α ≤ β ⇒
{
α + γ ≤ β + γ (α, β, γ ∈ R),
ρα ≤ ρβ (α, β ∈ R, ρ ∈ R + ).
3. Die Potenz wird erweitert durch β α = ∞ für β = ∞, α ∈ [0; ∞].
4. Die Ausnahmeregeln sind somit
5. Damit sind die Abbildungen:
Addition: + :
Multiplikation: · :
Division: ÷ :
∞ − ∞ = −∞ + ∞ = ∞,
0 · ∞ = ∞ · 0 = 0,
0 · (−∞) = (−∞) · 0 = 0,
∞
∞ = 0,
∞ 0 = ∞.
{
R × R
→ R
(α, β) ↦→ α + β,
{
R × R
→ R
(α, β) ↦→ α · β,
{
R → R
α ↦→ 1 α , bzw. ÷ :
weiterhin stetige, also insbesondere messbare Abbildungen.
{
R × R → R
(α, β) ↦→ β α ,

22 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
3.13 Satz
Sind f, g : Ω → R messbar, so auch
f + g, αf für α ∈ R, fg, f g , |f|α für α ∈ (0; ∞)
Beweis: Die Abbildung
h :
{
Ω
ω
→ R × R
↦→ (f(ω), g(ω))
ist A − B(R × R)-messbar, denn es gilt
h −1 ([−∞; α] × [∞; β]) = {f ≤ α} ∩ {g ≤ β} ∈ A
(α, β ∈ R).
Die Komposition mit den obigen stetigen, also messbaren Abbildungen liefert die Behauptung. ✷
3.14 Satz
Für jede Folge (f n ) n∈N ∈ (L 0 (Ω, A)) N ist
inf f n : ω ↦→ inf f n(ω),
n∈N n∈N
sup
n∈N
f n : ω ↦→ sup f n (ω),
n∈N
lim inf
n→∞ f n,
lim sup f n ,
n→∞
und falls, f n in R konvergiert, auch lim
n→∞ f n eine messbare Funktion.
Beweis: Es gilt
{ inf f n ≥ α} = ⋂ {f n ≥ α} ∈ A (α ∈ R).
n∈N
n∈N
Beachtet man
sup f n = − inf −f n ,
n∈N
lim inf f n = sup inf
n→∞
,
n∈N k≥n
lim inf f n = sup
n→∞
inf
f k
n∈N k≥n
und, falls existent,
so folgt die Behauptung.
lim f n = lim inf f n = lim sup f n ,
n→∞ n→∞
n→∞
✷
3.15 Korollar
Eine Funktion f ist genau dann messbar, wenn ihr Positivteil f + := sup(f, 0) und ihr Negativteil
f − := sup(−f, 0) bzw. f − := inf(f, 0) messbar sind. Dann ist auch |f| messbar.
Beweis: Da f messbar und 0 messbar sind, sind auch f + , f − , f − messbar. Umkegekhrt sind f +
und f − genau dann messbar, wenn f + und f − messbar sind. Wegen f = f + + f − = f + − f − und
|f| = f + + f − = sup(f, −f) folgt die Behauptung.
✷
3.16 Bemerkungen und Bezeichnungen
1. Für f, g : Ω → R und f n : Ω → R (n ∈ N) bedeutet:
• f ≤ g :⇔ f(ω) ≤ g(ω) (ω ∈ Ω),
• f n ↑ f :⇔ f n ≤ f n+1 (n ∈ N) und f = sup n∈N f n ,
• f n ↓ f :⇔ f n ≥ f n+1 (n ∈ N) und f = inf n∈N f n .

3. MESSBARE ABBILDUNGEN UND FUNKTIONEN 23
2. Rechenregeln für Indikatorfunktionen
Für A, B, (A n ) n∈N ∈ Ω N gilt:
• A ⊆ B ⇔ 1 A ≤ 1 B ,
• A n ↑ A ⇔ A n ⊆ A n+1 (n ∈ N) ∧ A = ⋃ A n ⇔ 1 An ↑ 1 A ,
n∈N
• A n ↓ A ⇔ A n ⊇ A n+1 (n ∈ N) ∧ A = ⋂ n∈N
A n ⇔ 1 An ↓ 1 A ,
• 1 ⋃
n∈N
= sup 1 An , 1 ⋂
A n n∈N
n∈N
A n
= inf
n∈N 1 A n
,
• 1 A∪B + 1 A∩B = 1 A + 1 B , 1 A\B = 1 A − 1 A∩B , 1 CA = 1 − 1 A ,
• A = ⊎ i∈I
A i
⇔ 1 A = ∑ i∈I
1 Ai .
3. Eine Menge F ⊆ R Ω von Funktionen heißt
• Funktionenkegel, falls
f + g ∈ F, αf ∈ F (f, g ∈ F, α ∈ R + ),
• Funktionenraum oder Vektorraum reeller Funktionen , falls F ⊆ R Ω , ein Funktionenkegel
ist mit −F ⊆ F (d.h. f ∈ F ⇒ −f ∈ F ).
• Verband, wenn
inf(f, g), sup(f, g) ∈ F (f, g ∈ F ).
• Ein Verband, der Funktionenkegel ist, heißt Kegelverband.
• Ein Verband, der Funktionenraum ist, heißt Vektorverband.
• Ferner sei
F + := {f ∈ F : f ≥ 0}
F σ := {f ∈ R Ω : ∃(f n ) n∈N ∈ F N : f n ↑ f}.
4. Mit F sind auch F + und F σ Verbände bzw. Kegelverbände.
5. Beh.: Ist F ein Verband, so gilt (F σ ) σ = F σ .
Denn:
“⊇”: Ist klar.
“⊆”: Sei (f n ) n∈N ∈ (F σ ) N mit f n ↑ f. Damit gibt es Folgen (g nk ) k∈N ∈ F N mit g nk ↑ f n .
Mit g n := sup k≤n g nk ∈ F und g n ↑ f folgt f ∈ F σ .
✷
3.17 Definition
Sei R ⊆ A ein Ring. Eine R-Treppenfunktion ist eine Funktion
t = ∑ i∈I
α i 1 Ai
mit I endlich, (α i ) i∈I ∈ R I und (A i ) i∈I ∈ R I . Wir definieren T (Ω, R) als die Menge aller R-
Treppenfunktionen.

24 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
3.18 Lemma
Seien s, t, ∈ T (Ω, R) zwei R-Treppenfunktionen.
1. Dann besitzen s und t eine geimeinsame Normaldarstellung, d.h. es gibt eine endliche Indexmenge
I und (σ i ) i∈I , (ρ i ) i∈I ∈ R I (R i ) i∈I ∈ R I parweise fremd, so dass
s = ∑ i∈I
σ i 1 Ri ,
t = ∑ i∈I
ρ i 1 Ri .
2. Es gilt {s > t}, {s < t}, {s = t}, {s < 0}, {s > 0}, {s = 0} ∈ R.
Beweis:
1. Sei
s = ∑ i∈I s
α i 1 Ai ,
t = ∑ j∈I t
β j 1 Bj
mit I s , I t endlich, (α i ) i∈Is ∈ R Is , (β j ) j∈It ∈ R It und (A i ) i∈Is ∈ (R) Is , (B j ) j∈It ∈ (R) It .
Definiere nun
R ij := A i ∩ B j ∈ R ((i, j) ∈ I s × I t ).
Dann sind die R ij paarweise fremd und es gilt
∑
s = α i R ij , t =
(i,j)∈I s×I t
Nun folgt die Behauptung mit
σ ij = α i , ρ ij = β j
((i, j) ∈ I).
∑
(i,j)∈I s×I t
β j R ij .
2. Sei
s = ∑ i∈I
σ i 1 Ri ,
t = ∑ i∈I
ρ i 1 Ri
eine gemeinsame Normaldarstellung von s und t. Dann gilt
und analog für die anderen Fälle.
{s > t} = ⋃ i∈I
σ i >ρ i
R i ∈ R,
{s > 0} := ⋃ i∈I
σ i >0
R i
✷
3.19 Satz
1. Der Raum T (Ω, R) ist ein Vektorverband messbarer Funktionen.
2. Der Raum T (Ω, A) ist der Vektorverband der A-messbaren Funktionen, die nur endlich viele
reelle Werte annehmen.
3. Der Raum
T + (Ω, R) =
{
t = ∑ }
α i 1 Ai , I endlich, α i ∈ R + , A i ∈ R
i∈I
ist ein Kegelverband.
4. Die Menge L 0 (Ω, A) aller messbaren Funktionen ist ein Kegelverband, die Menge aller reellen
A-messbaren Funktionen sogar ein Vektorverband.
Beweis:

3. MESSBARE ABBILDUNGEN UND FUNKTIONEN 25
1. und 3. folgen sofort aus 3.18.
2. Ist t A-messbar mit t(Ω) = {α 1 , . . . , α n } ⊆ R. Dann ist mit A i = t −1 (α i ) ∈ A (i = 1, . . . , n) und
4. folgt aus 3.13, 3.14.
3.20 Hauptsatz
t =
n∑
α i 1 Ai ∈ T (Ω, A).
i=1
Zu jeder A-messbaren Funktion f ≥ 0 gibt es eine isotone Folge (t n ) n∈N ∈ (T + (Ω, A)) N , die
punktweise gegen f konvergiert, t n ↑ f.
Ist f außerdem noch beschränkt, so konvergiert (t n ) n∈N gleichmäßig.
✷
Beweis: Sei zunächst f beschränkt mit sup f(ω) =: M < ∞. Definiere dann
ω∈Ω
t n := M
2 n ∑
i=1
1
2 n 1 {f>M i
2 n }.
Dann konvergiert t n gleichmäßig gegen f nach Definition der t n .
.
.
.
Für allgemeines f betrachten wir g n := inf(f, n). Damit gilt g n ↑ f. Da g n beschränkt ist, gilt
g n ∈ (T + (Ω, A)) σ wie gerade gezeigt. Damit ist f ∈ ((T + (Ω, A)) σ ) σ = (T + (Ω, A)) σ nach 3.16.4.

26 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
4 Das Integral
Sei stets (Ω, A) ein Messraum, R ⊆ A ein Ring und m ein σ-additiver Inhalt auf R.
Die Ziele dieses Paragraphen sind:
1. Entwicklung einer Integrationstheorie, wobei R = A eine σ-Algebra ist.
Dazu führen wir ein Integral ein, beginnend mit
∫
1 A dm = m[A] (A ∈ A),
dann für Treppenfunktionen mittels
∫
n
∑
α i 1 Ai dm =
i=1
i=1
n∑
α i m[A i ] (α i ∈ R + , A i ∈ A)
und schließlich für messbare Funktionen f ≥ 0, die durch Treppenfunktionen approximiert
werden mittels
∫
∫
fdm = sup
n∈N
t n dm
(f ≥ 0 messbar, (t n ) n∈N ∈ (T + (Ω, A)) N , t n ↑ f).
Dann schließlich für allgemeine messbare Funktionen mittels
∫
∫
fdm =
∫
f + dm −
f − dm.
Im dritten Schritt stellt sich ein Wohldefiniertheitsproblem. Schließlich muss man sicherstellen,
dass die Definition des Integrals unabhängig ist von der Folge, durch die man die messbare
Funktion approximiert hat.
2. Vorbereitung der Fortsetzung von m auf R zu einem Maß auf A = σ(R)
4.1 Definition
Wir definieren die Menge der Elementarfunktionen durch
E(Ω, R, m) = {t ∈ T (Ω, R) : m[t < 0] < ∞}.
4.2 Lemma
Die Menge der Elementarfunktionen ist ein Kegelverband mit
E + (Ω, R, m) := (E(Ω, R, m)) + = (T (Ω, R)) + =: T + (Ω, R).
Sind
n∑
m∑
t = α i 1 Ai = β j 1 Bj
i=1
j=1
zwei Normaldarstellungen der Elementarfunktion t, so ist
n∑
m∑
α i m[A i ] = β j m[B j ].
i=1
j=1

4. DAS INTEGRAL 27
n⊎ m⊎
Beweis: Sei wie in 3.18 ΠA i = B j und damit
i=1 j=1
m⊎
n⊎
A i = A i ∩ B j , B j = A i ∩ B j .
j=1
i=1
Damit gilt
m∑
n∑
m[A i ] = m[A i ∩ B j ], m[B j ] = m[A i ∩ B j ],
j=1
i=1
also
n∑
n∑ m∑
m∑
m∑ n∑
α i m[A i ] = α i m[A i ∩ B j ], β j m[B j ] = β j m[A i ∩ B j ].
i=1
i=1 j=1
j=1
j=1 i=1
Für A i ∩ B j ≠ ∅ ist α i = β j . Damit folgt die Behauptung.
✷
4.3 Satz
1. Die Abbildung
⎧
⎪⎨ E(Ω, R, m) → (−∞, ∞]
µ :
n∑
n∑
⎪⎩ α i 1 Ai ↦→ α i m[A i ],
i=1
i=1
n∑
wobei α i 1 Ai eine Normaldarstellung ist, ist ein isotones lineares Funktional auf der Menge
i=1
der Elementarfunktionen, d.h. für f, g ∈ E(Ω, R, m), α ∈ R + gilt:
1. f ≤ g ⇒ µ(f) ≤ µ(g), (Isotonie)
2. µ(αf) = αµ(f), (positive Homogenität)
3. µ(f + g) = µ(f) + µ(g). (Additivität)
n∑
2. Für eine beliebige Darstellung f = α i 1 Ai mit α i < 0 nur für m[A i ] < ∞, (i = 1, . . . , n) einer
Elementarfunktion f ist µ(f) =
3. Ist f ∈ E(Ω, R, m), so gilt
i=1
n∑
α i m[A i ].
i=1
µ(f) < ∞ ⇐⇒ −f ∈ E(Ω, R, m).
Dann ist µ(−f) = −µ(f).
4. Ist m endlich, so ist µ eine Linearform auf dem Vektorverband E(Ω, R, m) = T (Ω, R).

28 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
Beweis:
1. Wie 4.2 zeigt, ist µ wohldefiniert. Sind f, g ∈ E(Ω, R, m) mit (nach 3.18 existenter) gemeinsamer
Verfeinerung
n∑
n∑
f = α i 1 Ai , g = β i 1 Ai ,
i=1
i=1
so gilt:
1. Aus f ≤ g folgt α i ≤ β i (i = 1, . . . , n) und damit µ(f) ≤ µ(g).
n∑
2. Da αf = αα i 1 Ai folgt µ(αf) = αµ(f).
i=1
n∑
3. Da f + g = (α i + β i )1 Ai eine Normaldarstellung von f + g ist, folgt
i=1
n∑
µ(f + g) = (α i + β i )m[A i ] = ∑ α i m[A i ] + ∑ β i m[A i ] = µ(f) + µ(g),
i=1
da α i < 0 nur für m[A i ] < ∞ möglich ist.
n∑
2. Für f = α i 1 Ai
i=1
mit α i < 0 nur für m[A i ] < ∞ gibt es eine Normaldarstellung
m∑
f = β j 1 Bj
j=1
mit
n∑
i=1
A i ∩B j ≠∅
α i = β j , (j = 1, . . . , m).
Dabei gibt es Œ für jedes j genau ein i mit B j ⊆ A i . Damit gilt
m∑
m∑
µ(f) = β j m[B j ] =
=
j=1
n∑
α i m[A i ].
i=1
j=1
n∑
i=1
A i ∩B j ≠∅
α i m[B j ] =
n∑
i=1
α i
m ∑
j=1
B j ∩A i ≠∅
m[B j ]
3. Es gilt
µ(f) < ∞ ⇐⇒ m[A i ] < ∞ (i = 1, . . . , n mit α i ≠ 0).
Damit ist aber −f ∈ E(Ω, R, m) und
nach 1.
0 = µ(0) = µ(f − f) = µ(f) + µ(−f)
4. Ist das Maß m endlich, so ist E(Ω, R, m) = T (Ω, R) und µ(f) < ∞ (f ∈ E(Ω, R, m)). Nach 3.
ist dann −f ∈ E(Ω, R, m) und µ(αf) = αµ(f) (α ∈ R). Damit folgt die Behauptung.
✷

4. DAS INTEGRAL 29
4.4 Lemma
Sind (f n ) n∈N , (g n ) n∈N isotone Folgen in E(Ω, R, m) mit
sup
n∈N
f n ≤ sup g n ,
n∈N
so ist
sup
n∈N
µ(f n ) ≤ sup µ(g n ).
n∈N
Beweis:
1. Sei zunächst f n , g n ≥ 0 (n ∈ N). Für j ∈ N sei f j =
k∑
α i 1 Ai eine Normaldarstellung mit
α i > 0 (i = 1, . . . , k). Für 0 < β < 1 definiere B n := {g n > βf j } (n ∈ N). Damit ist B n ∈ R
nach 3.18 und
n∑
g n ≥ βf j 1 Bn = α i β1 Ai∩B n
∈ E(Ω, R, m),
also
Die Folge (B n ) n∈N ist isoton mit
Es folgt
µ(f j ) =
und damit
B n ↑ B ⊇ {f j > 0} =
k∑
α i m[A i ] =
i=1
k∑
i=1
i=1
i=1
µ(g n ) ≥ µ(βf j 1 Bn ) = βµ(f j 1 Bn ).
n⋃
A i und damit A i ∩ B n ↑ A i ∈ R und m[A i ∩ B n ] ↑ A i .
i=1
α i
lim m[A i ∩ B n ] = lim
n→∞
k∑
n→∞
i=1
α i m[A i ∩ B n ] = lim
n→∞ µ(f j1 Bn )
sup µ(g n ) = lim µ(g n) ≥ β lim µ(f j1 Bn ) = βµ(f j )
n∈N
n→∞ n→∞
(0 < β < 1, j ∈ N).
Für β → 1 ergibt sich
und damit
sup µ(g n ) ≥ µ(f j ) (j ∈ N)
n∈N
sup
n∈N
µ(g n ) ≥ sup µ(f j ).
j∈N
2. Für allgemeine Folgen (f n ) n∈N , (g n ) n∈N definiere A = {f 1 < 0} ∪ {g 1 < 0} ∈ R. Damit ist
m[A] ≤ m[f 1 < 0] + m[g 1 < 0] < ∞.
Deswegen gibt es ein α > 0 mit f 1 , g 1 ≥ −α, also f 1 , g 1 ≥ −α1 A ∈ E(Ω, R, m). Damit erfüllen
(f n + α1 A ) n∈N , (g n + α1 A ) n∈N die Voraussetzungen von 1. und es folgt
αm[A]
} {{ }

30 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
4.5 Hauptsatz
Definiere E σ (Ω, R, m) := (E(Ω, R, m)) σ .
Die Abbildung
{
E σ (Ω, R, m) → (−∞; ∞]
µ σ :
f ↦→ sup n∈N µ(f n ) ,
wobei (f n ) n∈N eine Folge in E(Ω, R, m) ist mit f n ↑ f) ist ein isotones, lineares Funktional auf
dem Kegelverband E σ (Ω, R, m) und sogar ein Daniell-Integral, d.h.
µ σ (sup f n ) = sup µ(f n )
n∈N n∈N
((f n ) n∈N ∈ (E σ (Ω, R, m)) N , (f n ) n∈N isoton.)
Für eine σ-Algebra A ist
E σ (Ω, A, m) = {f ∈ L 0 (Ω, A) : ∃α ∈ R + , A ∈ A meßbar, m[A] < ∞, f ≥ −α1 A } ⊇ L 0 +(Ω, A).
Damit setzt µ σ die Funktion µ auf E σ (Ω, A, m) fort.
Beweis:
1. Nach 4.4 ist µ σ wohldefiniert und isoton. Für f, g ∈ E σ (Ω, A, m), α ∈ R + , (f n ) n∈N , (g n ) n∈N ∈
(E(Ω, A, m)) N mit f n ↑ f und g n ↑ g gilt αf n ↑ αf, f n + g n ↑ f + g, also µ(αf) = αµ(f) und
µ σ (f + g) = µ σ (f) + µ σ (g).
2. Sei (f n ) n∈N ∈ (E σ (Ω, A, m)) N mit
f n ↑ f ∈ (E σ (Ω, A, m)) σ = E σ (Ω, A, m),
(f nk ) k∈N ∈ (E(Ω, R, m)) N
mit f nk ↑ f n (n ∈ N) und
Dann ist g n ↑ f. Da g n ≤ f n folgt
µ σ (f) = sup µ(g n ) = sup
n∈N
n∈N
g n = sup f in ∈ E(Ω, A, m).
i≤n
sup
i≤n
µ(f in ) = sup
i∈N
3. Sei nun A eine σ-Algebra. Zu zeigen ist nur das erste “=”-Zeichen.
“⊆”: klar.
“⊇”: Sei
4.6 Definition
sup
n≥i
µ(f in ) = sup µ(f i ).
i∈N
f ∈ {f ∈ L 0 (Ω, A) : ∃α ∈ R + , A ∈ A meßbar, m[A] < ∞, f ≥ −α1 A }
und α ∈ R + mit f ≥ −α1 A . Dann ist f + α1 A ∈ L 0 +(Ω, A). Damit gibt es nach
3.20 eine Folge (t n ) n∈N ∈ (T + (Ω, A)) N = (E + (Ω, A, m)) N mit t n ↑ f + α1 A . Es folgt
(t n − α1 A ) n∈N ∈ (E(Ω, A, m)) N mit t n − α1 A ↑ f.
Für jede Funktion f ∈ R Ω ist
∫ ∗
fdm := (µ σ ) ∗ (f) := inf µ σ (t), (Oberintegral von f)
t∈Eσ
t≥f
∫
fdm := (µ σ ) ∗ (f) = −(µ σ ) ∗ (−f) := sup −µ σ (t). (Unterintegral von f)
∗
t∈Eσ
−t≤f
✷

4. DAS INTEGRAL 31
Dabei steht vereinfachend E σ := E σ (Ω, A, m). Die Funktion f heißt integrierbar, wenn
∫ ∫ ∗
−∞ < fdm = fdm < ∞.
∫
Der gemeinsame Wert
falls 1 A integrierbar ist.
Weiter definieren wir
∗
fdm heißt dann das Integral von f. Eine Menge A ⊆ Ω heißt integrierbar,
• die Menge aller integrierbaren Funktionen
L(m) := L(Ω, m)
• und für eine σ-Algebra A die Menge aller A-meßbaren, m-integrierbaren Funktionen
4.7 Lemma
Für alle Funktionen f, g : Ω → R und α ∈ R + gilt:
∫ ∫ ∗
1. fdm ≤ fdm,
∗
L 1 (m) := L 1 (Ω, A, m, R) := L 0 (Ω, A) ∩ L(m).
∫ ∗ ∫ ∗ ∫ ∫
2. f ≤ g ⇒ fdm ≤ gdm, fdm ≤ gdm,
3.
∫ ∗ ∫ ∗
αfdm = α fdm,
∗
∗
∫
∫
αfdm = α fdm.
4. Sei f ∈ E σ (Ω, R, m). Dann gilt
∫ ∗
• fdm = µ σ (f).
∫
• fdm = µ σ (f), falls Ist m endlich ist,
∗
• f integrierbar ⇔ µ σ (f) < ∞,
n∑
• falls f = α i 1 Ai ∈ E(Ω, R, m), so gilt:
i=1
∗
∗
f integrierbar ⇐⇒ (α i ≠ 0 ⇒ m[A i ] < ∞ i = 1, . . . , n),
5. ist
∫ ∗ ∫ ∗
fdm, gdm < ∞, so ist
∫ ∗
(f + g)dm ≤
∫ ∗ ∫ ∗
inf(f, g)dm + sup(f, g)dm ≤
∫ ∗ ∫ ∗
fdm + gdm.
Ist
∫ ∫
fdm, gdm > −∞, so ist
∗
∗
∫ ∫ ∫
∫
fdm + gdm ≤ inf(f, g)dm + sup(f, g)dm ≤
∗
∗
∗
∗
∫
(f + g)dm.
∗

32 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
Beweis:
1. Seien s, t ∈ E σ (Ω, R, m), −s ≤ f ≤ t. Dann ist 0 ≤ s + t ∈ (E σ (Ω, R, m)) + , also 0 ≤ µ σ (s + t) =
µ σ (s) + µ σ (t), also −µ σ (s) ≤ µ σ (t). Mit
∫
fdm = sup −µ σ (s)
∗
s∈Eσ
−s≤f
ist
∫
∗
∫ ∗
fdm ≤ inf µ σ (t) = fdm.
t∈Eσ
t≥f
2. Sei f ≤ g. Für t ∈ E σ (Ω, R, m) mit t ≥ g ist t ≥ f und damit
∫ ∗
fdm ≤ µ σ (t). Nimmt
man auf der rechten Seite das Infimum über alle t, folgt
−g ≤ −f, also
4. • Für f ∈ E σ (Ω, R, m) ist
wegen der Isotonie von µ σ .
∗
∫ ∗
fdm ≤
∫ ∫ ∗ ∫ ∗ ∫
fdm = − −fdm ≤ − −gdm = gdm.
∫ ∗
fdm = inf µ σ (t) = µ σ (f)
t∈Eσ
t≥f
• Ist m endlich, so folgt die Behauptung aus −f ∈ E σ (Ω, R, m).
∗
∫ ∗
gdm. Außerdem ist
• “⇒”: Die Bedingung µ σ (f) < ∞ ist notwendig für die Endlichkeit des Integrals.
“⇐”: Sei f ∈ E σ (Ω, R, m). Dann gibt es eine Folge (t n ) n∈N ∈ (E(Ω, R, m) N mit t n ↑
f, sup µ(t n ) = µ σ (f). Ist µ σ (f) < ∞, so ist µ(t n ) < ∞ (n ∈ N). Mit 4.3.3 folgt
n∈N
(−t n ) n∈N ∈ (E(Ω, A, m) N und µ(−t n ) = −µ(t n ). Damit gilt
∫ ∗
fdm = µ σ (f) = sup µ(t n ) = sup −µ(−t n ) = sup −µ σ (−t n )
(
= sup −
n∈N
also die Behauptung.
1. Klar.
3. Für α = 0 ist die Behauptung klar.
Für α > 0 gilt
∫ ∗
αfdm = inf
t∈Eσ
t≥αf
n∈N
∫ ∗
−t n dm)
µ σ (t) = inf
αt∈Eσ
αt≥αf
n∈N
= sup
n∈N
∗
n∈N
∫ ∫ ∫ ∗
t n dm ≤ fdm ≤ fdm = µ σ (f),
∫ ∗
µ σ (αt) = α inf µ σ (t) = α fdm.
t∈Eσ
t≥f
5. Seien s, t ∈ E σ (Ω, A, m), s ≥ inf(f, g), t ≥ sup(f, g). Dann ist s + t ∈ E σ (Ω, A, m) und
s + t ≥ inf(f, g) + sup(f, g) = f + g.
∗
Damit gilt
∫ ∗
f + gdm ≤ µ σ (s + t) = µ σ (s) + µ σ (t).
Nimmt man auf der rechten Seite das Infimum über alle s, t, so folgt die erste Ungleichung.

4. DAS INTEGRAL 33
Sei s, t ∈ E σ (Ω, A, m), s ≥ f, t ≥ g. Dann ist inf(s, t), sup(s, t) ∈ E σ (Ω, A, m) mit
inf(s, t) ≥ inf(f, g),
sup(s, t) ≥ sup(f, g).
Daraus folgt
∫ ∗ ∫ ∗
inf(f, g)dm + sup(f, g)dm ≤ µ σ (inf(s, t)) + µ σ (sup(s, t))
= µ σ (inf(s, t) + sup(s, t)) = µ σ (s + t) = µ σ (s) + µ σ (t).
Nimmt man auf der rechten Seite das Supremum über alle s, t, so folgt die zweite Ungleichung.
✷
4.8 Definition
Für jeden Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und jede positive Zufallsvariable oder P-integrierbare
Funktion X heißt
∫ ∗
E[X] := XdP
Erwartungswert von X bzgl. P. Ist X integrierbar, so ist
∫
E[X] = XdP.
4.9 Hauptsatz
Seien f, g ∈ L(m) bzw. f, g ∈ L 1 (Ω, A, m). Dann ist auch αf ∈ L(m) bzw. ∈ L 1 (Ω, A, m) für
α ∈ R und f + g, inf(f, g), sup(f, g) ∈ L(m) bzw. ∈ L 1 (Ω, A, m) und es gilt:
∫ ∫
1. f ≤ g ⇒ fdm ≤ gdm,
(Isotonie)
2.
3.
∫
∫
αfdm = α
∫
∫
(f + g)dm =
fdm,
∫
inf(f, g)dm +
sup(f, g)dm,
(Homogenität)
(starke Additivität)
∫
Insbesondere ist f ↦→ fdm eine positive Linearform auf dem Vektorverband L 1 (Ω, A, m) der
reellen integrierbaren Funktionen.
Beweis:
1. Klar nach 4.7.1.
2. Für α ≥ 0, d.h. für die positive Homogenität folgt die Bahauptung aus 4.7.3. Für α = −1 gilt
Daraus folgt die Homogenität.
∫
∫
−fdm =
∗
∫ ∗ ∫
−fdm = − fdm = −
fdm.

34 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
3. Es gilt
∫ ∫
fdm +
∗
4.10 Korollar
Es gilt
bzw.
∗
∫
∫
∫
∫
gdm 4.7.5
≤ inf(f, g)dm + sup(f, g)dm ≤ (f + g)dm 4.7.1 ∗
≤ (f + g)dm
∗
∗
∗
∫
4.7.5 ∗ ∫ ∗ ∫ ∗ ∫ ∗
≤ inf(f, g)dm + sup(f, g)dm ≤ fdm + gdm
∫ ∫
= fdm + gdm.
∗
∗
f ∈ L(m) ⇐⇒ f + ∈ L(m) ∧ f − ∈ L(m)
f ∈ L 1 (Ω, A, m) ⇐⇒ f + ∈ L 1 (Ω, A, m) ∧ f − ∈ L 1 (Ω, A, m).
✷
Dann ist auch |f| ∈ L(m) bzw. ∈ L 1 (Ω, A, m) und es gilt
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
fdm = f + dm − f − dm = f + dm + f − dm
und
∫
∣
∫
fdm∣ ≤
|f|dm.
Beweis: ∫ Die ∫ Behauptung ∫ folgt aus 4.9 wegen f = f + − f − = f + + f − und |f| = f + + f − und ±
fdm = ±fdm ≤ |f|dm. Damit gilt
∫
∫
∣ fdm∣ ≤ |f|dm.
✷
——————————————————————–
Für den Rest von 4. sei (Ω, A, m) ein Maßraum.
4.11 Majorantenkriterium
Für jede messbare Funktion f sind äquivalent:
1. f integrierbar,
2. |f| besitzt eine integrierbare Majorante g ≥ |f|,
3.
∫ ∗
|f|dm < ∞.
Beweis:
“1. ⇒ 2.”: Folgt nach 4.9.
“2. ⇒ 3.”: Klar, da
∫ ∗ ∫ ∗
|f|dm ≤ gdm < ∞.

4. DAS INTEGRAL 35
“3. ⇒ 1.”: Sei Œ f ≥ 0. Dann ist f ∈ L 0 +(Ω, A) = (E σ (Ω, A, m)) + und
Nach 4.7.4 ist f integrierbar.
µ σ (f) =
∫ ∗
fdm =
∫ ∗
|f|dm < ∞.
✷
4.12 Satz (Beweisprinzip der Maßtheorie)
Ist ν : L 0 +(Ω, A) → R + ein Daniell-Integral, d.h.
ν(sup t n ) = sup ν(t n ) ((t n ) n∈N ∈ (T (Ω, A)) N , t n isoton) (∗)
n∈N n∈N
und gilt
so gilt
Außerdem ist
Dann ist
ν(1 A ) = m[A] (A ∈ A),
∫ ∗
ν(f) = fdm (f ∈ L 0 +(Ω, A)).
f ∈ L 1 (Ω, A, m) ⇐⇒ ν(f + ), ν(f − ) < ∞.
∫
fdm = ν(f + ) − ν(f − ).
Beweis: Wie in 4.5 zeigt man, daß die Bedingung (∗) äquivalent ist zur Daniell-Eigenschaft auf
L 0 +(Ω, A).
Wegen der Linearität von ν ist ν = m auf E + (Ω, A, m) und wegen der abgeschwächten Daniell-
Eigenschaft auch ν = µ σ auf (E + (Ω, A, m)) σ = (E σ (Ω, A, m)) + Der Rest folgt wie in 4.9. ✷
4.13 Beispiel
1. Sei a ∈ Ω, m = ɛ a .
Beh: Dann ist ∫ ∗
fdɛ a = f(a) (f ∈ L 0 +(Ω, A)).
Denn: Sei f ɛ a -integrierbar und f meßbar. Dann ist
{
L 0
ν :
+(Ω, A) → R +
f ↦→ f(a)
ein Daniell-Integral mit
Die Behauptung folgt dann aus 4.12.
ν(1 A ) = 1 A (a) = ɛ a (A) (A ∈ A).
2. Beh.: Sind m 1 , m 2 Maße auf A, so ist
∫ ∗ ∫ ∗ ∫ ∗
fd(m 1 + m 2 ) = fdm 1 + fdm 2
und falls f ∈ L 0 (Ω, A), dann gilt
(f ∈ L 0 +(Ω, A))
f ist (m 1 + m 2 ) integrierbar ⇐⇒ f ist m 1 - und m 2 -integrierbar.

36 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
Denn: Die Abbildung
⎧
⎨L 0 +(Ω, A) = (E σ (Ω, A, m 1 )) +
ν :
⎩ f
→ R
∫ ∗ ∫ ∗
↦→ fdm 1 + fdm 2
ist ein Daniell-Integral mit
ν(1 A ) =
∫ ∗ ∫ ∗
1 A dm 1 + 1 A dm 2 = m 1 [A] + m 2 [A] = (m 1 + m 2 )[A]
(A ∈ A).
3. Beh.: Sei (m n ) n∈N eine Folge von Maßen auf A. Dann ist
⎧
∞∑
⎪⎨ A → R
m := m n :
∞∑
⎪⎩ A ↦→ m n [A]
n=1
n=1
ein Maß mit ∫ ∗ ∞∑
∫ ∗
fdm = fdm n
n=1
Ist f ∈ L 0 (Ω, A), dann gilt:
f ist m-integrierbar ⇐⇒
(f ∈ L 0 +(Ω, A)).
∞∑
∫ ∗
|f|dm n < ∞.
n=1
Denn: Die Abbildung
⎧
⎪⎨ L 0 +(Ω, A)
ν :
⎪⎩ f
→ R
∞∑
∫ ∗
↦→ fdm n
ist ein Daniell-Integral auf L 0 +(Ω, A), da sie isoton und linear ist und für jede Folge von Treppenfunktionen
(t n ) n∈N ∈ (T + ) N = (E + (Ω, A, m)) N mit t n ↑ t
ν(t) =
∞∑
∫ ∗
tdm n = sup
n=1
n∑
n∈N
i=1
∫ ∗
tdm i = sup
n∈N
n∑
∫ ∗
= sup sup t j d ( ∑
n )
m i = sup sup
j∈N n∈N
i=1
n=1
j∈N n∈N
i=1
n=1
∫ ∗
td ( ∑
n ∫
) ∗
m i = sup sup t j d ( ∑
n )
m i
i=1
∫ ∗
t j dm i = sup
∞∑
j∈N
n=1
n∈N j∈N
gilt. Schließlich ist
∞∑
∫ ∗ ∞∑
ν(1 A ) = 1 A dm n = m n [A] = m[A] (A ∈ A)
und die Behauptung folgt wieder aus 4.12.
4. Ein Spezialfall von 3. sind diskrete Maße
n=1
i=1
∫ ∗
t j dm n = sup ν(t j )
j∈N
Hier gilt
∞∑
m = α n ɛ ω (α n ∈ R + , ω n ∈ Ω).
n=1
∫ ∗ ∞∑
fdm = α n f(ω n ) (f ∈ L 0 +(Ω, A))
n=1

4. DAS INTEGRAL 37
und
Beispielsweise ist m =
und
f ist m-integrierbar ⇐⇒ f ∈ L 0 (Ω, A) und
∞∑
α n |f(ω n )| < ∞.
n=1
∞∑
ɛ n das Zählmaß auf (N, P(N)) und es gilt
n=1
∫ ∗
fdm =
f ist m-integrierbar
∞∑
f(n) (f ≥ 0)
n=1
⇐⇒
∞∑
|f(n)| < ∞.
Dieses Maß ist wichtig für die Theorie der absolut konvergenten Reihen.
4.14 Bemerkungen über Riemann- und Lebesgue-Integral
1. Das Riemann-Integral
mit
⎧
⎨K(R)
ν :
⎩f
→ R
↦→
∫ b
a
n=1
f(x)dx
K(R) := {f ∈ C(R) : ∃α, a, b ∈ R : ‖f| ≤ α1 [a;b] }
ist definiert durch die Stammfunktion der Funktion f. Es ist
und
die Fortsetzung von ν.
K σ (R) = {f : R R : f messbar , ∃α, a, b : f ≥ −α1 [a;b] } → R ∪ {∞}
ν σ : K σ (R) → R ∪ {∞}
Eine Funktion f ist genau dann ν σ -integrierbar, wenn f λ-integrierbar ist, wobei die λ-
integrierbaren, Borel-meßbaren Funktionen genau die Elemente von L(R, B(R), λ) sind.
2. Das Lebesgue-Maß
⎧{
∫
⎪⎨ B ∪ N : B ∈ B(R),
λ :
⎪⎩ A
}
1 N dλ = 0
→ R
∫ ∗
↦→ 1 A dλ
setzt das Lebesgue-Borel’sche Maß fort. Entsprechendes gilt für höhere Dimensionen.
4.15 Definition
Sei A ∈ A unf f zumindest auf A definiert. Definiere dann
⎧
⎪⎨ Ω → R
{
f A := f| A und f A : f(ω), ω ∈ A
⎪⎩ ω ↦→
0, ω ∈ CA.
∫
Ist f A ≥ 0 messbar, so heißt
A
fdm :=
m-integrierbar, so sagt man, f sei über A integrierbar.
∫ ∗
f A dm Integral von f über A. Ist A außerdem

38 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
∫ ∫ ∗
Offenbar gilt fdm = fdm.
Ω
∫
∫ ∗
Es ist üblich, auch für positive A-meßbare Funktionen f fdm statt fdm zu schreiben.
∫
Beachte, dass für messbares A und f ∈ L 0 +(Ω, A) das Integral immer noch linear ist, aber fdm
∫ ∫ A ∗
nur dann endlich ist, falls f integrierbar ist. Ist m semiendlich, so ist fdm = fdm auf
E σ (Ω, A, m) ⊇ L 0 +(Ω, A).
4.16 Satz
Sei A ∈ A. Für jede mindestens auf A definierte Funktion f sind äquivalent:
1. f A ∈ L 0 +(A, A ∩ A),
2. f A ∈ L 0 +(Ω, A).
Hinreichend hierfür ist, dass f ∈ L 0 (Ω, A). Es gilt dann
∗
∫ ∗
fdm =
∫ ∗
fdm A =
∫ ∗
f1 A dm mit m A : B ↦→ m[B ∩ A]
(B ∈ A).
A
Außerdem sind äquivalent:
1. f A ∈ L(A, A ∩ A, m A ) mit m A := m| A∩A ),
2. f A ∈ L(m).
Hinreichend hierfür ist, dass f ∈ L(m). Es gilt dann
∫ ∫ ∫
fdm = fdm A = f1 A dm mit m A : B ↦→ m[B ∩ A]
A
(B ∈ A).
Beweis: Klar.
✷
4.17 Korollar
Sind A, B ∈ A und ist f ∈ L 0 (Ω, A) über A und B integrierbar, so auch über A ∩ B und A ∪ B
und es gilt:
∫ ∫ ∫
∫
fdm + fdm = fdm + fdm.
A
B
A∩B
A∪B
Beweis: Es gilt f A∩B = f1 A 1 B ∈ L 0 (Ω, A) und da |f A∩B | ≤ |f A |, hat f A∩B eine integrierbare
Majorante. Mit 4.11 folgt f A∩B ∈ L 1 (Ω, A, m).
Außerdem ist f ± A∪B = sup(f ± A , f ± B ) ∈ L1 (Ω, A, m). Der Rest folgt aus f A + f B = f A∩B + f A∪B . ✷
4.18 Definition
Eine Menge N ∈ A heißt m-Nullmenge, wenn m[N] = 0. Eine Eigenschaft, die für jeden Punkt
von Ω erklärt ist, gilt m-fast überall bzw. m-fast sicher, wenn sie für alle Punkte außerhalb einer
Nullmenge gilt.
Ist insbesondere (f n ) n∈N ∈ (L 0 (Ω, A)) N und f ∈ L 0 (Ω, A), so dass
f = lim
n→∞ f n
fast überall,
so spricht man von Konvergenz m-fast überall bzw. m-fast sicher.

4. DAS INTEGRAL 39
4.19 Bemerkungen
1. Jede Nullmenge ist integrierbar.
2. Wegen der σ-Additivität von m ist die Vereinigung abzählbar vieler Nullmengen eine Nullmenge.
3. Beh.: Eine Eigenschaft E gilt genau dann fast überall, wenn für A := {ω ∈ Ω : ¬E(ω)}
∫ ∗
1 A dm = 0
gilt. Dabei ist i.A. A /∈ A.
Denn:
“⇒”: Es gibt ein N ∈ A mit m[N] = 0 und A ⊆ N. Damit ist aber
0 ≤
∫ ∗
1 A dm ≤ m[N] = 0.
“⇐”: Sei
∫ ∗
1 A dm = 0. Dann ist
0 = µ σ ∗ [A] = inf
t∈Eσ
t≥1 A
µ σ [A].
Also gibt es eine absteigende Folge
(t n ) n∈N ∈ ((E σ (Ω, A, m)) + ) N = ((T + (Ω)) σ ) N = (L 0 +(Ω, A)) N
mit t n ↓ t ∈ L 0 +(Ω, A), t n ≥ 1 A und µ σ (t n ) ≤ 1 n
. Definiere N := {t ≥ 1} ∈ A. Dann ist
1 N ≤ t ≤ t n (n ∈ N), also
∫
m[N] =
1 N dm = µ σ (1 N ) ≤ µ σ (t n ) ≤ 1 n
(n ∈ N).
Damit ist m[N] = 0, t ≥ 1 A und N = {t ≥ 1} ⊇ A.
✷

40 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
4.20 Hauptsatz
1. Jede integrierbare Funktion ist fast überall endlich.
2. Sind f, g Funktionen und gilt f ≤ g fast überall, so ist
∫ ∗ ∫ ∗
fdm ≤ gdm
und
∫ ∫
fdm ≤ gdm.
3. Sind f, g Funktionen und gilt f = g fast überall, so ist
∫ ∗ ∫ ∗
fdm = gdm
∗
∗
und
∫
∗
fdm =
∫
∗
gdm.
4. Ist f ≥ 0 fast überall und gilt
∫ ∗
fdm = 0, so ist f = 0 fast überall.
5. Stimmt eine Funktion f ∈ L∫
1 (Ω, A, m) ∫ fast überall mit einer Funktion g überein, so ist
g ∈ L 1 (Ω, A, m) und es gilt fdm = gdm.
Beweis:
1. Sei A := {|f| = ∞}. Dann ist α1 A ≤ |f| (α ∈ R + ) und damit
α
∫ ∗
1 A dm =
∫ ∗
α1 A dm ≤
∫ ∗
|f|dm < ∞.
Für α → ∞ ergibt sich notwendigerweise
∫ ∗
1 A dm = 0.
2. Sei C{f ≤ g} ⊆ N ∈ A mit m[N] = 0. Dann ist f ≤ ∞1 N + g und
∫ ∗
fdm ≤
∫ ∗
gdm + ∞1 N ≤
∫ ∗ ∫ ∗
∞1 N dm + gdm =
∫ ∗
gdm,
da n1 N ↑ n ∞1 N ∈ E σ (Ω, A, m) und
∫ ∗
∞1 N dm = sup
n∈N
∫ ∗ ∫
n1 N dm = sup n
n∈N
1 N = 0.
3. Folgt direkt aus 2.
4. Sei
Daraus folgt 1 n 1 A n
≤ |f| (n ∈ N), also
A n := {|f| ≥ 1 n
} ↑ {|f| > 0} =: A.
1
n
∫ ∗
1 An dm =
∫ ∗
1
n 1 A n
dm ≤
∫ ∗
|f|dm =
∫ ∗ ∫ ∗
f + dm − f − dm =
∫ ∗
f + dm
=
∫ ∗
fdm = 0.

4. DAS INTEGRAL 41
Also ist
∫ ∗
1 An dm = 0 (n ∈ N). Somit gibt es Mengen N n ∈ A mit m[N n ] = 0, A n ⊆ N n . Mit
4.19 folgt A := ⋃ n∈N
A n ⊆ ⋃ n∈N
N n =: N ∈ A mit m[N] = 0.
5. folgt aus 3., denn ∫ ∗
gdm =
∫ ∗
fdm =
∫
∗
fdm =
∫
∗
gdm.
✷
4.21 Bemerkung
Ist f fast überall definiert und ∫ fast überall ∫ gleich einer meßbaren bzw. integrierbaren Funktion
g, so kann man nach 4.20.5 fdm := gdm wohldefinieren und f ist integrierbar genau dann,
wenn g integrierbar ist. Alle Punkte ab 4.9 gelten auch für diesen Fall.
4.22 Satz
Das Produkt einer A-meßbaren, integrierbaren Funktion und einer messbaren, fast sicher beschränkten
Funktion ist integrierbar.
Beweis: Sei f ∈ L 1 (Ω, A, m) und |g| ≤ α fast überall. Dann ist fg ∈ L 0 (Ω, A) und |fg| ≤ α|f|
fast überall. Aus dem Majorantenkriterium 4.11 folgt fg ∈ L 1 (Ω, A, m).
✷

42 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
5 L p -Räume
Stets sei (Ω, A, m) ein Maßraum.
5.1 Satz
Die Menge L ∞ (m) := L ∞ (Ω, A, m) aller rellen, A-meßbaren m-fast überall beschränkten Funktionen
ist ein Vektorverband, auf dem das Funktional
{
R Ω
→ R
N ∞ :
f ↦→ inf{α ∈ R + : |f| ≤ α fast überall}
mit inf ∅ = ∞ eine Halbnorm ist, d.h.: für f, g ∈ R Ω , α ∈ R gilt
1. N ∞ (αf) = |α|N ∞ (f), (Homogenität)
2. N ∞ (f + g) ≤ N ∞ (f) + N ∞ (g), (Dreiecksungleichung)
3. N ∞ (f) ≥ 0. (positive Definitheit)
Beweis: Klar.
✷
5.2 Beispiel
Das Produkt integrierbarer Funktionen muß nicht integrierbar sein:
Sei p > 1, Ω = N, A = P(N). Wir betrachten das Maß
m =
∞∑
n=1
1
n p+1 ɛ n
und die Funktion f : n ↦→ n. Dann ist f integrierbar, da
∫
fdm =
∞∑
n=1
n=1
n
∞
n p+1 = ∑ 1
n p < ∞.
Aber f p ist nicht integrierbar. Insbesondere ist für p = 2 die Funktion f 2 = f ·f nicht integrierbar,
denn:
∫
∞∑
f p n p ∞
dm =
n p+1 = ∑ 1
n = ∞.
5.3 Definition
Sei p ∈ R, 1 ≤ p < ∞. Eine A-meßbare Funktion f heißt p-fach integrierbar, wenn |f| p integrierbar
ist. Für p = 1 heißt sie integrierbar und für p = 2 quadratintegrierbar. Wir definieren
n=1
n=1
L p (m) := L p (Ω, A, m)
als die Menge der reellen, messbaren, p-fach integrierbaren Funktionen. Für f ∈ L p (Ω, A, m) sei
N p (f) :=
( ∫ |f| dm) 1
p p .
Ω
Dann ist
Dies gilt auch für p = ∞.
L p (m) = {f ∈ L 0 (Ω, A), N p (f) < ∞}.

5. L P -RÄUME 43
Beh: L ∞ (m) = {f ∈ L 0 (Ω, A), N ∞ (f) < ∞}.
Beweis:
“⊆”: Für f ∈ L ∞ (m) existiert nach Definition ein α ∈ R + mit |f| ≤ α fast sicher. Also ist
inf{α ∈ R + : |f| ≤ α fast überall} < ∞.
“⊇”: Da N ∞ (f) < ∞ genau dann gilt, wenn es ein α ∈ R + gibt mit |f| ≤ α fast überall, ist
jedes f ∈ {f ∈ L 0 (Ω, A), N ∞ (f) < ∞} fast sicher beschränkt.
5.4 Satz (Hölder’sche Ungleichung)
Seien p, q ∈ [1, ∞] mit 1 p + 1 q = 1. Für f ∈ Lp (m) und g ∈ L q (m) ist fg ∈ L(m) und es gilt die
Hölder’sche Ungleichung
N 1 (fg) ≤ N p (f) · N q (g).
Beweis:
1. Fall: p = ∞ oder q = ∞.
Sei Œ p = ∞. Dann folgt die Behauptung aus 4.22 und
∫
∫
N 1 (fg) = |fg|dm ≤ N ∞ (f)|g|dm = N ∞ (f)N 1 (g).
2. Fall: 1 < p, q < ∞
Sei Œ f, g ≥ 0. Ist N p (f) = 0, so ist |f| p = f = 0 fast überall und damit fg = 0 fast überall, also
N 1 (fg) = 0. Daraus folgt aber schon die Behauptung. Analog schließt man im Fall N q (g) = 0.
Sei also N p (f), N q (g) > 0 und
Zu zeigen ist nun
˜f :=
f , ˜g :=
g
N p (f) N q (g) .
N 1 ( ˜f ˜g) ≤ 1.
Damit ist fg ∈ L 1 (m) und die Hölder’sche Ungleichung folgt.
Für a, b ∈ R ∗ + und α := log a, β := log b gilt wegen der Konvexität der Exponentialfunktion
Also ist
a 1 p b
1
q = exp
(
1
p α + 1 q β )
≤ 1 p exp α + 1 q exp β = 1 p a + 1 q b.
˜f(ω)˜g(ω) ≤ 1 p ˜f(ω) p + 1 q ˜g(ω)q (ω ∈ Ω)
und damit
∫
N 1 ( ˜f ˜g) =
˜f ˜gdm ≤ 1 p
∫
˜f p dm + 1 q
∫
˜g q dm = 1.
✷
5.5 Korollar
Ist m(Ω) < ∞, so ist jede p-fach integrierbare Funktion einfach integrierbar (p ∈ [1; ∞]), d.h.
L p (m) ⊆ L 1 (m) (p ∈ [1; ∞]).
Beweis: Wende 5.4 an mit g = 1.
✷

44 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
5.6 Hauptsatz
Sei p ∈ [1; ∞].
1. L p (m) ist ein Vektorverband,
2. N p ist eine Halbnorm auf L p (m).
Beweis: Für p = 1 und p = ∞ ist die Behauptung klar. Sei also p ∈ (1; ∞).
1. Seien Œ f, g ∈ L p +(m). Es gilt
(f + g) p ≤ 2 p (sup(f, g)) p = 2 p sup(f p , g p ) ≤ 2 p (f p + g p ) ∈ L 1 (m).
Damit ist f + g ∈ L p (m) und sup(f, g) ∈ L 1 (m). Wegen N p (αf) = |α|N p (f) für α ∈ R ist
L p (m) ein Vektorverband.
2. Zu zeigen ist nur die Dreiecksungleichung:
Beh: N p (f + g) ≤ N p (f) + N p (g) (f, g ∈ L p (m)).
Sei q =
p
p−1 , so dass 1 p + 1 q
= 1. Es gilt
∫
∫
(N p (f + g)) p = (f + g) p dm = (f + g)(f + g) p−1 dm
∫
= f(f + g) 1−p + g(f + g) 1−p dm
und damit
= N 1 (f(f + g) p−1 ) + N 1 (g(f + g) p−1 )
5.4
≤ N p (f)N q ((f + g) p−1 ) + N p (g)N q ((f + g) p−1 )
= N p (f) + N p (g))(N p (f + g)) p−1
N p (f + g) ≤ N p (f) + N p (g).
✷
5.7 Korollar
Es gilt
f ∈ L p (m) ⇐⇒ f + , f − ∈ L p (m) ⇒ |f| ∈ L p (m).
Beweis: Folgt aus 4.10.
✷
5.8 Korollar
∫
Auf L 2 (m) wird durch 〈f, g〉 := fgdm ein Pseudoskalarprodukt (d.h. linear in jeder Komponente,
kommutativ, distributiv, aber nicht definit, d.h 〈f, f〉 = 0 ⇏ f = 0) definiert und es gilt
die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung
( ∫ ) 2
∫ ∫
〈f, g〉 2 = fgdm ≤ f 2 dm · g 2 dm = 〈f, f〉 · 〈g, g〉.
Beweis: Verwende 5.4 mit p = q = 2.
✷

5. L P -RÄUME 45
5.9 Satz
Für 1 ≤ p ≤ ∞ ist
N := Np
−1 (0) = {f ∈ L 0 (Ω, A), f = 0 fast überall}
unabhängig von p ein linearer Teilraum von L p (m).
Durch
f ∼ g ⇔ f − g ∈ N ⇔ N p (f − g) = 0 ⇔ f = g fast überall
wird eine Äquivalenzrelation definiert.
Beweis: Der Raum N ist ein Teilraum, da N p eine Halbnorm, d.h. homogen ist und die Dreiecksungleichung
gilt. Schließlich wird wegen 4.20.4 und 4.20.5 durch ∼ eine Äquivalenzrelation
definiert.
✷
5.10 Definition
Für 1 ≤ p ≤ ∞ ist der Raum
L p (m) := Lp (m)
∼
der Äquivalenzklassen ( f) ˙ = f + N (f ∈ L p (m)) ein Vektorraum und
||( ˙ f)|| p = N p (f)
definiert unabhängig vom Repräsentanten f ∈ f ˙ eine Norm auf L p (m).
Damit bezeichnen ||.|| p bzw. N p die Norm bzw. Halbnorm der Konvergenz im p-ten Mittel.
Ist p = 1, so spricht man von der Kovergenz im Mittel, ist p = 2 so von der Konvergenz im
quadratischen Mittel. Die Konvergenz im p-ten Mittel ist mit der Vektorraum-Struktur verträglich,
d.h.
f n
L p (m)
−−−−→ f, g n
L p (m)
−−−−→ g ⇒ f n + g n
L p (m)
−−−−→ f + g, αf n
L p (m)
−−−−→ αf.
Häufig unterscheidet man nicht zwischen L p (m) und L p (m) und schreibt ||.|| p statt N p .
Analog kann man den Raum L 0 (Ω, A, m) der Äquivalenzklassen der messbaren Funktionen definieren.
5.11 Bemerkung
Sei p ∈ [0; ∞]. Komplexe Funktionen sind A-messbare Funktionen bzw. p-fach m-integrierbare
Funktionen, falls sowohl Real- als auch Imaginärteil diese Eigenschaften haben. Für die entsprechenden
Räume wird
L p (C, B(C), m) =: L p C (m) := L0 (Ω, A, C) ∩ {N p < ∞},
L p (m, B(C), C) =: L p C (m) := L0 (Ω, A, C) ∩ {N p < ∞}
definiert. Nun ist N p eine Halbnorm auf L p C (m), ||.|| p eine Norm auf L p C
(m) und
∫
〈f, g〉 := fgdm
definiert ein Pseudoskalrprodukt auf L 1 C (m). Die Abbildung
∫ ∫
f ↦→ fdm := Rfdm + iIfdm
definiert eine komplexe Linearform mit
∫
∣
∫
fdm∣ ≤
|f|dm.

46 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
Denn es gibt ein α ∈ C mit |α| = 1, so dass α ∫ fdm ∈ R + und damit
∫
∫
∫ ∫ ∫
∫
∣
∣ fdm∣ = ∣α fdm∣ = α fdm = αfdm = Rαfdm ≤
∫
∫ ∫
≤ |αf|dm = |α| |f|dm = |f|dm.
|Rαf|dm
5.12 Beispiele
1. Sei I eine Indexmenge, I ≠ ∅ und
m := ∑ i∈I
ɛ i
das Zählmaß auf P(I) wie in 2.7.2. Damit ist ∅ die einzige m-Nullmenge, d.h. N = {∅}. Damit
ist L p C (m) ∼ = L p C (m) =: lp C (I). Da L0 (I, P(I), C) = C I , gilt für jede Folge X = (x i ) i∈I i ∈ I N :
( ∑
||X|| p = |x i | p) 1 p .
Damit ist l p C
(I) die Menge der p-fach absolut summierbaren Funktionen Für p = ∞ ist
i∈I
||x|| ∞ = sup |x i |.
i∈I
Der Raum lC ∞ (I) ist also der Raum der beschränkten Folgen in C.
Spezialfälle sind:
• Für I = N ist l p C
(N) der Raum der über N absolut summierbaren Folgen.
• Für I = N und p = 2 ist lC 2 (N) der Hilbert’sche Folgenraum.
• Für I = {1, . . . , n} ist l p C (I) ∼ = C n und
( ∑
n
||x|| p = |x| p) 1 p (p ∈ (1; ∞)) bzw. ||x||∞ = sup |x i |.
1≤i≤n
i=1
• Für I = {1, . . . , n} und p = 2 ist ||.|| 2 die euklidische Norm auf C n .
2. Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X ∈ L 2 (P) eine quadratisch integrierbare Zufallsvariable.
Dann definieren wir
Var[X] :=
∫ (X
− E[X]
) 2dP.
Nach 4.20.1 ist dabei Œ X reellwertig. Da X ∈ L 2 (P) ⊆ L 1 (P) nach 5.5, ist mit α := E[X] ∈ R
und damit X 2 , X, α ∈ L 1 (P). Damit ist aber (X − α) 2 = X 2 − 2αx + α 2 ∈ L 2 (P), d.h.
Var[X] < ∞.
Es gilt
∫
Var[X] =
∫
X 2 dP − 2α
∫ ∫
∫
XdP + α 2 1dP = X 2 − (E(X)) 2 dP = X 2 dP − (E[X]) 2 .
} {{ }
=1
Allgemein definiert man für k ∈ N und X ∈ L k (P) das k-te Moment
∫
E[X k ] = X k dP.
Schließlich definiert man noch
σ[X] := √ Var[X],
die Standardabweichung oder Streuung von X.

5. L P -RÄUME 47
5.13 Korollar
Sei X ∈ L 2 (P) Dann gilt
V (X) = 0 ⇔ X = E[X] fast sicher.
Beweis: Sei Y := (X − E[X]) 2 . Dann ist ||Y || 1
X = E[X] fast sicher.
= 0, d.h. Y = 0 fast sicher. Das heißt aber
✷

48 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
6 Konvergenzsätze
6.1 Hauptsatz (Beppo Levi)
Sei m ein σ-additiver Inhalt auf einem Ring R. Dann gilt für jede isotone Folge (f n ) n∈N von
Funktionen mit
∫ ∗
f n dm > −∞
für ein und damit für schließlich alle n ∈ N
∫ ∗ ∫ ∗
sup f n dm = sup f n dm.
n∈N
n∈N
Beweis:
“≥”: Sei Œ
∫ ∗
f n dm > −∞ (n ∈ N). Dann ist wegen f n ≤ sup n∈N f n (n ∈ N)
“≤”: Sei Œ
∫ ∗
sup f n dm ≤
n∈N
∫ ∗
f n dm < ∞ (n ∈ N), und
∫ ∗
sup f n dm.
n∈N
∫ ∗
f n dm ∈ R (n ∈ N). Sei ɛ > 0 und E :=
E(Ω, R, m).
∫ ∗ ∫ ∗
Beh: Es gibt eine isotone Folge (t n ) n∈N ∈ (E σ ) N mit t n ≥ f n und t n dm ≤ f n dm+
n∑
ɛ
i=1
1
2 i .
Beweis durch Induktion:
“n = 1”: folgt aus der Definition des Oberintegrals.
“n → n + 1”: Wie im Fall n = 1 gibt es ein t ∈ E σ mit t ≥ f n+1 , µ σ (t) < ∞ und
∫
µ σ (t) ≤ f n+1 dm + ɛ 1
2
. n+1
Definiere t n+1 = sup(t n , t) ∈ E σ . Dann ist t n+1 ≥ t n . Wegen t ≥ f n+1 ≥ f n und
t n ≥ f n ist inf(t n , t) ≥ f n und daraus folgt
∫ ∗ ∫ ∗
t n+1 dm = t n + t − inf(t n , t)dm
Für n → ∞ ergibt sich
≤
=
∫ ∗
f n dm + ɛ
n∑
i=1
∫ ∗ n+1
∑
f n dm + ɛ
i=1
∫ ∗ ∫ ∗
1
2
+ f i n+1 dm +
ɛ
2
− f n+1 n dm
1
2 i .
∫ ∗ ∫ ∗
t n dm ≤ f n dm + ɛ (n ∈ N)
und damit
∫ ∗
sup f n dm ≤
n∈N
Für ɛ → 0 ergibt sich die Behauptung
∫ ∗ ∫ ∗
sup t n dm 4.5
= sup µ σ (t n ) ≤ sup f n dm + ɛ (ɛ > 0).
n∈N

6. KONVERGENZSÄTZE 49
✷
——————————————————————–
Für den Rest dieses Paragrafen sei (Ω, A, m) ein Maßraum.
6.2 Korollar (Minkowski’sche Ungleichung)
∞∑
Sei (f n ) n∈N ∈ (L 0 (Ω, A)) N mit |f n | < ∞ fast sicher. Dann gilt
n=1
( ∑ ∞ ) ∞∑
N p f n ≤ N p (f n )
n=1 n=1
(1 ≤ p ≤ ∞).
Beweis:
“p = ∞”: Es ist |f n | ≤ N ∞ (f n ) fast überall und damit nach 4.19.2
∞∑ ∣ ∞∑ ∞∑
∣ f n ≤ |f n | ≤ N ∞ (f n ) fast überall,
also
n=1
n=1
n=1
( ∑
∞ ) ∑
∞
N ∞ f n ≤ N ∞ (f n ).
( ∑
m ) p ( ∑
∞ ) p.
“1 ≤ p < ∞”: Sei Œ f n ≥ 0 (n ∈ N). Damit ist f n ↑ f n
Mit 6.1 folgt
also
n=1
n=1
n=1
n=1
n=1
∫ ∗ ( ∑
m ) pdm
∫ ∗ ( ∑
∞ ) pdm,
f n ↑m f n
n=1
( ∑
∞ ) ( ∑
m )
N p f n = sup N p f n ≤ sup
m∈N
n=1
n=1
m∈N
n=1
m∑
∞∑
N p (f n ) = N p (f n ).
n=1
✷
6.3 Satz (monotone Konvergenz)
Für jede monotone Folge (f n ) n∈N ∈ (L 1 (m)) N integrierbarer Funkionen gilt
∫
lim f n ∈ L 1 (m) ⇐⇒ lim f n dm < ∞.
n∈N n→∞
Dann ist
∫
∫
lim f ndm = lim
n→∞ n→∞
f n dm.
Beweis: Sei Œ (f n ) n∈N isoton und f := sup f n . Dann gilt
n∈N
∫
−∞ <
∫
f n dm ≤ sup
n∈N
f n dm = sup
n∈N
6.1
= sup
n∈N
∫ ∗ ∫ ∗
f n dm ≤ fdm
∫ ∗ ∫
f n dm = sup
n∈N
f n dm.

50 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
Daraus folgt die Behauptung.
✷
6.4 Lemma (Fatou)
Für jede Folge (f n ) n∈N ∈ (L 0 (Ω, A)) N messbarer Funktionen mit einer gemeinsamen integrierbaren
Minorante g ≤ f n (n ∈ N) gilt:
∫ ∗ ∫ ∗
lim inf f ndm ≤ lim inf f n dm.
n→∞ n→∞
Beweis: Sei g n := inf
k≥n f k ≥ g. Dann ist
lim inf f n = sup inf f k = sup
n→∞ k≥n
n∈N
g n
n∈N
und (g n ) n∈N ist eine isotone Folge. Aus
∫ ∗
g n dm ≥
∫
gdm > −∞
folgt
∫ ∗
lim inf
n∈N f ndm =
∫ ∗ ∫ ∗ ∫ ∗
sup g n dm 6.1
= sup g n dm = sup
n∈N
n∈N
n∈N
inf
k≥n f k
} {{ }
≤f k (k≥n)
dm
≤ sup inf
n∈N k≥n
∫ ∗
f k dm = lim inf
n→∞
∫ ∗
f n dm.
✷
6.5 Definition
Sei (A n ) n∈N ∈ A N . Definiere
lim inf
n→∞ A n :=
lim sup A n :=
n→∞
∞⋃
⋂
A k ,
n=1 k≥n
∞⋂
⋃
A k .
n=1 k≥n
In Worten heißt das:
• lim inf
n→∞ A n ist die Menge der ω ∈ Ω, die in allen bis auf endlich vielen A n liegen.
• lim sup A n ist die Menge der ω ∈ Ω, die in unendlich vielen A n liegen.
n→∞
6.6 Lemma
Sei (A n ) n∈N ∈ A N . Dann gilt
1. lim inf 1 A n
= 1 lim inf lim sup
n∈N n∈N An n∈N
2. m [ lim inf A ]
n ≤ lim inf m[A n],
n∈N
n∈N
3. falls m[Ω] < ∞, so gilt m [ lim sup
n→∞
1 An = 1 lim sup A n
,
n∈N
]
A n ≥ lim sup m[A n ].
n→∞

6. KONVERGENZSÄTZE 51
Beweis:
1. Klar.
2. Klar nach 6.4.
3. Folgt aus 1., denn
m [ lim sup
n→∞
] [ ] [
A n = m[Ω] − m C lim sup A n = m[Ω] − m lim inf CA ]
n
n→∞
n→∞
1.
≥ m[Ω] − lim inf m[CA (
n] = m[Ω] − lim inf m[Ω] − m[An ] )
n→∞ n→∞
= m[Ω] − m[Ω] − lim inf (−m[A n]) = lim sup m[A n ].
n→∞
n→∞
✷
6.7 Lemma (Borel-Cantelli)
Sei (A n ) n∈N ∈ A N . Es gilt
∞∑
n=1
m[A n ] < ∞ ⇔ m [ ]
lim sup A n = 0.
n→∞
Beweis: Es gilt für n ∈ N
m [ lim sup
n→∞
∫
] ∗
A n = 1 lim sup A n
dm =
n→∞
≤ ∑ k≥n
∫ ∗
1 Ak dm = ∑ k≥n
∫ ∗
1 ∞
⋂
n=1 k≥n
m[A k ].
⋃ dm ≤
A k
∫ ∗
1 ⋃ dm ≤
A k
k≥n
∫ ∗ ∑
1 Ak dm
k≥n
Daraus folgt für n → ∞ die Behauptung.
✷
6.8 Hauptsatz (majorisierten Konvergenz, H. Lebesgue)
Sei 1 ≤ p ≤ ∞ und (f n ) n∈N ∈ (L p (m)) N eine fast überall gegen ein Funktion f konvergent
Folge und g ∈ L p (m) eine Betragsmajorante, d.h |f n | ≤ g fast überall (n ∈ N).
Dann ist f ∈ L p (m) und (f n ) n∈N konvergiert gegen f im p-ten Mittel.
Beweis: Es gibt eine Nullmenge N, so dass f n → f punktweise auf CN, |f n | ≤ g auf CN und
g(CN) ⊆ R + . Da N eine Nullmenge ist, sei Œ N = ∅.
Sei nun f, f n (n ∈ N) reellwertig und |g| p ∈ L 1 (m). Wegen |f| p ≤ |g| p ∈ L 1 (m) und dem Majorantenkriterium
∫ (4.11) ist f ∈ L p (m). ∫ Sei g n := |f − f n | p ∈ L 1 (m).
Beh: lim g n dm = 0, d.h. lim sup gdm = 0.
n→∞
n→∞
Denn: Es gilt lim g n = 0 punktweise und
n→∞
g n ≤ (|f| + |f n |) p ≤ (|f| + g) p ∈ L 1 (m).
Also hat die Folge (g n ) n∈N eine gemeinsame, integrierbare Majorante und mit 6.4 gilt
∫
∫
∫
0 ≤ lim sup g n dm = − lim inf −g n dm ≤ − lim inf (−g n)dm = 0.
n→∞
n→∞
n→∞
✷

52 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
6.9 Satz
Konvergiert eine Folge (f n ) n∈N ∈ (L p (m)) N gegen ein f ∈ L p (m) im p-ten Mittel, so gilt
N p (f) = lim
n→∞ N p(f n ).
Insbesondere gilt für p = 1
∫
∫
fdm = lim
n→∞
f n dm.
Beweis: Nach der umgedrehten Dreiecksungleichung ist
|N p (f) − N p (f n )| ≤ N p (f − f n ) → 0.
Für p = 1 gilt
∫
∣
∫
fdm −
∫
f n dm∣ ≤
|f − f n |dm = N 1 (f − f n ) → 0.
✷
6.10 Lemma
Sei 1 ≤ p < ∞, (f n ) n∈N ∈ (L p (m)) N und
∞∑
N p (f n+1 − f n ) < ∞.
n=1
Dann konvergiert (f n ) n∈N fast überall und im p-ten Mittel gegen ein f ∈ L p (m).
∞∑
Beweis: Sei g n := f n+1 − f n ∈ L p (m) und g := |g n |. Dann ist
n=1
∞∑
∞∑
N p (g) = N p (g n ) = N p (f n+1 − f n ) < ∞,
n=1
n=1
also g ∈ L p (m), d.h. g p ∈ L 1 (m). Insbesondere ist g fast überall endlich und die Reihe
konvergiert fast überall absolut.
Da f n+1 = f 1 + g 1 + . . . g n , konvergiert die Folge (f n ) n∈N fast überall mit
∞∑
n=1
g n
|f n+1 | ≤ |f 1 | + g ∈ L p (m) (n ∈ N).
Nach 6.8 gibt es ein f ∈ L p (m), wobei f n → f fast überall und im p-ten Mittel.
✷
6.11 Hauptsatz (Riesz-Fischer)
Sei 1 ≤ p ≤ ∞. Dann ist L p (m) vollständig bzgl N p , d.h. jede Cauchy-Folge konvergiert im
p-ten Mittel.
Beweis:
“1 ≤ p < ∞”: Sei (f n ) n∈N ∈ (L p (m)) N eine Cauchy-Folge. Nach Definition einer Cauchy-Folge gilt
∀k ∈ N ∃n(k) ∈ N, n(k) > n(k − 1) : N p (f i − f j ) ≤ 1
2 k (i, j ≥ n(k)).

6. KONVERGENZSÄTZE 53
Damit ist
∞∑
∞∑ 1
N p (f n(k+1) − f n(k) ) ≤
2 k < ∞.
k=1
Mit 6.10 gibt es ein f ∈ L p (m) mit f n(k) → f in L p (m) und fast sicher. Da |f n | eine Cauchy-
Folge ist, gilt
N p (f n − f) ≤ N p (f n − f n(k) )
} {{ }
< 1
2 k für n>n(k) +N p (f n(k) − f),
also f n → f im p-ten Mittel.
“p = ∞”: Ist (f n ) n∈N ∈ (L ∞ (m)) N eine Cauchy-Folge bzgl. N ∞ . Dann gilt
∀k ∈ N ∃n(k) ∈ N, n(k) > n(k − 1), Nullmenge N k : ||f i − f j || CNk ≤ 1
2 k (i, j ≥ n(k)).
Auch N := ⋃ N k ist eine Nullmenge und (fn
CN ) n∈N ist eine Cauchy-Folge bzgl. der Supre-
k∈N
mumsnorm auf CN, also ist die Folge auf CN gleichmäßig konvergent gegen eine beschränkte
Funktion f. Also ist f CN ∈ L ∞ (m) und f n → f bzgl. N ∞ .
6.12 Korollar
Sei 1 ≤ p ≤ ∞ und (f n ) n∈N ∈ (L p (m)) N eine Cauchy-Folge bzgl. N p .
1. Konvergiert (f n ) n∈N im p-ten Mittel gegen f ∈ L p (m), so konvergiert eine geeignete Teilfolge
m-fast-überall gegen f.
2. Konvergiert (f n ) n∈N fast überall gegen eine Funktion f, so ist f ∈ L p (m) und (f n ) n∈N konvergiert
gegen f im p-ten Mittel.
k=1
✷
Beweis:
1. Im Beweis von 6.11 gilt nach 6.10 f n(k) → f fast überall und in L p (m) und f ist als Limes fast
sicher eindeutig.
2. Die Folge (f n ) n∈N konvergiert im p-ten Mittel. Nach 1. gibt es ein g ∈ L p (m) mit f n → g in
L p (m) und es gibt eine Teilfolge f n(k) mit f n(k) → g fast überall. Wegen f n(k) → f fast überall
ist f = g fast überall. Also ist f ∈ L p (m) und f n → f im p-ten Mittel.
6.13 Bemerkung
Wie 6.11 zeigt, sind die normierten Räume L p (m) vollständig, wobei die Norm von einer Halbnorm
auf L p (m) abgeleitet ist. D.h, die Räume L p sind Banachräume. L 2 (m) ist ein Hilbertraum, wobei
das Skalarprodukt von dem Skalarprodukt aus 5.8 abgeleitet ist.
In der Funktionalanalysis zeigt man, daß jeder Hilbertraum isomorph zu einem l 2 (I) mit i.A.
überabzählbarer Indexmenge I, deren Mächtigkeit gleich der Hilbertraum-Dimension ist, ist (vgl.
5.12). Ferner zeigt man, daß der topologische Dualraum
L p (m) ′ := {ϕ : L p (m) → R : ϕ ist ||.|| p -stetige Linearform} ∼ = L q (m)
ist mit 1 p + 1 q
= 1 (1 < p < ∞). Es gilt die Reflexivität
L p (m) ′′ ∼ = L p (m),
L 2 (m) ′ ∼ = L 2 (m).
Ist m σ-endlich, so gilt auch L 1′ ∼ = L ∞ , aber schon für das Lebesgue-Borel’sche Maß auf Ω = [0; 1]
nur (L ∞ (λ)) ′ ⊃ L 1 (λ) ([HS], 5.3.53)
✷

54 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
6.14 Satz (Tschebycheff-Markoff’sche Ungleichung)
Sei f ∈ L 0 (Ω, A), ɛ > 0 und p ∈ R ∗ +. Dann gilt
m[|f| ≥ ɛ] ≤ 1
ɛ p ∫
|f| p dm.
Beweis: Definiere A ɛ := {|f| ≥ ɛ} ∈ A. Dann gilt ɛ p 1 Aɛ ≤ |f| p und damit
∫
m[A ɛ ] ≤ 1
ɛ
|f| p dm.
p
✷
6.15 Definition
Eine Folge (f n ) n∈N ∈ (L 0 (Ω, A)) N konvergiert stochastisch gegen f ∈ L 0 (Ω, A), wenn
Dann schreibt man f = m − lim
n→∞ f n.
6.16 Lemma
Sei (f n ) n∈N ∈ (L 0 (Ω, A)) N .
1. Für f, g ∈ L 0 (Ω, A) gilt
f = m − lim
n→∞ f n
lim m{|f − f n| ≥ ɛ} = 0 (ɛ > 0).
n→∞
∧ g = m − lim
n→∞ f n ⇐⇒ g = f fast sicher,
d.h. ein stochastischer limes ist fast sicher eindeutig bestimmt.
2. Sei 1 ≤ p ≤ ∞. Konvergiert (f n ) n∈N im p-ten Mittel gegen f ∈ L p (m), so konvergiert (f n ) n∈N
stochastisch gegen f.
Beweis:
1. “ ⇐ ”: Klar, denn {|f − f n ≥ ɛ} und {|g − f n | ≥ ɛ} unterscheiden sich nur durch Nullmengen.
“ ⇒ ”: Es gilt
∞⋃
∞
{f ≠ g} = {|f − g| ≥ 1 k } ⊆ ⋃
k=1
k=1 n=1
∞⋂
{|f − f n | ≥ 1
2k } ∪ {|f n − g| ≥ 1
2k },
also
2. Nach 6.14 ist
m[f ≠ g] ≤
≤
∞∑ [ ⋂
]
m {|f − f n | ≥ 1
2k } ∪ {|g − f n| ≥ 1
2k
k=1
n∈N
∞∑ [ ⋂
] [
m {|f − f n | ≥ 1
2k } ⋂
]
+ m {|g − f n | ≥ 1
2k } = 0.
k=1
n∈N
n∈N
lim m[|f − f 1
n| ≥ ɛ ≤ lim
n→∞ n→∞ ɛ
(N p p (f − f n )) p = 0.
✷

6. KONVERGENZSÄTZE 55
6.17 Lemma
Seien (f n ) n∈N ∈ (L 0 (Ω, A)) N , f ∈ L 0 (Ω, A). Dann gilt
[
f n → f fast sicher ⇐⇒ lim m ⋃
∞ ]
{|f n+k − f| ≥ ɛ} = 0 (ɛ > 0).
n→∞
k=1
Beweis: Es gilt
Also ist
C{f = lim f n} = ⋃ ∞⋂
n→∞
ɛ>0
[ ⋂
∞
f n → f fast sicher ⇐⇒ m
Da m stetig von oben ist, ist weiter
n=1 k=1
∞⋃
n=1 k=1
∞⋃
{|f n+k − f| ≥ ɛ}.
]
{|f n+k − f| ≥ ɛ} = 0 (ɛ > 0)
[
f n → f fast sicher ⇐⇒ lim m ⋃ ∞ ]
{|f n+k − f| ≥ ɛ} = 0 (ɛ > 0).
n→∞
k=1
✷
6.18 Korollar
Sei (f n ) n∈N ∈ (L 0 (Ω, A)) N und f ∈ L 0 (Ω, A). Dann gilt
f n → f fast sicher =⇒ f n → f stochastisch.
Beweis: Für ɛ > 0 und n ∈ N gilt
∞⋃
{|f n+1 − f| ≥ ɛ} ⊆ {|f n+k − f| ≥ ɛ}.
k=1
Damit folgt nach 6.17 die Behauptung.
✷
6.19 Satz
Eine Folge (f n ) n∈N ∈ (L 0 (Ω, A)) N konvergiert genau dann stochastisch gegen ein f ∈ L 0 (Ω, A),
wenn jede Teilfolge von (f n ) n∈N eine fast sicher gegen f konvergente Teilfolge besitzt.
Beweis:
“⇒”: Da (f n ) n∈N stochastisch konvergiert, gibt es f := m − lim
n→∞ f n. Dann ist f auch stochastischer
Limes jeder Teilfolge. Es genügt daher zu zeigen, daß (f n ) n∈N eine fast sicher
gegen f konvergente Teilfolge hat.
Nun gibt es zu j ∈ N ein n(j) ∈ N mit
m [ |f n − f| ≥ 1 2 j ]
≤
1
2 j (n ≥ n(j)).
Dabei ist Œ n(j) > n(j − 1) (j ∈ N). Zu ɛ > 0 gibt es außerdem ein N(ɛ) ∈ N mit
1
2 j ≤ ɛ (j ≥ N(ɛ)).

56 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
Es gilt nun für (j ≥ N(ɛ), n(j) ≥ N(ɛ))
[ ⋃
∞ ] [ ⋃
m {|f n(j+k) − f| ≥ ɛ} ≤ m {|f n − f| ≥ 1
k=1
k>j
Also konvergiert mit 6.17 (f n(j) ) j∈N fast sicher gegen f.
2 k }
]
≤ ∑ 1
= 1 2 k 2
≤ ɛ.
j
k>j
“⇐”: Sei ɛ > 0 und
[
]
α n := m {|f n − f| ≥ ɛ} .
Definiere die Teilfolge (α n(j) ) j∈N durch
lim α n(j) = lim sup α n .
j→∞
n→∞
Sei (f n(j(k)) ) k∈N eine Teilfolge von (f n(j) ) j∈N mit lim
n→∞ f n(j(k)) = f fast sicher. Nach 6.18
ist
lim
k→∞ α n(j(k)) = 0,
also lim α n = lim sup α n = 0.
n→∞
n→∞
✷
6.20 Bemerkung
Auf L 0 (Ω, A) gibt es keine Pseudometrik d, so dass
f n → f fast sicher
äquivalent ist zu lim α n := lim d(f, f n) = 0.
n→∞ n→∞
Angenommen, es gäbe eine solche Pseudometrik und sei (f n ) n∈N eine gegen f stochastisch, aber
nicht fast-sicher konvergente Folge. Nach 6.19 gibt es zu jeder Teilfolge (α n(j) ) j∈N eine gegen 0 konvergente
Teilfolge (α n(j(k)) ) k∈N . Dann wäre wie im Beweis von 6.19 lim sup α n = 0 im Widersprich
n→∞
zur nicht fast sicheren Konvergenz.
Es gibt aber Pseudometriken, die die stochastische Konvergenz definieren.
6.21 Definition
Eine Familie (f i ) i∈I ∈ (L 1 (m)) I heißt gleichgradig integrierbar, wenn
6.22 Satz
∫
lim sup |f i |dm = 0.
α→∞ i∈I {|f i|≥α}
Sei m ein endliches Maß. Eine Familie (f i ) i∈I ∈ (L 1 (m)) I ist genau dann gleichgradig integrierbar,
wenn
( ∫
) (
∫
)
sup |f i |dm < ∞ ∧ ∀ɛ > 0 ∃δ > 0 ⇒ ∀A ∈ A mit m[A] ≤ δ : |f i |dm ≤ ɛ (i ∈ I) .
i∈I
A
Beweis:

6. KONVERGENZSÄTZE 57
“ ⇐ ”: Sei ɛ, δ wie in der Voraussetzung. Es gibt ein α 0 ∈ R + , so dass für α ≥ α 0
∫
|f i |dm ≤ δ.
1
α sup
i∈I
Mit 6.14 ist für i ∈ I
m[|f i | ≥ α] ≤ 1 α
∫
|f i |dm ≤ δ,
also
∫
{|f i|≥α}
Damit folgt die Behauptung für ɛ → 0.
“ ⇒ ”: Sei ɛ > 0. Dann gibt es ein α > 0 mit
∫
sup
i∈I
|f i |dm ≤ ɛ (i ∈ I).
{|f i|≥α}
|f i |dm ≤ ɛ 2 .
Damit ist für i ∈ I
∫ ∫
∫
|f i |dm = |f i |dm + |f i |dm ≤ ɛ 2 + αm[Ω],
{|f i|≥α}
{|f i|≤α}
also
∫
sup
i∈I
|f i |dm ≤ ɛ 2
+ αm[Ω] < ∞.
Setze nun δ := ɛ
2α
. Sei A ∈ A mit m[A] ≤ δ. Dann gilt
∫
∫
∫
|f i |dm =
|f i |dm +
A
A∩{|f i|≥α}
A∩{|f i| 0 ein δ > 0, dass die Bedingung aus 6.22 für g p erfüllt ist.
3. Ein Spezialfall von 2. ist:
Beh: Für jede endliche Indexmenge I und (f i ) I ∈ (L p (m)) I ist (|f i | p ) I gleichgradig integrierbar.

58 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
4. Seien (f i ) i∈I , (g j ) j∈J ∈ L p (m), so dass (|f i | p ) i∈I und (|g j | p ) j∈J gleichgradig integrierbar sind.
Beh: Dann sind auch (|αf i + βg j | p ) i∈I,j∈J (α, β ∈ [1; −1]) gleichgradig integrierbar.
Denn: Mit 6.22 gibt es ein M > 0 mit
∫
∫
sup
i∈I
Damit gilt für i ∈ I, j ∈ J, α, β ∈ [−1; 1]
|f i | p dm < M, sup
j∈J
|g j | p dm ≤ M.
N p (αf i + βg j ) ≤ N p (f i ) + N p (g j ) ≤ 2M 1 p ,
also
∫
|αf i + βg j | p dm ≤ 2 p M < ∞.
Nach Voraussetzung aus 6.22 gilt
∫
∫
∀ɛ > 0 ∃δ > 0 ∀A ∈ A mit m[A] ≤ δ ⇒ |f i | p dm ≤ ɛ, |g j | p dm ≤ ɛ (i ∈ I, j ∈ J).
Deswegen ist auch
∫
|αf i + βg j | p dm = (N p (αf i 1 A + βg j 1 A )) p ≤ (N p (f i 1 A ) + N p (g j 1 A )) p ≤ (2ɛ 1/p ) p = 2 p ɛ.
A
5. Beh.: Konvergiert (f n ) n∈N ∈ (L p (m)) N im p-ten Mittel, so ist (|f n |) n∈N gleichgradig integrierbar.
A
Beweis: Nach 6.11 gibt es ein f ∈ L p (m) mit lim
n→∞ N p(f − f n ) = 0. Dann gilt
∀ɛ > 0 ∃n 0 ∈ N : N p (f − f n ) ≤ ɛ (n ≥ n 0 ).
Nach 2. und 4. genügt der Nachweis, dass (|f n | p ) n≥n0 gleichgradig integrierbar ist. Aber für
n ≥ n 0 ist
N p (f n ) ≤ N p (f n − f) + N p (f) ≤ ɛ + N p (f),
also
∫
sup
n≥n 0
|f i | p dm ≤ [ɛ + N p (f)] p < ∞.
Unter Verwendung von 6.22 wählen wir zu ɛ > 0 ein δ > 0, so dass die Bedingung aus 6.22 für
f p erfüllt ist. Für n ≥ n 0 und A ∈ A mit m[A] ≤ δ gilt dann
N p (f n 1 A ) ≤ N p (f n 1 A − f1 A ) + N p (f1 A ) ≤ N p (f n − f) + N p (f1 A ) ≤ ɛ + ɛ 1/p .
Damit ist
∫
sup |f n | p dm ≤ (ɛ + ɛ 1/p ) p .
n∈N A
6.24 Hauptsatz
Eine Folge (f n ) n∈N ∈ (L p (m)) N konvergiert genau dann im p-ten Mittel gegen eine Funktion
f ∈ L p (m), wenn die Folge (f n ) n∈N stochastisch gegen f konvergiert und (f n ) n∈N gleichgradig
integrierbar ist
Beweis:
“ ⇒ ”: Folgt aus 6.16.2 und 6.23.5.

6. KONVERGENZSÄTZE 59
“ ⇐ ”: Sei f := m − lim f n. Nach 6.19 gibt es eine Teilfolge (f n(j) ) j∈N , die fast sicher gegen f
n→∞
konvergiert. Damit ist
∫ ∗ ∫ ∗ ∫
|f| p dm = lim inf |f n(j)| p dm 6.4
≤ lim inf |f n(j) | p < ∞
j→∞ j→∞
wegen 6.22. Deshalb ist f ∈ L p (m). Nach 6.23.4 ist (|f n − f| p ) n∈N gleichgradig integrierbar.
Mit 6.22 folgt
∫
∀ɛ > 0 ∃δ > 0 ∀A ∈ A mit m[A] ≤ δ ⇒ |f n − f| p dm ≤ ɛ.
Da f = m − lim
n→∞ f n, gibt es ein n 0 ∈ N, so dass für n ≥ n 0
[
]
m {|f n − f| ≥ ɛ} ≤ δ.
Deshalb ist
∫
∫
∫
|f n − f| p dm =
|f n − f| p dm +
|f n − f| p dm ≤ ɛ + ɛ p .
{|f n−f|≥ɛ}
{|f n−f|

60 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
Beweis:
“1. ⇔ 2.”: Klar nach 6.24.
“1. ⇒ 3.”: Klar nach 6.9.
“3. ⇒ 2.”: Nach 6.19 konvergiert (|f n | p ) n∈N stochastisch gegen |f| p . Aus 6.26 folgt die Konvergenz
(|f n | p ) n∈N → |f| p im Mittel. Wegen 6.24 ist (|f n | p ) n∈N gleichgradig integrierbar.
✷

Kapitel 2
Konstruktion von Maßen
7 Fortsetzung von Inhalten zu Maßen
7.1 Definition
Ein Halbring H in Ω ist ein Mengensystem H ⊆ P(Ω) mit
1. ∅ ∈ H
2. A, B ∈ H ⇒ A ∩ B ∈ H, d.h. H ist ∩-stabil,
3. A, B, ∈ H, A ⊆ B ⇒ ∃C 1 , . . . , C n ∈ H paarweise fremd, B \ A =
Ein Halbring H ist eine Algebra, falls zusätzlich
4. Ω ∈ H.
Ein Mengensystem H ist ein Verband, wenn
1. A, B ∈ H ⇒ A ∩ B ∈ H, A ∪ B ∈ H,
d.h. H ist ∩- und ∪-stabil.
Eine Mengenfunktion µ : H → [0; ∞] heißt Inhalt, wenn
1. µ[∅] = 0,
[ ⊎ ]
2. µ A i = ∑ µ[A i ]
i∈I
i∈I
Eine Mengenfunktion µ : H → [0; ∞) heißt Prämaß, wenn
1. µ[∅] = 0,
[ ⊎ ]
2. µ A i = ∑ µ[A i ]
i∈I
i∈I
Ein Inhalt µ auf einem Halbring H heißt stetig von oben, wenn
µ[A] = inf µ[B]
B⊇A
B∈H
n⊎
C i .
i=1
(A i ∈ H paarweise fremd mit ⋃ i∈I
A i ∈
H für jede endliche Indexmenge I).
(A i ∈ H paarweise fremd mit ⋃ i∈I
A i ∈
H für jede abzählbare Indexmenge I).
(A ∈ H).
Ein Inhalt µ auf einem Halbring H heißt stetig von unten, wenn
µ[A] = sup µ[B]
B⊆A
B∈H
(A ∈ H).
Ein Inhalt µ auf einem Halbring H heißt σ-endlich, falls es eine Folge (A n ) n∈N ∈ H N gibt mit
µ[A n ] < ∞, (n ∈ N) und A n ↑ Ω.
61

62 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
7.2 Bemerkung
1. Jeder Ring ist ein Halbring.
2. Ist in 7.1 H sogar ein Ring, so stimmt die Definition von Inhalt mit der Definition 2.1 überein.
Ist in diesem Fall µ σ-endlich, so ist µ ein Prämaß.
3. Ist in 7.1 H sogar eine σ-Algebra, so ist jedes Maß auf H ein Prämaß.
4. Ein Mengensystem H ist genau dann eine Algebra, wenn
1. Ω ∈ H,
2. A, B ∈ H ⇒ A ∪ B ∈ H,
3. A ∈ H ⇒ CA ∈ H.
7.3 Beispiele
1. Sei Ω = {ω 1 , ω 2 , . . . , } abzählbar unendlich.
Beh: Dann ist
A = {A ⊆ Ω : A endlich oder CA endlich }
eine Algebra und
⎧
⎪⎨ A → [0;
{
∞)
µ : 0, A endlich
⎪⎩ A ↦→
1, CA endlich
ein endlicher Inhalt auf A.
Denn: µ[∅] = 0 ist klar.
Seien A, B ∈ A mit A ∩ B = ∅. Ist A ⊎ B endlich, ist natürlich µ[A ⊎ B] = µ[A] + µ[B]. Ist
A ∪ B unendlich und CA endlich, so muss auch B endlich sein. Ist umgekehrt CB endlich ist,
muss A endlich sein. Sei also Œ CA endlich und es gilt C(A ∪ B) ⊆ CA endlich. Damit ist aber
µ[A ∪ B] = 1, µ[A] = 1, µ[B] = 0, also µ[A ⊎ B] = µ[A] + µ[B].
✷
Beh.: µ ist kein Prämaß
Denn: Sei A n := {ω n } (n ∈ N). Dann ist
µ[Ω] = 1 ≠ 0 =
∞∑
µ[A n ].
n=1
2. Sei Ω = {ω 1 , ω 2 , . . . , } abzählbar unendlich und A wie in 1.
Beh: Dann ist
⎧
⎪⎨ A → [0;
{
∞)
µ : 0, A endlich
⎪⎩ A ↦→
∞, CA endlich
ein von oben stetiger Inhalt auf A, aber kein Prämaß.
Denn: Die Behauptung, dass µ ein Inhalt und kein Prämaß ist, zeigt man wie in 1. Klar ist
jedoch, dass µ stetig von oben ist.
✷
3. Seien H i Halbringe in Ω. (i = 1 . . . , n).
Beh: Dann ist auch
∏
H := n { n∏
H i =
∏
ein Halbring in n Ω i .
i=1
i=1
i=1
}
A i : A i ∈ H i (i = 1, . . . , n)
✷

7. FORTSETZUNG VON INHALTEN ZU MASSEN 63
Beweis: Klar ist ∅ ∈ H. Da
( n∏
i=1
) ( n∏ ) ∏
A i ∩ B i = n A i ∩ B i ,
i=1 i=1
∏
ist H ∩-stabil. Seien A := n ∏
A i , B := n B i ∈ H mit A ⊆ B. Dann ist A i ⊆ B i (i = 1 . . . , n)
und wegen
ist
CA = C n ∏
i=1
i=1
B \ A = B ∩ CA =
i=1
A i = ⋃ n
i=1 CA i × n ∏
n⋃
i=1
j=1
j=1
j≠i
A j
n∏
∏
B j ∩ CA i × n
j=1
j≠i
A j = ⋃ n
i=1 B i \ A i × n ∏
j=1
j≠i
A j ∩ B j
als endlche Vereinigung von Mengen aus H darstellbar.
✷
4. Wegen 3. ist
{ n∏
}
H = (a i ; b i ] : a i , b i ∈ R
ein Halbring in R n , da {(a; b] : a, b ∈ R} ein Halbring in R ist.
7.4 Satz
Sei H ein Halbring und µ ein Inhalt auf H.
1. Dann ist
der von H erzeugte Ring.
2. Die Abbildung
i=1
{ n
}
⋃
R = A i : A i ∈ H paarweise fremd, n ∈ N
i=1
⎧
⎪⎨ R → [0; ∞]
m :
n⊎
n∑
⎪⎩ A i ↦→ µ[A i ]
i=1
i=1
ist die einzige Fortsetzung von µ zu einem Inhalt auf R.
3. Ist µ ein Prämaß, so auch m.

64 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
Beweis:
1. Beh.: R ist ein Ring
Denn: Es ist klar, dass ∅ ∈ R. Außerdem ist R ∩-stabil und für A i ∈ H (i 1 . . . , i n ) und
B j ∈ H (j = 1, . . . , m) jeweils paarweise fremd ist
( n ⊎
i=1
) ( ⊎
m
A i \
j=1
) ( ⊎
n
B j =
=
i=1
n⊎
i=1 j=1
) ( ⋂
m
A i ∩
j=1
CB j
)
=
n⊎
i=1
m⋂
A i \ (B j ∩ A i ) ∈ R.
} {{ }
∈R
( ( ⋂
m
A i ∩
j=1
CB j
))
=
n⊎
i=1 j=1
m⋂
A i \ B j
Darüberhinaus ist R noch ∪-stabil, denn für A i ∈ H (i 1 . . . , n) und B j ∈ H (j = 1, . . . , m)
jeweils paarweise fremd ist
n⊎ m⊎ ( ⊎ n m⊎
A i ∪ B j = A i ∩
i=1
j=1
i=1
j=1
) ( ⊎ n
B j ⊎
i=1
A i \
m⊎
j=1
) ( ⊎ m
B j ⊎
i=1
j=1
B j \
n⊎ )
A i ∈ R.
2. Beh.: m ist die einzige Fortsetzung von µ auf R.
n⊎ m⊎
Denn: Es ist nur zu zeigen, dass m wohldefiniert ist, d.h. für A i = B j ist auch
m∑
µ[B j ]. Aber wegen
j=1
A i =
und da µ ein Inhalt auf H ist, gilt
µ[A i ] =
m⊎
(A i ∩ B j ), B j =
j=1
n⊎
(B j ∩ A i )
i=1
m∑
µ[A i ∩ B j ], µ[B j ] =
j=1
j=1
n∑
µ[A i ∩ B j ]
i=1
i=1
n∑
µ[A i ] =
i=1
und damit
n∑
n∑ m∑
m∑ n∑
m∑
µ[A i ] = µ[A i ∩ B j ] = µ[A i ∩ B j ] = µ[B j ].
i=1
i=1 j=1
j=1 i=1
j=1
3. Beh.: Ist µ ein Prämaß, so auch m.
Denn: Sei dazu C n ∈ R (n ∈ N), so daß C :=
T n (n ∈ N) und Mengen A n ∈ H (n ∈ N) mit
C n = ⊎
j∈T n
A nj ,
∞⊎
C n ∈ R. Dann gibt es endliche Indexmengen
n=1
C = ⊎ n∈N
Da A ∈ R, gibt es eine endliche Indexmenge K und Mengen B k ∈ H (k ∈ K) mit
A = ⊎
B k .
k∈K
A n .
Damit ist
∞⊎
∞⊎
B k = (A n ∩ B k ) =
n=1
n=1
⊎
j∈T n
A nj ∩ B k ,

7. FORTSETZUNG VON INHALTEN ZU MASSEN 65
also
Für j ∈ T n ist
A nj
µ[B k ] =
∞∑ ∑
n=1
j∈T n
µ[A j ∩ B k ].
= ⊎
A j ∩ B k und damit µ[A nj ] = ∑ µ[A nj ∩ B k ].
} {{ }
k∈K
k∈K
∈H
Insgesamt ergibt sich
m[C] = ∑ µ[B k ] = ∑ ∞∑ ∑
∞∑ ∑
∞∑
µ[A nj ∩ B k ] = µ[A nj ] = m[C n ].
k∈K
k∈K n=1 j∈T n n=1 j∈T n n=1
✷
7.5 Definition
Ein Mengensystem K ⊆ P(Ω) heißt kompakt, wenn
1. A, B ∈ K ⇒ A ∩ B ∈ K,
∞⋂
2. ist (K n ) n∈N ∈ K N mit K n = ∅, so gibt es ein n ∈ N mit K 1 ∩ . . . ∩ K n = ∅.
n=1
7.6 Lemma
Ist K ein kompaktes System, so ist auch der Verband
{ n
}
⋃
K ∪ := K i : n ∈ N, K i ∈ K
ein kompaktes System.
i=1
Beweis: Klar ist, dass K ∪ ∩-stabil ist. Zu zeigen bleibt, dass es für (L n ) n∈N ∈ (K ∪ ) N mit
für jedes n ∈ N auch
n⋂
L i ≠ ∅
∞⋂
L n ≠ ∅ gilt. Wir zeigen unter diesen Voraussetzungen mit Induktion:
n=1
Beh: ∀n ∈ N ∃L n ⊇ K n ∈ K : K 1 ∩ . . . ∩ K n ∩ L n+1 ∩ . . . ∩ L n+k ≠ ∅ (k ∈ N).
“n = 1”: Es gibt eine endliche Indexmenge T 1 mit L 1 = ⋃
man erreichen, dass K 1 ∩ L 2 ∩ . . . L n+k ≠ ∅
i=1
K j . Durch Umordnen von T 1 kann
j∈T 1
(k ∈ N).
“n → n + 1”: Es gibt wieder eine endliche Indexmenge T n+1 und Mengen K j ′ (j ∈ T n+1), so dass
L n+1 =
⋃
K j. ′ Nach Voraussetzung ist
j∈T n+1
K 1 ∩ . . . ∩ K n ∩
⋃
Deshalb gibt es ein K n+1 ∈ {K ′ j : j ∈ T n+1} mit
j∈T n+1j
K ′ j ∩ L n+2 ∩ . . . ∩ L n+1+k ≠ ∅
(k ∈ N).
K 1 ∩ . . . ∩ K n+1 ∩ L n+2 ∩ . . . ∩ L n+1+k ≠ ∅
(k ∈ N).

66 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
Nun zurück zum Beweis der Behauptung. Sei (L n ) n∈N ∈ (K ∪ ) N mit
es nach dem eben gezeigten eine Folge (K n ) n∈N ∈ K N mit
∞⋂ ∞⋂
∅ ≠ K i ⊆ L i ,
i=1
i=1
also die Behauptung. Klar ist, dass K ∪ ein Verband ist.
7.7 Beispiele
1. Sei Ω Hausdorff’sch, also z.B. metrisch. Dann ist
n⋂
L i ≠ ∅ (n ∈ N). Dann gibt
i=1
n⋂
K i ≠ ∅ (n ∈ N). Damit gilt
i=1
K ⊆ K(Ω) := {K ⊆ Ω : K kompakt}
nach dem Cantor’schen Durchschnittssatz ein kompaktes System.
2. Sei I eine beliebige Indexmenge, Ω := ∏ Ω i und K i ⊆ P(Ω i ) kompakte Systeme.
Beh: Dann ist
{ ∏
K := K j ×
j∈J
i∈I
∏
i∈I\J
ein kompaktes System in Ω. Dabei bedeutet
( ∏ )
Denn: Sei (A n ) n∈N = A ni
Also ist
und damit
7.8 Definition
i∈I
}
Ω i : J ⊂⊂ I, K j ∈ K j (j ∈ J)
J ⊂⊂ I ⇐⇒ J ⊆ I, J endlich.
n∈N
∈ K N mit
∅ ≠ A 1 ∩ . . . ∩ A n = ∏ A 1i ∩ . . . ∩ A ni
n=1
i∈I
A 1i ∩ . . . A ni ≠ ∅ (i ∈ I, n ∈ N)
∞⋂ ∞⋂ ∏
A n = A ni = ∏
n=1 i∈I
∞⋂
A ni
i∈I n=1
} {{ }
≠∅
1. Sei K ⊆ P(Ω) und µ : K → [0; ∞] isoton. Definiere dann
⎧
⎨P(Ω) → [0; ∞]
µ ∗ :
⎩
A ↦→ sup µ[K].
K∈K
K⊆A
(n ∈ N).
≠ ∅.
✷
2. Ein Inhalt m auf einem Halbring H heißt von innen K-regulär, wenn:
m[A] = sup {m[B] : B ∈ H, ∃K ∈ K : B ⊆ K ⊆ A} (A ∈ H).
Anders ausgedrückt heißt das: Für µ = m ∗ | K ist m = µ ∗ | H für K ⊆ H.
3. Ist ein Inhalt m bzgl.
K := {A ∈ H : m[A] < ∞} = {m < ∞}
von innen regulär, so heißt m semiendlich.

7. FORTSETZUNG VON INHALTEN ZU MASSEN 67
7.9 Lemma
Sei K ein Verband, µ : K → [0; ∞] isoton und stark superadditiv, d.h.
µ[K ∪ L] + µ[K ∩ L] ≥ µ[K] + µ[L]
(K, L ∈ K).
Dann gibt es für jede antitone Folge (A n ) n∈N ∈ (P(Ω)) N mit µ ∗ [A n ] < ∞ für ein n ∈ N und jedes
ɛ > 0 eine antitone Folge (K n ) in K mit K n ⊆ A n (n ∈ N) und
µ ∗ [A n ] ≤ µ[K n ] + ɛ
n∑
i=1
1
2 i
Beweis: Mittels Induktion:
“n = 1”: Klar.
“n → n + 1”: Wie im Fall n = 1 gibt es ein K ∈ K mit K ⊆ A n+1 und
µ ∗ [A n+1 ] ≤ µ[K] + ɛ
2 n+1 .
Definiere nun K n+1 := K n ∩ K. Dann ist K n+1 ∈ K und K n+1 ⊆ A n+1 ∩ K n und es gilt
Das ist aber die Behauptung.
µ ∗ [A n ] + µ[K n+1 ] ≥ µ[K ∪ K n ] + µ[K ∩ K n ] ≥ µ[K] + µ[K n ]
≥ µ ∗ [A n+1 ] −
ɛ
n∑
2 n+1 + µ 1
∗[A n ] − ɛ
2 i .
i=1
✷
7.10 Hauptsatz
Jeder semiendliche, bzgl. eines kompakten Systems K von innen reguläre Inhalt auf einem
Halbring ist ein Prämaß.
Beweis: Sei m die Fortsetzung des Inhaltes zu einem Inhalt auf dem regulären Ring R aus 7.4.
Dann ist m von innen regulär bzgl. des kompakten Systems K ∪ und semiendlich. Also ist Œ der
Halbring ein Ring R und K ein Verband.
Sei µ := m ∗ | K . Dann ist µ isoton und stark superadditiv, denn für K, L ∈ K A, B ∈ R mit A ⊆ K
und B ⊆ L ist
Nach Definition von µ ist
m[A] + m[B] = m[A ∪ B] + m[A ∩ B] ≤ µ[K ∪ L] + µ[K ∩ L].
µ[K] + µ[L] ≤ µ[K ∪ L] + µ[K ∩ L].
Nach 2.4 ist zu zeigen, dass m stetig von oben in ∅ ist, d.h.
(A n ) n∈N ∈ (R) N , A n ↓ ∅ ⇒ m[A n ] ↓ 0.
Sei dazu ɛ > 0 und (K n ) n∈N ∈ K N eine antitone Folge mit K n ⊆ A n (n ∈ N) und µ n [A n ] ≤
µ[K n ] + ɛ. Da A n ↓ ∅, ist auch K n ↓ ∅. Also gibt es ein n ∈ N mit K n = ∅, da K ein kompaktes
System ist. Also ist µ[A n ] ≤ ɛ. Somit ist
also ist inf n∈N m[A n ] = 0.
inf m[A n] = inf µ ∗[A n ] ≤ ɛ (ɛ > 0),
n∈N n
✷

68 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
7.11 Fortsetzungssatz (Tonsøe)
Jedes semiendliche Prämaß auf einem Ring R läßt sich zu einem semiendlichen Maß auf die von
erzeugte σ-Algebra fortsetzen.
R loc := {A ⊆ Ω : A ∩ R ∈ R (R ∈ R)} ⊇ R
Beweis: Sei K := {m < ∞} ⊆ R der Ring der m-integrierbaren Mengen. Dann ist
A(m) := {A ⊆ Ω : A ∩ K m-integrierbar ∀K ∈ K} ⊇ R loc .
Das Mengensystem A(m) ist eine Algebra, da es C-stabil ist, denn für A ∈ A(m) und K ∈ K ist
CA ∩ K = K \ (A ∩ K) m-integrierbar.
Für K ∈ K ist
⎧
⎨A(m) → [0;
∫
∞]
ν K :
⎩ A ↦→ 1 A∩K dm
ein endlicher Inhalt.
Beh: A(m) ist eine σ-Algebra und ν K ist ein semiendliches Maß.
Zu zeigen ist: ∀(A n ) n∈N ∈ (A(m)) N mit A n ↑ A ist A ∈ A(m) und ν K [A n ] ↑ ν K [A].
Nach 6.1 gilt
und
Damit ist
ν K [A] = sup
n∈N
∫
∫
1 An∩Kdm = sup ν K [A n ] ≤ ν K [Ω] =
n∈N
∫
m[A ∩ K] = 1 A∩K dm = ν K [K] < m[K] < ∞.
∫
1 A∩K = sup 1
} A∩K mit 1
{{ }
A∩K dm ≤ m[K] < ∞,
n∈N
∈L(m)
1 K dm = m[K] < ∞.
also ist A ∈ A(m). Das System (ν K ) K∈K ist aufsteigend filtrierend, d.h. für K, L gibt es ein M
mit ν M ≥ sup(ν K , ν L ), denn ν K , ν L ≤ ν K ∪ L . Also ist nach 2.7 sup ν K ein Maß auf A(m). Sei
K∈K
nun ν die Restriktion von sup ν K auf σ(R loc ) ⊆ A(m). Dann ist ν ein Maß auf R loc .
K∈K
Beh: ν setzt m fort.
Denn: Für A ∈ R gilt, da m semiendlich ist
Also gilt
und damit
m[A] = sup m[K] ≤ sup m[K ∩ A] = sup
K∈K
K⊆A
K⊆K
K∈K
∫
1 A∩K dm = ν[A].
m[A] = ∞ ⇒ ν[A] = ∞,
∫
m[A] < ∞ ⇒ m[A] ≤ ν[A] ≤ 1 A dm = m[A],
m[A] = ν[A].
Beh: ν ist semiendlich.
Denn: für A ∈ σ(R loc ) und für K ∈ K ist ν[A ∩ K] ≤ ν[K] = m[K] < ∞ und
ν[A] = sup ν K [A] = sup ν K [A ∩ K] ≤ sup ν[A ∩ K] ≤ ν[A].
K∈K
K∈K
K∈K
✷

7. FORTSETZUNG VON INHALTEN ZU MASSEN 69
7.12 Bemerkung
Nach einem Resultat von Carathéodory gilt der Satz auch ohne die Voraussetzung, daß m semiendlich
ist.
7.13 Definition
Ein System D ⊆ P(Ω) heißt Dynkin-System in Ω, wenn
1. Ω ∈ D,
2. A ∈ Ω ⇒ CA ∈ D,
3. sind A n ∈ D paarweise fremd, so ist
7.14 Bemerkung
∞⊎
A n ∈ D.
n=1
Aus den Definitionen von σ-Algebren und Dynkin-Systemen folgt, dass jede σ-Algebra ein Dynkin-
System ist. Die Umkehrung hiervon gilt allerdings nicht:
Sei Ω = {1, . . . , 2n} für ein n ∈ N und
D := {A ⊆ Ω : |A| ∈ 2N 0 }.
Dann ist D ein Dynkin-System, aber für n > 1 nicht ∩-stabil, also keine σ-Algebra.
7.15 Lemma
Sei D ein Dynking-System. Dann ist D stabil unter eigentlichen Differenzen, d.h.
A, B ⊆ D, A ⊆ B ⇒ B \ A ∈ D.
Beweis: Es gilt B \ A = B ∩ CA = C (CB ⊎ A) ∈ D.
✷
7.16 Satz
Sei D ein Dynkin-System. Dann ist D genau dann eine σ-Algebra, wenn es ∩-stabil ist.
Beweis: Sei D ein ∩-stabiles Dynkin-System. Dann ist D auch ∪-stabil, denn für A, B, ∈ D gilt
A ∪ B = A ⊎ (B \ (A ∩ B)) ∈ D.
Sei nun noch A n ∈ D (n ∈ N), B 0 := ∅ und B n := A 1 ∪ . . . ∪ A n ∈ D. Dann ist
∞⋃ ∞⋃ ∞⊎
A n = B n = B n \ B n−1 ∈ D.
n=1 n=1 n=1
✷
7.17 Bemerkung
Zu jedem Mengensystem E ⊆ P(Ω) existiert ein kleinstes, E enthaltendes Dynkin-System
δ(E) := δ Ω (E) := ⋂ {D : D Dynkin-System, E ⊆ D}.

70 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
7.18 Hauptsatz
Für jedes ∩-stabile Mengensystem E in Ω stimmen die erzeugte σ-Algebra σ(E) und das erzeugte
Dynkin-System δ(E) überein.
Beweis: Da jede σ-Algebra ein Dynkin-System ist, gilt stets δ(E) ⊆ σ(E).
Wir zeigen nun: Ist E ∩-stabil, so ist auch δ(E) ∩-stabil. Dann ist δ(E) nach dem vorherigen Satz
eine σ-Algebra, also σ(E) ⊆ δ(E). Insgesamt ergibt sich also σ(E) = δ(E).
Beh: Ist E ∩-stabil, so ist auch δ(E) ∩-stabil.
Denn: Sei D ∈ δ(E) und
D D := {A ⊆ Ω : A ∩ D ∈ δ(E)}.
Dann ist D D ein Dynkin-System. Schließlich ist mit A ∈ D D auch CA ∩ D = D \ D ∩ A ∈ D D
nach 7.15.
Sei E ∈ E. Dann ist E ⊆ D E , da E ∩-stabil ist. Damit ist δ(E) ⊆ D E (E ∈ E). Damit ist für
D ∈ δ(E) und E ∈ E E∩D ∈ δ(E), also auch E ⊆ D D (D ∈ δ(E)). Somit ist δ(E) ⊆ D D (D ∈ δ(E))
und δ(E) ist damit ∩-stabil.
✷
7.19 Eindeutigkeitssatz
1. Zwei Maße m 1 , m 2 auf einer σ-Algebra stimmen bereits dann überein, wenn sie auf einem
∩-stabilen Erzeuger E von A übereinstimmen, auf E endlich sind und
gilt.
m i [A] = sup m i [A ∩ E] (i = 1, 2, A ∈ A)
E∈E
2. Insbesondere stimmen zwei Maße m 1 und m 2 dann überein, wenn sie auf einem ∩-stabilen
Erzeuger E von A übereinstimmen und von innen E-regülär sind
3. Insbesondere stimmen zwei Maße m 1 und m 2 auch dann überein, wenn sie auf einem ∩-
stabilen Erzeuger E von A übereinstimmen und es eine Folge (E n ) n∈N ∈ E N gibt mit E n ↑ Ω.
Beweis:
1. Sei E ∈ E und
D E := {A ∈ A : m 1 [A ∩ E] = m 2 [A ∩ E]}.
Dann ist D E ein Dynkin-System mit E ⊆ D E . Wegen 7.18 ist
also D E = A (E ∈ E). Daraus folgt
A = σ(E) = δ(E) ⊆ D E ⊆ A,
m 1 [A] = sup m 1 [A ∩ E] = sup m 2 [A ∩ E] = m 2 [A]
E∈E
E∈E
(A ∈ A).
2. Es gilt
m i [A] = sup m i [E] ≤ sup m i [E ∩ A] ≤ m i [A] (i = 1, 2).
E∈E
E∈E
E⊆A
Damit sind die Voraussetzungen von 1. erfüllt.
3. Für A ∈ A ist E n ∩ A ↑ A. Deshalb ist
m i [A] = sup m i [E n ∩ A] ≤ sup m i [E ∩ A] ≤ m i [A] (i = 1, 2)
n∈N
E∈E
und wieder sind die Voraussetzungen von 1. erfüllt.
✷

7. FORTSETZUNG VON INHALTEN ZU MASSEN 71
7.20 Korollar
Jedes σ-endliche Prämaß m auf einem Halbring H lässt sich eindeutig zu einem Maß auf die von
H erzeugt σ-Algebra fortsetzen.
Beweis: Sei E := {E ∈ H : m[E] < ∞}. Damit ist E ∩-stabil und E ⊆ H ⊆ σ(E). Deshalb ist
σ(E) = σ(H) ⊆ σ(R loc ) für den von H erzeugten Ring R.
Die Fortsetzung von m zu einem Prämaß auf R ist semiendlich. Wendet man nun den Fortsetzungssatz
7.11 zunächst auf σ(R loc ) an und betrachtet dann die Restriktion auf σ(E)), so hat man
das Prämaß m auf σ(H) fortgesetzt. Wendet man nun den Eindeutigkeitssatz 7.19 mit E auf σ(E)
an, so folgt die Behauptung.
✷
7.21 Bemerkung
In 7.19 reicht die Endlichkeit von m 1 und m 2 auf E noch nicht aus. Sei dazu E := {∅} und
A = σ(E) = {∅, Ω}. Dann stimmen
⎧
{
A → [0; ∞]
⎪⎨ A → [0;
{
∞]
m 1 :
, m 2 : 0, A = ∅
A ↦→ 0
⎪⎩ A ↦→
1, A = Ω.
zwar auf E überein, aber nicht auf A.
7.22 Definition
Sei Ω ein topologischer Raum mit Topologie G(Ω), B(Ω) die Borel’sche σ-Algebra auf Ω, K(Ω)
die Menge aller kompakten Mengen in Ω und m ein Maß auf B(Ω).
1. Das Maß m heißt lokal endlich oder Borel-Maß, wenn jedes ω ∈ Ω eine Umgebung endlichen
Maßes besitzt.
2. Ein Radon-Maß ist ein von innen K(Ω)-reguläres Borel-Maß.
3. Ω heißt polnisch, wenn Ω vollständig metrisierbar und seperabel ist, d.h. es gibt eine abzählbare
dichte Teilmenge von Ω.
7.23 Bemerkung
1. Sei m ein Borel-Maß auf Ω. Dann hat jede kompakte Menge wegen der Überdeckungseigenschaft
kompakter Mengen endliches Maß.
2. Ist m ein Maß auf Ω, Ω lokal-kompakt und hat jede kompakte Menge endliches Maß, so ist m
ein Borel-Maß.
3. Ein vollständig metrisierbarer Raum ist genau dann seperabel, wenn er eine endliche Basis hat.
7.24 Beispiele
1. Der Raum R n ist für n ∈ N, versehen mit der kanonischen Topologie, polnisch.
2. Sei Ω polnisch. Dann gilt
A ⊆ Ω polnischer Unterraum
⇐⇒ A ∈ G(Ω) δ :=
{
B ⊆ Ω : ∃(G n ) n∈N ∈ (G(Ω)) N : B = ⋂ n∈N
G n
}
.
Vergleiche hierzu [Qu], p.150.

72 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
3. Nach 2. ist R \ Q polnisch, denn
R \ Q = ⋂ x∈Q
R \ {x}.
4. Sei Ω lokal kompakt mit abzählbarer Basis. Dann ist Ω polnisch.
5. Abzählbare Produkte polnischer Räume sind polnisch (vgl. [Qu]).
7.25 Hauptsatz
Jedes Borelmaß m auf einem polnischen Raum Ω ist ein σ-endliches Radon-Maß.
Beweis: Sei (G n ) n∈N eine abzählbare Basis von G(Ω), F(Ω) die Menge aller abgeschlossenen
Teilmengen von Ω und K(Ω) die Menge aller kompakten Teilmengen von Ω. Sei weiter d eine
vollständige Metrik von Ω und A := {ω n : n ∈ N} eine abzählbare dichte Teilmenge in Ω.
Zu zeigen ist nur die innere K(Ω)-Regularität von m.
Beh: Es genügt, den Fall m[Ω] < ∞ zu betrachten
Denn: für ω ∈ Ω gibt es ein U ω ∈ G(Ω) mit ω ∈ U ω und m[U ω ] < ∞, da m lokal endlich ist.
Definiere
U := {G n : ∃ω ∈ Ω, G n ⊆ U ω }.
Dann gibt es für ω ∈ Ω ein U ∈ U mit ω ∈ U, da U ω = ⋃
G n mit einer geeigneten Indexmenge
n∈I ω
I ω . Damit ist
Ω = ⋃
U und m[U] < ∞ (U ∈ U).
U∈U
n⋃
Ist U = {U n : n ∈ N} und V n := U i ∈ G(Ω), so ist V n ↑ Ω mit m[V n ] < ∞ und m = sup m Vn
i=1
n∈N
nach 2.7. Deshalb genügt es, die Behauptung für alle m Vn nachzuweisen.
Sei also Œ m[Ω] < ∞. Definiere
D :=
{
A ∈ B(Ω) :=
Beh: D ist ein Dynkin-System mit F(Ω) ⊆ D.
1. Ω ∈ D ist klar.
sup m[K] = m[A] =
K∈K(Ω)
K⊆A
2. Beh.: Für ɛ > 0 gibt es ein K ∈ K(Ω) mit m[K] ≥ m[Ω] − ɛ.
Denn: Sei r > 0, ω 0 ∈ Ω und
also Ω =
K r (ω 0 ) := {ω ∈ Ω : d(ω, ω 0 ) ≤ r},
}
inf
U∈G(Ω)
U⊇A
m[U] .
∞⋃
K r (ω n ). Wegen der Stetigkeit von m von unten ist damit
n=1
( ⋃ k )
m[Ω] = sup m K r (ω i ) .
k∈N
i=1
Damit gibt es für ɛ > 0 und n ∈ N ein k n ∈ N mit
[ ⋃k n
m
i=1
K 1
n (ω i)
]
≥ m[Ω] − ɛ
2 n .

7. FORTSETZUNG VON INHALTEN ZU MASSEN 73
Sei A n :=
k n
⋃
i=1
K 1
n (ω i), d.h. A n ist abgeschlossen (n ∈ N).
Beh: m[A 1 ∩ . . . ∩ A n ] ≥ m[Ω] − ɛ
n∑
i=1
“n = 1”: klar nach obiger Rechnung.
“n → n + 1”: Es gilt
Nun ist K :=
1
2 i .
m[A 1 ∩ . . . ∩ A n+1 ] = m[A 1 ∩ . . . ∩ A n ] + m[A n+1 ] − m [ (A 1 ∩ . . . ∩ A n ) ∪ A n+1
]
≥ m[A 1 ∩ . . . ∩ A n ] + m[A n+1 ] − m[Ω]
n∑
1
≥ m[Ω] − ɛ
2
+ m[Ω] − ɛ
i 2
− m[Ω]
n+1
i=1
n+1
∑
= m[Ω] − ɛ
i=1
1
2 i .
∞⋂
A n abgeschlossen, also vollständig. Da für n ∈ N
n=1
K ⊆ A n = K 1
n (ω 1) ∪ . . . ∪ K 1
n (ω k n
)
ist K als endliche Vereinigung kompakter Mengen kompakt. Da m stetig von oben ist und
m[A n ] ≤ m[Ω] < ∞, folgt
[
m[K] = inf m ⋂
n ] [
A i = lim m ⋂
n ]
A i ≥ m[Ω] − ɛ.
n∈N n→∞
i=1
i=1
✷
1. Beh.: Es gilt F(Ω) ⊆ D.
Sei ɛ > 0 und A abgeschlossen. Wie eben gezeigt gibt es ein K mit
m[A] − m[A ∩ K] = m[A ∪ K] − m[K] ≤ m[Ω] − m[K] ≤ ɛ
und A ∩ K ∈ K(Ω). Ferner ist U n := {ω ∈ Ω : d(ω, A) < 1 n } ∈ G(Ω) mit U n ↓ A Wegen der
Stetigkeit von m von oben ist m[A] = inf m[U n]. Daraus folgt die Behauptung.
✷
n∈N
2. Beh.: A ∈ D ⇒ CA ∈ D.
Denn: Sei ɛ > 0. Dann gibt es ein K ɛ ∈ K und U ɛ ∈ G(ω), so dass K ɛ ⊆ A ⊆ U ɛ und
m[U ɛ ] − m[K ɛ ] ≤ ɛ. Damit ist CU ɛ ⊆ CA ⊆ CK ɛ mit CU ɛ ∈ F(Ω) und CK ɛ ∈ G(Ω) Nach dem
oben Gezeigten gibt es ein A ɛ ∈ K(Ω) mit A ɛ ⊆ CU ɛ und m[CU ɛ ] − m[A ɛ ] ≤ ɛ. Damit ist auch
m[CK ɛ ] − m[A ɛ ] ≤ m[Ω] − m[K ɛ ] + ɛ − m[Ω] + m[U ɛ ] ≤ 2ɛ.
3. Sei schließlich (A n ) ∈ (D) N , paarweise fremd,
∞⊎
Beh: A n ∈ D.
n=1
Definiere A :=
∞⊎
. Dann gibt es nach oben Gezeigtem für n ∈ N und ɛ > 0 Mengen K n ∈
n=1
K(Ω), U n ∈ G(Ω) mit K n ⊆ A n ⊆ U n und m[U n ] − m[K n ] ≤ ɛ
2
. Deshalb gibt es ein N(ɛ) ∈ N,
n

74 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
so dass
[ ⋃ ∞
m
n=1
] ∞∑
∞∑
U n ≤ m[U n ] ≤
=
n=1
n=1
∞∑
m[A n ] + ɛ ≤
n=1
(
m[K n ] + ɛ
2 n )
≤ m[A] + ɛ
N(ɛ)
∑
n=1
m[A n ] + 2ɛ ≤
N(ɛ)
∑
n=1
m[U n ] + 2ɛ.
Definiert man nun
K :=
N(ɛ)
⊎
n=1
K n ∈ K(Ω), K ⊆ A ⊆ U :=
∞⋃
U n ∈ G(Ω),
n=1
so folgt
N(ɛ)
N(ɛ)
∑
∑ (
)
m[U] − m[K] ≤ m[U n ] − m[K] + 2ɛ = m[U n ] − m[K n ] + 2ɛ ≤ 3ɛ.
n=1
n=1
Also ist D ein Dynkin-System und die Behauptung folgt.
Außerdem ist F(Ω) ein ∩-stabiler Erzeuger von D. Deshalb ist wegen 7.18
D ⊆ B(Ω) = σ(F(Ω)) = δ(F(Ω)) ⊆ D.
Also folgt D = B(Ω) und m ist von innen K(Ω)- und von außen G(Ω)-regulär.
✷
7.26 Bemerkung
Jedes Borel-Maß auf einem polnischen Raum ist auch von außen G(Ω)-regulär. Für endliche Maße
folgt dies aus obigen Beweis, den allgemeinen Fall findet man in [BM], p.184.
7.27 Hauptsatz (Kennzeichnung der Borel-Maße auf R 1 )
Es gibt eine Bijektion zwischen den Borel-Maßen m und den isotonen, rechtsseitig stetigen
Funktionen f : R −→ R mit f(0) = 0, gegeben durch
Jedes Borel-Maß auf R ist ein Radon-Maß.
m[(a, b]] = f(b) − f(a)

7. FORTSETZUNG VON INHALTEN ZU MASSEN 75
Beweis:
1. Sei m ein Borel-Maß. Definiere f auf R durch
{
m[(0; α]] α ≥ 0
f(x) =
−m[(α; 0]] α < 0.
Damit ist f isoton, f(0) = 0 und f ist rechtsseitig stetig in x ≥ 0. Sei nämlich (x n ) n∈N ∈ R N
mit x n ↓ x. Dann ist auch (0; x n ] ↓ (0; x]. Da m stetig von oben ist, folgt f(x n ) ↓ f(x). Für
x < 0 und (x n ) n∈N ∈ R N mit x n ↓ x sei Œ x n < 0 (n ∈ N). Damit ist (x n ; 0] ↑ (x; 0]. Da m
stetig von unten ist, folgt f(x n ) ↑ f(x)
2. Sei f rechtsseitig stetig, isoton und f(0) = 0. Dann ist für x ∈ R
f(x+) = lim
y↘x
f(y) = inf
y>x f(y)
f(x−) = lim f(y) = sup f(y).
y↗x
Sei H := {(a; b], a, b ∈ R} der Halbring der halboffenen Intervalle.
Beh: Durch f[(a; b]] := f(b) − f(a) wird ein semiendlicher Inhalt auf H definiert.
n⊎
Die Abbildung f ist ein Inhalt, denn falls (a; b] = (a i ; b i ] mit a = a 1 < b 1 = a 2 . . . < b n−1 =
a n < b n = b ist
n∑
f[(a i ; b i ]] =
i=1
Die Semiendlichkeit von f ist klar.
i=1
y

76 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
7.30 Korollar
Es gibt eine Bijektion zwischen den Wahrscheinlichkeitsmaßen P auf B(R) und den isotonen,
rechtsseitig stetigen Funktionen F : R → R mit
lim F (x) = 0, lim
x→−∞
F (x) = 1.
x→∞
Die Funktion F ist durch F (x) := P[(−∞; x]] (x ∈ R) gegeben und heißt Verteilungsfunktion
des Wahrscheinlichkeitsmaßes P.
Beweis: Wegen 7.27 gibt es eine Bijektion zwischen den Wahrscheinlichkeitsmaßen P und isotonen,
rechtsseitig stetigen Funktionen f mit f(0) = 0. Nun gilt:
Denn:
P ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß ⇐⇒ lim f(x) −
x→∞
1. Ist m ein Wahrscheinlichkeitsmaß, so ist
lim f(x) −
x→∞
lim
y→−∞
wegen der Stetigkeit von unten.
lim
y→−∞
f(y) = 1.
f(y) = lim f(n) − lim f(n) = lim f(n) − f(−n) = lim m[(−n; n]]
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
= m[R] = 1
2. Ist umgekehrt f eine Maßdefinierende mit
dann ist
lim f(x) −
x→∞
lim
y→−∞
f(y) = 1,
m[R] = lim m[(−n; n]] = lim f(x) −
n→∞ x→∞
lim
y→−∞
f(y) = 1.
Zu zeigen bleibt, dass es eine Bijektion zwischen den isotonen, rechtsseitig stetigen Funktionen f
mit f(0) = 0 und
lim f(x) − lim f(y) = 1
x→∞ y→−∞
und den Funktionen F aus der Behauptung gibt.
1. Sei zunächst F isoton, rechtsseitig stetig, lim F (x) = 1, lim
x→∞
Dann ist f isoton, rechtsseitig stetig, f(0) = 0 und
lim f(x) −
x→∞
lim
y→−∞
f(y) = lim F (x) −
x→∞
x→−∞
lim
y→−∞
2. Sei umgekehrt f isoton, rechtsseitig stetig mit f(0) = 0 und
Setze F := f −
lim
y→−∞
lim f(x) −
x→∞
lim
y→−∞
f(y) = 1.
f(y). Dann ist F isoton, rechtsseitig stetig und
F (x) = 0. Setze f := F − F (0).
F (y) = 1 − 0 = 1.
lim F (y) = 0, lim
y→−∞
F (x) = 1.
x→∞
Daraus folgt die Existenz dieser Bijektion.
Sei schließlich x ∈ R. Dann ist
F (x) = f(x) − lim f(y) = lim f(x) − f(y) = lim P[(−n; x]] = P[(−∞; x]].
y→−∞ y→−∞ n→∞
✷

7. FORTSETZUNG VON INHALTEN ZU MASSEN 77
7.31 Beispiel
Als praktisches Beispiel betrachten wir die morgentliche Öffnung eines Kaufhauses. Die Wahrscheinlichkeit
dafür, daß binnen t Zeiteinheiten der erste Kunde das Kaufhaus betritt, ist erfahrungsgemäß
1 − e −αt mit einem geeigneten α ∈ R + . Dann ist die zugehörige Verteilungsfunktion
{
1 − e −αt , t ≥ 0
F : t ↦→
0, t < 0
isoton, stetig und es ist lim F (t) = 0, lim F (t) = 1.
t→−∞ t→∞
Das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß heißt Exponentialverteilung mit Parameter α.

78 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
8 Bildmaße
Sei stets (Ω, A, m) ein Maßraum, (Ω ′ , A ′ ) ein Messraum und X : Ω → Ω ′ eine A − A ′ -messbare
Abbildung.
8.1 Satz
Die Abbildung
X(m) :
{
A ′ → [0; ∞]
A ′ ↦→ m[X −1 (A ′ )] = m[ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A ′ ] = m[X ∈ A ′ ]
ist ein Maß auf A ′ , das sogenannte Bildmaß von m unter X.
Ist m ein Wahrscheinlichkeitsmaß, so auch X(m). In diesem Fall heißt X(m) die Verteilung
von X bzgl. m, bezeichnet mit VertX = Vert m X = m X .
Beweis: Es gilt
X −1 (Ω ′ ) = Ω, X −1 (∅) = ∅,
und für A ′ n ∈ A ′ paarweise disjunkt gilt
( ∞
)
⊎
∞⊎
X −1 = X −1 (A n ).
Daraus folgen die Behauptungen.
A ′ n
n=1
n=1
✷
8.2 Satz (Transitivität)
Sind (Ω i , A i ) Messräume (i = 1, 2, 3), m ein Maß auf A 1 und
X 1 : Ω 1 → Ω 2 A 1 − A 2 − messbar, X 2 : Ω 2 → Ω 3 A 2 − A 3 − messbar..
Dann gilt
(X 2 ◦ X 1 )(m) = X 2 (X 1 (m)).
Beweis: Für A 3 ∈ A 3 gilt
(X 2 ◦ X 1 )(m)[A 3 ] = m[(X 2 ◦ X 1 ) −1 (A 3 )] = m[X −1
1 (X−1 2 (A 3))]
= (X 1 (m))[X −1
2 (A 3)] = (X 2 (X 1 (m)))[A 3 ].
✷
8.3 Beispiele
1. Das Bogenmaß auf Ω ′ = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 = 1} ist definitionsgemäß das Bildmaß
λ 1 | B([0;2π]) unter der stetigen Abbildung
{
X : [0; 2π) → Ω ′
φ :
t
↦→ (cos t, sin t).
Diese ist, da sie stetig ist, B([0; 2π)) − B(Ω ′ )-messbar.
2. Sei a ∈ R und
T a :
{
R
x
→ R
↦→ x + a

8. BILDMASSE 79
die Translation um a. Dann ist T a (λ 1 ) = λ 1 , d.h. das Lebesgue-Borel’sche Maß λ 1 ist translationsinvariant.
Denn: Ta
−1 = T −a und damit
T a (λ 1 )[[α; β]] = λ 1 [Ta
−1 ([α; β])] = λ 1 [[α − a; β − a]] = λ 1 [[α; β]].
Mit dem Eindeutigkeitssatz 7.19 folgt: T a (λ 1 ) = λ 1 .
3. Wie in 2. zeigt man, dass λ 1 spiegelungsinvariant ist, d.h. T (λ 1 ) = λ 1 für
{
R → R
T :
x ↦→ −x.
4. Man kann zeigen:
Genau die Maße αλ 1 mit α ∈ R + sind translationsinvariant auf B(R). Entsprechendes gilt für
höhere Dimensionen. Hier erhält man sogenannte Haar-Maße.
8.4 Transformationssatz
Für f ∈ L 0 +(Ω ′ , A ′ ) gilt
∫
∫
fdX(m) =
f ◦ Xdm.
Insbesondere ist f : Ω ′ → R genau dann X(m)-integrierbar, wenn f ◦ X m-integrierbar ist.
Dann gilt die Transformationsformel.
Beweis: Folgendes Diagramm verdeutlicht die Situation:
X
✲
Ω
❅
❅ f◦X ❅❅❘
Ω ′
f
❄
R +
Die Abbildung
⎧
⎨
ν :
⎩f
L + 0
(Ω, A) → [0;
∫
∞]
↦→ f ◦ Xdm
ist ein Daniell-Integral auf B 0 +(Ω ′ , A ′ ) mit
∫
∫
ν[1 A ′] = 1 A ′ ◦ Xdm = 1 X −1 (A ′ )dm = m[X −1 (A ′ )] = X(m)[A ′ ].
Aus dem Beweisprinzip 4.12 folgt die Behauptung.
✷

80 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
9 Produktmaße
Sei stets (Ω, A i , m i ) i∈I eine Familie von Maßräumen.
Die Ziele dieses Paragraphen sind:
1. Konstruktion einer σ-Algebra auf ∏ Ω i aus den A i
i∈I
2. Konstruktion eines Maßes auf ∏ Ω i aus den m i
i∈I
1. Schritt: Konstruktion einer σ-Algebra auf
9.1 Hauptsatz
∏
Ω i aus den A i
1. Sei Ω eine Menge und X i : Ω → Ω i Abbildungen (i ∈ I). Dann gibt es eine kleinste σ-Algebra
A, bzgl. der alle X i A − A i -messbar sind, nämlich
( ⋃ )
A := σ(X i : i ∈ I) := σ X −1
i (A i ) = ⋃
σ(X j : j ∈ J),
die von allen X i erzeugte σ-Algebra.
i∈I
i∈I
J⊆Iabz.
2. Ist (Ω ′ , A ′ ) ein weiterer Messraum und X : Ω ′ → Ω eine Abbildung. Dann gilt
X ist A ′ − A-messbar ⇐⇒ X i ◦ X ist A ′ − A i -messbar (i ∈ I).
Beweis:
1. Wie man leicht einsieht, ist A := ⋃
klar, dass
Denn:
“⊆”: Sei A ∈ ⋃ i∈I
“⊇”: Sei A ∈
X −1
i
⋃
J⊆Iabz.
( ⋃
σ
i∈I
J⊆I abz.
)
X −1
i (A i ) = ⋃
σ(X j : j ∈ J) eine σ-Algebra. Damit ist aber auch
J⊆Iabz.
σ(X j : j ∈ J).
(A i ). Dann gibt es ein i ∈ I mit A ∈ X −1 (A i ). Dann ist aber auch
A ∈ σ(X i ) ⊆
⋃
J⊆Iabz.
σ(X j : j ∈ J).
σ(X j : j ∈ J). Dann gibt es ein abzählbares J ⊆ I, so dass
( ⋃
A ∈ σ(X j : j ∈ J) = σ
Beh: Alle X i sind A − A i -messbar (i ∈ I).
Denn:
X −1
i (A i ) ⊆ ⋃
J⊆Iabz.
j∈J
)
X −1
j (A j ) ⊆ σ
σ(X j : j ∈ J) = A.
Sei à eine weitere σ-Algebra, so dass X i à − A i-messbar ist (i ∈ I).
Beh: Dann ist A ⊆ Ã.
i
( ⋃
i∈I
)
X −1
i (A i ) .

9. PRODUKTMASSE 81
Denn: Ist X i à − A i -messbar (i ∈ I), so ist X −1
i (A i ) ⊆ Ã (i ∈ I). Damit ist aber ⋃ i∈I
X −1
i (A i ) ⊆
Ã, d.h.
( ⋃
A = σ
i∈I
)
X −1
i (A i ) ⊆ Ã.
2. Das folgende Diagramm verdeutlicht die Situation:
Ω ′
X
✲
Ω
❅
❅
X i◦X
❅ ❅❘
Ω i
X i
❄
“⇒”: siehe 3.5.
“⇐”: Das System E := ⋃ X −1
i (A i ) ist ein Erzeuger von σ(X i : i ∈ I). Also ist nach 1.8
i∈I
zu zeigen: X −1 (E) ⊆ A ′ . Sei dazu E ∈ E. Dann gibt es ein i ∈ I mit A i ∈ A i und
E = X −1
i (A i ). Dann ist
9.2 Bemerkung und Notation
X −1 (E) = X −1 (X −1
i (A i )) = (X i ◦ X) −1 (A i ) ∈ A ′ .
1. Die in 9.1 beschriebene Situation erinnert an die aus der Topologie bekannte initiale Topologie.
Deshalb spricht man heir auch von einer initialen Messbarkeitsstruktur.
2. Wir definieren wie in 9.1
σ(X 1 , . . . , X n ) := σ(X i : i ∈ {1, . . . , n}).
✷
Offenbar ist damit
wie in 1.8.
σ(X 1 ) = X −1
1 (A 1)
9.3 Definition
Wir definieren zunächst für J ⊆ I
und die Projektionen
π J :
Ω J := ∏ Ω j .
j∈J
{
Ω I → Ω J
(ω i ) i∈I ↦→ (ω j ) j∈J .
Definitionsgemäß sei noch π j := π {j} .
Die von den Projektionen (π i ) i∈I erzeugte σ-Algebra in Ω I heißt die Produkt-σ-Algebra der
A i (i ∈ I), bezeichnet mit ⊗ A i = A I Wir führen die Notation
i∈I
n⊗
A 1 ⊗ . . . ⊗ A n := A i :=
⊗
i=1 i∈{1,...,n}
A i

82 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
ein.
Ist X : Ω → Ω I , so seien
π J ◦ X : Ω → Ω J bzw. π i ◦ X : Ω → Ω i
die Projektionen von X.
Ist umgekehrt (X i ) i∈I eine Familie von Abbildungen mit X i : Ω → Ω i (i ∈ I), so heißt für J ⊆ I
{
{
Ω → Ω J
Ω → Ω j
X J :
bzw. X j :
ω ↦→ (X j (ω)) j∈J ω ↦→ X j (ω)
die Produktabbildung der X j mit j ∈ J, bezeichnet mit ⊗ j∈J
X j = X J . Somit gilt X J = π J ◦ X I
bzw. X = ⊗ i∈I
π i ◦ X.
9.4 Korollar
1. Eine Abbildung X : Ω → Ω I ist genau dann A − A I -messbar, wenn π i ◦ X A − A i -messbar ist
(i ∈ I).
2. Seien X i : Ω → Ω i Abbildungen. Genau dann sind alle X i A − A i -messbar, wenn die Produktabbildung
X I A − A I -messbar ist.
3. Es gilt
σ(X i : i ∈ I) = σ ( ) ⋃ ( ) −1 ( ) ⋃
X I = XJ AJ = (X J ) −1 (A J ).
J⊆I abz.
J⊆I abz.
Beweis:
1. Wende 9.1 auf (π i ) i∈I an.
2. Folgt nach 1. für X = X I . Damit ist X i = π i ◦ X I .
3. Die erste Gleichung folgt nach 2. Die zweite Gleichung folgt aus 9.1 unter Beachtung von
(
σ(X j : j ∈ J) = σ X J = ⊗ )
X j = X −1
J
(A J).
j∈J
Die letzte Gleichung ist trivial.
✷
9.5 Satz
Die Produkt-σ-Algebra A I wird erzeugt sowohl von dem Halbring
{ ∏
}
R := A i : A i ∈ A i (n ∈ N), A i ≠ Ω für höchstens endlich viele i ∈ I
i∈I
als auch von dem System der ’nur an abzählbar vielen Koordinaten abhängigen Mengen’
E := {π −1
J
(A) : J ⊆ I abz., A ∈ A J}.
Ist I = {1, . . . , n}, so ist das System aller Rechtecke
ein Erzeuger von A 1 ⊗ . . . ⊗ A n .
R := {A 1 × . . . × A n : A i ∈ A i (i = 1, . . . , n)}

9. PRODUKTMASSE 83
Beweis: Nach Definition wird A I erzeugt von
{ ⋃
˜R :=
i∈I
π −1
i (A i ) : i ∈ I
Wegen ˜R ∩ = R folgt A I = σ( ˜R) = σ(R) nach 9.1. Die anderen Behauptungen folgen aus 9.4.3 ✷
9.6 Satz
Sei (Ω i ) i∈I eine höchstens abzählbare Familie topologischer polnischer Räume Ω i mit jeweils
abzählbarer Basis A i (d.h. G(Ω i ) = (G i ) σ und G i abzählbar). Dann gilt für die Borel’sche σ-
Algebra
( ∏ )
B Ω i = ⊗ i∈I B(Ω i).
i∈I
Beweis:
“⊇”: Definitionsgemäß ist
{ ∏
i∈I
}
.
}
U i : U i ≠ Ω i für höchstens endlich viele i ∈ I
eine abzählbare Basis der Produkttopologie, d.h. der Topologie von Ω I . Da π −1
i (U i )
offene Rechteckszylinder in G(Ω I ) sind, ist jede Projektion π i : Ω I → Ω i stetig, also
B(Ω I ) − B(Ω i )-messbar. Also gilt
⊗
B(Ω i ) = σ(π i : i ∈ I) ⊆ B(Ω I ).
i∈I
“⊆”: Umgekehrt ist G(Ω I ) ⊆ σ(G) für
G := { π −1
i (G i ) : i ∈ I, G i ∈ G i
}
.
Damit ist
B(Ω I ) = σ(G(Ω I )) ⊆ ⊗ i∈I
B(Ω i ).
9.7 Beispiel
Es gilt
2. Schritt: Konstruktion eines Maßes auf
dann allgemein.
9.8 Definition
B(R n ) = B(R) ⊗ . . . ⊗ B(R) .
} {{ }
n-mal
∏
Ω i aus den m i . Zunächst für I = {1,2},
Eine Abbildung K : Ω 1 × A 2 → R + heißt Übergangskern von (Ω 1 , A 1 ) nach (Ω 2 , A 2 ), wenn gilt:
1. K[ω 1 , .] : A 2 ↦→ K[ω 1 , A 2 ] ist ein Maß auf A 2 (ω 1 ∈ Ω 1 ),
2. K[., A 2 ] : ω 1 ↦→ K[ω 1 , A 2 ] ist A 1 -messbar (A 2 ∈ A 2 ).
i∈I
✷

84 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
Speziell heißt K σ-endlich, wenn es eine Folge (A n ) n∈N ∈ A N 2 gibt mit A n ↑ Ω 2 und
sup K[ω 1 , A n ] < ∞
ω 1∈Ω 1
(n ∈ N).
Außerdem heißt K Markoff’sch oder stochastischer Kern oder Übergangswarscheinlichkeit, wenn
9.9 Beispiele
1. Eine spezielle Wahl ist
K[ω 1 , Ω 2 ] = 1 (ω 1 ∈ Ω 1 ).
K[ω 1 , A 2 ] = m 2 [A 2 ] (ω 1 ∈ Ω 1 , A 2 ∈ A 2 ).
Dieser Übergangskern spielt bei unabhängigen Experimenten eine Rolle.
2. Seien I und J abzählbare Mengen und (p ij ) i∈I,j∈J ∈ (R + ) |I||J| . Definiere hierfür
⎧
⎨I × P(J) → R +
K :
⎩(i, A) ↦→ ∑ p ij .
j∈A
Dann ist K ein Übergangskern von (I, P(I)) nach (J, P(J)). Dabei ist K genau dann stochastisch,
wenn
∑
p ij = 1 (i ∈ I).
j∈J
Die Matrix (p ij ) i∈I,j∈J heißt dann stochastische Matrix. In diesem Fall ist, falls I = J, p ij die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass irrfahrendes Teilchen von i nach j gelangt.
3. Sei (Ω 1 , A 1 ) = (Ω 2 , A 2 ). Dann definiert man den Einheitskern
9.10 Lemma
K[ω 1 , A 2 ] = ɛ ω1 [A 2 ] = 1 A2 (ω 1 ).
1. Ist f : Ω 1 × Ω 2 → Ω 3 eine A 1 ⊗ A 2 − A 3 -messbare Funktion, so sind die Schnittfunktionen
f(ω 1 , .) : ω 2 ↦→ f(ω 1 , ω 2 ) A 2 − A 3 -messbar (ω 1 ∈ Ω 1 ),
f(., ω 2 ) : ω 1 ↦→ f(ω 1 , ω 2 ) A 1 − A 3 -messbar (ω 2 ∈ Ω 2 ).
2. Ist A ∈ A 1 ⊗ A 2 , so gilt für die Schnittmengen
A(ω 1 , .) := {ω 2 ∈ Ω 2 : (ω 1 , ω 2 ) ∈ A} ∈ A 2 (ω 1 ∈ Ω 1 ),
A(., ω 2 ) = {ω 1 ∈ Ω 1 : (ω 1 , ω 2 ) ∈ A} ∈ A 1 (ω 2 ∈ Ω 2 ).
3. Seien f n : Ω 1 × Ω 2 → Ω 3 (n ∈ N) A 1 ⊗ A 2 − A 3 -messbare Funktionen. Dann gilt
f 1 ≥ f 2 ⇒ f 1 (ω 1 , .) ≥ f 2 (ω 1 , .) (ω 1 ∈ Ω 1 ),
(f 1 + f 2 )(ω 1 , .) = f 1 (ω 1 , .) + f 2 (ω 1 , .), (f 1 · f 2 )(ω 1 , .) = f 1 (ω 1 , .) · f 2 (ω 1 , .), (ω 1 ∈ Ω 1 ),
(sup f n )(ω 1 , .) = sup f n (ω 1 , .)
n∈N
n∈N
( inf
n∈N f n)(ω 1 , .) = inf
n∈N f n(ω 1 , .) (ω 1 ∈ Ω 1 ).
Analog gilt für Schnittmengen von (A n ) n∈N ∈ (A 1 ⊗ A 2 ) N
( ⋃ )
A n (ω 1 , .) = ⋃ A n (ω 1 , .), (ω 1 ∈ Ω 1 ),
n∈N
n∈N
( ⋂
n∈N
A n
)
(ω 1 , .) = ⋂ n∈N
A n (ω 1 , .), (ω 1 ∈ Ω 1 ),
(A 1 \ A 2 )(ω 1 , .) = A 1 (ω 1 , .) \ A 2 (ω 1 , .), (CA 1 )(ω 1 , .) = C(A 1 (ω 1 , .)) (ω 1 ∈ Ω 1 ).

9. PRODUKTMASSE 85
4. Seien f i : Ω i → R (i = 1, 2). Definiere dann durch
{
Ω 1 × Ω 2 → R
f 1 ⊗ f 2 :
(ω 1 , ω 2 ) ↦→ f 1 (ω 1 )f 2 (ω 2 )
das Tensorprodukt von f 1 und f 2 . Für das Tensorprodukt gilt
und damit für A 1 ∈ A 1 , A 2 ∈ A 2
(f 1 ⊗ f 2 )(ω 1 , .) = f 1 (ω 1 ) · f 2
1 A1×A 2
= 1 A1 ⊗ 1 A2 und (A 1 × A 2 )(ω 1 , .) =
{
A 2 , ω 1 ∈ A 1
∅, ω 1 ∉ A 1 .
Beweis: Sei id : Ω 1 × Ω 2 → Ω 1 × Ω 2 . Damit ist id(ω 1 , .) ↦→ (ω 1 , ω 2 ) A 2 − A 1 ⊗ A 2 -messbar. Dann
aber folgen die Behauptungen aus
f(ω 1 , .) = f ◦ id(ω 1 , .), A(ω 1 , .) = id(ω 1 , .) −1 (A), 1 A (ω 1 , .) = 1 A(ω1,.)
und entsprechenden Rechnungen für die zweite Komponente. Der Rest ist trivial.
✷
9.11 Notation
Wir führen folgende Notationen ein:
A(ω 1 , Ω 2 ) := {ω 2 ∈ Ω 2 : (ω 1 , ω 2 ) ∈ A},
1 A(ω1,Ω 2) := 1 A (ω 1 , .),
∫
∫
f(ω)m[dω] := fdm.
9.12 Lemma (Messbarkeit integrierbarer Schnitte)
Sei K 2 ein σ-endlicher Übergangskern von (Ω 1 , A 1 ) nach (Ω 2 , A 2 ). Dann ist für jede positive reelle
A 1 ⊗ A 2 -messbare Funktion f auf Ω 1 × Ω 2 die Abbildung
∫
∫
ω 1 ↦→ f(ω, .)dK 2 [ω 1 , .] =: f(ω 1 , ω 2 )K 2 [ω 1 , dω 2 ]
A 1 -messbar.
Beweis: Sei
D :=
{
∫
A ∈ A 1 ⊗ A 2 : ω 1 ↦→
}
1 A (ω 1 , ω 2 )K[ω 1 , dω 2 ] ist A 1 -messbar .
1. Ist K[ω 1 , Ω 2 ] < ∞ (ω 1 ∈ Ω 1 ), so ist D ein Dynkin-System, denn
∫
1 A (ω 1 , .)dK[ω 1 , .] = K[ω 1 , A(ω 1 , Ω 2 )],
woraus mit 9.10.2 folgt, dass D stabil ist unter Komplementbildung und unter endlichen disjunkten
Vereinigungen. Nun ist
E := {A 1 × A 2 : A i ∈ A i (i = 1, 2)}

86 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
ein ∩-stabiler Erzeuger von A 1 ⊗ A 2 mit E ⊆ D und es gilt
K[ω 1 , (A 1 × A 2 )(ω 1 , Ω 2 )] = 1 A1 (ω 1 )K[ω 1 , A 2 ]
und damit
d.h. D = A 1 ⊗ A 2 .
A 1 ⊗ A 2 = σ(E) = δ(E) ⊆ D ⊆ A 1 ⊗ A 2 ,
2. Für allgemeine σ-endliche Übergangskerne gibt es eine Folge (B n ) n∈N ∈ A N 2 mit B n ↑ Ω 2 und
sup
ω 1∈Ω 1
K[ω 1 , B n ] < ∞ (n ∈ N). Definiere nun die Kerne
K n : (ω 1 , A 2 ) ↦→ K[ω 1 , A 2 ∩ B n ]
(n ∈ N).
Für diese Kern ist
K n [ω 1 , Ω 2 ] = K[ω 1 , B n ] < ∞.
Sei ω 1 ∈ Ω 1 . Nach 1. und wegen der Stetgkeit von K[ω 1 , .] von unten ist für A ∈ A 1 ⊗ A 2
A 1 -messbar.
ω 1 ↦→ K[ω 1 , A(ω 1 , Ω 2 )] = sup K n [ω 1 , A(ω 1 , Ω 2 )]
n∈N
3. Die Messbarkeitsbehauptung ist also richtig für Indikatorfunktionen, also auch für positive
A 1 −A 2 -Treppenfunktionen und dann schließlich für alle positiven A 1 −A 2 -messbaren Funktionen
nach Beppo Levi 6.1.
9.13 Hauptsatz (Ionescu-Tulcea)
Sei m 1 ein σ-endliches Maß auf (Ω 1 , A 1 ) und K 2 ein σ-endlicher Übergangskern von (Ω 1 , A 1 )
nach (Ω 2 , A 2 ). Dann gibt es genau ein Maß m auf A 1 ⊗ A 2 mit
m[A 1 × A 2 ] =
∫
K 2 [ω 1 , A 2 ]m 1 [dω 1 ] :=
A 1
∫
K 2 [., A 2 ]dm 1
A 1
Dabei ist m σ-endlich und heißt das Produktmaß des Startmaßes m 1 mit Kern K 2 . Hierfür
schreiben wir m := m 1 ⊗ K 2 Ist m 1 ein Wahrscheinlichkeitsmaß und K 2 ein stochastischer
Kern, so ist m ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
Für A ∈ A 1 ⊗ A 2 gilt die Cavalieri’sche Formel
∫
m 1 ⊗ K 2 [A] = K 2 [ω 1 , A(ω 1 , Ω 2 )]m 1 [dω 1 ].
✷
Beweis: Definiere m durch die Cavalierei’sche Formel. Nach 9.12 ist damit m wohldefiniert, m ≥ 0
und m[∅] = 0. Die Abbildung m ist gemäß 9.10.3 additiv und stetig von unten nach Beppo Levi
6.1, also ein Maß auf A 1 ⊗ A 2 mit
m[A 1 × A 2 ] 9.10.4
=
∫
∫
1 A1 (ω 1 )K 2 [ω 1 , A 2 ]m 1 [dω 1 ] = K 2 [., A 2 ]dm 1 .
A 1
Dabei ist m ein Wahrscheinlichkeitsmaß, falls m 1 [Ω 1 ] = 1 und K 2 ein stochastischer Kern ist.
Beh: m ist σ-endlich.
Denn: Seien (A n ) n∈N ∈ A N 1 , (B n ) n∈N ∈ (A 2 ) N mit A n ↑ Ω 1 und B n ↑ Ω 2 . Außerdem gelte
m 1 [A n ] < ∞,
sup K 2 [ω 1 , B n ] =: β n < ∞
ω 1∈Ω 1
(n ∈ N).

9. PRODUKTMASSE 87
Damit ist A n × B n ↑ Ω 1 × Ω 2 mit
∫
m[A n × B n ] = K 2 [ω 1 , B n ] m 1 [dω 1 ] ≤ β n m 1 [A n ] < ∞.
A n
} {{ }
≤β n
Damit ist m σ-endlich, also durch seine Werte auf dem ∩-stabilen Erzeuger der Rechtecke A 1 ×
A 2 (A i ∈ A i , i = 1, 2) nach dem Eindeutigkeitssatz 7.19 eindeutig festgelegt.
✷
9.14 Korollar
Sind m 1 bzw. m 2 σ-endliche Maße auf A 1 bzw. A 2 , so ist m 1 ⊗ m 2 das einzige Maß m auf
A 1 ⊗ A 2 mit
m[A 1 × A 2 ] = m 1 [A 1 ] · m 2 [A 2 ] (A i ∈ A i , i = 1, 2).
Für A ∈ A 1 ⊗ A 2 gilt
∫
∫
m 1 ⊗ m 2 [A] = m 2 [A(ω 1 , Ω 2 )]m 1 [dω 1 ] = m 1 [A(Ω 1 , ω 2 )]m 2 [dω 2 ].
Beweis: Zu beweisen ist nur das zweite Gleichheitszeichen. Wie im Beweis von 9.13 zeigt man,
dass
∫
A ↦→ m 1 [A(Ω 1 , ω 2 )]m 2 [dω 2 ]
ein Maß m auf A 1 ⊗ A 2 definiert mit
m[A 1 × A 2 ] = m 1 [A 1 ] · m 2 [A 2 ] (A i ∈ A i , i = 1, 2),
also m = m 1 ⊗ m 2 .
✷
9.15 Hauptsatz (Tonelli)
Sei m 1 ein σ-endliches Maß auf A 1 , K 2 ein σ-endlicher Übergangskern von (Ω 1 , A 1 ) nach
(Ω 2 , A 2 ) und m := m 1 ⊗ K 2 das Maß auf A 1 ⊗ A 2 aus 9.13. Für jede relle A 1 ⊗ A 2 -messbare
Funktion f ≥ 0 gilt
∫ ∫ ( ∫
)
fdm = f(ω 1 , ω 2 )K 2 [ω 1 , dω 2 ] m 1 [dω 1 ]
∫ ∫
=: m 1 [dω 1 ] K 2 [ω 1 , dω 2 ]f(ω 1 , ω 2 ).
Insbesondere ist f integrierbar genau dann, wenn das Doppelintegral endlich ist. Ist K 2 [ω 1 , .] =
m 2 (ω 1 ∈ Ω 1 ) ein σ-endliches Maß, so ist
∫ ∫ ( ∫
)
fdm = f(ω 1 , ω 2 )m 2 [dω 2 ] m 1 [dω 1 ]
∫ ( ∫
)
= f(ω 1 , ω 2 )m 1 [dω 1 ] m 2 [dω 2 ].
Insbesondere ist f integrierbar genau dann, wenn ein Doppelintegral endlich ist.
Beweis: Die Integrierbarkeitsaussagen folgen aus 4.7.4.
Die Formel ergibt sich nach 9.12 aus dem Beweisprinzip 4.12, da
∫
ν : f ↦→ K 2 [ω 1 , dω 2 ]f(ω 1 , ω 2 )

88 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
auf B 0 +(Ω 1 × Ω 2 , A 1 ⊗ A 2 ) ein Daniell-Integral ist mit
∫
ν(1 A ) = m[A] (A ∈ A 1 ⊗ A 2 ), also ν(f) =
fdm.
Im Fall K 2 [ω 1 , .] = m 2 (ω 1 ∈ Ω 1 ) argumentiert man analog mittels 9.14.
✷

9. PRODUKTMASSE 89
9.16 Korollar (Fubini)
Sei m 1 ein σ-endliches Maß auf A 1 , K 2 ein σ-endlicher Übergangskern von (Ω 1 , A 1 ) nach (Ω 2 , A 2 )
und m := m 1 ⊗ K 2 das Maß auf A 1 ⊗ A 2 aus 9.13. Sei f eine m-fast überall definierte reelle
A 1 ⊗ A 2 -messbare Funktion. Genau dann ist f m-integrierbar, wenn das Doppelintegral in 9.15
von |f| endlich ist. Dann ist f(ω 1 , .) ∈ L 1 (K 2 [(ω 1 , .)] für m 1 -fast alle ω 1 ∈ Ω 1 und die m 1 -fast
überall definierte Integralfunktion
∫
ω 1 ↦→ f(ω 1 , .)dK 2 [ω 1 , .]
ist m 1 -integrierbar und es gilt die Formel von 9.15 für f.
Ist K 2 [ω 1 , .] = m 2 (ω 1 ∈ Ω 1 ) ein σ-endliches Maß, so ist f genau dann m-integrierbar, wenn
ein Doppelintegral in 9.15 von |f| endlich ist. Es gilt dann f(., ω 2 ) ∈ B 1 (m 1 ) für m 2 -fast-alle
ω 2 ∈ Ω 2 . Außerdem ist ebenso die m 2 -fast überall definierte Integralfunktion
∫
ω 2 ↦→ f(., ω 2 )dm 2
m 2 -integrierbar und es gelten die Formeln von 9.15 für f.
Beweis: Es genügt, den Fall eines allgemeinen Übergangskerns K 2 zu betrachten. Durch die Zerlegung
von f in f + und f − und Anwendung von 9.15 auf f + bzw. f − erhält man die Behauptung
Denn für f ≥ 0 zieht die Endlichkeit des Doppelintegrals die m 1 -Integrierbarkeit der Integralfunktion
wegen 4.7.4 nach sich, also deren Endlichkeit für m 1 -fast-alle ω 1 ∈ Ω 1 , d.h. für diese ω 1 ist
f(ω 1 , .) ∈ L 1 (K 2 [(ω 1 , .)]. Durch Addition der Formeln 9.15 für f + bzw. f − folgt die Behauptung.
✷
Durch vollständige Induktion erhält man nun aus 9.13 für I = {0, . . . , n}. Sei dazu (Ω i , A i ) i∈N0
Messräume.

90 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
9.17 Satz (Ionescu-Tulcea)
Sei P 0 ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω 0 , A 0 ) und K i ein stochastischer Kern von
( i−1 ∏ ⊗i−1
)
Ω j , A j nach (Ω i , A i ) (i = 1, . . . , n). Dann wird durch
j=0
j=0
P 0
n ⊗
i=1
∫
K i : A ↦→
∫
P 0 [dω 0 ]
K 1 [ω 0 , dω 1 ] . . .
∫
K n [ω 0 , . . . , ω n−1 , dω n ]1 A (ω 0 , . . . , ω n )
(
A ∈
n⊗
)
A i
i=0
das einzige Wahrscheinlichkeitsmaß P auf
n⊗
A i definiert mit
∫ ∫
∫
P[A 0 × . . . × A n ] = P 0 [dω 0 ]
A 0
K 1 [ω 0 , dω 1 ] . . .
A 1
K n [ω 0 , . . . , ω n−1 , dω n ]
A n
i=0
(A i ∈ A i , i = 0, . . . , n).
Es heißt das zum Wahrscheinlichkeitsmaß P 0 und den stochastischen Kernen K 1 , . . . , K n gehörige
Produktmaß.
n⊗
Für jede reelle positive A i -messbare gilt
∫
fdP 0
n ⊗
i=1
∫
K i =
i=0
∫
P 0 [dω 0 ]
K 1 [ω 0 , dω 1 ] . . .
∫
K n [ω 0 , . . . , ω n−1 , dω n ]f(ω 0 , . . . , ω n−1 , ω n )
Die Integrierbarkeit einer messbaren Funktion f ist dabei äquivalent zur Endlichkeit des iterierten
Integrals von |f|.
Beweis: Der Beweis erfolgt durch Induktion nach n unter Beachtung von
( )
n−1 ∏
∏
Ω i × Ω n = n ⊗n−1
Ω i ,
i=0 A i ⊗ A n = ⊗ n
i=0 A n.
i=0
i=0
Der Induktionsanfang ist 9.13, beim Induktionsschluss wendet man 9.13 auf das Wahrscheinlichkeitsmaß
P 1 := P 0 K i und K n an und benutzt dann 9.15 und 9.16.
n−1
⊗
✷
i=0
9.18 Bemerkung
Das Resultat 9.17 gilt auch für σ-endliche Maße bzw. Kerne und mit leicht modifizierter Formel
auch für abzählbare Indexmengen I.

9. PRODUKTMASSE 91
9.19 Korollar (Fubini)
Seien (Ω i , A i , m i ) i=1,...,n σ-endliche Maßräume. Dann gibt es genau ein Maß m auf
n⊗
A i mit
i=1
m[A 1 × . . . × A n ] = m 1 [A 1 ] · . . . · m n [A n ]
(A i ∈ A i , i = 1, . . . , n),
das sogenannte Produktmaß
n⊗
m i . Für jede reelle positive
i=1
integrierbare Funktion f sowie für jede Permutation π von {1, . . . , n} gilt
∫
( ⊗ n )
fd m i =
i=1
∫ ( ( ∫
. . .
n⊗
A i -messbare und jede m-
i=1
) )
f(ω 1 , . . . , ω n )m π(1) [dω π(1) ] . . . m π(n) [dω π(n) ].
Die Integrierbarkeit einer reellen, messbaren Funktion f ist dabei äquivalent zur Endlichkeit
eines iterierten Integrals von |f|.
Beweis: Der Beweis erfolgt mittels Induktion nach n. Dabei ist zu beachten, dass π Kompositionen
endlich vieler benachbarter Transpositionen ist. Dann folgt die Behauptung mit 9.14, 9.15 und 9.16.
✷
9.20 Beispiele
1. Das Lebesgue-Borel’sche Maß
λ n :=
ist das Produktmaß von n Exemplaren des Lebesgue-Borel’schen Maßes λ 1 auf
B(R n ).
Nach dem Eindeutigkeitssatz 7.19 ist λ n das einzige Maß auf B(R n ) mit
n⊗
i=1
λ 1
λ n[ n∏ ] ∏
[a i ; b i ] = n (b i − a i ).
i=1
i=1
n⊗
B(R 1 ) =
i=1
Insbesondere sind einpunktige und damit abzählbare Mengen in R n λ n -Nullmengen, also ebenso
jede achsenparallele Hyperebene
denn
H := {x ∈ R n , x i = a i },
H =
∞⋃
[−k; k] −1 × {a i } × [−k; k] n−i
k=1
2. Das Lebesgue-Borelsche Maß λ n ist das einzige translationsinvariante Maß auf B(R n ) mit
λ n [[0; 1] n ] = 1. Es ist sogar bewegungsinvariant, d.h. λ n = T (λ n ) mit T = T a ◦ U, wobei T a
eine Translation und U eine orthogonale Transformation ist.
3. Die Endlichkeit und Übereinstimmung der Doppelintegrale für f ∈ L 0 (Ω, A) impliziert nicht
die Integrierbarkeit von f. Sei beispielsweise m 1 = m 2 = λ 1 und
f : ω ↦→ ω 1 · ω 2
(ω 2 1 + ω2 2 )2 .

92 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
Dann stimmen die iterierten Integrale von f überein, aber kein iteriertes Integral von |f| ist
endlich.
4. Doppelintegrale nicht σ-endlicher Maße müssen nicht übereinstimmen. Sei beispielsweise A 1 =
A 2 = B([0; 1]) und
m 1 = λ 1 | [0;1] , m 2 = Zählmaß auf[0; 1].
Dann ist m 2 nicht σ-endlich. Berechnet man nun die iterierten Integrale für 1 ∆ mit
∆ := {(x, x) ∈ [0; 1] 2 : x ∈ [0; 1]},
so gilt
∫ ( ∫
∫ ( ∫
)
1 ∆ (ω 1 , ω 2 )m 1 [dω 1 ] m 2 [dω 2 ] =
)
1 ∆ (ω 1 , ω 2 )m 2 [dω 2 ] m 1 [dω 1 ] =
∫
∫
0m 2 [dω 2 ] = 0
1m 1 [dω 1 ] = 1.

10. UNABHÄNGIGKEIT 93
10 Projektive Familien von Wahrscheinlichkeitsmaßen und
Unabhängigkeit
Sei stets I ≠ ∅ eine beliebige Indexmenge, (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Ω i , A i )
Messräume (i ∈ I).
10.1 Notationen
Wie in 9.2 führen wir folgende Bezeichnungen ein. Seien dazu (Ω i , A i ) i∈I Messräume.
• Für J ⊆ I sei Ω J := ∏ Ω j und A J := ⊗ A j ,
j∈J
j∈J
• für J ⊆ H ⊆ I sei π H J
: Ω H → Ω J die kanonische Projektion,
• entsprechend ist π J := πJ I : Ω I → Ω J die kanonische Projektion,
• und π j := π {j} : Ω I → Ω j die j-te Projektion.
• Für J ⊆ I ist J ⊂⊂ I :⇔ J ⊆ I, J endlich.
10.2 Definition
Eine Familie (P J ) J⊂⊂I von Wahrscheinlichkeitsmaßen P J auf (Ω J , A J ) heißt projektiv, wenn
P J = π H J (P H)
(J ⊆ H ⊂⊂ I).
10.3 Beispiel
Sei P i ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω i , A i ) (i ∈ I). Für J ⊂⊂ I sei entsprechend
P J := ⊗ j∈J
P j
das Produktmaß auf (Ω J , A J ). Dann ist (P J ) J⊂⊂I projektiv.
Denn Sei J ⊆ H ⊂⊂ I. Nach 9.19 gilt für A j ∈ A j (j ∈ J) und A h := Ω h (h ∈ H \ J)
[ ∏ ] ∏
P J A j = P j [A j ] = ∏
[ ∏ ]
P h [A h ] = P H A h
j∈J
j∈J
h∈H
h∈H
[ (π )
H −1 ( ∏ ) ]
= P H J A j = πJ H(P H) [ ∏ ]
A j .
j∈J
j∈J
Damit ist P H = π H J (P H).
✷
10.4 Satz
Gibt es zu einer Familie (P J ) J⊂⊂I von Wahrscheinlichkeitsmaßen P J auf (Ω J , A J ) ein Wahrscheinlichkeitsmaß
P auf (Ω I , A I ) mit endlich dimensionalen Randverteilungen oder Marginalmaßen
P J = π J (P) (J ⊂⊂ I),
so ist P eindeutig bestimmt, (P J ) J⊂⊂I ist projektiv und P heißt der projektive Limes der
(P J ) J⊂⊂I .
Beweis: Zum Beweis der Projektivität sei J ⊆ H ⊂⊂ I. Es gilt π J = π I J = π H J
◦ π H und damit
P J = π J (P) = (π H J ◦ π H)(P) 8.2
= π H J (π H(P)) = π H J (P H).

94 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
Für die Eindeutigkeit von P ist nach 7.19 und 9.5 die Eindeutigkeit nur für Mengen
∏
A j ×
j∈J
∏
i∈I\J
Ω i (J ⊂⊂ I, A j ∈ A j )
zu zeigen. Dieses erzeugt nämlich A I , ist ∩-stabil und enthält Ω I . Es gilt
P [ ∏ A j ×
j∈J
∏
i∈I\J
] [
Ω i = P π
−1
J
( ∏ A j ) ] = π J (P) [ ∏ ] [ ∏ ]
A j = PJ A j
j∈J
j∈J
j∈J
und damit ist P eindeutig bestimmt.
✷
10.5 Notation
In der Situation von 10.4 bezeichnen wir
lim ←−
P J := P.
J ⊂⊂ I
10.6 Satz (Kolmogoroff)
Sei (P J ) J⊂⊂I eine projektive Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen P J auf (Ω J , A J ) und (K i ) i∈I
eine Familie kompakter Systeme K i ⊆ A i (i ∈ I), so dass jedes P i von innen K i -regulär ist. Dann
existiert der projektive Limes
P = lim ←−
P J .
J ⊂⊂ I
Beweis:
1. Sei
H := { π −1 ( ∏ ) }
J
A j : J ⊂⊂ I, Aj ∈ A j .
j∈J
Nach 7.3.2 ist H ein Halbring und nach 9.5 erzeugt H die Produkt-σ-Algebra A I . Definiere
⎧
⎨H → [0; 1]
µ :
⎩π −1 ( ∏ ) [ ∏ ]
J
A j ↦→ P J A j .
j∈J
Beh: µ ist ein wohldefinierter Inhalt auf H
j∈J
Denn: Seien J 1 , J 2 ⊂⊂ I und J ′ := J 1 ∪J 2 . Weiter seien A 1 j ∈ A j (j ∈ J 1 ) und A 2 j ∈ A j (j ∈ J 2 ).
Ist dann
π −1 ( ∏ ) (
J 1
A 1 j = π
−1
∏ )
J 2
A 2 j ,
j∈J 1 j∈J 2
so gilt
(π J ′
J 1
) −1( ∏
und damit
P J1
[ ∏
j∈J 1
A 1 j
j∈J 1
A 1 j
) (
= πJ ′(
π
−1
∏ )) (
J 1
A 1 j = πJ ′(
π
−1
∏ ))
J 2
A 2 j = (π
J ′
J 2
) −1( ∏ )
A 2 j ∈ H
j∈J 1 j∈J 2 j∈J 2
]
= π
J ′
J 1
(P J ′) [ ∏
j∈J 1
A 1 j
]
= PJ ′[
(π
J ′
J 1
) −1( ∏
j∈J 1
A 1 j
[
= P J ′ (π
J ′
J 2
) −1( ∏ )]
A 2 j = π
J ′
J 2
(P J ′) [ ∏
j∈J 2
j∈J 2
A 2 j
)]
]
= PJ2
[ ∏
j∈J 2
A 2 j
]

10. UNABHÄNGIGKEIT 95
Damit ist µ wohldefiniert.
Seien B 1 , . . . , B n ∈ H paarweise verschiedene Rechtecke und
n⊎
B := B k ∈ H.
Dann gibt es ein J ⊂⊂ I und paarweise fremde Rechtecke A k ∈ ∏
k=1
A j
j∈J
(k = 1, . . . , n) mit
B k = π −1
J
(A k) und B = π −1 ( ⊎
n )
A k .
J
k=1
Dann ist
[
µ[B] = µ
π −1
J
( ⊎
n ) ]
A k =
k=1
n∑
π J (µ)[A k ] =
k=1
n∑
P J [A k ] =
k=1
n∑
µ[B k ].
k=1
Überdies ist µ[∅] = 0 und µ[Ω I ] = 1. Damit ist µ ein normierter Inhalt auf H und damit nach
7.4 eindeutig zu einem Inhalt auf σ(H) fortsetzbar.
2. Definiere
Dann ist K ist nach 7.7 ein kompaktes System.
Beh: µ ist von innen K-regulär.
K := { π −1 ( ∏ ) }
J
K j : J ⊂⊂ I, Kj ∈ K j .
j∈J
Denn: Sei J ⊂⊂ I mit |J| = n und A j ∈ A j . Sei außerdem ɛ > 0. Damit gibt es K j ∈ K j mit
K j ⊆ A j ,
P j [A j ] ≤ P j [K j ] + ɛ n
(j ∈ J)
und
Wegen K ⊆ π −1 ( ∏ )
J
A j =: A gilt
j∈J
K := π −1 ( ∏ )
J
K j ∈ K.
j∈J
A = A ⊎ (A \ K) ⊆ K ∪ ⋃ j∈J
π −1
j (A j \ K j )
und damit
µ[A] ≤ µ[K] + ∑ j∈J
µ[π −1
j (A j \ K j )] = µ[K] + ∑ j∈J
P j [A j \ K j ] ≤ µ[K] + ɛ.
3. Nach 7.10 ist µ ein Prämaß, lässt sich also nach 7.19 eindeutig zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß
P auf σ(H) = A I fortsetzen.
Beh: P ist der projektive Limes der (P J ) J⊂⊂I .
Denn: Für J ⊂⊂ I und A j ∈ A j (j ∈ J) ist
π J (P) [ ∏ ]
A j = πJ (µ) [ ∏ ] [ ∏ ]
A j = PJ A j .
j∈J
Mit 9.5 ist π J (P) = P J , d.h. P ist der projektive Limes der (P J ) J⊂⊂I .
j∈J
j∈J
✷

96 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
10.7 Korollar (Kolmogoroff)
Ist (Ω i ) i∈I eine Familie polnischer Räume, A i = B(Ω i ) die Borel’sche σ-Algebra in Ω i (i ∈ I),
so existiert zu jeder projektiven Familie (P J ) J⊂⊂I von Wahrscheinlichkeitsmaßen P J auf
(Ω J , B(Ω J )) der projektive Limes P = lim ←−
P J .
J ⊂⊂ I
Insbesondere existiert zu jeder Familie (P i ) i∈I von Wahrscheinlichkeitsmaßen P i auf (Ω i , B(Ω i ))
genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß
P = ⊗ i∈I
P i auf ( ∏
mit π J (P) = ⊗ j∈J
P j , d.h.
P [ ∏ A j ×
j∈J
i∈I
Ω i , ⊗ i∈I
∏
i∈I\J
B(Ω i ) ) bzw. ( Ω I , B(Ω I ) ) , falls I abzählbar ist
] ∏
Ω i = P j [A j ] (J ⊂⊂ I, A j ∈ A j ).
j∈J
Beweis: Die Behauptung folgt aus 7.25, 9.6 und 10.6.
✷
10.8 Bemerkung
Die Existenz und Eindeutigkeit des Produktmaßes ⊗ i∈I
P i lässt sich auch für beliebige Wahrscheinlichkeitsräume
(Ω i , A i , P i ) beweisen (vgl. [BW], §9), aber nicht die des projektiven Limes.
10.9 Definition
1. Eine Familie (E i ) i∈I mit E i ⊆ A (i ∈ I) heißt unabhängig, wenn
P [ ⋂ ] ∏
A j = P[A j ] (J ⊂⊂ I A j ∈ E j )
gilt.
j∈J
j∈J
2. Eine Familie (A i ) i∈I ∈ A I heißt unabhängig, wenn ({A i }) i∈I unabhängig ist.
3. Eine Familie (X i ) i∈I von Zufallsvariablen X i : (Ω, A) → (Ω i , A i ) heißt unabhängig, wenn
(σ(X i )) i∈I unabhängig ist, d.h. wenn
P[X j ∈ A j : j ∈ J] = P [ ⋂
{X j ∈ A j } ] = ∏ P[X j ∈ A j ] (J ⊂⊂ I, A j ∈ A j ).
j∈J
j∈J
10.10 Bemerkung
Wie aus der elementaren Stochastik bekannt, folgt aus der paarweisen Unabhängigkeit von Mengensystemen,
Ereignissen oder Zufallsvariablen nicht die Unabhängigkeit.

10. UNABHÄNGIGKEIT 97
10.11 Hauptsatz
Eine Familie von Zufallsvariablen X i : (Ω, A) → (Ω i , A i ) ist genau dann unabhängig, wenn die
gemeinsame Verteilung, d.h. die Verteilung der Produkt-Zufallsvariable
X I : (Ω, A) → ( Ω I , A I
)
das Produktmaß der Verteilungen der X i ist, d.h. wenn
Vert ⊗ i∈I
X i = ⊗ i∈I
VertX i = ⊗ i∈I
X i (P).
Beweis: Folgt direkt aus der Definition der Unabhängigkeit.
✷
10.12 Beispiel
Sei (Ω i , A i , P i ) i∈I eine Familie von Wahrscheinlichkeitsräumen,
Ω I := ∏ Ω i , A I := ⊗ A i , P := ⊗ P i .
i∈I
i∈I
i∈I
Weiter sei X i := π i die i-te Projektion und damit ⊗ X i = id Ω . Dann ist
i∈I
Vert ⊗ X i = P = ⊗ P i = ⊗ π i (P) = ⊗ VertX i .
i∈I
i∈I i∈I
i∈I
Damit sind die (X i ) i∈I ein kanonisches Modell für eine unabhängige Familie (X i ) i∈I von Zufallsgrößen
mit VertX i = P i (i ∈ I).
Ein Beispiel hierfür ist eine Bernoulli’sche Beobachtungsfolge, also z.B. ein abzählbar oft ausgeführter
Münzwurf mit Erfolgswahrscheinlichkeit 0 < p < 1. Hier ist speziell (Ω i , A i , P i ) =
({0, 1}, P(Ω i ), B(1, p)) und
10.13 Satz
Ω = {0, 1} N , A = B(Ω) 9.6
= ⊗ i∈N
B(Ω i ), P =
Seien X 1 , . . . , X n unabhängige reelle Zufallsvariable. Ist
1. X i ≥ 0 (i = 1, . . . , n) oder
2. X i integrierbar (i = 1, . . . , n),
dann gilt
∏
Ist 2. erfüllt, ist n X i integrierbar.
i=1
E [ n∏ ] n∏
X i = E[X i ].
i=1
i=1
∞⊗
B(1, p).
i=1
Beweis: Sei
Q i := VertX i und Q := Vert ( ⊗
n )
X i .
i=1

98 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
Dann ist wegen der Unabhängigkeit der X i
n⊗
Q = Q i .
i=1
Definiere
i=1
i=1
Y :
{
R n → R
(y 1 , . . . , y n ) ↦→ |y 1 · . . . · y n |.
Damit ist
E [∣ ∣
∏ n ∣] [
n⊗
∫ ∫
]
X i =E Y ◦ X i = Y dQ = Y d
∫
=
n⊗
VertX i
i=1
∫
∫
∏
. . . |y 1 · . . . · y n |Q 1 (dy 1 ) . . . Q n [dy n ] = n
i=1
∏
|y i |Q i [dy i ] = n E[|X i |].
i=1
Daraus folgt die Behauptung im Fall 1. und die Integrierbarkeit im Fall 2. Die Multiplikativität
der Erwartungswerte im Fall 2. folgt durch Wiederholung des Arguments mit
{
R n → R
Y :
(y 1 , . . . , y n ) ↦→ y 1 · . . . · y n .
10.14 Definition
Seien X, Y ∈ L 2 (Ω, A, P).
1. X und Y heißen unkorrelliert, wenn E[X · Y ] = E[X] · E[Y ].
2. Die durch
Kov[X, Y ] = E [ (X − E[X])(Y − E[Y ]) ] = E[X · Y ] − E[X · Y ]
gegebene Zahl heißt Kovarianz von X und Y .
3. Ist σ(X), σ(Y ) > 0, so definiert man durch
den Korrellationskoeffizient von X und Y .
10.15 Bemerkung
Sei wieder X, Y ∈ L 2 (Ω, A, P).
kor[X, Y ] = Kov[X, Y ]
σ[X] · σ[Y ]
1. Wegen 5.5 und 5.8 ist X, Y, X · Y, [ X − E[X] ][ Y − E[Y ] ] ∈ L 1 (P).
✷
2. Durch Defnition gilt
Außerdem ist
Var[X] = Kov[X, X].
Var[αX + β] = α 2 Var[X]
(α, β ∈ R).
3. Ist Var[X] = 0 oder Var[Y ] = 0, so sind X und Y unkorrelliert, denn wegen Var[X] = 0 =
E[[X − E[X]] 2 ] ist X = E[X] fast sicher. Deswegen gilt
E[X · Y ] = E[E[X] · Y ] = E[X] · E[Y ].

10. UNABHÄNGIGKEIT 99
4. Sind X und Y unabhängig, so sing sie wegen 10.13 unkorrelliert.
5. Sei Var[X] · Var[Y ] > 0. Dann gilt wegen der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung aus 5.8
kor[X, Y ] ≤ 1. Genau dann gilt E[X · Y ] = σ[X]σ[Y ], wenn X und Y linear abhängig sind,
d.h. wenn es α, β ∈ R gibt mit Y = αX + β.
Damit ist genau dann kor[X, Y ] = 1, wenn X − E[X] und Y − E[Y ] linear abhängig sind. Dann
sind X und Y auch stochastisch abhängig.
10.16 Satz (Gleichung von Bienamé)
Für X 1 , . . . , X n ∈ L 2 (Ω, A, P) gilt
Var[X 1 + . . . + X n ] =
n∑
Kov[X i , X j ].
i,j=1
Sind X 1 , . . . , X n paarweise unkorrelliert, dann gilt die Gleichung von Bienamé
[
∑ n ]
Var X i =
i=1
n∑
Var[X i ].
i=1
Beweis: Definiere durch Zentrieren am Erwartungswert
˜X i := X i − E(X i ) (i = 1, . . . , n).
Dann gilt
[ ∑ n ] [ ( ∑ n
Var X i = E
i=1
i=1
[ ∑
n
= E
i,j=1
X i − E [ n ∑
˜X i ˜Xj
]
=
i=1
] ) ] [
2 ( ∑ n
X i = E
n∑
E[ ˜X i , ˜X j ] =
i,j=1
i=1
˜X i
) 2
]
n∑
Kov[X i , X j ].
i,j=1
Sind X 1 , . . . , X n paarweise unkorrelliert, folgt
[ ∑
n ] n∑
n∑
Var X i = Kov[X i , X i ] = Var[X i ].
i=1 i=1
i=1
✷
10.17 Definition
Seien m 1 , . . . , m n endliche Borel-, also Radon-Maße auf R p und
⎧
⎪⎨ (R p ) n → R p
S n :
n∑
⎪⎩ (x 1 , . . . , x n ) ↦→ x i .
Dann heißt das Bildmaß des Produktmaßes
Faltung von m 1 , . . . , m n .
( ⊗
n )
S n m i =:
i=1
n
∗
i=1
i=1
m i =: m 1 ∗ . . . ∗ m n

100 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
10.18 Hauptsatz
Sind X 1 , . . . , X n : (Ω, A, P) → R p unabhängige Zufallsvariablen, so ist
(
∑ n
Vert
i=1
X i
)
= n ∗
i=1
VertX i .
Beweis: Wegen
ist
n∑
X i = S n ◦
n⊗
i=1
i=1
X i
(
∑ n
Vert
i=1
X i
)
= Vert ( S n ◦
n⊗ )
X i = (Sn ◦
i=1
( ⊗
n )
= S n P Xi =
i=1
n
∗
i=1
n⊗
i=1
P Xi = n ∗
i=1
X i )(P) = S n (P N n
i=1 Xi)
VertX i .
✷
10.19 Bemerkung
1. Beh.: m 1 ∗ . . . ∗ m N ist ein endliches Borel-Maß auf R p .
Denn:
(m 1 ∗ . . . ∗ m n )[R p ] = ( ⊗
n )
m i (S
−1
n (R p )) =
} {{ }
i=1
=(R p ) n
n∏
m i [R p ] < ∞.
2. Beh.: Die Faltungsoperation ist kommutativ, distributiv und assoziativ auf M b +(R p ).
Denn:
Kommutativität: Für f ∈ L 0 +(R, B(R)) gilt
∫
∫
∫
fd(m 1 ∗ m 2 ) = fd(S 2 (m 1 ⊗ m 2 )) 8.4
= (f ◦ S 2 )d(m 1 ⊗ m 2 )
∫
= f(x 1 + x 2 )m 1 ⊗ m 2 [d(x 1 , x 2 )
9.15
=
9.16
∫ ∫
i=1
f(x 1 + x 2 )m 1 [dx 1 ]m 2 [dx 2 ]
∫
= f(x 1 + x 2 )m 2 ⊗ m 1 [d(x 1 , x 2 )]
∫
∫
= fd(S 2 (m 2 ⊗ m 1 )) = fd(m 2 ∗ m 1 ).
Distributivität: Wie oben gilt für f ∈ L 0 +(R, B(R))
∫
∫ ∫
fd(m 0 ∗ (m 1 + m 2 )) = f(x 1 + x 2 )m 0 [dx 1 ](m 1 + m 2 )[dx 2 ]
∫ ∫
= f(x 1 + x 2 )m 0 [dx 1 ]m 1 [dx 2 ]

10. UNABHÄNGIGKEIT 101
∫ ∫
+
f(x 1 + x 2 )m 0 [dx 1 ]m 2 [dx 2 ]
∫
=
∫
fd(m 0 ∗ m 1 ) +
fd(m 0 ∗ +m 2 ),
also
m 0 ∗ (m 1 + m 2 ) = m 0 ∗ m 1 + m 1 ∗ m 2 .
Assoziativität: Seien Œ m i Wahrscheinlichkeitsmaße auf R p (i = 1, 2, 3) und
P = m 1 ⊗ m 2 ⊗ m 3 .
Dann sind die Projektionen π i : (R p ) 3 → R p unabhängig (i = 1, 2, 3) mit Vertπ i = π i (P) =
m i . Damit gilt mit 10.18
10.20 Beispiele
(m 1 ∗ m 2 ) ∗ m 3 = Vert((π 1 + π 2 ) + π 3 ) = Vert(π 1 + (π 2 + π 3 ))
= m 1 ∗ (m 2 ∗ m 3 )
1. Sei a ∈ R p und m ein endliches Borel-Maß auf R p .
Beh: Dann ist
ɛ a ∗ m = T a (m)
mit der Translation T a : x ↦→ x + a.
Denn: Für A ∈ B(R p ) ist
∫
(ɛ a ∗ m)[A] = m[A − x]ɛ a [dx] = m[A − a] = m[Ta
−1 (A)] = T a (m)[A].
Beh: Insbesondere ist für a, b ∈ R p ɛ a ∗ ɛ b = ɛ a+b .
Denn: Es gilt wie oben
ɛ a ∗ ɛ b = T a (ɛ b )[A] = ɛ b [A − a] = ɛ a+b [A].
2. Sei n 1 , n 2 ∈ N, p ∈ [0; 1] Dann bezeichnen wie in 0.2 B(n 1 , p) bzw. B(n 2 , p) Binomialverteilungen
auf {0, . . . , n 1 } bzw. {0, . . . , n 2 } mit Parameter p.
Beh: B(n 1 , p) ∗ B(n 2 , p) = B(n 1 + n 2 , p).
Denn: Es gilt
∑n 1
∑n 2
B(n 1 , p) ∗ B(n 2 , p) =
=
=
i=0 j=0
n∑
1+n 2
k=0
n∑
1+n 2
k=0
(
n1
∑n 2
j=0
i
)(
n2
j
(
n1
k − j
(
n1 + n 2
k
)
p i+j (1 − p) n1+n2−i−j ɛ i ∗ ɛ j
)( )
n2
p k (1 − p) n1+n2−k ɛ k
j
)
p k (1 − p) n1+n2−k ɛ k = B(n 1 + n 2 , p).
Also ist die Summe zweier unabhängiger nach B(n 1 , p) und B(n 2 , p) verteilter Zufallsvariablen
B(n 1 + n 2 , p)-verteilt.
Induktiv schließt man, dass die Summe von n unabhängigen, nach B(1, p)-verteilten Zufallsvariablen
B(n, p)-verteilt ist.

102 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
3. Sei α 1 , α 2 > 0 und π α1 bzw. π α1 Poisson-Verteilungen mit Parameter α 1 bzw. α 2 wie in 0.2.
Beh: π α1 ∗ π α2 = π α1+α 2
.
Denn: Es gilt
π α1 ∗ π α2 =
∞∑
∞∑
i=0 j=0
e −α1−α2 αi 1
i!
α j 2
j! ɛ i ∗ ɛ j =
= e −(α1+α2) (α 1 + α 2 ) k
ɛ k .
k!
∞∑
k∑
e −α1−α2 αk−j 1
(k−j)!
k=0 j=0
α j 2
j! ɛ k

11. MASSE MIT DICHTEN 103
11 Maße mit Dichten
Sei stets (Ω, A, m) ein Maßraum
11.1 Satz
Für jede messbare Funktion g ≥ 0 ist
⎧
⎨A → [0;
∫
∞]
g · m :
⎩A
↦→ gdm
ein Maß auf A. Dabei heißt g eine Dichte von g · m bzgl. m.
Eine messbare Funktion f ist genau dann g · m-integrierbar, wenn f · g m-integrierbar ist. In
diesem Fall, oder wenn f ≥ 0, gilt:
∫
∫
fd(g · m) = f · gdm.
A
Beweis: Wegen g ∈ L 0 +(Ω, A) ist mit 4.17 g · m ein Inhalt. Für A ∈ A, (A n ) n∈N ∈ A N mit A n ↑ A
ist g · 1 An ↑ g · 1 A . Nach Beppo Levi 6.1 ist damit g · m stetig von unten, also nach 2.3 ein Maß.
Die Formel folgt aus dem Beweisprinzip der Maßtheorie 4.12. Die Abbildung
⎧
⎨L + 0 (Ω, A) → [0;
∫
∞]
ν :
⎩f
↦→ f · gdm
ist nämlich ein Daniell-Integral mit
∫
ν(1 A ) = gdm = g · m[A]
A
(A ∈ A).
✷
11.2 Korollar
Sind f, g ≥ 0 messbar, so gilt
f · (g · m) = (f · g) · m.
Beweis: Für A ∈ A gilt
∫
∫
∫
f(g · m)[A] = fd(gm) = f1 A dgm 11.1
= (f1 A )gdm
A
∫
∫
= (fg)1 A dm = fgdm = ( (fg)(m) ) [A].
A
✷
11.3 Satz
Hat eine reelle Zufallsvariable eine Dichte g bzgl. eines Maßes m auf (R, B(R)), so ist, sofern
existent
∫
E[X] = xg(x)m[dx],
∫
Var[X] =
( ∫
x 2 g(x)m[dx] −
) 2
xg(x)m[dx]

104 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
Beweis: Mit dem Transformationssatz 8.4 gilt
∫ ∫
∫
∫
E[X] = Xdm = id ◦ Xdm = iddX(m) =
∫
id · gdm =
xg(x)dm[dx].
Für die Varianz gilt
Var[X] = E [ (X − E[X]) 2] = E [ X 2 − 2XE[X] + (E[X]) 2]
= E[X 2 ] − 2E[X]E[X] + (E[X]) 2 = E[X 2 ] − (E[X]) 2 .
✷
11.4 Beispiele
1. Für µ ∈ R, σ ∈ R ∗ + definieren wir die ’Gauß’sche Glockenkurve’
g µ,σ 2(x) =
[
]
1
√ exp (x − µ)2
−
2πσ
2 2σ 2 .
Es ist g µ,σ 2 ∈ L + 0 (R, B(R)). Durch diese Funktion definieren wir die Normalverteilung mit
Parametern µ und σ 2 als
N µ,σ 2 := g µ,σ 2 · λ 1 .
Ein Spezialfall ist die Standardnormalverteilung
∫
N µ,σ 2[R] =
R
g µ,σ 2λ 1 =
∫ ∞
−∞
N 0,1 . Es gilt
[
√ 1
exp (x −
]
µ)2
2πσ
−
2
2σ 2 λ 1 [dx] = 1.
Beh: Für eine reelle Zufallsvariable X mit VertX = N µ,σ 2 ist E[X] = µ und Var[X] = σ 2 .
Denn: Es gilt
∫
E[X] =
∫ ∞
xg µ,σ 2(x)λ[dx] = √ 1
2πσ 2
(∫ ∞
= √ 1
2πσ 2
= µ + 1 √
2πσ 2
Zur Berechnung von Var[X] ist
√
2πσ2 =
∫ ∞
−∞
(x − µ) exp
−∞
∫ ∞
−∞
[
−
−∞
[
(x −
]
µ)2
x exp −
2σ 2
(x −
]
µ)2
2σ 2 dx+µ
]
t exp
[− t2
2σ 2 dt = µ
∫ ∞
exp
−∞
dx
(x −
] )
µ)2
[−
2σ 2 dx
[ ] [ ]∣
exp − −t2
2σ 2 dt = t exp − −t2 ∣∣∣
∞ ∫ [ ]
t
2
2σ 2 +
−∞
σ 2 exp − −t2
2σ 2 dt,
also
∫
σ 2 = √ 1
2πσ 2
t 2 g 0,σ 2(t)dt.
Durch die Substitution t → x − µ erhält man nun
∫
[
Var[X] = E[(X − µ) 2 ] = √ 1
2πσ
(x − µ) 2 exp −
2
(x − µ)2
2σ 2 ]
dx = σ 2 .

11. MASSE MIT DICHTEN 105
2. Für die d-dimensionale Standardnormalverteilung definiert man
und dadurch
[
g d (x 1 , . . . , x d ) := √ 1
2π
exp − 1 2
N d :=
d⊗
N 0,1 = g d λ d .
1
Nichtausgeartete Normalverteilung oder Gauß-Maß heißt jedes Bildmaß (Y (N d )) unter einer
nichtausgearteten affinene Transformation
11.5 Satz
Seien g 1 , g 2 ∈ L + 0 (Ω, A).
d∑
1=1
Y : x ↦→ Ax + b mit ( A ∈ GL(R 2 × R 2 ), b ∈ R 2) .
1. Ist g 1 = g 2 m-fast überall so ist g 1 · m = g 2 · m.
2. Ist g 1 oder g 2 integrierbar (d.h. g 1 · m bzw. g 2 · m ist ein endliches Maß) und ist
g 1 · m = g 2 · m, so ist g 1 = g 2 fast überall.
Beweis:
1. Ist g 1 = g 2 m-fast überall und A ∈ A, so ist g 1 1 A = g 2 1 A m-fast überall und damit
∫ ∫
g 1 · m[A] = g 1 dm = g 2 dm = g 2 · m[A].
2. Sei Œ g 1 ∈ L 1 (m) Dann ist
∫
Ω
A
∫
g 2 dm =
Ω
A
g 1 dm < ∞,
also g 2 ∈ L 1 (m). Sei N := {g 1 < g 2 } ∈ A und h := g 1 1 N − g 2 1 N . Dann ist N = {h > 0} und
∫ ∫ ∫
hdm = g 1 dm − g 2 dm = (g 1 m)[N] − (g 2 m)[N] = 0,
N
N
also h = 0 m-fast überall und m[N] = 0. Damit ist auch g 1 ≤ g 2 m-fast überall. Durch
Vertauschen von g 1 und g 2 erhält man nun g 1 = g 2 m-fast überall.
x 2 i
]
✷
11.6 Bemerkung
Ohne die Voraussetzung, dass g 1 oder g 2 integrierbar ist, ist 2. falsch. Sei dazu Ω überabzählbar
und
A = {A : A abzählbar oder CA abzählbar}.
Definiere
m : A ↦→
{
0, A abzählbar
∞, CA abzählbar
Damit ist 1m = 2m, aber nicht 1 = 2 m-fast überall.

106 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
11.7 Definition
Ein Maß m ′ auf A heißt absolut stetig bzgl. m, falls
m[N] = 0 ⇒ m ′ [N] = 0 (N ∈ A).
Dafür schreibt man m ′ 0 m ′ [A] ≤ ɛ, d.h. m ′ [A] = 0.
“⇒”: Angenommen, es gibt ein ɛ > 0 so dass es für jedes n ∈ N ein A n ∈ A gibt mit m[A n ] ≤ 1
2
, n
aber m ′ [A n ] > ɛ. Dann ist für
A :=
∞⋂
⋃
n=1 k≥n
A k = lim sup A n
n→∞
nach dem Borel-Cantelli-Lemma 6.7 m[A] = 0, aber mit 6.6.3 ist, da m ′ endlich ist,
Das ist aber ein Widerspruch.
11.9 Beispiele und Bemerkungen
m ′ [A] ≥ lim sup m[A n ] ≥ ɛ.
n→∞
1. Die Dirac’sche δ-Funktion ist definiert durch δ 0 = ∞ · 1 {0} .
Manchmal verwendet man die Formel δ 0 · λ = ɛ 0 , d.h.
∫
δ 0 fdλ = f(0) (f ∈ L 0 +(Ω, A)).
Diese Formel ist jedoch falsch, da δ 0 · f = 0 λ-fast überall.
2. Sei g ∈ L + 0 (Ω, A). Dann ist g · m

11. MASSE MIT DICHTEN 107
11.10 Hauptsatz (Radon-Nikodym)
Sei m σ-endlich und m ′ ein Maß auf A. Dann gilt
m ′

108 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN

Kapitel 3
Gesetze der großen Zahlen
12 0-1-Gesetze
Sei stets (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
12.1 Satz (Erweiterung unabhängiger Systeme)
Ist (E i ) i∈I eine Familie unabhängiger Systeme mit E i ⊆ A (i ∈ I), so ist auch (δ(E i )) i∈I
unabhängig. Ist außerdem jedes E i ∩-stabil, so ist (σ(E i )) i∈I unabhängig.
Beweis: Nach Definition der Unabhängigkeit kann Œ I endlich angenommen werden. Für j ∈ I
sei
{
}
D j := E ⊆ A : (E ′ i) i∈I unabhängig für E ′ j := {E}, E ′ i = E i (i ≠ j) .
Beh: D j ist ein Dynkin-System (j ∈ J).
Denn: Sei J ⊆ I, j ∈ J und A i ∈ E i (i ≠ j).
1. Da
ist Ω ∈ D j .
2. Sei E ∈ D j . Wegen
P
[CE ∩ ⋂ ] [ ⋂
A i = P
ist CE ∈ D j .
i∈J\{j}
[
P Ω ∩ ⋂ ] [ ⋂ ]
A i = P A i = ∏ P[A i ] = P[Ω] · ∏ P[A i ],
i∈J
i∈J
i∈J
i∈J
i∈J\{j}
[ ]
= P CE ·
]
A i − P
[E ∩ ⋂
∏
i∈J\{j}
P[A i ]
i∈J\{j}
3. Sei (D n ) n∈N ∈ D N paarweise fremd und D := ⊎ n∈N
D n . Wegen
ist D ∈ D j .
] ∏
A i = (1 − P[E]) · P[A i ]
i∈J\{j}A i
[
P D ∩ ⋂ ] [ ⊎
A i = P D n ∩ ⋂ ]
A i = ∑ [
P D n ∩ ⋂ ]
A i
i∈J
n∈N i∈J n∈N i∈J
= ∑ P[D n ] · ∏ P[A i ] = P[D] ∏ P[A i ]
n∈N
i∈J
i∈J
109

110 KAPITEL 3. GESETZE DER GROSSEN ZAHLEN
Also ist die Familie (E ′ i ) i∈I mit E ′ j := D j und E ′ i = E i (i ≠ j) unabhängig. Wegen E j ⊆ D j
ist δ(E j ) ⊆ D j . Eine Verallgemeinerung des Arguments für die endlich vielen j ∈ I liefert die
Behauptung. Ist E i ∩-stabil (i ∈ I), so folgt die Behauptung aus 7.18.
✷
12.2 Beispiel
Für (A i ) i∈I ∈ A N gilt:
(A i ) i∈I unabhängig ⇐⇒ (σ(A i )) i∈I unabhängig ⇐⇒ (1 Ai ) unabhängig,
da σ(A i ) = {A i , CA i , ∅, Ω} = σ(1 Ai ).
12.3 Beispiel
Um ein Beispiel einer nichttrivialen Folge unabhängiger Zufallsvariable zu geben, betrachten wir
die Rademacher-Funktionen. Diese sind Indikatorfunktionen 1 An für
(Ω, A, P) = ([0; 1), B([0; 1)), 1 [0;1] λ) und
A n :=
[
1
) [ 2
0;
2 n ∪
2 n ; 3
) [ 2 n − 2
2 n ∪ . . . ∪
2 n ; 2n − 1
)
2 n
(n ∈ N).
1
0
2
A 1
1
0
A 4
2
2
4
3
4
A 3
0
1
8
2
8
3
8
4
8
5
8
6
8
7
8
.
Es gilt: P[A n ] = 1 2 (n ∈ N) und [ ⋂
P
j∈J
A j
]
= 1
2 |J| ,
d.h. die Mengen (A n ) n∈N bzw. die Rademacherfunktionen sind unabhängig.
12.4 Korollar (Zusammenfassung unabhängiger Systeme)
Sei (E i ) i∈I eine unabhängige Familie ∩-stabiler Ereignissysteme mit E i ⊆ A (i ∈ I) und (I j ) j∈J
eine Partition von I. Dann ist auch die Familie
(σ ( ⋃ ) ) (
E i = σ ( ) )
E i : i ∈ I j
j∈J
j∈J
i∈I j
unabhängig.
Beweis: Für j ∈ J sei
{ ⋂
E ′ j :=
k∈K
}
E k , K ⊂⊂ I , E k ∈ E k (k ∈ K) .
Damit ist E ′ j ∩-stabil und (E′ j ) j∈J unabhängig, da (E i ) i∈I unabhängig ist. Wegen der ∩-Stabilität
ist daher auch (σ(E ′ j )) j∈J = (σ(E i : i ∈ I j )) j∈J unabhängig.
✷

12. 0-1-GESETZE 111
12.5 Hauptsatz
Seien J ein Indexmenge und (Ω ′ j , A′ ) Messräume (j ∈ J). Ist
• (X i ) i∈I mit X i : Ω → Ω i und A − A i -messbar eine unbhängige Familie von Zufallsvariablen,
• (I j ) j∈J eine Zerlegung von I und
• (Y j ) j∈J mit Y j : Ω Ij → Ω ′ j und A Ij − A ′ j-messbar (j ∈ I j ),
so ist
(Y j ◦ ⊗ )
X i unabhängig.
i∈I j
j∈J
Gilt I j = {j} so folgt, dass (Y j ◦ X j ) j∈J unabhängig ist.
Beweis: Sei Z j := ⊗ i∈I j
X i . Dann ist
(
σ(Z j ) = σ(X i : i ∈ I j ) 9.1 ⋃ )
= σ σ(X i ) ,
i∈I j
Nach 12.4 ist σ(Z j )) j∈J ein unabhängiges System. Damit ist
σ(Y j ◦ Z j ) = Z −1
j
(Y −1
j
(A ′ j)) ⊆ Z −1
j (A Ij ) = σ(Z j ),
also sind die (Y j ◦ Z j ) j∈J unabhängig.
✷
12.6 Definition
Sei (A n ) n∈N eine Folge von Unter-σ-Algebren von A, also z.B. A n = σ(X n ) für Zufallsvariablen
X n und
( ⋃ )
T n := σ A i
die von (A i ) i≥n erzeugte σ-Algebra. Dann heißt
T ∞ :=
die σ-Algebra der terminalen Ereignisse der Folge (A n ) n∈N bzw. (X n ) n∈N .
i≥n
∞⋂
n=1
12.7 Hauptsatz (0-1-Gesetz von Kolmogoroff)
Sei (A n ) n∈N eine unabhängige Folge von σ-Algebren. Dann gilt
T n
P[A] = 0 oder P[A] = 1 (A ∈ T ∞ ).
Beweis: Sei A ∈ T ∞ und
D A := { D ∈ A : P[A ∩ D] = P[A] · P[D] } .
Dann ist D A ein Dynkin-System.
Es genügt zu zeigen, dass A ∈ D.
Denn: Dann ist P[A] = P[A] 2 . Daraus folgt die Behauptung.

112 KAPITEL 3. GESETZE DER GROSSEN ZAHLEN
( ⋃
Nach 12.4 ist T n+1 unabhängig von σ
i≤n
E 0 :=
A i
)
=: E n . Da A ∈ T n+1 für jedes n ∈ N, ist
∞⋃
E n ⊆ D A .
n=1
Wegen E n ⊆ E n+1 ist E 0 ∩ -stabil. Damit ist aber nach 7.18
Ferner ist T n ⊆ σ(E 0 ) für n ∈ N. Damit ist
σ(E 0 ) = δ(E 0 ) ⊆ D A .
A ∈ T n ⊆ σ(E 0 ) ⊆ D A .
✷
12.8 Korollar
Für jede unabhängige Folge (A n ) n∈N in A gilt:
P [ ] [ ]
lim sup A n = 0 oder P lim sup A n = 1.
n→∞
n→∞
Beweis: Sei A n := σ(A n ). Dann ist nach 12.4 (A n ) n∈N ein unabhängiges System. Damit ist
T n := ⋃
A i ∈ T n ⊇ T n+k (k ∈ N)
i≥n
und damit
T n ⊇ T n+k ∈ T n
(k ∈ N).
Damit ist aber auch
Es folgt
Also ist lim sup A n ∈ T ∞ .
n→∞
lim sup A n =
n→∞
n=1
12.9 Lemma (Borel-Cantelli)
⋂
T i ∈ T n .
i≥n
∞⋂ ∞⋂
T n = T i ∈ T n
i=n
Für jede Folge (A n ) n∈N ∈ A N und A := lim sup A n gilt:
n→∞
1. Ist ∑ n∈N
P[A n ] < ∞, so ist P[A] = 0.
(n ∈ N).
✷
2. Gibt es eine Teilfolge (A k(n) ) n∈N paarweise unabhängiger Mengen und ist
∑
P[A k(n) ] = ∞,
so ist P[A] = 1.
n∈N

12. 0-1-GESETZE 113
Beweis:
1. Siehe 6.7.
2. Wegen lim sup A k(n) ⊆ A n kann Œ angenommen werden, dass X n := 1 An unabhängig, also
n→∞
n∑
insbesondere paarweise unkorelliert sind. Für S n := gilt nach der Gleichung von
Bienamé 10.16
Definiert man S :=
gilt
Var[S n ] =
n∑
Var[X i ] =
i=1
i=1
X i
n∑
E[Xi 2 ] −(E[X i ]) 2 ≤ E[S n ].
} {{ }
=E[X i]
i=1
∞∑
X n , so ist wegen A = {S = ∞} zu zeigen, dass P[S = ∞] = 1. Es
n=1
E[S] = sup E[S n ] =
n∈N
∞∑
∞∑
E[X n ] = P[A n ] = ∞.
n=1
Mit der Tschebyscheff-Markoff’schen Ungleichung folgt:
n=1
P[|S n − E[S n ]| ≤ ɛ] ≥ 1 − 1 ɛ 2 Var[S n] (ɛ > 0).
Sei Œ E[S n ] > 0 (n ∈ N). Mit 6.1 ist dann lim
n→∞ E[S n] = E[S] = ∞. Es folgt
Sei nun ɛ > 0. Dann ist
P [ S n ≥ 1 2 E[S n] ] ≥ P[|S n − E[S n ]| ≤ 1 2 E[S n]] ≥ 1 − 4Var[S n]
.
E[S n ]E[S n ]
} {{ }
→0 wegen (∗)
P[S ≥ 1 2 E[S n]] ≥ P[S n ≥ E[S n ]] ≥ 1 − ɛ
für schließlich alle n ∈ N. Wegen lim
n→∞ E[S n] = ∞ ist für ɛ > 0
1 − ɛ ≤ lim
n→∞ P[S ≥ 1 2 E(S n)] = P
[ ⋃
n∈N
]
{S ≥ 1 2 E[S n]} = P[S = ∞].
(∗)
Daraus folgt mit ɛ → 0 die Behauptung.
✷
12.10 Korollar (0-1-Gesetz von Borel)
Für eine unabhängige Folge (A n ) n∈N von Ereignissen gilt:
P [ lim sup
n→∞
] [ ]
A n = 0 oder P lim sup A n = 1,
n→∞
je nachdem, ob
∑
n∈N
P[A n ] < ∞ oder ∑ n∈N
P[A n ] = ∞.

114 KAPITEL 3. GESETZE DER GROSSEN ZAHLEN
12.11 Lemma
Ist (X n ) n∈N eine Folge reeller Zufallsvariablen, A n := σ(X n ) und (α n ) n∈N eine reelle Nullfolge.
Dann sind
1. lim inf X n, lim sup X n und
n→∞
2. lim inf α n
n∈N
n∑
i=1
n∈N
X i , lim sup α n
n∈N
∑ n
X i
i=1
messbar bzgl. der σ -Algebra T ∞ der terminalen Ereignisse der Folge X n . Man sagt auch, die
obigen Funktionen sind sogenannte terminale Funktionen.
Beweis: Sei stets T n := σ(X k : k ≥ n) und T ∞ :=
1. Definiere Y n := inf
k≥n X k. Dann ist
∞⋂
T n .
n=1
lim inf X n = sup Y n .
n→∞
Damit ist Y n messbar bzgl. T n , also wegen T n ⊆ T k für n ≥ k auch T k -messbar. Wegen
Y k ≤ Y n für n ≥ k ist lim inf X n = sup Y n für k ∈ N T k -messbar, also T ∞ -messbar.
n→∞
n∈N
n∈N
Ebenso zeigt man die Behauptung für lim sup X n = − lim inf (−X n).
n→∞
n→∞
2. Definiere
Z k n := α n
∑ n
X i
i=k
Dann ist Z k n für n ≥ k T k -messbar. Definiere für n ≥ k
Y n := α n
n
∑
i=1
k−1
∑
X n = α n
(n ≥ k).
i=1
X i
} {{ }
→0 für n→∞
+Z k n.
Da
lim sup
n→∞
Y n = lim sup Zn k (k ∈ N)
n→∞
n≥k
und Zn k T k -messbar ist (k ∈ N), ist lim sup Zn k T ∞ -messbar.
n→∞
n≥k
n∑
Ebenso zeigt man die Behauptung für lim inf α n X i .
n→∞
i=1
✷
12.12 Satz
Für jede unabhängige Folge (X n ) n∈N reeller Zufallsvariablen ist jede terminale Funktion X fast
sicher konstant.
Beweis: Sei α ∈ R. Nach 12.7 ist P[X ≤ α] = 0 oder P[X ≤ α] = 1. Ist P[X ≤ α] = 0 für alle
α ∈ R, folgt X = ∞ fast sicher und aus P[X ≤ α] = 1 für alle α ∈ R, folgt X = −∞ fast sicher.

12. 0-1-GESETZE 115
Also sei Œ a := inf{α ∈ R : F (α) = 1} mit |a| < ∞ für die Verteilungsfunktion F von P X . Dann
gilt
F (b) = 1 (b > a) und F (b) = 0 (b < a).
Weiter ist
und
Damit ist
d.h. X = a fast sicher.
12.13 Korollar
P[X < a] = sup P[X ≤ a − 1 n ] = 0
n∈N
P[X ≤ a] = inf
n∈N P[X ≤ a + 1 n ] = 1.
P[X = a] = P[X ≤ a] − P[X < a] = 1 − 0 = 1,
Sei (X n ) n∈N eine unabhängige Folge reeller Zufallsvariablen und (α n ) eine Nullfolge reeller Zahlen.
Dann existiert
n∑
lim α n X i
n→∞
in R und es gibt ein a ∈ R mit
[
P lim α n
n→∞
Ist insbesondere jedes X n integrierbar, so gilt
[
P
lim
n→∞
1
n
n∑
]
(X i − E[X i ]) = 0
i=1
n∑
i=1
i=1
[
= 0 oder P
]
X i = α = 1.
lim
n→∞
1
n
n∑
]
(X i − E[X i ]) = 0 = 1.
i=1
✷

116 KAPITEL 3. GESETZE DER GROSSEN ZAHLEN
13 Starkes und schwaches Gesetz der großen Zahlen
Sei stets (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
13.1 Definitionen
Eine Familie (X i ) i∈I von Zufallsvariablen heißt identisch verteilt, wenn
VertX i = VertX j
(i, j ∈ I).
Man beachte den Unterschied der beiden Begriffe identisch verteilt und gleichverteilt
Eine Folge (X n ) n∈N reeller, integrierbarer Zufallsvariablen genügt dem starken Gesetz der großen
Zahlen, wenn
[
P
lim
n→∞
d.h. wenn die Folge der Zufallsvariablen ( 1 n
1
n
n∑
]
(X i − E[X i ]) = 0 = 1,
i=1
n∑
(X i −E(X i ))) n∈N P-fast sicher gegen 0 konvergiert.
i=1
Eine Folge (X n ) n∈N reeller, integrierbarer Zufallsvariablen genügt dem schwachen Gesetz der
großen Zahlen, wenn
[ n∑
]
lim P 1
n→∞ n
(X i − E[X i ]) > ɛ = 0 (ɛ > 0),
i=1
d.h. wenn die Folge der Zufallsvariablen ( 1 n
n∑
(X i − E[X i ])) n∈N stochastisch gegen 0 konvergiert.
13.2 Hauptsatz (Kolmogoroff) (nach R. Zweimüller 97/98)
i=1
Jede unabhängige Folge (X n ) n∈N reeller, integrierbarer, identisch-verteilter Zufallsvariablen
n∑
genügt dem starken Gesetz der großen Zahlen, d.h. für S n := X i gilt
P [ 1
lim
n→∞ n S n = E[X 1 ] ] = 1.
i=1
Beweis: Nach Transformationssatz ist
∫
∫
E[X n ] = xP Xn [dx] =
xP X1 [dx] = E[X 1 ],
also E[S n ] = n · E[X 1 ]. Deshalb ist das starke Gesetz der großen Zahl in diesem Fall äquivalent
zur Behauptung.
1. Beh.: Es genügt, den Fall X n ≥ 0 zu betrachten.
Denn: mit
Y : x ↦→ sup(x, 0),
Z : x ↦→ −x
gilt für die Zufallsfariablen X − n
und X + n
X + n = Y ◦ X n , X − n = Y ◦ Z ◦ X n .
Damit sind (X + n ), (X − n ) nach 12.5 unabhängige Zufallsvariablen. Wegen
P X
+
n
= Y (P Xn ), P X
−
n
= (Y ◦ Z)(P Xn )
sind sie identisch verteilt. Hat man also den Satz für X n ≥ 0 gezeigt, so lässt sich die allgemeine
Fassung beweisen, indem man X − n und X + n getrennt betrachtet.

13. STARKES UND SCHWACHES GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN 117
2. Zu zeigen ist
Wir zeigen statt dessen
1
X := lim inf
n→∞ n S 1
n ≥ lim sup
n S n =: X = E[X 1 ] fast sicher.
n→∞
E[X] ≥ E[X 1 ] ≥ E[X].
(∗)
Dann ist nämlich E[X − X] ≤ 0, also E[X − X] = 0 und damit, da X und X terminale
Funktionen, also fast sicher konstant sind,
X f.s.
= E[X 1 ] ≤ E[X] ≤ E[X] ≤ E[X 1 ] f.s.
= X.
Beh: Zum Nachweis von (∗) genügt es,
zu zeigen.
Denn: setzt man für k ∈ N
E[X 1 ] ≥ E[X]
Z k : x ↦→ k − inf(x, k),
Y k n := Z k ◦ X n = k − inf(X n , k),
so ist die Familie (Y k n ) n∈N unabhängig, identisch verteilt und wegen P Y k n
= Z k (P Xn ) =
Z k (P X1 ) integrierbar. Damit erfüllt (Y k n ) n∈N für jedes k ∈ N die Voraussetzungen des Satzes.
Hat man die eingerahmte Behauptung gezeigt, so folgt durch Anwendung auf (Y k n ) n∈N
analog E[Y 1 ] ≥ E[Y k ], also wegen Y k = k − lim inf
n→∞ (inf(X n, k))
E[X] ≥ E[lim inf
n→∞ (inf(X n, k))] = k − E[Y k ] ≥ k − E[Y 1 ] = E[inf(X 1 , k)] ↑ k→∞ E[X 1 ].
3. Sei Œ E[X 1 ] > 0. Im Fall E[X 1 ] = 0 ist X n = 0 fast sicher (n ∈ N) und die Behauptung ist
trivial.
Nun ist zu zeigen: Für 0 < α < E[X] ist
Wie in 12.11 ist für k ∈ N
α ≤ E[X 1 ] = lim
n→∞ E[ 1
n S n]
.
X = lim sup
n→∞
1
n
n∑
X k+i−1 .
Da X ein terminale Funktion ist, ist X = E[X] und damit gilt für k ∈ N
i=1
α < 1 n
n∑
i=1
X k+i−1
(∗∗)
fast sicher für unendlich viele n.
Zu n ∈ N und ω ∈ Ω konstruieren wir L n (ω) ∈ N 0 paarweise fremde Teilintervalle
I j (ω) = {K j (ω), . . . , K j (ω) + N j (ω) − 1} ⊆ {1, . . . , n} (j = 0, . . . , L n (ω)),
so daß im Mittel in I j (ω)
N
1 ∑ j(ω)
X Kj(ω)+i−1 ≥ α.
N j (ω)
i=1

118 KAPITEL 3. GESETZE DER GROSSEN ZAHLEN
Dann ist
1
n S n ≥ 1 n
∑L n
≥ α n
j=1
∑
i∈I 1∪...∪I Ln
X i = 1 n
∑L n
j=1
⎛
∑L n
N j = α − α n
⎝n −
N j
1 ∑
N j · ·
N j
j=1
i=1
X Kj+i−1
} {{ }
≥α
N j
⎞
⎠ .
Konstruiert man die zufälligen Intervalle minimal hinsichtlich Anfangspunkten K j und Mächtigkeiten
N j , so zeigt sich, dass ’im Mittel’ der relative Verlust 1 n
( ∑L n )
n− N j an Indizes für n → ∞
gegen 0 strebt. Damit ist dann lim
n→∞ E[ 1
n S n]
≥ α wie zu zeigen.
4. Zur Konstruktion von L n und den dazugehörigen Intervallen I 1 , . . . , I Ln definieren wir für k ∈ N
die Zufallsvariable M k : Ω → N ∪ {∞} durch
{
M k := inf n ∈ N : 1 n
Gemäß (∗∗) ist M k fast sicher endlich.
n∑
i=1
j=1
}
X k+i−1 ≥ α .
Beh: M k ist messbar (k ∈ N).
Denn: Für γ ∈ R ist {M k ≤ γ} =
[γ]
⋃
{M k = n} und
n=1
{M k = 1} = {X k ≥ α} ∈ A,
n∑
{M k = n} =
{
1
n
i=1
}
X k+i−1 ≥ α ∩
{
1
n−1
n−1
∑
i=1
}
X k+i−1 < α ∈ A (n ≥ 2).
Die M k sind identisch verteilt wegen
Vert
(
1
n
)
n∑
X k+i−1
i=1
10.18
=
n
∗
i=1
Vert(
1
n X k+i−1
)
= n ∗
i=1
Vert(
1
n X n
)
Setze K 0 = N 0 = 0, also I 0 = ∅ und rekursiv für j ≥ 0 auf Ω
K j+1 := inf{k ∈ N : k ≥ K j + N j , k + M k ≤ n − 1}
Setze L n = inf{j : K j < ∞}. Damit ist 0 ≤ L n ≤ n − 1. Definiere außerdem
Für P-fast alle ω ∈ Ω ist nun
L∑
n(ω)
n −
j=1
N j (ω) =
N j+1 =
{
M Kj+1 , K j+1 < ∞,
∞ K j+1 = ∞.
L
∣
⋃ n(ω)
∣{1, . . . , n} \ I j (ω) ∣ ≤
j=1
n∑
1 {Mk ≥n−k(ω)}
k=1

13. STARKES UND SCHWACHES GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN 119
Damit ist
[
E[ 1 n S n] ≥ α − α · E
≥ α − α n
L n
1
n (n − ∑
j=1
]
N j )
n∑
n−1
∑
P[M k ≥ n − k] = α − α n
P(M i ≥ i) ,
}
i=0
{{ }
→0
k=1
da es für jedes ɛ > 0 ein q ∈ N gibt mit P[M i ≥ i] ≤ ɛ für i ≥ q und es ein m ≥ q gibt mit
≤ ɛ Damit folgt für n ≥ m
q
m
∑
P[M i ≥ i] = 1 n
n−1
1
n
i=0
( q−1
∑
i=0
n−1
∑ )
P[M i ≥ i] + P[M i ≥ i]
i=q
≤ q n + n−q
q ɛ ≤ 2ɛ. ✷
13.3 Bemerkung
Ein Resultat von Etardi ([BW], p.86) zeigt, daß man in 13.2 die Unabhängigkeit zur paarweisen
Unabhängigkeit abschwächen kann.
13.4 Korollar (Borel)
Sei 0 < p < 1. Für jede unabhängige Folge (X n ) n∈N von identisch B(1, p)-verteilten, d.h.
Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen gilt
[
P
lim
n→∞
13.5 Kolmogoroff’sches Kriterium
1
n
n∑
i=1
]
X i = p = 1.
Sei (X n ) n∈N eine unabhängige Folge quadratisch integrierbarer reeller Zufallsvariablen mit
∞∑
n=1
1
n 2 Var[X n] < ∞
Dann gilt für (X n ) n∈N das starke Gesetz der großen Zahlen.
Beweis: später mittels Martingaltheorie (25.15).
13.6 Satz
Sei (X n ) n∈N eine Folge reeller unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen, so daß für eine
reelle Zufallsvariable X
[
n∑ ]
P
X i = X = 1
lim
n→∞
1
n
i=1
gilt. Dann ist jedes (X n ) n∈N integrierbar und X = E[X 1 ] fast sicher. Insbesondere genügt
(X n ) n∈N dem starken Gesetz.

120 KAPITEL 3. GESETZE DER GROSSEN ZAHLEN
Beweis: Definiere
Damit gilt
Y n := 1 n
n∑
X i → X.
i=1
1
n X n := Y n − n−1
n
Y n−1
und da P[ lim
n→∞ Y n = X] = 1 ist P[ 1 n X n = 0] = 1. Damit ist
P[lim sup{|X n | ≥ n}] = P[{ω ∈ Ω : |X n (ω)| ≥ n für unendlich viele n}] = 0.
n→∞
Aus dem 0-1-Gesetz von Borel folgt nun
∞∑
P[{|X n | ≥ n}] < ∞.
n=1
Sei Q := P |Xn| = (|.| ◦ X n )(P) mit |.| : x ↦→ |x| die identische Verteilung der |X n |. Nun ist
E[|X n |] =
∫ ∞
0
n=0
P[|X 1 | ≥ α]λ[dα] =
∞∑
∞∑
≤ Q([n; ∞)) =
n=0
P |Xn|
Also sind alle X n integrierbar und mit 13.2 folgt
[
P
lim
n→∞
1
n
n∑
i=1
∞∑
∫
n=1
[n;n+1)
P |X1|[
[α; ∞)
]
λ[dα]
[ ] ∑
∞
[n; ∞) = P[|X n | ≥ n] < ∞.
n=0
]
X i = E[X 1 ] = 1.
Damit ist P [ X = E[X 1 ] ] = 1.
✷
13.7 Bemerkung
Aus der Gültigkeit des starken Gesetzes folgt die des schwachen Gesetzes, aber nicht umgekehrt.
Letzteres gilt unter sehr schwachen Voraussetzungen.
13.8 Satz (Klintchine)
Jede Folge (X n ) n∈N paarweiser unkorrellierter, quadratisch integrierbarer reeller Zufallsvariablen
mit
1
lim
n→∞ n 2
n ∑
i=1
genügt dem schwachen Gesetz der großen Zahlen.
Beweis: Wegen
Var[X i ] = 0
Var[αX n + β] = α 2 Var[X n ]
(α, β ∈ R),
der Tschebyscheff-Markoff’schen Ungleichung 6.14 und der Gleichung von Bienamé folgt für ɛ > 0
P[∣ ∣∣ 1
n
n∑
] X i − E[X i ] ∣ ≥ ɛ ≤ 1 [
ɛ 2 Var
i=1
1
n
n∑ ]
X i
i=1
= 1
ɛ 2 n 2
n ∑
i=1
Var[X i ] → 0.
✷

Kapitel 4
Grenzverteilungen
14 Schwache Konvergenz von Verteilungen
Sei stets (E, d) ein metrischer Raum. Seien zunächst häufig verwendete Mengen definiert.
C b (E) = Menge der stetigen, beschränkten Funktionen auf E versehen mit der Supremumsnorm
||.||.
K(E) = Menge der stetigen Funktionen auf E mit kompaktem Träger, versehen mit der
Supremumsnorm ||.||.
M b +(E) = Menge der endlichen Borelmaße auf E.
M 1 +(E) = Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße auf (E, B(E)).
C (0) (R) = {f ∈ C b (R) : f gleichmäßig stetig}
C (0) (R) = {f ∈ C b (R) : f, f (1) , . . . , f (k) ∈ C (0) (R)}
Ziel dieses Paragraphen ist es, einen Konvergenzbegriffes auf M b +(E) zu entwickeln, der die Berechnung
von Grenzwahrscheinlichkeiten’ erlaubt z.B. im Satz von deMoivre-Laplace, der aus der
elementaren Stochastik bekannt ist:
Sei dazu (X n ) n∈N eine Bernoulli’sche Beobachtungsfolge mit Erfolgswahrscheinlichkeit 0 < p < 1.
Dann gilt für [a; b] ⊆ R
Vert nP
lim
n→∞
für einen geeigneten Limesbegriff.
14.1 Definition
[ ] [ ]
X i −p
[a; b] = N0,1 [a; b]
i=1 √ np(1−p)
1. Eine Folge (µ n ) n∈N ∈ (M b +(E)) N heißt schwach konvergent gegen ein µ ∈ M b +(E), wenn
∫ ∫
lim fdµ n = fdµ (f ∈ C b (E)).
n→∞
Dafür schreibt man
µ n
schwach
−−−−−→ µ.
2. Eine Folge (X n ) n∈N von E-wertigen Zufallsvariablen konvergiert in Verteilung gegen eine E-
wertige Zufallsvariable X, wenn
Vert Xn
schwach
−−−−−→ Vert X ,
d.h.
lim E[f ◦ X n] = E[f ◦ X]
n→∞
(f ∈ C b (E)).
121

122 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
3. Eine Folge (µ n ) n∈N ∈ (M b +(E)) N heißt vage konvergent gegen ein µ ∈ M b +(E), wenn
∫ ∫
lim fdµ n = fdµ (f ∈ K(E)).
n→∞
Dafür schreibt man
µ n
vage
−−→ µ.
4. Der metrische Raum E heißt lokal kompakt und im Unendlichen abzählbar, wenn es eine Folge
(K n ) n∈N kompakter Mengen gibt mit K n ↑ E.
14.2 Bemerkung
1. Beh: Der schwache Limes ist eindeutig bestimmt, d.h. für eine Folge (µ n ) n∈N ∈ (M b +(E)) N
und µ, ν ∈ M b +(E) mit µ n
Denn: Es gilt
schwach
−−−−−→ µ und µ n
∫ ∫
fdµ =
fdν
schwach
−−−−−→ ν ist µ = ν.
(f ∈ C b (E)).
Es genügt zu zeigen, dass µ[A] = ν[A] für alle A ∈ F(E) gilt, denn F(E) ist ein ∩-stabiler
Erzeuger von B(E) mit E ∈ F(E) und µ[E] = ν[E] < ∞.
Zunächst gibt es zu jedem A ∈ B(E) eine Menge U ∈ G(E) mit A ⊂ U ⊆ E. Zu diesen
beiden Mengen gibt es eine stetige Urysohn-Funktion f mit 0 ≤ f ≤ 1 und f| A = 1, f| CU = 0,
z.B.
d(x, CU)
f : x ↦→
d(x, A) + d(x, CU)
Es ist nämlich x ↦→ d(x, A) stetig, und d(x, A) = 0 genau dann, wenn x ∈ A.
Setze nun
U n := {x ∈ E : d(x, A) < 1 n }.
∞⋃
Damit ist U n ∈ G(E) (n ∈ N) mit A ⊆ U n und A = U n . Sei f n die obige Urysohn-
n=1
Funktion zu A und U n , also f n ↓ 1 A . Damit ist
∫
∫
∫
µ[A] = inf f ndµ 6.3
= inf f n dµ = inf
n∈N n∈N
n∈N
f n dν = ν[A].
2. Beh: Der schwache Limes von Wahrscheinlichkeitsmaßen ist wieder ein Wahrscheinlichkeitsmaß,
d.h. für eine Folge (µ n ) n∈N ∈ (M 1 +(E)) N , µ, ∈ M b +(E) mit µ n
schwach
−−−−−→ µ ist
µ ∈ M 1 +(E).
Denn: Es ist 1 ∈ C b (E). Damit ist
∫
∫
µ[E] = 1dµ = lim
n→∞
1dµ n = lim n[E] = 1.
n→∞
14.3 Beispiel
1. Sei (x n ) n∈N ∈ E N mit x 0 = lim x n ∈ E
n→∞
schwach
Beh: ɛ xn −−−−−→ ɛ x0 .
Denn: Für f ∈ C b (E) gilt
∫
fdɛ xn
lim
n→∞
∫
= lim f(x n) = f(x 0 ) =
n→∞
fdɛ x0 .

14. SCHWACHE KONVERGENZ VON VERTEILUNGEN 123
2. Sei (µ n ) n∈N ∈ (M b +(E)) N eine schwach gegen µ ∈ M b + konvergente Folge und A ∈ B(E). Dann
ist nicht notwendigerweise
lim
n→∞ µ n[A] = µ[A].
Beispielsweise sei im vorangegangenen Beispiel A = {x 0 }. Dann ist
lim ɛ x n
[A] = 0 ≠ 1 = ɛ x0 [A].
n→∞
3. Sei E = R und (x n ) n∈N ∈ R N eine Folge mit x n → x. Dann ist
(ɛ xn ) vage
−−→ 0,
denn für f ∈ K(R) ist x n ∉ Trf für schließlich alle n ∈ N und damit
∫
fdɛ xn = f(x n ) = 0
für schließlich alle n ∈ N. Allerdings konvergiert (ɛ xn ) nicht schwach, da 0 ∉ M 1 +(R).
14.4 Satz
Sei (µ n ) n∈N ∈ (M b +(E)) N und µ ∈ M b +(E). Ist E lokal kompakt und im Unendlichen abzählbar,
so sind äquivalent
1. µ n
schwach
−−−−−→ µ,
2. µ n
vage
−−→ µ ∧ µ n [E] −→ µ[E].
Beweis:
“1. ⇒ 2.”: trivial.
“2. ⇒ 1.”: Da E lokal kompakt und im Unendlichen abzählbar ist, gibt es eine Folge (g n ) n∈N ∈
(K(E)) N mit 0 ≤ g n ≤ 1 und g n ↑ 1. Wegen der Voraussetzung und majorisierter Konvergenz
gibt es zu ɛ > 0 ein g ∈ K(E) mit 0 ≤ g ≤ 1 und
∫
µ n [E] ≤ µ[E] + ɛ ≤ gdµ + 2ɛ
für schließlich alle n ∈ N. Sei nun f ∈ C b (E). Dann ist fg ∈ K(E) und es gilt
∫ ∫ ∣ ∣ ∫ ∫
∫ ∫ ∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣
∣ fdµ − fdµ n ≤ fdµ − fgdµ ∣ + ∣ fgdµ − fgdµ n
∫
+ ∣
∫
fgdµ n −
fdµ n
∣ ∣∣
≤ ||f||
∫
1 − gdµ
} {{ }
=µ[E]− R gdµ≤ɛ
∫
+ɛ + ||f||
für schließlich alle n ∈ N. Damit folgt die Behauptung für ɛ → 0.
1 − gdµ n ≤ 3||f||ɛ + ɛ
} {{ }
≤2ɛ
✷

124 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
14.5 Satz
Sei (X n ) n∈N eine Folge reeller Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum.
1. Konvergiert (X n ) n∈N stochastisch gegen eine Zufallsvariable X, dann auch in Verteilung.
2. Konvergiert die Folge X n in Verteilung gegen eine fast sicher konstante Zufallsvariable X,
dann auch stochastisch.
Beweis:
1. Sei P − lim X vage
n = X Nach 14.4 ist nur zu zeigen, dass P Xn −→ P X .
n→∞
Sei dazu f ∈ K(R). Dann ist f gleichmäßig stetig. Sei also ɛ > 0. Dann gibt es ein δ > 0 mit
|f(x) − f(y)| ≤ ɛ
(x, y ∈ R, |x − y| ≤ δ).
Für n ∈ N sei
A n := {|X n − X| > δ} ∈ A.
Dann ist lim P[A n] = 0.
n→∞
Beh: lim E[f ◦ X n] = E[f ◦ X].
n→∞
Es gilt
∫
∫
|E[f ◦ X n ] − E[f ◦ X]| = ∣ f ◦ X n dP − f ◦ XdP∣
∫
∫
∫
∫
≤ ∣ f ◦ X n dP − f ◦ XdP∣ + ∣ f ◦ X n dP − f ◦ XdP∣
A n A n CA n CA
∫
∫
n
≤ |f ◦ X n − f ◦ X|dP + |f ◦ X n − f ◦ X|dP
A n CA n
≤ 2||f||P[A n ] + ɛP[CA n ] ≤ ɛ
für schließlich alle n. Mit ɛ → 0 folgt die Behauptung.
2. Sei X = a fast sicher für ein a ∈ R und
P Xn
schwach
−−−−−→ P X = ɛ a .
Sei ɛ > 0 und I := (a − ɛ; a + ɛ). Dann gibt es Funktionen f, g ∈ K(R) mit 0 ≤ f ≤ 1 I ≤ g und
f(a) = g(a) = 1. Damit ist für n ∈ N
Es folgt
Damit ist
f ◦ X n ≤ 1 I ◦ X n ≤ g ◦ X n .
∫
∫
∫
1 = f(a) = f ◦ XdP = lim f ◦ X n dP ≤ lim 1 I ◦ X n dP
n→∞
n→∞
∫
∫
≤ lim g ◦ X n dP = g ◦ XdP = g(a) = 1
n→∞
d.h. lim
n→∞ P[{X n ∈ I}] = 1 und
∫
lim
n→∞
1 I ◦ X n dP = 1,
lim P[|X n − X| ≥ ɛ] = lim P[|X n − a| ≥ ɛ] = lim P[X n /∈ I] = 1 − lim P[X n ∈ I] = 0.
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
Also ist P − lim
n→∞ X n = a = X fast sicher.
✷

14. SCHWACHE KONVERGENZ VON VERTEILUNGEN 125
14.6 Beispiel
Die Rademacher-Funktionen X n aus 12.3 konvergieren in Verteilung, weil
Vert Xn = B(1, 1 2 ) P[X n = 1] = 1 ) (n ∈ N),
2
aber nicht stochastisch, denn für 0 < ɛ < 1 gilt
P[|X n − X m | > ɛ] = 2 · 1
4 = 1 2
14.7 Satz
Sei (P n ) n∈N ∈ (M 1 (R)) N eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen und P 0 ∈ M 1 (R). Mit
S(F 0 ) := {x ∈ R : F 0 stetig in x}
gelte für die Folge der Verteilungsfunktionen (F n ) n∈N von (P n ) n∈N und F 0 von P 0
F n (x) → F 0 (x) (x ∈ S(F 0 )).
Dann gibt es einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und eine Folge (X n ) n∈N0 reeller Zufallsvariablen
mit P Xn = P n (n ∈ N 0 ) derart, daß X n → X 0 fast sicher, also insbesondere stochastisch.
Beweis: Definiere Ω := (0; 1), A = B(R) und P := λ1 Ω als die Gleichverteilung auf Ω. Sei X n
die inverse Verteilungsfunktion von P n (n ∈ N), definiert durch
X n := F − n :
{
Ω
ω
→ R
↦→ inf{y ∈ R : F n (y) ≥ ω}.
Damit gilt
X n (ω) ≤ y ⇐⇒ ω ≤ F n (y) (y ∈ R, ω ∈ Ω, n ≥ 0),
also
P Xn [(−∞; y]] = P[X n ≤ y] = λ1 Ω [(−∞; F n (y)]] = F n (y)
Damit ist nach 7.27 P Xn = P n (n ≥ 0). Die Menge CS(F 0 ) der Unstetigkeitsstellen der isotonen
Funktion F 0 ist höchstens abzählbar, also eine λ1 Ω -Nullmenge. Es genügt also zu zeigen, daß
lim X n(ω) = X 0 (ω) (ω ∈ S(F 0 )).
n→∞
Sei dazu ω ∈ S(F 0 ), ɛ > 0 und y 1 < X 0 (ω) < y 2 mit y 1 , y 2 ∈ S(F 0 ) und y 2 −y 1 ≤ ɛ. Nach Definition
ist dann F 0 (y 1 ) < ω < F 0 (ω 2 ). Also gilt für schließlich alle n ∈ N : F n (y 2 ) < ω < F n (y 2 ), d.h.
y 1 < X n (ω) ≤ y 2 und damit
|X n (ω) − X 0 (ω)| ≤ y 2 − y 1 ≤ ɛ
für schließlich alle n. Mit ɛ → 0 folgt die Behauptung.
✷

126 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
14.8 Hauptsatz
Für jede Folge (P n ) n∈N0 von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf R mit Verteilungsfunktion F n und
jedes k ∈ N 0 sind äquivalent:
schwach
1. P n −−−−−→= P 0 ,
∫ ∫
2. lim fdP n =
n→∞
fdP 0
(f ∈ C (k) (R)),
3. lim
n→∞ F n(y) = F 0 (y) (y ∈ S(F 0 )).
Dabei ist S(F 0 ) wie in 14.7 die Menge der Stetigkeitsstellen von F 0 .
Beweis:
“1. ⇒ 2.”: Das ist klar, da C (k) (R) ⊆ C b (R).
“2. ⇒ 3.”: Sei y ∈ S(F 0 ) Dann gibt es für ɛ > 0 ein δ > 0, so dass für x ∈ R mit |x − y| < δ wegen
der Stetigkeit |F 0 (x) − F 0 (y)| ≤ ɛ gilt.
Es gibt Funktionen g, h ∈ C (k) (R) mit
1 (−∞;y−δ) ≤ g ≤ 1 (−∞;y] ≤ h ≤ 1 (−∞;y+δ) .
Damit ist
∫
∫
F 0 (y) − ɛ ≤ F 0 (y − δ) ≤ gdP 0 = lim inf
n→∞
∫ ∫
gdP n ≤ lim inf n(y) ≤ lim sup F n (y)
n→∞ n→∞
≤ lim sup
n→∞
hdP n = hdP 0 ≤ F 0 (y + δ) ≤ F 0 (y) + ɛ.
Damit folgt 3. aus ɛ → 0.
“3. ⇒ 1.”: Wegen 14.7 gibt es einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und reelle Zufallsvariable
(X n ) n∈N und X 0 mit X n → X 0 fast sicher mit P Xn = P n (n ∈ N 0 ). Da X n fast
sicher gegen X 0 konvergiert, ist die Konvergenz auch stochastisch und mit 14.5 auch in
schwach
Verteilung, d.h. P n −−−−−→ P 0 .
14.9 Satz (Skorohod)
Sei (P n ) n∈N0 ∈ (M 1 (R)) N0 schwach
. Gilt P n −−−−−→ P 0 , dann gibt es einen Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P) und eine Folge (X n ) n∈N0 reeller Zufallsvariablen mit
P Xn = P n (n ∈ N 0 )
derart, daß X n → X 0 fast sicher, also insbesondere stochastisch.
✷
Beweis: Folgt aus 14.7 und 14.8.
✷
14.10 Korollar
Sei (P n ) n∈N0 ∈ (M 1 (R)) N0 Gilt P n
schwach
−−−−−→ P 0 , und ist die Verteilungsfunktion F 0 von P 0 überall
stetig, so konvergieren die Verteilungsfunktionen F n von P n gleichmäßig gegen F 0 .

14. SCHWACHE KONVERGENZ VON VERTEILUNGEN 127
Beweis: Es gibt a, b ∈ R mit F 0 (a) ≤ ɛ und F 0 (b) ≥ 1 − ɛ. Auf [a; b] ist F 0 gleichmäßig stetig.
Damit gibt es a = x 0 < x 1 < . . . < x k = b mit
Gemäß 14.8 gilt für schließlich alle n
|F 0 (x i ) − F 0 (x i−1 )| ≤ ɛ (i = 1, . . . , k).
|F n (x i ) − F 0 (x i )| ≤ ɛ (i = 0, . . . , k).
Es genügt zu zeigen
Ist x < x 0 , so ist
und damit
|F n (x) − F 0 (x)| ≤ 5ɛ (x ∈ R).
0 ≤ F n (x) ≤ F n (a) ≤ |F n (a) − F 0 (a)| + F 0 (a) ≤ 2ɛ
|F n (x) − F 0 (x)| ≤ F n (x) + F 0 (x) ≤ 3ɛ.
Ist x > x k , so ist analog
und damit
1 − 2ɛ ≤ F n (x) ≤ 1
|F n (x) − F 0 (x)| ≤ |1 − F n (x)| + |1 − F 0 (x)| ≤ 3ɛ.
Ist x ∈ [x i−1 ; x i ] für ein i = 1, . . . , k,, so ist
F n (x i−1 ) ≤ F n (x) ≤ F n (x i ) ≤ F 0 (x i ) + ɛ ≤ F 0 (x i−1 ) + 2ɛ ≤ f n (x i−1 ) + 3ɛ
und damit
|F n (x) − F 0 (x)| ≤ |F n (x) − F n (x i−1 )| + |F n (x i−1 ) − F 0 (x i−1 )| + |F 0 (x i−1 ) − F 0 (x)| ≤ 5ɛ.
✷
14.11 Definition
Sei µ ∈ M b +(E).
1. Eine reelle beschränkte Funktion f heißt µ-fast überall stetig, wenn es eine Menge N ∈ A gibt
mit
µ[e ∈ E \ N : f| CN stetig in e] = µ[E].
2. Eine Menge A ∈ A heißt µ-randlos, wenn 1 A µ-fast überall stetig ist.
14.12 Bemerkung
1. Sei f : E ↦→ R beschränkt Definiere dann
f := sup{g ∈ C b (E) : g ≤ f}
f := inf{h ∈ C b (E) : h ≥ f}
Stets ist f nach unten halbstetig und f nach oben halbstetig mit f ≤ f ≤ f. Nun ist f in
x ∈ E genau dann nach unten halbstetig, wenn f(x) = f(x) und nach oben halbstetig, wenn
f(x) = f(x).

128 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
2. Sei A ∈ B(E) und α ∈ E. Definiere den Rand von A als
Dann gilt
∂A := A \ ◦ A.
1 A stetig in α ⇐⇒ α ∈ A ◦ ∪ CA,
1 A unstetig in α ⇐⇒ α /∈ A ◦ ∪ CA ⇐⇒ α ∈ A \ A ◦ = ∂A
A ist µ-randlos ⇐⇒ µ[∂A] = 0.
14.13 Lemma
Sei µ ∈ M b +(E) und f : E → R beschränkt mit f(E) ⊆ [0; k) für ein k ∈ N. Dann gilt für α ∈ [0; 1]
k∑
∫
k∑
αµ[f ≥ α] + µ[f ≥ α + i − 1] ≤ fdµ ≤ µ[E] + µ[f ≥ α + i − 1].
i=2
i=1
Beweis:
Ebenso ist
∫
∫
fdµ =
=
fdµ =
k∑
∫
k∑
fdµ ≤ (α + i)µ [ ]
α + i − 1 ≤ f < α + i
} {{ }
i=0
={f≥α+i−1}\{f≥α+i}
k∑ (
)
(α + i) µ[f ≥ α + i − 1] − µ[f ≥ α + i]
i=0
{α+i−1≤f

14. SCHWACHE KONVERGENZ VON VERTEILUNGEN 129
14.14 Hauptsatz (Portmanteau-Theorem)
Für jede Folge (µ n ) n∈N ∈ (M b +(E)) N und jedes Maß µ ∈ M b +(E) sind äquivalent
1. µ n
schwach
−−−−−→ µ,
2. lim µ n[E] = µ[E] und lim sup µ n [F ] ≤ µ[F ] (F ∈ F(E)),
n→∞
n→∞
3. lim n[E] = µ[E] und lim inf n[G] ≥ µ[G]
n→∞ n→∞
(G ∈ G(E)),
∫ ∫
4. lim sup fdµ n ≤ fdµ (f nach oben halbstetig, beschränkt),
n→∞
∫
5. lim inf
∫
fdµ n ≥ fdµ (f nach unten halbstetig, beschränkt),
∫
6. lim
n→∞
∫
fdµ n = fdµ
(f ∈ L 0 (E, B(E)) µ-fast überall stetig, beschränkt),
7. lim
n→∞ µ n[A] = µ[A]
(A ∈ B(E) µ-randlos).
Beweis:
“1. ⇒ 2.”: Klar ist
∫
lim µ n[E] = lim
n→∞ n→∞
∫
1dµ n = 1dµ = µ[E].
Sei F abgeschlossen. Wie in 14.2.1 gibt es eine Folge von (U n ) n∈N ∈ G(E) N mit U n ↓ F .
Zu ɛ > 0 gibt es damit ein U ∈ G(E) mit F ⊆ U und µ[U] ≤ µ[F ] + ɛ. Außerdem gibt
es ein f ∈ C b (E) mit 1 F ≤ f ≤ 1 U . Daraus folgt
∫ ∫
lim sup
n→∞
µ n [F ] ≤ lim sup
n→∞
Mit ɛ → 0 folgt die Behauptung.
fdµ n =
fdµ ≤ µ[U] ≤ µ[F ] + ɛ.
“2. ⇔ 3.”: Klar, da es für jede offene Menge F eine abgeschlossene Menge G gibt mit G = CF
und umgekehrt.
“2. ⇒ 4.”: Œ sei f ≥ −1 und sogar f ≥ 0. Es gilt nämlich, falls f ≥ −1
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
fdµ = f + 1 dµ −
} {{ }
≥0
1dµ → f + 1dµ − 1dµ =
fdµ.
Daher sei Œ f(E) ⊆ [0; 1). Sei k ∈ N. Die Anwendung des Lemmas 14.13 auf kf, µ n und
α = 1 liefert
∫
lim sup
n→∞
(
kfdµ n ≤ lim sup µ n [E] +
n∈N
≤ lim sup µ n [E] +
n→∞
≤ µ[E] +
k∑
i=1
k∑
n=1
k∑
i=1
)
µ n [kf ≥ i]
lim sup µ n [kf ≥ i]
n→∞ } {{ }
∈F(E)
∫
µ[kf ≥ i] 14.13
≤ µ[E] +
kfdµ

130 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
Damit gilt
∫
lim sup
n→∞
und die Behauptung folgt mit k → ∞.
fdµ n ≤ 1 k µ[E] + ∫
fdµ
“4. ⇔ 5.”: Ist trivial, da f genau dann nach oben halbstetig ist, wenn −f nach unten halbstetig
ist.
“5. ⇒ 6.”: Da f µ-fast überall stetig ist, ist f = f = f µ-fast überall. Daraus folgt
∫ ∫
fdµ = fdµ
und damit
∫
∫
fdµ ≤ 5.
lim inf
n→∞
∫
fdµ n ≤ lim inf
n→∞
∫
fdµ n ≤ lim sup
n→∞
∫
4.
fdµ n ≤
∫
fdµ =
fdµ.
“6. ⇒ 7.”: Ist trivial, da 1 A µ-fast überall stetig ist.
“7. ⇒ 1.”: Es genügt zu zeigen
∫
lim sup
n→∞
∫
fdµ n ≤
fdµ
(f ∈ C b (E).
Denn dann erhält man
∫ ∫
lim sup fdµ n ≤
n→∞
= lim inf
n→∞
∫
fdµ = −
∫
∫
(−f)dµ ≤ − lim sup
n→∞
∫
fdµ n
fdµ n ≤ lim sup
n→∞
(−f)dµ n
Sei wieder Œ f ∈ C b (E) mit f(E) ⊆ [0; 1). Definiere für j, kn ∈ N
T j k := { t ∈ R + : µ[kf = t] ≥ 1 j
}
,
T k := { t ∈ R + : µ[kf = t] > 0 } = ⋃ j∈N
T j k
Dann ist
∑
µ[kf = t] ≤ µ[E] < ∞.
t∈T j k
Mit T k ist auch T := ⋃ k∈N
T k abzählbar und damit auch S :=
es ein α ∈ [0; 1) \ S.
Für t ∈ R + \ T und k ∈ N gilt dann, weil f stetig ist
∞⋃
(−i + T ). Deshalb gibt
i=0
µ [ ∂{kf ≥ t} ] ≤ µ [ ]
{kf ≥ t} \ {kf > t} = µ[kf = t] = 0,
da {kf > t} offen ist, {kf > t} ⊆ {kf ≥ t} und wegen der Definition von T . Damit ist
{kf ≥ t} µ-randlos und es gilt
lim µ n[kf ≥ t] = µ[kf ≥ t].
n→∞

14. SCHWACHE KONVERGENZ VON VERTEILUNGEN 131
Da α /∈ S ist, ist α + i − 1 /∈ T (i ∈ N) und es gilt
∫
14.13
lim sup kfdµ n ≤ µ n [E] + µ n [kf ≥ α]
n→∞
≤ lim sup µ n [E] +
n→∞
= µ[E] +
k∑
µ n [kf ≥ α − i + 1]
i=1
k∑
µ[kf ≥ α − i + 1]
i=1
∫
≤ µ[E] + µ[kf ≥ α] + kfdµ − αµ[kf ≥ α]
∫
≤ 2µ[E] + kfdµ.
Daraus folgt für k → ∞
∫
lim sup
n→∞
∫
fdµ n ≤
fdµ.
✷
14.15 Bemerkung
Sind µ 1 , µ 2 ∈ M 1 +(R) mit Verteilungsfunktionen F 1 , F 2 , so ist (−∞; x] genau dann µ-randlos,
wenn µ[{x}] = 0 also genau dann, wenn F in x stetig ist. Somit ist die Aussage 1. ⇒ 3. aus 14.8
ein Spezialfall der Aussage 1. ⇒ 3. aus 14.14.

132 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
15 Grenzwertsätze
Stets sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, Y n reelle Zufallsvariable (n ∈ N) und µ ∈ M 1 +(R).
Man sagt, Y n genügt einem Grenzwertsatz mit Grenzverteilung µ, wenn
P Yn
schwach
−−−−−→ µ.
15.1 Beispiel
1. Sei (Ω, A) = (R, B(R), Y n = id R , (n ∈ N). Dann ist wegen P Yn = P (nn ∈ N)
P Yn
schwach
−−−−−→ P.
2. Seien (X n ) n∈N reelle Zufallsvariablen auf (Ω, A, P) und
Dann gilt wegen 14.5
Y n := 1 n
n∑
(X i − E[X i ]).
i=1
(X n ) n∈N genügt dem schwachen Gesetz ⇐⇒ P Yn
schwach
−−−−−→ ɛ a .
3. Aus der elementaren Stochastik kennt man den Poisson’schen Grenzwertsatz:
Sei (p n ) n∈N ∈ (0; 1) N mit
(n ∈ N). dann gilt
lim p n = α ∈ R + und Y n eine B(n, p n )-verteilte Zufallsvariable
n→∞
P Yn
schwach
−−−−−→ π α .
4. Ebenfalls aus der elementaren Stochastik ist der Satz von de Moivre-Laplace bekannt. Dies ist
ein Spezialfall des zentralen Grenzwertsatzes:
Sei 0 < p < 1 und (X n ) n∈N eine Familie unabhängiger, B(1, p)-verteilter Zufallsvariablen.
Definiere
( ∑ n
s n := σ[X 1 + . . . + X n ] = Var[X i ]) 1 2
√
= np(1 − p),
n∑
X i − np
i=1
Y n := √
np(1 − p)
i=1
Dann gilt
P Yn
schwach
−−−−−→ N 0,1 .
5. Allgemein betrachten wir Folgendes: Seien (X n ) n∈N unabhängige, quadratisch integrierbare Zufallsvariablen
und
und
σ n := σ[X n ],
S n := X 1 + . . . + X n ,
σ n := σ[X 1 + . . . + X n ] = σ[S n ],
S ∗ n := S n − E[S n ]
s n

15. GRENZWERTSÄTZE 133
die standardisierte Summenvariable, d.h. E[Sn] ∗ = 0 und Var[S n ] = 1. Sei außerdem Φ die
stetige Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, d.h. N 0,1 [(−∞; b)] = Φ(b). Dann
sagt man, dass für (X n ) n∈N der zentrale Grenzwertsatz gilt, wenn
P Sn
also nach 14.8 und 14.10 genau dann, wenn
P[a < S ∗ n ≤ b] n→∞
−−−→ 1
Dann gilt
[
P α ≤ 1 n
√
2π
∫ b
a
(
exp
n∑
(X i − E[X i ]) ≤ β
i=1
gleichmäßig für α ≤ β ∈ R.
schwach
−−−−−→ N 0,1 ,
)
− x2
2
dxN 0,1 (a; b) = Φ(b) − Φ(a)
] ∫
− √ 1
2π
n
s n
β
n
s n
α
(
exp
)
− x2
2
dx n→∞
−−−→ 0
(a, b ∈ R, a ≤ b).
15.2 Lemma 1
Sei µ ∈ M 1 +(R) und
⎧
⎨C b (R) →
∫
C b (R)
T µ :
⎩f
↦→ f(x + y)µ[dx].
Dann ist T µ ein beschränkter, insbesondere stetiger Operator auf C b (R).
R
Beweis: Für x ∈ R ist
∫
|T µ f(x)| =
∫
f(x + y)µ[dx] ≤
|f(x + y)|µ[dy] ≤ ||f|| ∞ .
Damit ist
||T µ f|| ∞ ≤ ||f|| ∞ ,
d.h. T µ ist eine Kontraktion. Dass T µ auch stetig ist, zeigt
∫
lim |T µ f(x 1 ) − T µ f(x 2 )| ≤ lim |f(x 1 + y) − f(x 2 + y)|µ[dy]
x 1→x 2 x 1→x 2
da f gleichmäßig stetig ist.
≤ lim sup |f(x 1 + y) − f(x 2 + y)| = 0,
x 1→x 2
y∈R
✷
15.3 Lemma 2
Sind µ, ν ∈ M 1 +(R), so gilt
d.h. die Operatoren T µ und T ν kommutieren.
T µ ◦ T ν = T µ∗ν = T ν ◦ T µ ,
Beweis: Sei f ∈ C b (R) und x ∈ R Dann gilt
∫
T µ∗ν f(x) = f(x + y)(µ ∗ ν)[dy]
R
∫ ∫
10.19
= f(x + y 1 + y 2 )µ[dy 1 ]ν[dy 2 ]
R R
∫
= T µ f(x + y 2 )dν[dy 2 ] = T ν (T µ f)(x) = T ν∗µ f(x).
R
Damit ist T ν ◦ T µ = T µ∗ν
10.19
= T µ ◦ T ν . ✷

134 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
15.4 Lemma 3
Sind U 1 , . . . , U n , V 1 , . . . , V n kommutierende Kontraktionsoperatoren auf C b (R), so gilt
n∑
||(U 1 ◦ . . . ◦ U n )f − (V 1 ◦ . . . ◦ V n )f|| ≤ ||U i f − V i f||
i=1
Beweis: Es ist
U 1 ◦ . . . ◦ U n − V 1 ◦ . . . ◦ V n =
n∑
U 1 ◦ . . . ◦ U i−1 ◦ (U i − V i ) ◦ V i+1 ◦ . . . ◦ V n ,
i=1
wobei i = 1 bzw. i = n die Summanden (U 1 − V 1 ) ◦ V 2 ◦ . . . ◦ V n bzw. U 1 ◦ . . . ◦ U n−1 ◦ (U n − V n )
liefert. Somit ist
n∑
||(U 1 ◦ . . . ◦ U n )f − (V 1 ◦ . . . ◦ V n )f|| ≤ ||(U 1 ◦ . . . ◦ U i−1 ◦ V i+1 ◦ . . . ◦ V n ◦ (U i − V i ))f||
15.5 Lemma 4
Seien n, k ∈ N mit k ≥ 2. Es gelte:
≤
i=1
n∑
||U i f − V i f||.
1. E[X i ] = 0, E[|X i | k ] < ∞ (i = 1, . . . , n),
∫
∫
2. y j P Xi [dy] = y j N 0,σ 2
i
[dy] (i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , k − 1)
i=1
Dann gibt es zu ɛ > 0 und f ∈ C (k) (R) ein δ > 0, so dass
∫
∫
sup ∣ f(x + y)P Sn [dy] − f(x + y)N 0,1 [dy] ∣
mit
x∈R
≤ ||f (k) ||
k!s k n
+ 1
k!s k−2 n
n∑
∫
∣
i=1
(
max
1≤i≤n σ2 i
A :=
∫
y k P Xi [dy] −
) k 2 −1( ∫
ɛ
y k N 0,σ 2[dy] ∣ +
ɛ n∑
k!s k E[|X i | k ]
n i=1
∫
)
|y| k N 0,1 [dy] + 2||f (k) || |y| k N 0,1 [dy]
A
+ 2||f (k) ||
k!s k n
{
δ
}
y : |y| ≥ σ
max i
und B := {y : |y| ≥ δs n }.
1≤i≤n
s n
n∑
∫
i=1
B
|y| k P Xi [dy]
✷
Beweis: Setze
U i := T P Xi
, V i := T N
sn
0, σ2 i
s 2 n
Nach 15.3 ist wegen 1. und 10.18
U 1 ◦ . . . ◦ U n = T P X1
sn
(i = 1, . . . , n)
∗ . . . ∗ P Xn
sn
= T PS ∗ n
,
V 1 ◦ . . . ◦ V n = T N
0, σ2 ∗ . . . ∗ N
1
s 2 0, σ2 n
s
n
2 n
= T N0,1

15. GRENZWERTSÄTZE 135
Für f ∈ C (k) (R) gilt nach 15.4
sup
x∈R
∫
∣
∫
f(x + y)P S ∗ n
[dy] −
f(x + y)N 0,1 [dy] ∣ = ||(U 1 ◦ . . . ◦ U n )f − (V 1 ◦ . . . ◦ V n )(f)||
n∑
≤ ||U i f − V i f||.
i=1
Entwicklung von f in seine Taylorreihe ergibt mit der Lagrange’schen Form des Restgliedes
f(x + y) =
k−1
∑
j=0
f (j) (x)
y j + f (k) z(x, y) yk
j!
k!
für ein geeignetes x ≤ z(x, y) ≤ x + y. Für j ≤ k, i ≤ n ist X j i P-integrierbar, da für p = k j ≥ 1
und 1 p + 1 q
= 1 mit der Hölder’schen Ungleichung
N 1 (|X j i |) ≤ N p(|X j i |)N q(1) =
( ∫ |X i | j k j dP) 1 p = E[|Xi | k ] 1 p < ∞
gilt. Mit geeignetem x ≤ z = z(x, y) ≤ x + y
s n
gilt dann
U i f(x) =
=
=
k−1
∑
j=0
k−1
∑
j=0
k−1
∑
j=0
f (j) (x)
j!
f (j) (x)
j!
f (j) (x)
j!
∫
= V i f(x) + 1
k!s k n
= V i f(x) + f (k) (x)
+ 1
k!s k n
− 1
k!s k n
y j P X i [dy] + 1
sn k!
∫
∫ ( y
) jPXi
[dy] + 1 ∫
s n k!
f (k) (z(x, y))y k P X i [dy]
sn
f (k)( z(x, y )( y
) kPXi
)
[dy]
s n s n
∫ ( ( y
) 2
y j N 0,
)[dy] + 1 ∫
f (k)( z(x, y )( y
) kPXi
)
[dy]
s n k!
s n s n
( ∫
f (k)( z(x, y )
∫
) y k P Xi [dy] − f (k)( z(x, y )
)
) y k N
s n s 0,σ 2
i
[dy]
n
( ∫
∫
)
k!s k y k P Xi [dy] − y k N 0,σ 2
i
[dy]
n
∫ (
f (k)( z(x, y ) )
) − f (k) (x) y k P Xi [dy]
s
∫ n
(
f (k)( z(x, y ) )
) − f (k) (x) y k N
s 0,σ 2
i
.
n
Nun gibt es, da f (k) gleichmäßig stetig ist zu ɛ > 0 ein δ > 0, so dass
|x 1 − x 2 | ≤ δ ⇒ |f (k) (x 1 ) − f (k) (x 2 )| ≤ ɛ.

136 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
Wegen |x − z(x, y
s n
)| ≤ | y
s n
| ist
Wegen
|U i f(x) − V i f(x)| ≤ |f (k)| (x)
∫
k!s k ∣
n
+ 1 ∫
k!s k n CB
+ 1
k!s k n
≤ ||f (k) ||
n∑
σ k =
i=1
k!s k n
+ ɛ
k!s k n
∫
B
∫
∣
+ 2||f (k) ||
k!s k n
n∑
i=1
∫
y k P Xi [dy] −
∣
∣f (k) (z(x, y
∣
∣f (k) (z(x, y
(
E[|X i | k ] + σ k i
σ 2 i σ k−2
i
folgt Behauptung durch Summation, da
y k N 0,σ 2
i
[dy] ∣
s n
)) − f (k) (x) ∣ ∣ |y k | ( P Xi [dy] + N 0,σ 2
i
[dy] )
s n
)) − f (k) (x) ∣ |y k | ( P Xi [dy] + N 0,σ 2
i
[dy] )
∫
y k P Xi [dy] − y k N 0,σ 2
i
[dy] ∣
∫
)
|y| k N 0,1 [dy]
( ∫ |y| k P Xi [dy] + σi
k
B
∫
{y:|y|≥ sn
σ i
δ}
≤ s 2 n max
1≤i≤n σk−2 i = s 2 n( max
1≤i≤n σ2 i ) k 2 −1
|y| ≥ s n
δ
δ ⇒ |y| ≥ σ
σ i max i
,
1≤i≤n
s n
)
|y| k N 0,1 [dy]
d.h. B ⊆ A.
Entscheidend für die Gültugkeit des zentralen Grenzwertsatzes ist folgende Bedingung:
✷
15.6 Definition
Sei (X n ) n∈N eine Familie von reellen Zufallsvariablen.
1. Sei für δ > 0
n∑
∫
∣ L n (δ) :=
X i − E[X i ] ∣∣∣
2
∣
dP = 1
i=1{ ∣∣ } s n s 2 n
X i −E[X i ] ∣ ≥δ
sn
Die Familie (X n ) n∈N genügt der Lindeberg-Bedingung, wenn
n∑
lim L n(δ) = 0 (δ > 0).
n→∞
2. Die Familie (X n ) n∈N genügt der Ljapunoff-Bedingung, wenn
1
∃ɛ > 0 : lim
n→∞ s 2+ɛ n
∫
i=1
{y:|y−E[X i]|≥δs n}
n∑
E [ |X i − E[X i ]| 2+ɛ] = 0.
i=1
|y − E[X i ]| 2 P Xi [dy].
3. Ist σ i > 0 für alle i ∈ N, so genügt die Familie (X n ) n∈N der Feller-Bedingung, wenn sie eine der
beiden äquivalenten Bedingungen genügt:
1. lim max σ i
n→∞ 1≤i≤n
s n
= 0,
2. lim
n→∞ s n = ∞ ∧
σ n
lim = 0.
n→∞ s n

15. GRENZWERTSÄTZE 137
Die Aquivalenz der beiden Bedingungen folgt dabei wiefolgt:
s i
“1. ⇒ 2.”: Da σ i > 0 für alle i, muss s n → ∞ gelten, da sonst lim > 0 wäre. Außerdem gilt
n→∞ σ n
σ n
lim ≤ lim
n→∞ s max σ i
n n→∞ 1≤i≤n
s n
= 0.
“2. ⇒ 1.”: Zu ɛ > 0 gibt es ein n 0 ∈ N mit σn
s n
15.7 Beispiele
max
1≤i≤n
≤ ɛ für n ≥ n 0 . Damit gibt es ein n 1 , so dass
σ i
s n
≤ ɛ (n ≥ n 1 ).
1. Beh.: Jede unabhängige Folge (X n ) n∈N identisch verteilter Zufallsgrößen genügt der Lindeberg-
Bedingung.
Denn: sei
α := E[X n ], σ := σ n und damit s 2 n = nσ 2 .
Dann ist s n ↑ ∞ und für δ > 0 gilt {y ∈ R : |y − x| ≥ δs n } ↓ ∅ Wegen
∫
|y − α| 2 P Xi [dy] = σ 2 < ∞
gilt
L n (δ) = 1 σ 2
∫
|y − x| 2 P Xn [dy] → 0
nach 6.3.
{y:|y−E[X i]|≥δs n}
2. Beh.: Genügt die Familie (X n ) n∈N der Ljapunoff-Bedingung, so auch der Lindeberg-Bedingung
Denn: für δ > 0 und ɛ ∈ R und |y − α| ≥ δs n ist |y − α| 2+ɛ ≥ |y − α| 2 (δs n ) ɛ und damit
L n (δ) ≤ 1 n∑
∫
δ ɛ s 2+ɛ
|y − E[X i ]| 2+ɛ P Xi [dy]
n
≤ 1 δ 2 1
s 2+ɛ n
i=1
{y:|y−E[X i]|≥δs n}
n∑
i=1
E [ |X i − E[X i ]| 2+ɛ] n→∞
−−−→ 0.
3. Beh.: Ist (X n ) n∈N gleichmäßig beschränkt mit lim s n = ∞ oder äquivalent dazu
n→∞
∞∑
Var[X n ] = ∞, so genügt (X n ) n∈N der Ljapunoff-Bedingung.
n=1
Denn: es gibt ein α > 0 mit |X n | ≤ α 2 (n ∈ N). Damit ist auch |E[X n]| ≤ α 2 und |X n − E[X n ]| ≤
α (n ∈ N) und damit für ein beliebiges ɛ > 0
1
n∑
s 2+ɛ E [ |X i − E[X i ]| 2+ɛ] n∑
≤
αɛ
n
s 2+ɛ E [ |X i − E[X i ]| 2] ( α
) ɛ
= → 0.
i=1
n
s
i=1
n
} {{ }
s 2 n
✷
✷
4. Beh.: Genügt (X n ) n∈N der Lindeberg-Bedingung, so auch der Feller-Bedingung
Denn: Für δ > 0 und 1 ≤ i ≤ n ist
∫
∫
σi 2 = |y − E[X i ]| 2 P Xi [dy] ≤ (δs n ) 2 +
|y − E[X i ]| 2 P Xi [dy]
n∑
∫
≤ (δs n ) 2 +
i=1 {y:|y−E[X i]|≥δs n}
{y:|y−E[X i]|≥δs n}
|y − E[X i ]| 2 P Xi [dy].

138 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
Damit ist (
) 2
σ
max i
1≤i≤n
s n
= max
1≤i≤n
Nun genügt es, n → ∞ und δ → 0 zu betrachten.
σ 2 i
s 2 n
≤ δ 2 + L n (δ).
✷
5. Beh.: Für 1 ≤ i ≤ n sei
X ni := X i − E[X i ]
s n
.
Falls (X n ) n∈N der Feller-Bedingung genügt, so ist der Einfluss einzelner Summanden in den
standardisierten Summenvariablen Sn ∗ asymptotisch vernachlässigbar, d.h. P − lim X ni = 0
n→∞
gleichmäßig für 1 ≤ i ≤ n, d.h.
lim max P[|X ni| ≥ ɛ] = 0 (ɛ > 0).
n→∞ 1≤i≤n
Denn: es gilt
max
1≤i≤n P[|X ni| ≥ ɛ] ≤ 1 ɛ 2
max
1≤i≤n Var[X ni]
} {{ }
= σ2 i
s 2 n
(
= 1 ɛ max
σ i
) 2
2 1≤i≤n
s n
n→∞
−−−→ 0.
15.8 Hauptsatz (Lindeberg-Feller)
Der zentrale Grenzwertsatz gilt für jede unabhängige Folge (X n ) n∈N mit 0 < σ 2 n = Var[X n ] <
∞, die der Lindeberg-Bedingung genügt, also insbesondere, falls die (X n ) n∈N identisch verteilt
sind.
Beweis: Sei Œ E[X n ] = 0 (n ∈ N). Wir wenden 15.5 mit k = 2 an. 15.5.1 ist erfüllt, 15.5.2 sogar
für k = 3, d.h. für j = 1, 2, denn
∫
∫
yP Xi [dy] = E[X i ] = 0 = yN 0,σ 2
i
[dy],
∫
∫
y 2 P Xi [dy] = Var[X i ] = σi 2 = y 2 N 0,σi [dy]

15. GRENZWERTSÄTZE 139
Somit gibt es für ɛ > 0 und f ∈ C (2) (R) ein δ > 0 mit
∫
∫
sup∣
f(x + y)P S ∗ n
[dy] − f(x + y)N 0,1 [dy] ∣
da
x∈R
≤ 0 +
ɛ
+ 2||f (2) ||
2s 2 n
2s 2 n i=1
n∑
E[Xi 2 ]
} {{ }
=σi
2
} {{ }
=s 2 n
n∑
∫
i=1
∫
= ɛ 2 + ɛ 2 + ||f (2) ||
+ 1 2
{y:|y|≥δs n}
{y:|y|≥
[ ∫
ɛ y 2 N 0,1 [dy]
} {{ }
=1
δ
max
1≤i≤n
y 2 P Xi [dy]
] ∫
+2||f (2) ||
δ
{y:|y|≥ σ
max i }
1≤i≤n s n
y 2 N 0,1 [dy] + ||f (2) ||L n (δ) → ɛ,
σ i }
s n
1 δ y 2 → 0
{y:|y|≥ σ
max i
1≤i≤n s n
und y ↦→ y 2 eine N 0,1 -integrierbare Majorante nach 6.8.
Für x = 0 gilt
∫ ∫ ∣ lim ∣ fP S ∗
∣∣
n
− fdN 0,1 = 0,
und damit
∫
lim
n→∞
n→∞
∫
fdP S ∗ n
=
fdN 0,1
(f ∈ C (2) (R)).
y 2 N 0,1 [dy]
Nach 14.8 ist also P S ∗ n
schwach
−−−−−→ N 0,1 .
✷
15.9 Bemerkung
Man kann zeigen (vgl. [BW], 28.3), dass die Lindeberg-Bedingung äquivalent zu jeder der folgenden
Bedingungen:
1. Zentraler Grenzwertsatz ∧ Feller
2. Zentraler Grenzwertsatz ∧ ( (X ni ) i≤n asymptotisch vernachlässigbar
)n∈N
15.10 Korollar 1 (deMoivre-Laplace)
Für jede unabhängige Folge (X n ) n∈N identisch verteilter, reeller Zufallsvariable mit 0 <
Var[X 1 ] < ∞ gilt der zentrale Grenzwertsatz, insbesondere gilt die Fehlerabschätzung für das
Gesetz der großen Zahlen
∣
∣P
[
1
n
gleichmäßig für ɛ > 0.
n∑
i=1
√
]
|X i − E[X i ]| < ɛ − √ 1 ∫ n ɛ
σ n
2π
√ n
−ɛ
σ n
exp ( ) ∣ ∣∣
− x2 n→∞
2 dx −−−→ 0
15.11 Bemerkung
Die Gültigkeit des zentralen Grenzwertsatzes impliziert i.A. nicht die Gültigkeit des schwachen
Gesetzes, wohl aber in 15.10, da hier der Spezialfall einer identischen Verteilung vorliegt.

140 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
Denn: Sei ɛ > 0. Für δ > 0 gibt es ein n δ ∈ N, so dass
∣
∣P
[
1
n
n∑
i=1
√
]
|X i − E[X i ]| < ɛ − √ 1 ∫ n ɛ
σ n
2π
√ n
−ɛ
σ n
exp ( ) ∣ ∣∣ δ
− x2
2 dx ≤
2
und
für n ≥ n δ . Damit ist
P[∣ ∣∣ 1
n
√
∫ n
1 ɛ
σ n
√
2π
√ n
−ɛ
σ n
exp ( ) δ
− x2
2 dx ≥ 1 −
2
n∑
]
X i − E[X 1 ] ∣ ≥ ɛ ≤ δ (n ≥ n δ ).
Für δ → 0 erhält man das schwache Gesetz der großen Zahlen.
i=1
✷
15.12 Korollar 2
Für jede unabhängige Folge (X n ) n∈N reeller Zufallsvariable mit 0 < Var[X n ] < ∞ (n ∈ N), die
∞∑
der Ljapunoff-Bedingung genügt, z.B. Var[X n ] = ∞ und (X n ) n∈N gleichmäßig beschränkt,
gilt der Zentrale Grenzwertsatz
Beweis: Folgt aus 15.7.3.
15.13 Bemerkung
n=1
Abschließend wollen wir nun die Konvergenzgeschwindigkeit im zentralen Grenzwertsatz für unabhängige,
identisch verteilte Zufallsvariablen (X n ) n∈N mit 0 < Var[X 1 ] < ∞ bestimmen.
Dabei schreiben wir für (a n ) n∈N , (b n ) n∈N ∈ R N mit b n ≠ 0 (n ∈ N)
a n = O(b n ) : ⇐⇒ ∃c > 0 : a n
≤ c (n ∈ N)
b n
a n
a n = o(b n ) : ⇐⇒ lim = 0
n→∞ b n
Damit gilt
a n = o(b n ) ⇒ a n = O(b n ).

15. GRENZWERTSÄTZE 141
15.14 Hauptsatz (Butzer-Hahn-Westphal)
Seien (X n ) n∈N unabhängig und identisch verteilt. Gilt für ein k ≥ 2 und die Momente
1. E[|X 1 | k ] < ∞,
2. E[X j 1 ] = ∫
y j N 0,σ 2 q
[dy] (j = 3, . . . , k)
so ist für f ∈ C (k) (R)
∫
sup ∣
x∈R
∫
f(x + y)P S ∗ n
[dy] −
f(x + y)N 0,1 [dy] ∣ = o(n 1− k 2 )
Gilt 2. nur für j = 3, . . . , k − 1, so ist für f ∈ C (k) (R)
∫
∫
sup ∣ f(x + y)P S ∗ n
[dy] − f(x + y)N 0,1 [dy] ∣ = O(n 1− k 2 )
x∈R
Beweis: Die Voraussetzungen von 15.5 erfüllt, da 15.5.2 wegen der identischen Verteilung der
(X n ) n∈N gilt. Somit gibt es zu f ∈ C (k) (R) und ɛ > 0 ein δ > 0 mit
∫
sup ∣
x∈R
∫
f(x + y)P Sn [dy] −
s 2 n =nσ2 1
≤
f(x + y)N 0,1 [dy] ∣
||f (2) ||
∫
∫
k!n k n∣
y k P X1 [dy] − y k ɛ
N 0,σ 2
2 σ1
k 1
[dy] ∣ +
k!n k nE[|X 1 | k ]+
2 σ1
k
1
( ∫
∫
)
k!n k ɛ |y| k N 0,1 [dy] + 2||f (k) |y| k N
2 −1 {y:|y|≥δ √ 0,1 [dy]
n}
Im ersten Fall verschwindet der erste Summand. Da
+ 2 ||f (2) ||
k!n k n
2 σ1
k
1 {y:|y|≥δsn} → 0 und 1 {y:|y|≥δ
√ n} → 0
und wegen majorisierter Konvergenz aus 6.8 gilt nun
∫
∫
|y| k N 0,1 [dy] → 0 und
{y:|y|≥δs n}
{y:|y|≥δ √ n}
∫
{y:|y|≥δs n}
|y| k N 0,1 [dy] → 0.
|y| k P X1 [dy].
Damit erhält man für ɛ → 0 im ersten Fall o(n 1− k 2 ). Im zweiten Fall verschwindet der erste
Summand eventuell nicht. Deshalb erhält man hier nur O(n 1− k 2 ).
15.15 Korollar
Seien (X n ) n∈N unabhängig und identisch verteilt. Ist
E[|X 1 | 3 ] < ∞,
so gilt für f ∈ C (3) (R) die Fehlerabschätzung
∫
∫
sup ∣ f(x + y)P S ∗ n
[dy] −
x∈R
f(x + y)N 0,1 [dy] ∣ = O ( )
√n 1 .

142 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
15.16 Bemerkung
Man kann z.B. mittels Fouriertransformation zeigen, dass 15.15 auch für f = 1 (−∞;0] gilt. Wegen
folgt dann
−x + y ∈ (−∞; 0] ⇔ y ≤ x ⇔ y ∈ (−∞; x]
ρ n := sup |F n (x) − Φ(x)| = O ( )
√n 1
x∈R
für die Verteilungsfunktion F n von P S ∗ n
und Φ von N 0,1 .
Ein noch allgemeineres Resultat findet man in [GS], p. 171, 165:
Sei (X n ) n∈N eine unabhängige Folge reeller Zufallsvariablen mit 0 < Var[X n ] < ∞ (n ∈ N) Dann
gilt:
1. Es gibt ein ɛ > 0, so dass für alle n ∈ N und δ > 0 mit L n (δ) ≤ δ 3
gilt.
2. Ist E[|X n | 3 ] < ∞, so ist
ρ n ≤ 6
s 3 n
Sind die (X n ) n∈N identisch verteilt, folgt
ρ n ≤ ɛδ
n∑
E [ |X i − E[X i ]| 3] .
i=1
ρ n ≤ 6 √ nσ 3
1
E [ |X 1 − E[X 1 ]| 3] .

16. DER SATZ VOM ITERIERTEN LOGARITHMUS 143
16 Der Satz vom iterierten Logarithmus
Stets sei (X n ) n∈N eine Familie unabhängiger, identisch verteilter, reeller, quadratisch integrierbarer
Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) mit
16.1 Spezialfall
Ist die Verteilung der X n zentriert, d.h.
σ := √ Var[X n ], S n :=
n∑
X n .
i=1
E[X n ] = 0, σ = 1 (n ∈ N),
so gilt wegen des starken Gesetzes der großen Zahlen
1
n S n → 0
fast sicher.
Damit bleibt für fast alle ω und ɛ > 0 der Pfad n ↦→ S n (ω) für schließlich alle n im Sektor, der
durch Geraden ω → ±ɛω begrenzt wird.
. .
S n (ω)
.
n ↦→ ɛn
.
n
.
..
n ↦→ −ɛn
.
Wir suchen nun das Fluktuationsverhalten der Irrfahrt S n .
Der zentrale Grenzwertsatz besagt für eine solche Familie von Zufallsvariablen, dass der Pfad
n ↦→ S n (ω) mit beliebig großer Wahrscheinlichkeit schließlich zwischen ω ↦→ ±ɛ √ n bleibt.
Gesucht ist nun eine Folge (a n ) n∈N mir a n → ∞, so dass
lim sup
n→∞
S n
a n
= α ∈ (0; ∞)
fast sicher.
Dies ist möglich, da in jedem Fall lim sup
nach 12.11 und 12.12.
n→∞
S n
a n
eine terminale Funktion, also fast sicher konstant ist

144 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
Die Folge (a n ) n∈N mit a n = ɛn wächst nach dem starken Gesetz zu schnell für jedes ɛ > 0.
Die Folge (a n ) n∈N mit a n = ɛ √ n wächst nach dem zentralen Grenzwertsatz zu langsam für jedes
ɛ > 0.
Das richtiges Verhalten ist gegeben durch a n = √ 2n log log n, wobei log log n := log(log n). Das
besagt der Satz vom iterierten Logarithmus 16.3.
16.2 Lemma
Für die Verteilungsfunktion Φ von N 0,1 und jedes x > 0 gilt:
(x −1 − x −3 ) exp ( − x2
2
)
≤
√
2π(1 − Φ(x)) ≤ x −1 exp ( − x2
2
)
Beweis: Es gilt
(x −1 − x −3 ) exp ( ∫
) ∞
− x2
2 =
x
d
dy
((y −3 − y −1 ) exp ( − y2
2
≤ √ 2π(1 − Φ(x)) ≤ 1 x
∫ ∞
x
) ) ∫ ∞
( )
dy = 1 −
3
y 3
x } {{ }
≤1
y exp ( − y2
2
exp ( )
− y2
2 dy
)
= x −1 exp ( )
− x2
2 .
✷
16.3 Hauptsatz
Für P-fast alle ω ∈ Ω ist [−σ; σ] die Menge der Häufungswerte der Folge
Insbesondere ist also
( Sn (ω) − E[S n ]
)
√ 2n log log n
n∈N
.
lim inf
n→∞
lim sup
n→∞
S n − E[S n ]
√ 2n log log n
= −σ
S n − E[S n ]
√ 2n log log n
= σ
fast sicher,
fast sicher.
Beweis: Aufgrund eines Invarianzprinzips von Mayer (s. [GS], 10.4.16) genügt es, die Behauptung
für P Xn = N 0,1 zu beweisen. Dann aber genügt der Nachweis:
denn es ist
und damit P[S n > 0] = 1 2 , ebenso
lim sup
n→∞
S n − E[S n ]
√ 2n log log n
= 1,
P −Xn = N 0,1 , P Sn = N 0,1 ∗ . . . ∗ N 0,1 = N 0,n
P Sn+m −S m
= P Xm+1 ∗ . . . ∗ P Xm+n = N 0,n ,
also
P[S m < S n+m ] = P[S m+n − S m > 0] = 1 2
Sei x ∈ R und für n ∈ N, A n := {S n > x}. Definiere dann
(m, n ∈ N).
B 1 := A 1 ,
n−1
⋂
B n := A n ∩ {S k ≤ x}.
k=1

16. DER SATZ VOM ITERIERTEN LOGARITHMUS 145
Dann ist
und damit
B i ∩ B j ⊆ {S i ≤ x} ∩ {S i ≥ x} = ∅ (i < j),
n⊎
B k = { max S k > α} ⊇ A n
1≤k≤n
A n =
k=1
n⊎
B k ∩ A n , also P[A n ] =
k=1
Für k < n ist wegen B k ⊆ A k = {S k > x}
n∑
P[B j ∩ A n ].
j=1
B k ∩ {S n > S k } ⊆ B k ∩ {S n > x} = B k ∩ A n .
Wegen der Unabhängigkeit der Familie (X n ) n∈N folgt
1
2 P[B k] = P[S n > S k ]P[B k ] = P[B k ∩ {S n > S k }] ≤ P[B k ∩ A n ],
[ n
1
2P[ max S k > x] = 1
1≤l≤n
2 P ⊎ ] n∑
n−1
∑
B k = 1 2
P[B k ] ≤ P[B k ∩ A n ] + P[B n ] = P[A n ]
k=1
k=1
k=1
[ ] [
S
= P[S n > x] = P √n n
> √ x
x
n
= 1 − Φ √ n
],
da P Sn √n
= N 0,1 . Somit haben wir
gezeigt. Sei nun
Damit ist Ψ ≥ 0, isoton.
Für α > 0 und n ∈ N definieren wir
(
P[ max S k > x] ≤ 2 1 − Φ ( x ) ) √n (x ∈ R, n ∈ N) (∗)
1≤l≤n
Ψ : x ↦→
Ist α ′ ≤ α, so gilt also A α n ⊆ A α′
n
{
S
}
n
lim sup
n→∞ σ n Ψ(n) > α
Es genügt zu zeigen:
1. P[A α ] = 0 (α > 1)
2. P[A α ] = 1 (α < 1)
{ √2 log log x, x ≥ 3
Ψ(3), x < 3.
A α n := {S n > α √ nΨ(n)}.
(n ∈ N) und es ist
= A α := lim sup
=
{
lim sup
n→∞
n→∞
Dann ist nämlich
[
S
] [
n
P lim sup √ = 1 = P lim sup
n→∞ 2n log log n n→∞
[ ⋂
∞
= P
k=1
A α n ⊆ A α′
n
S n
σ n Ψ(n) > α′} .
A 1−
1
k
S
]
n
σ n Ψ(n) ≥ 1
]
− P
[ ∞ ⋃
k=1
⊆ lim sup A α′
n =: A α′
n→∞
[
− P lim sup
n→∞
]
A 1+
1
k
= 1 − 0 = 1.
S
]
n
σ n Ψ(n) > 1

146 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
1. Sei α > 1 und n j := [α j ] (j ∈ N) Dann ist (n j ) j∈N schließlich streng isoton und nj+1
n j
→ α für
j → ∞, also nj+1
n j
< α 3/2 für schließlich alle j. Damit gilt für schließlich alle j ∈ N, da Ψ isoton
ist
P [
max S n > α √ nΨ(n) ] ≤ P [
max S n > α √ n j Ψ(n j ) ]
n j α √ nΨ(n) ] ≤ c 1 (log α) −√ α
(j − 1) −√α = c 2 (j − 1) −√α .
n j 1 konvergiert die allgemeine harmonische Reihe
dem Borel-Cantelli-Lemma 12.9
[ ⋂
∞ ∞⋃
P[A α ] = P {S n > α √ ] [ ⋂
∞
nΨ(n)} ≤ P
m=1 n=m
2. Sei α < 1. Dann gibt es ein n ∈ N, so dass
α + 2 √ n
<
m=1 n=m
∞∑
(j − 1) −√α . Deshalb folgt mit
j=1
√
n−1
n , also α√ n + 2 < √ n − 1.
∞⋃
{ max S n > α √ ]
nΨ(n)} = 0.
n j 2 √ nΨ(n)} ] = 0.
n→∞
n→∞
P[A α ] = P [ lim sup{S n > α √ nΨ(n)} ] ≥ P [ lim sup{S n k > α √ n k Ψ(n k )} ]
n→∞
k→∞
[ [
≥ P lim sup {Zk + S n k−1 > α √ n k Ψ(n k ) ∩ {S n k−1 ≥ −2 √ n k−1 Ψ(n k−1 )} ]]
k→∞
[ [
≥ P {lim sup Zk − 2 √ n k−1 Ψ(n k−1 ) > α √ n k Ψ(n k )} ∩ {S n k−1 ≥ −2 √ n k−1 Ψ(n k−1 )} ]]
k→∞
[ [
≥ P lim sup {Zk − 2 √ n k−1 Ψ(n k−1 ) > α √ n k Ψ(n k )} ] ∩
k→∞
[
lim inf {Sn k−1 ≥ −2 √ n k−1 Ψ(n k−1 )} ]] ,
k→∞

16. DER SATZ VOM ITERIERTEN LOGARITHMUS 147
da
und
P [ lim inf
k→∞ {S n k−1 ≥ −2√ n k−1 Ψ(n k−1 )} ] = 1
lim sup
n→∞
für Folgen (B n ) n∈N und (C n ) n∈N . Also gilt
(B n ∩ C n ) ⊇ lim sup
n→∞
B n ∩ lim inf
n→∞ C n
P[A α ] ≥ P [ lim sup{Z k > α √ n k Ψ(n k ) + 2 √ n k−1 Ψ(n k−1 )} ]
k→∞
≥ P [ lim sup{Z k > (α √ n + 2) √ n k−1 Ψ(n k )} ]
k→∞
≥ P [ lim sup{Z k > √ n − 1 √ n k−1 Ψ(n k )} ]
k→∞
= P [ lim sup{Z k > √ n k − n k−1 Ψ(n k )} ]
k→∞
Nach dem Borel-Cantelli-Lemma 12.9 genügt es wegen der Unabhängigkeit der (Z k ) k∈N , die
folgende Behauptung zu zeigen.
Beh:
∞∑
k=1
[
P
Z k
√
nk − n k−1
} {{ }
N 0,1−verteilt
]
> Ψ(n k ) =
∞∑
[1 − Φ(Ψ(n k ))] = ∞.
Für schließlich alle k ist x := Ψ(n k ) ≥ √ 2, also x 2 ≥ 2 und auch x 3 ≥ 2x. Damit ist 1
2x ≥ 1 x 3
und 1
2x ≤ 1 x − 1 x 3 . Nach 16.2 ist damit
k=1
1 − Φ(Ψ(n k 1 1
)) ≥ √
2Ψ(n k exp ( − 1
) 2π
2 Ψ2 (n k ) ) = 1
2 √ 2π
= 1
4 √ 1 1
√ .
π k log n log(k log n)
1
√
2 log log n
k
1
log n k
Der Cauchy’schem Verdichtungssatz besagt für eine Folge antitone Folge (α n ) n∈N mit α n → 0
Da Ψ isoton ist und
∞∑
k=1
∞∑
α k < ∞
k=1
⇐⇒
2 k
∞
2 k log n √ log(2 k log n) = ∑
≥
k=1
k=1
∞∑
2 k α 2 k ≤ ∞.
k=1
1
log n √ k log 2 + log log n
∞∑ 1 1
√ √k = c 3
log n 2 log 2
} {{ }
=:c 3
1
∞ ∑
k=1
1
√
k
= ∞,
da log log n ≤ k log 2 für schließlich alle k, gilt mit dem Cauchyschen Verdichtungssatz die obige
Behauptung.
16.4 Bemerkung
1. Das vorangehende Resultat stammt von Hartmann und Wintner (1941). Eine frühere Version
stammt von Klintchine (1927) im Spezialfall des Münzwurfs. Kolmogoroff bewies diesen Satz
1929 für geeignete, beschränkte (X n )). Der obige Beweis stammt von Hartmann, Wintner und
Strasser (siehe [BW], S. 288 ff.)
✷

148 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
2. Das obige Gesetz des iterierten Logarithmus für unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariable
verschärft das starke Gesetz für diese Zufallsvariable. Für ɛ > 0 gilt nämlich
für schließlich alle n fast sicher. Daraus folgt
S n − E[S n ] < (1 + ɛ)σ √ 2n log log n
Also gilt
S n − E[S n ]
n
√
2 log log n
≤ (1 + ɛ)σ
→ 0.
n
lim sup
n→∞
S n − E[S n ]
n
≤ 0 fast sicher.
Geht man nun zur Familie (−X n ) n∈N über, so erhält man
lim inf
n→∞
S n − E[S n ]
n
≥ 0 fast sicher.
Insgesamt erhält man also das starke Gesetz der großen Zahlen
S n − E[S n ]
lim
= 0 fast sicher.
n→∞ n

Kapitel 5
Stochastische Prozesse
Ziel dieses Kapitels ist die Modellierung zeitabhängiger, zufälliger Vorgänge. Beispiele sind:
1. Brown’sche Bewegung: Modell für die Bewegung eines Teilchens in einem Gas oder einer Flüssigkeit,
entdeckt 1828 von Robert Brown, einem schottischen Botaniker,
2. Aktienkurse: erstmals modelliert 1900 von Louis Bachelier.
Dabei betrachten wir eine Familie von Zufallsvariablen (X t ) t∈I , wobei X t den Zustand des Systems
zur Zeit t beschreibt Betrachtet wird dabei die kontinuierliche Zeit anstatt einer Folge von
Zufallsvariablen.
17 Konstruktion stochastischer Prozesse
Sei stets (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, (E, B) ein Messraum und ≠ ∅ eine beliebige
Indexmenge.
17.1 Definition und Bemerkung
1. Ein stochastischer Prozess mit Zustandsraum E und Parameter- oder Zeitmenge I heißt jede
Familie (X t ) t∈I von Zufallsvariablen
Wir schreiben auch (Ω, A, P, (X t ) t∈I , E, B).
X t : Ω −→ E.
2. Für ω ∈ Ω heißt
X I (ω) :
{
I
t
→ E
↦→ X t (ω)
Pfad, Trajektorie, Realisierung oder möglicher Verlauf von ω und
Pfadmenge.
X I (Ω) = {X I (ω) : ω ∈ Ω} ⊆ E I
3. Typischerweise ist
I = R + , N, Z, R, [a, b].
Außerdem ist (E, B) typischerweise polnisch mit B = B(E), z.B.
E = R d , {−1, 1}, [α, β], {0, . . . , n}.
149

150 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
17.2 Bezeichnungen und Bemerkung
Sei (Ω, A, P, (X t ) t∈I , E, B) ein stochastischer Prozess und ∅ ≠ J ⊆ I.
1. Definiere
(E J , B J ) := ⊗ ( ∏
j , B j ) := E, B J =
j∈J(E ⊗ j∈J
j∈J
)
B .
2. Wir bezeichnen mit
X J := ⊗ t∈J
X t = (X t ) t∈J : Ω −→ E J
die A − B J -messbare Produkt-Zufallsvariable.
3. Sei wie in Paragraph 9
π J : E I −→ E J
die kanonische Projektion und π t := π {t} . Damit ist X J = π J ◦ X I .
4. Die endlich dimensionalen Rand- oder Marginalverteilungen P J := X J (P) von (X t ) t∈I sind
Wahrscheinlichkeitsmaße auf (E J , B J ) und P I = X I (P) ist die gemeinsame Verteilung des
Prozesses. Ist J = {t 1 , . . . , t n } ⊂⊂ I, so ist P J bestimmt durch Werte auf Quadern B 1 × . . . ×
B n ∈ B J mittels
P J [B 1 × . . . × B n ] = P [ {X t1 ∈ B 1 } ∩ . . . ∩ {X tn ∈ B n } ] =: P [ X t1 ∈ B 1 , . . . , X tn ∈ B n
]
.
Die Familie (P J ) J⊂⊂I = (X J (P)) J⊂⊂I ist die Familie der endlich-dimensionalen Rand- oder
Marginalverteilungen des Prozesses (X t ) t∈I . Offenbar ist diese durch die gemeinsame Verteilung
P I = X I (P) bestimmt, da
P J = X J (P) = (π J ◦ X I )(P) = π J (P I ).
Also ist (P J ) J⊂⊂I eine projektive Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen über (E, B). Wie
der nächste Satz lehrt, existiert für diese projektive Familie ihr projektiver Limes, der die
gemeinsame Verteilung P I ist.
17.3 Satz
Sei (Ω, A, P, (X t ) t∈I , E, B) ein stochastischer Prozess. Die endlich-dimensionalen Randverteilungen
von (X t ) t∈I bilden eine projektive Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen über (E I , B I ) und
die gemeinsame Verteilung des Prozesses ist ihr projektiver Limes.
Beweis: Siehe 10.4.
17.4 Definition
1. Zwei Prozesse (Ω, A, P, (X t ) t∈I , E, B) und (Ω ′ , A ′ , P ′ , (Y t ) t∈I , E, B) mit gleicher Indexmenge I
und gleichem Zustandsraum (E, B), aber eventuell verschiedenem Grundräumen heißen äquivalent
oder Versionen, wenn gilt:
X J (P) = Y J (P ′ )
(J ⊂⊂ I).
2. Sind (Ω, A, P, (X t ) t∈I , E, B) und (Ω, A, P, (Y t ) t∈I , E, B) außerdem auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum
definiert und gilt
P[X t = Y t ] = 1
(t ∈ I),
und (Y t ) t∈I äquiva-
so heißt (Y t ) t∈I eine Modifikation von (X t ) t∈I . Insbesondere sind (X t ) t∈I
lent.

17. KONSTRUKTION STOCHASTISCHER PROZESSE 151
3. Gilt für (Ω, A, P, (X t ) t∈I , E, B) und (Ω, A, P, (Y t ) t∈I , E, B)
P[(X t ) t∈J = (Y t ) t∈J ] = 1
(J ⊂⊂ I),
so heißen die beiden Prozesse ununterscheidbar. Insbesondere sind (X t ) t∈I und (Y t ) t∈I Modifikationen.
17.5 Satz
Ist (P J ) J⊂⊂I eine projektive Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen über (E, B) und existiert
der projektive Limes P = P J , so hat der Koordinatenprozess
lim ←−
J ⊂⊂ I
(E I , B I , lim ←−
P J , (π t ) t∈I , E, B)
J ⊂⊂ I
die endlich-dimensionalen Randverteilungen (P J ) J⊂⊂I .
Insbesondere existiert zu jedem Prozess (Ω, A, P, (X t ) t∈I , E, B) ein äquivalenter Koordinatenprozess
(E I , B I , VertX I , (π t ) t∈I , E, B)
Beweis: Definitionsgemäß ist nach 10.4
π J ( lim ←−
P J ) = P J .
J ⊂⊂ I
Damit ist
also ist (π t ) t∈I eine Version von (X t ) t∈I .
π J (P) = π J (VertX I ) = (π J ◦ X I )(P) = X J (P),
✷
17.6 Korollar
Ist (P J ) J⊂⊂I eine projektive Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf einem polnischen Raum
(E, B), so existiert der projektive Limes P J und der Koordinatenprozess
lim ←−
J ⊂⊂ I
(E I , B I , lim ←−
P J , (π t ) t∈I , E, B)
J ⊂⊂ I
hat die endlich-dimensionalen Randverteilungen (P J ) J⊂⊂I .
Beweis: Folgt aus 10.7.
✷
17.7 Beispiel
Äquivalente Prozesse können sehr unterscheidliche Pfadmengen haben. Dies illustrieren folgende
Beispiele:
1. Sei (X t ) t∈I ein stochastischer Prozess mit polnischem Zustandsraum E und (π t ) t∈I der äquivalente
Koordinatenprozess. Für die Pfadmenge der beiden Prozesse gilt jedoch im Allgemeinen
da π I = id EI .
X I (Ω) E I und π I (E I ) = E I ,
2. Sei (Ω, A, P) = (R, B(R), N 0,1 ), E = R + und I = R + . Definiere
X t : ω ↦→ 0, Y t : ω ↦→ 1 {t} (ω) = 1 {ω} (t) (t ∈ I).

152 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
Dann ist
X I (Ω) = {0},
Y I (Ω) = {1 {ω} : ω ∈ Ω},
d.h. die Pfadmengen von (X t ) t∈I und Y t sind sehr verschieden. Jedoch sind (X t ) t∈I und (Y t ) t∈I
ununterscheidbar, denn
N 0,1 [(X t ) t∈J = (Y t ) t∈J ] = 1
(J ⊂⊂ I).
Die Frage, die sich stellt, ist die, ob es zu C ⊆ E I einem Prozess einen äquivalenten Prozess (X t ) t∈I
mit Pfaden in C gibt. Beispielsweise ist C = C(I, E).
17.8 Hauptsatz (Doob)
Für jeden stochastischen Prozess (Ω, A, P, (X t ) t∈I , E, B) und jede Menge C ⊆ E I sind äquivalent
1. Es gibt einen zu (X t ) t∈I äquivalenten Prozess (Y t ) t∈I mit Y I (Ω) = C.
2. Für die gemeinsame Verteilung P I des Prozesses (X t ) t∈I ist C wesentlich, d.h. es gilt:
Dabei heißt das Maß
P ∗ I : A →
P ∗ I
[C] := inf P I [B] = 1.
B∈B I
B⊇C
inf P I [B] (A ∈ E I )
B∈B I
B⊇A
äußeres Maß von P I .
Man kann dann den äquivalenten Prozess sogar als C-kanonischen Prozess
(C, C ∩ B I , P ∗ I | C∩B I
, (π t | C ) t∈I , E, B),
d.h. als kanonischen Koorinatenprozess mit Pfadmenge C wählen.
Beweis:
“1. ⇒ 2.”: Sei P I die gemeinsame Verteilung des Prozesses und damit jedes äquivalenten Prozesses,
also ist Œ X t : Ω → E mit X I (Ω) ⊆ C.
Sei B ∈ B I mit B ⊇ C. Dann ist
Ω = X −1
I
(C) ⊆ X −1
I
(B) ⊆ Ω,
also X −1
I
(B) = Ω und damit P I [B] = P[X −1
I
(B)] = P[Ω] = 1. Also ist durch die
Definition des äußeren Maßes P ∗ I
[C] = 1.
“2. ⇒ 1.”: Sei C wesentlich bezüglich P I . Definiere
{
C ∩ B I → [0; 1]
P :
C ∩ B ↦→ P I [B].
Beh: P ist ein wohldefiniertes Maß mit P = P ∗ I | C∩B I
.
Denn:
1. Beh.: P ist wohldefiniert.
Denn: Für B 1 , B 2 ∈ B I mit C ∩ B 1 = C ∩ B 2 gilt
C ∩ B i = C ∩ B 1 ∩ B 2 (i = 1, 2).

17. KONSTRUKTION STOCHASTISCHER PROZESSE 153
Damit ist
C = (C ∩ B 1 ) ∪ (C ∩ CB 1 ) = (C ∩ B 2 ) ∪ (C ∩ CB 1 ) = C ∩ (B 2 ∪ CB 1 )
= C ∩ C(B 1 \ B 2 ) ⊆ C(B 1 \ B 2 ) = C(B 1 \ (B 1 ∩ B 2 ))
und analog C ⊆ C(B 2 \ (B 1 ∩ B 2 )). Da P ∗ I
[C] = 1, ist
P I [B i \ (B 1 ∩ B 2 )] = 1 − P I [C(B i \ (B 1 ∩ B 2 ))] = 0,
d.h.
P[C ∩ B 1 ] = P I [B 1 ] = P I [B 1 ∩ B 2 ] = P I [B 2 ] = P[C ∩ B 2 ].
2. Beh.: P = P ∗ I | C∩B I
.
Denn: Seien B, D ∈ B I mit C ∩ B ⊆ D. Damit ist C ∩ B = C ∩ B ∩ D, also
Daraus folgt für B ∈ B I
P ∗ I [C ∩ B] ≤ P I[B] = P[C ∩ B] =
≤
P[B] = P[B ∩ D].
inf P I [D] = P ∗ D∈B I
[C ∩ B].
I
D⊇C∩B
inf P[C ∩ B ∩ D] = inf P I [B ∩ D]
D∈B I
D∈B I
D⊇C∩B
D⊇C∩B
3. Beh.: P ist ein Inhalt.
Denn: Für die Additivität seien B 1 , B 2 ∈ B I mit (C ∩ B 1 ) ∩ (C ∩ B 2 ) = ∅ Dann ist
C ⊆ C(B 1 ∩ B 2 ) und damit P I [B 1 ∩ B 2 ] = 0. Also ist
.
P[(C ∩ B 1 ) ⊎ (C ∩ B 2 )] = P I [B 1 ∪ B 2 ] = P I [B 1 ] + P I [B 2 ] = P[C ∩ B 1 ] + P[C ∩ B 2 ]
4. Beh.: P[C] = 1. Klar nach Voraussetzung.
5. Beh.: P ist stetig von oben in ∅.
Denn: Sei dazu (B n ) n∈N ∈ (B I ) N mit C ∩ B n ↓ ∅. Zu zeigen ist inf
n∈N P I[B n ] = 0. Œ ist
(B n ) n∈N eine fallende Folge, da
[
inf P I[B n ] = inf P[C ∩ B n] = inf P C ∩
n∈N n∈N n∈N
n=1
n⋂
i=1
∞⋂
∞⋂
Ist dann C ∩ B n = ∅, so ist C ⊆ C B n und damit
n=1
inf P I [B n ] = P I
[ ∞ ⋂
n=1
]
B n ≤ P ∗ I
[CC] = 0.
] [
B i = inf P ⋂
n
I B i
].
n∈N
i=1
Sei Y t := π t | C . Dann ist (Y t ) t∈I zu (X t ) t∈I äquivalent: Für J ⊂⊂ I sei P J = VertX J
und damit für B ∈ B I
Y J (P)[B] = P[Y −1 (B)] = P[C ∩ π−1 (B)] = P I[π −1 (B)] = (π J(P J ))[B] = P J [B],
J
J
J
d.h. P YJ
= P J . Ferner ist
Y I (ω) = π I (ω) = ω
(ω ∈ C),
d.h. Y I (Ω) = C, d.h. (Y t ) t∈I ist der C-kanonische Prozess.
✷

154 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
17.9 Korollar
Zu jeder Familie (P J ) J⊂⊂I von Wahrscheinlichkeitsmaßen über einen polnischen Raum E und jeder
bzgl. des projektiven Limes P I := P J wesentlichen Menge C ⊆ E I ist der C-kanonische
lim ←−
J ⊂⊂ I
Prozess der einzige Koordinatenprozess mit Pfadmenge C, dessen endlich-dimensionalen Randverteilungen
die (P J ) J⊂⊂I sind
Beweis: Wegen 17.6 und 17.8 ist nur zu zeigen:
Beh: Für einen C-kanonischen Prozess
(C, C ∩ B I , P ∗ I | C∩B I
, (Y t ) t∈I = (π t | C ) t∈I , E)
und jedes Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf C ∩ B I mit Y J (Q) = P J (J ⊂⊂ I) ist Q = P ∗ I | C∩B I
.
Sei dazu
{
E := ( ∏
}
B J ) : B j ∈ B, J ⊂⊂ I .
Y −1
J
Dann ist E ein ∩-stabiler Erzeuger von C ∩ B I , denn für J, J ′ ⊂⊂ I und B j ⊆ B
Y −1 ( ∏ ) (
J
B j ∩ Y
−1
∏ ) (
J
B ′
j
′ = Y
−1
∏ )
J∪J
A ′ j ∩ A ′ j
j∈J
j ′ ∈J ′ j∈J∪J ′
j∈J
(j ∈ J ∪ J ′ ) ist
mit
A j = B j (j ∈ J),
A j = E (j /∈ J),
A ′ j = B j (j ∈ J ′ ), A ′ j = E (j /∈ J ′ ).
Damit ist für P := P ∗ I | C
P [ Y −1
J
( ∏ )] [ ∏
B j = PJ
j∈J
j∈J
]
B j = Q[Y
−1
J
( ∏ B j )]
j∈J
und damit P = Q.
✷
17.10 Bemerkungen
1. Sei E ein nicht einpunktiger Hausdorff-Raum und I ein nicht ausgeartetes Intervall in R.
Dann gibt es keine σ-Algebra B auf E, so dass C(I, E) ⊆ B I . Andernfalls existiert nach 9.5 ein
J ⊂⊂ I abzählbar und ein B ∈ B J mit C(I, E) = π −1
J
(B). Sei nun ω 0 ∈ C(I, E), t 0 ∈ I \ J und
x 0 ∈ E \ {ω 0 (t 0 )}. Definiere
{
ω 0 (t) falls t ≠ t 0
ω : t ↦→
x 0 falls t = t 0 .
Damit ist ω /∈ C(I, E), aber andererseits
π J (ω) = (ω(t)) t∈J = π J (ω 0 ) ∈ B,
also ω ∈ π −1 (B) = C(I, E). Das ist ein Widerspruch.
J
2. Ist insbesondere (E, B(E)) polnisch, ω ∈ C(I, E) und
P J := ⊗ t∈I
ɛ ω(t)
(J ⊂⊂ I).
Dann ist
P I =
also P I ∗ (C) = 1, also ist C(I, E) wesentlich.
lim ←−
P J = ⊗ ɛ ω(t) ,
J ⊂⊂ I t∈I
Dies zeigt, dass man in 17.8 wirklich mit dem äußeren Maß arbeiten muss.

17. KONSTRUKTION STOCHASTISCHER PROZESSE 155
3. Dennoch ist die Spur-σ-Algebra in 17.8 sehr natürlich. Ist (E, d) polnisch und I ⊆ R ein
Intervall. Dann ist C(I, E) bezüglich der kompakten, d.h. lokal gleichmäßigen Konvergenz ein
polnischer Raum (siehe z.B. [BM], 31.6.). Die zugehörige Metrik definiert man mittels einer
Folge [a n , b n ] ↑ I von Intervallen und
Dann ist
ρ n (ω, ω ′ ) :=
sup d(ω(t), ω ′ (t))
a n≤t≤b n
ρ(ω, ω ′ ) =
∞∑
n=1
inf( 1
2 n , ρ n (ω, ω 0 ))
(ω, ω ′ ∈ C(I, E)).
die Metrik der kompakten Konvergenz. Bzgl. dieser Metrik ist C(I, E) vollständig und es gibt
eine abzählbare dichte Teilmenge.
Beh: Es gilt C(E, I) ∩ B(E) I = B(C(I; E)). Insbesondere sind Wahrscheinlichkeitsmaße auf
C(I, E) Radon-Maße.
Denn:
“⊆”: Die Menge C(I, E) ∩ B I ist eine σ-Algebra und wird erzeugt von
Y t := π t | C : ω ↦→ ω(t) ∈ E
(t ∈ I).
Jedes Y t ist stetig (bzgl. ρ) auf C(I, E), sogar bzgl. der gröberen punktweisen Konvergenz
Deshalb ist C(I, E) ∩ B I ⊆ B(C(I; E)).
“⊇”: Die σ-Algebra B(C) wird erzeugt von den Mengen
17.11 Korollar
{ω ∈ C(I, E) : ρ n (ω, ω ′ ) ≤ ɛ} = {ω ∈ C(I, E) : d(ω(t)), ω ′ (t)) ≤ ɛ (t ∈ [a n , b n ] ∩ Q)}
⋂
= Yt −1 ({d(Y t (ω), Y t (ω ′ ))}) ∈ C(I, E) ∩ B I .
Also ist B(C(I, E)) ⊆ C(I; E) ∩ B I .
t∈[a n,b n]∩Q
Sei I ⊆ R. Besitzt ein Prozess (X t ) t∈I mit polnischem Zustandsraum E eine stetige Modifikation,
d.h. eine Modifikation mit stetigen Pfaden, so ist C(I, E) wesentlich bzgl. der gemeinsamen Verteilung
VertX I , insbesondere ist (X t ) t∈I äquivalent zu dem C(I, E)-kanonischen Prozess.
Beweis: Ist (Y t ) t∈I eine Modifikation mit stetigen Pfaden, so ist Vert(Y t ) t∈I = Vert(X t ) t∈I ,
also folgt die Behauptung nach 17.8.
✷
17.12 Hauptsatz (Kolmogoroff-Chentsov)
Sei I ⊆ R ein reelles Zeitintervall und (X t ) t∈I ein stochastischer Prozess auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P) und R d als Zustandsraum, zu dem Konstanten α, β, c > 0 existieren
mit
E[||X t − X s || α ] ≤ c|t − s| 1+β (s, t ∈ I) (∗)
Dann existiert eine stetige Modifikation (Y t ) t∈I von (X t ) t∈I , die sogar lokal Hölder-stetig ist
mit beliebigem Exponenten γ ∈ (0; β α
), d.h. es gibt ein δ = δ(γ) mit
∀ω ∈ Ω ∀s ∈ I ∃ɛ = ɛ(s, ω) > 0 : |s − t| < ɛ ⇒ ||Y t (ω) − Y s (ω)|| ≤ δ||t − s|| γ
Beweis:

156 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
1. Œ kann I = [0; 1] angenommen werden. Dann nämlich gilt die Behauptung für jedes kompakte
Intervall. Sei [a n ; b n ] ↑ I und (Y (n)
t ) t∈[an;b n] eine lokal Hölder-stetige Modifikation von
(X t ) t∈[an;b n]. Dann gibt es eine Nullmenge Ω n ∈ A mit
Definiere die Nullmenge Ω 0 :=
Damit ist
da t ↦→ Y (n)
t
Y (n)
t (ω) = X t (ω) (ω /∈ Ω n , t ∈ [a n ; b n ] ∩ Q).
∞⋃
Ω n . Dann ist für m ≥ n
n=1
Y (n)
t (ω) = X t (ω) = Y (m)
t (ω) (ω /∈ Ω 0 , t ∈ [a n , b n ] ∩ Q).
Y (n)
t (ω) = Y (m)
t (ω) (ω /∈ Ω 0 , t ∈ [a n ; b n ]),
(ω) bzw. t ↦→ Y (m)
t (ω) stetig ist. Damit sind die Zufallsvariablen
Y t : ω ↦→
{
Y (n)
t (ω), ω /∈ Ω 0 , t ∈ [a n , b n ]
0, ω ∈ Ω 0 , t ∈ I
wohldefiniert. (Y t ) t∈I ist ein Prozess mit stetigen Pfaden, sogar lokal Hölder-stetig wie angegeben
Offenbar ist (Y t ) t∈I eine Modifikation von (X t ) t∈I .
2. Sei also I = [0; 1]. Wir zeigen schärfer, dass es in diesem Fall ɛ = ɛ(s, ω) unabhängig von s
gewählt werden kann. Für n ∈ N sei
D n = {k · 2 −n : 0 ≤ k < 2 n , k ∈ N}, D :=
die Menge aller dyadischen Zahlen in I. Aus der Tschebyscheff-Markoff’schen Ungleichung folgt
für s, t ∈ I und alle Komponenten i = 1, . . . , d
P[|π i ◦ X t − π i ◦ X s | ≥ ɛ] ≤ P[||X t − X s || ≥ ɛ] ≤ ɛ −α E[||X t − X s || α ] (∗)
≤ cɛ −α ||t − s|| 1−β .
Insbesondere konvergiert π i ◦ X s → π i ◦ X t stochastisch für s → t. Für 0 < γ < β α , n ∈ N und
1 ≤ k ≤ 2 n gilt
P[||X k2 −n − X (k−1)2 −n|| ≥ 2 −γn ] ≤ P[ max
} {{ }
||X 1≤k≤2 n k2 −n − X (k−1)2−n|| ≥ 2−γn
} {{ }
=:B nk
[ 2
n
⋃
= P
k=1
B nk
]
≤
= c2 −n(β−αγ) .
2 n ∑
k=1
∞⋃
n=1
D n
=:A n
]
P[B nk ] ≤ 2 n c2 γnα 2 −n(1−β)
Diese Reihe ist summierbar, für Ω 1 := C lim sup n→∞ A n gilt also P[Ω 1 ] = 1 nach 12.9. Also
gibt es für ω ∈ Ω ein n 1 (ω) ∈ N, so dass für n ≥ n 1 (ω)
max ||X
1≤k≤2 n k2 −n(ω) − X (k−1)2−n(ω)|| < 2−γn
(∗∗)
3. Sei nun ω ∈ Ω 1 , n ∈ N mit n ≥ n q (ω). Wir zeigen durch Induktion nach m:
m∑
∀m ≥ n ∀s, t ∈ D m mit 0 < t − s < 2 −n gilt ||X t (ω) − X s (ω)|| ≤ 2 2 −γj (∗ ∗ ∗)
j=n+1

17. KONSTRUKTION STOCHASTISCHER PROZESSE 157
Für den Induktionsanfang m = n+1 sei k ∈ {1, . . . , 2 m } mit t = k2 −m . Dann ist s = (k−1)2 −m
und (∗ ∗ ∗) folgt aus (∗∗).
Für den Indunktionsschluss m → m + 1 sei s, t ∈ D m+1 und
s 1 := min{s ′ ∈ D m : s ′ ≥ s},
t 1 := max{t ′ ∈ D m : t ′ ≤ t}.
Dann ist s ≤ s 1 ≤ t 1 ≤ t und s 1 − s ≤ 2 −(m+1) < 2 −n bzw. t − t 1 ≤ 2 −(m+1) < 2 −n . Mit (∗∗)
folgt dann
||X s1 (ω) − X s (ω)|| ≤ 2 −γ(m+1) , ||X t (ω) − X t1 (ω)|| ≤ 2 −γ(m+1) .
Nach Induktionsannahme gilt
also
||X t1 (ω) − X s1 (ω)|| ≤ 2
m∑
j=n+1
2 −γj ,
||X t (ω) − X s (ω)|| ≤ ||X t (ω) − X t1 (ω)|| + ||X t1 (ω) − X s1 (ω)|| + ||X s1 (ω) − X s (ω)||
m∑
m+1
∑
≤ 2 · 2 −γ(m+1) + 2 2 −γj = 2 2 −γj .
j=n+1
j=n+1
4. Sei δ := 2(1 − 2 −γ ) −1 und ɛ(ω) := 2 −n1(ω) . Für Punkte s, t ∈ D mit 0 < |t − s| < ɛ(ω) wähle
n ≥ n 1 (ω) und m > n mit s, t ∈ D m mit 2 −(n+1) ≤ t − s < 2 −n . Dann ist mit (∗ ∗ ∗)
||X t (ω) − X s (ω)|| ≤ 2
∞∑
j=n+1
2 −γj = 2 · 2 −γ(n+1) 1
1 − 2 −γ ≤ δ|t − s|γ , (v)
also ist (X t ) t∈I lokal Hölder-stetig mit Exponent γ auf Ω 1 . Die Abbildung t ↦→ X t (ω) ist sogar
gleichmäßig stetig auf I ∩ D für ω ∈ Ω 1 , lässt sich also wegen der Vollständigkeit von R d zu
einer stetigen Funktion durch
t ↦→ Y t (ω) = lim
s→t
X s (ω) (ω ∈ Ω 1 )
s∈D
auf I fortsetzen. Für ω ∈ Ω \ Ω 1 sei Y t (ω) := 0. Damit ist (Y t ) t∈I
Exponenten γ, denn für ω ∈ Ω 1 und s, t ∈ I mit 0 < t − s < ɛ(ω) ist
lokal Hölder-stetig mit
||Y t (ω) − Y s (ω)|| =
Für ω /∈ Ω 1 ist dies trivial.
lim ||X t ′(ω) − X s ′(ω)|| ≤ δ lim |t ′ − s ′ | γ = δ|t − s| γ .
s ′ →s, t ′ →t
s ′ →s, t ′ →t
s ′ ,t ′ ∈D
s ′ ,t ′ ∈D
Schließlich ist Y t messbar (t ∈ I), da D abzählbar und Y t auf Ω 1 Limes einer Folge von Zufalsvariablen
X s ist.
Außerdem ist (Y t ) t∈I eine Modifikation von (X t ) t∈I . Für t ∈ I ist dafür P[X t = Y t ] = 1 zu
zeigen. Für t ∈ D und ω ∈ Ω 1 ist X t (ω) = Y t (ω), für t ∈ I \ D gibt es eine Folge (s n ) n∈N ∈ D N
mit s n → t. Dann ist nach 2.
π i ◦ X t = P − lim π i ◦ X sn
(i = 1, . . . , d).
Andererseits ist nach Definition fast sicher Y t = lim X s n
, also erst recht π i ◦ Y t = P − lim π i ◦
n→∞
X sn . Also gilt fast sicher
π i ◦ X t = π i ◦ Y t (i = 1, . . . , d),
d.h. X t = Y t fast sicher.

158 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
18 Markoff’sche Scharen und Halbgruppen
Sei stets (Ω, A, P) ein Wahrschinlichkeitsraum, (E, B) ein Messraum, I ⊆ R + mit t − s ∈ I (t ≥
s), also z.B. I = R + , [0, 1], N 0 .
Erinnerung: Ein Markoff-Kern auf E, B bzw. genauer von (E, B) nach (E, B) ist eine Abbildung
{
E × B → [0; 1]
K :
(x, B) ↦→ K[x, B],
die in der ersten Variablen B-messbar und in der zweiten Variablen ein Wahrscheinlichkeitsmaß
ist (siehe 9.8).
18.1 Bemerkung
1. Jeder Markoff-Kern auf (E, B) definiert eine lineare Abbildung des Kegels L 0 +(E, B) der positiven
messbaren Funktionen auf E in sich durch
⎧
L ⎪⎨
0 +(E, B) →
∫
L 0 +(E, B)
∫
∫
K : f ↦→ K[., dy]f(y) := f(y)K[., dy] = f ◦ π 2 (., y) K[., dy]
⎪⎩
} {{ }
∈L 0 + (E×E,B⊗B)
mit Projektion
π 2 :
Also ist Kf nach 9.12 messbar. Offenbar ist
{
E × E → E
(x, y) ↦→ y.
K1 B (x) = K[x, B]
(B ∈ B).
Ist K[x, .] für x ∈ E ein Wahrscheinlichkeitsmaß P, so ist
∫
Kf := fdP.
Ferner ist K1 = 1 und K ist auf L 0 + Daniell-stetig, d.h. für jede Folge (f n ) n∈N ∈ (L 0 +(E, B)) N
mit f n ↑ f ist Kf n ↑ Kf.
2. Umgekehrt definiert jede Abbildung
φ : L 0 +(E, B) −→ L 0 +(E, B),
die linear und Daniell-stetig ist mit φ(1) = 1 erfüllt genau einen Kern K mit K = φ auf
L 0 +(E, B). Dieser ist durch
K[x, B] := φ(1 B )(x)
gegeben.
3. Sind K 1 und K 2 zwei Markoff-Kerne auf (E, B), so ist (K 1 ◦K 2 )(1) = 1, d.h. ein Markoff-Kern:
18.2 Definition
Der auf (E, B) definierte Markoff-Kern
∫
K 1 K 2 : (x, B) ↦−→
K 1 [x, dy]K 2 [y, B]
heißt das Produkt von K 1 und K 2 .

18. MARKOFF’SCHE SCHAREN UND HALBGRUPPEN 159
Wegen der Eindeutigkeitsaussage in 18.1 ist für f ∈ L 0 +(E, B):
∫
∫
K 1 K 2 (f)(x) = (K 1 ◦ K 2 )(f)(x) = K 1 [x 1 , dx 1 ]
K 2 [x 1 , dx 2 ]f(x 2 ).
Insbesondere gilt für Wahrscheinlichkeitsmaße µ
µK 2 f 9.17
= µ ⊗ K 2 (f ◦ π 2 ) = π 2 (µ ⊗ K 2 )(f),
d.h. µK 2 ist das Wahrscheinlichkeitsmaß π 2 (µ ⊗ K 2 ), insbesondere ist
ɛ x K 2 [B] = K 2 [x, B], d.h. ɛ x K 2 = K 2 [x, .]
(x ∈ E).
Die Menge der Markoff-Kerne auf (E, B) bildet also (wegen der Assoziativität der Komposition)
eine Halbgruppe bzgl. obiger Multiplikation mit neutralem Element oder Einheitskern
1 : (x, B) ↦−→ 1 B (x) = ɛ x (B).
18.3 Definition
1. Eine Markoff’sche Übergangsschar oder Markoff’sche Schar ist eine Familie (P s,t ) s,t∈I
s≤t
Markoff-Kernen auf
(E, B), die den Chapman-Kolmogoroff-Gleichungen
von
P s,t = P s,r P r,t (s, t, r ∈ I, s ≤ r ≤ t)
genügen. Sie heißt
1. normal, falls P s,t = 1 (t ∈ I),
2. stationär oder zeitlich homogen, falls
P s,t [x, B] = P 0,t−s [x, B],
3. translationsinvariant oder räumlich homogen, falls (E, B) = (R d , B(R d )) und
P s,t [x, B] = P s,t [0, B − x] (s ≤ t, x ∈ R d , B ∈ B(R d )).
2. Eine Markoff’sche Halbgruppe ist eine Familie (P t ) t∈I von Markoff-Kernen auf (E, B) mit
P s P t = P s+t
(s, t ∈ I).
3. Eine Faltungshalbgruppe ist eine Familie (µ t ) t∈I von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (E, B) mit
µ s ∗ µ t = µ s+t (s, t ∈ I).
18.4 Satz
Eine Markoff’sche Schar (P s,t ) s,t∈I
s≤t
ist genau dann stationär, wenn durch
P t := P 0,t (t ∈ I)
eine Markoff’sche Halbgruppe (P t ) t∈I definiert ist. Umgekehrt definiert jede Markoff’sche Halbgruppe
(P t ) t∈I durch
P s,t := P t−s (s ≤ t)
eine stationäre Markoff’sche Schar.
Beweis:

160 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
1. Ist (P s,t ) s,t∈I
s≤t
stationär und (P t ) t∈I wie angegeben definiert. Dann ist
P s P t = P 0,s P 0,t = P 0,s P s,s+t = P 0,s+t = P s+t
(s, t ∈ I).
2. Ist (P t ) t∈I eine Markoff’sche Halbgruppe und (P s,t ) s,t∈I
s≤t
wie angegeben. Dann ist
P s,t = P 0,t−s und P s,r P r,t = P r−s P t−s = P t−s = P s,t
(s, r, t ∈ I, s ≤ r ≤ t).
✷
18.5 Korollar
Eine Markoff’sche Schar (P s,t ) s,t∈I
s≤t
durch
ist genau dann stationär und translationsinvariant, wenn
µ t := P 0,t [0, .]
eine Faltungshalbgruppe (µ t ) t∈I von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (E, B) definiert wird. Umgekehrt
definiert jede Faltungshalbgruppe (µ t ) t∈I durch
P s,t [x, B] := µ t−s [B − x]
eine stationäre, translationsinvariante Markoff’sche Schar mit Faltungshalbgruppe (µ t ) t∈I . Für
I = R + ist stets µ 0 = ɛ 0 , d.h. die Markoff’sche Schar ist normal.
Beweis:
1. Sei (µ t ) t∈I wie angegeben. Dann gilt
µ s ∗µ t [B] 10.19.2
=
∫
∫
µ s [B − y]µ t [dy] =
∫
P 0,s [0, B − y]P 0,t [0, dy] =
P 0,t [0, dy]P 0,s [y, B]
= P t P s [0, B] = P t+s [0, B = µ t+s [B] = µ s+t [B].
2. Sei (P s,t ) s,t∈I wie angegeben. Dann ist P s,t für s, t ∈ I, s ≤ t ein Markoff-Kern, denn
s≤t
∫
∫
P s,t [x, B] = µ t−s [B − x] = 1 B−x (y)µ t−s [dy] = 1 B (x + y)µ t−s [dy],
d.h. P s,t ist messbar in der ersten und nach 9.12 ein Wahrscheinlichkeitsmaß in der zweiten
Variablen.
Zu zeigen bleiben die Chapman-Kolmogoroff-Gleichungen. Mit T x : y ↦→ x + y ist
P s,r [x, B] = µ r−s [B − x] = µ r−s [Tx
−1 (B)] = T x (µ r−s )[B] = T x (P s,r [0, .])[B],
also
∫
P s,r P r,t [x, B] =
∫
=
∫
P s,r [x, dy]P r,t [y, B] = P t [y, B]T x (P s,r )[0, .][dy]
∫
P r,t [x + y, B]P s,r [0, dy] = µ t−r [B − x − y]µ r−s [dy]
Gemäß 18.4 ist (P s,t ) s,t∈I
s≤t
= (µ t−r ∗µ r−s )[B − x] = µ t−s [B − x] = P s,t [x, B].
stationär und translationsinvariant mit (µ t ) t∈I als Faltungshalbgruppe.

18. MARKOFF’SCHE SCHAREN UND HALBGRUPPEN 161
18.6 Beispiele
1. Die Markoff’schen Kerne
P s,t := 1 (s ≤ t)
bilden eine normale, stationäre und translationsinvariante Markoff’sche Schar wegen
P s,t [x, B] = 1(x, B) = 1 B (x) = 1 B−x (0) = 1(0, B − x) = P s,t [0, B − x].
Die zugehörige Faltungshalbgruppe ist
µ t = P 0,t [0, .] = 1[0, .] = ɛ 0 (t ∈ I).
2. Sei µ Wahrscheinlichkeitsmaß auf (E, B) und
P s,t [x, .] = µ
(s ≤ t, x ∈ E).
Dann ist (P s,t ) s≤t ist stationäre Markoff’sche Schar mit µµ = µ, denn
∫
µµ[x, B] = µ[dy]µ[B] = µ[B]
und P t,t = µ ≠ 1 für E mehrpunktig. Also bilden die (P s,t ) s≤t keine normale Markoff’sche
Schar.
3. Mittels 10.20.3 können wir die Poisson’sche Faltungshalbgruppe zum Parameter λ > 0 durch
(π λt ) t∈R+ und π 0 := ɛ 0 definieren.
4. Die Brown’sche Halbgruppe in R d wird wiefolgt definiert. Es ist µ 0 := ɛ 0 und µ t := g t λ d mit
g t (x) :=
d⊗
1
(
g 1,t (x) =
(2πt) exp − 1 d/2 2t ||x||2) .
i=1
Wir definieren die Faltung zweier reeller integrierbarer Funktionen f und g durch
∫
f ∗ g(x) := f(x − y)g(y)λ d [dy].
Beh: Es gilt fλ d ∗gλ d = (f ∗ g)λ d .
Denn: Sei A ∈ B(R d ). Dann ist
∫
∫ ∫
fλ d ∗ gλ d [A]) = (fλ d )[A − y](gλ d )[dy] = 1 A−y (x)f(x)λ d [dx]g(y)λ d [dy]
∫ ∫
∫
9.19
= 1 A (x)f(x − y)g(y)λ d [dy]λ d [dx] = 1 A (x)(f ∗ g)(x)λ d [dy]
= (f ∗ g)λ d [A].
Dabei ist ɛ 0 Faltungseinheit nach 10.20.
Um also zu zeigen, dass obige Halbgruppe eine Faltungshalbgruppe ist, braucht man nur noch
zu zeigen.
Wegen
1
2s (y i − x i ) 2 + 1 2t y2 i = 1
g s ∗ g t = g s+t (s ≤ t)
2st(
(t + s)y
2
i − 2tx i y i + tx 2 i
(
(yi − t
t+s x i) 2 −
= t+s
2st
t2
(t+s)
x 2 2 i +
) (
=
t+s
2st y
2
i − 2t
t
t+s x2 i
t+s x iy i +
)
=
t+s
2st (y i −
)
t
t+s x2 i
t
t+s x i) 2 + 1
2(t+s) x2 i

162 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
ist
∫
1 1
g x ∗ g t (x) =
(2πt) d/2 (2πs) d/2
= d ∏
i=1
= d ∏
i=1
= d ∏
i=1
∫
1 √1
2π st
1
2π
= g s+t (x).
exp ( − 1 2s ||y − x|| − 1 2t ||y||) dy
exp ( − 1 2s (y i − x i ) 2 − 1 2t y2 i
)
dyi
√1
st
exp ( − 1
2(t+s) x2 i
√
1
exp ( )
− 1
2π(s+t) 2(t+s) x2 i
) ∫ exp ( (
− t+s
2st yi − t
t+s x 2 )
i)
dyi
} {{ }
=
r
2π st
s+t
18.7 Heuristische Interpretation
Unser nächstes Ziel ist die Konstruktion von Prozessen aus einer Markoff’schen Schar und einer
Startwahrscheinlichkeit. Dazu beschreiben wir zunächst die Idee, die hinter einem solchen Prozess
steckt.
Die Größe P s,t [x, B] sei die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein irrfahrendes Teilchen sich zur
Zeit t in der Menge B befindet, wenn es zur Zeit s ≤ t im Punkt x ist. Das Teilchen sei dabei
gedächtnislos, d.h. zu jedem Zeitpunkt r ∈ [s; t] orientiert sich Teilchen nur an seinem Ort zur Zeit
r, nicht aber an der Vergangeheit. Daher berechnet sich P s,t [x, B] als Wahrscheinlichkeit dafür,
dass das Teilchen zur Zeit t in B ist, wenn es zur Zeit r irgendwo in y ∈ E ist, gemittelt über alle
zur Zeit r erreichbaren y, wobei das Teilchen zur Zeit s in x startet, d.h.
∫
P s,t [x, B] =
P s,r [x, dy]P r,t [y, B] = P s,r P r,t [x, B].
Dies motiviert die Chapman-Kolmogoroff-Gleichungen. Anders ausgedrückt heißt das
∫
P s,t [x, B] =
∫
P s,r [x, dy]
∫
P r,t [y, dz]1 B (z) =
E
∫
P s,r [x, dy] P r,t [y, dz].
B
Allgemeiner kann man an ein Modell denken, an dem das Teilchen zur Zeit 0 gemäß einer Startwahrscheinlichkeit
µ ∈ M 1 +(E) in einem zufälligen Punkt startet und sich zu Zeitpunkten t 1 <
. . . < t n nacheinander in Mengen B 1 , . . . B n mit Wahrscheinlichkeit
∫
∫
µ[dx 0 ]
∫
. . .
∫
P tn−2 ,t n−1
[x n−2 , dx n−1 ]1 Bn−1 (x n−1 )
P tn−1 ,t n
[x n−1 , dx n ]1 Bn (x n )
befindet.
Dies suggeriert das folgende Resultat.

18. MARKOFF’SCHE SCHAREN UND HALBGRUPPEN 163
18.8 Hauptsatz
Für jede Markoff’sche Schar (P s,t ) s,t∈I und jedes Wahrscheinlichkeitsmaß µ auf (E, B) wird
s≤t
eine projektive Familie (P J ) J⊂⊂I von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (E I , B I ) definiert. Ist
J = {t 1 , . . . , t n } mit t 1 < . . . < t n , so ist diese definiert durch
∫ ∫
∫
P J [B 1 × . . . × B n ] := µ[dx 0 ] P 0,t1 [x 0 , dx 1 ] . . . P tn−1 ,t n
[x n−1 , dx n ]1 B1 (x 1 ) . . . 1 Bn (x n ).
Mit t 0 = 0 und der Projektion
π : (x 0 , . . . , x n ) ↦→ (x 1 , . . . , x n )
gilt
( ⊗
n
P J = π P ti−1 ,t i
).
i=1
Beweis: Für K i [x 0 , . . . , x i−1 , B i ] := P ti−1 ,t i
[x i−1 , B i ] ist
P J [B 1 × . . . B n ] =
(
µ
n⊗
K i
)[E × B 1 × . . . × B n ] =
i=1
(
= π µ
(
µ
n⊗ ) [π
K −1 i (B 1 × . . . × B n ) ]
i=1
n⊗
K i
)[B 1 × . . . × B n ].
i=1
Also ist P J ist Wahrscheinlichkeitsmaß auf B J .
Zu zeigen ist πJ H(P H) = P J (J ⊆ H ⊂⊂ I).
Für J ⊆ H ⊂⊂ I gibt es eine Folge (H i ) {i=1,...,k} mit H i+1 \ H i = 1 und J = H 1 ⊆ H 2 ⊆ . . . H k =
H. Deshalb ist ΠH \ J einelementig, d.h. es ist
Dann ist
und s j /∈ J für ein j ∈ {1, . . . , n + 1}. Nun sei
Dann ist
In Fall j ≤ n ergibt sich
J = {t 1 , . . . , t n } mit t 1 ≤ . . . ≤ t n .
H = {s 1 ≤ . . . ≤ s n+1 } mit s 1 ≤ . . . ≤ s n+1
A 0 = E, A i = B i (1 ≤ i < j), A j = E, A i = B i−1 (j < i ≤ n + 1).
(π H J ) −1 (B 1 × . . . × B n ) = A 1 × . . . × A n .
π H J (P H)[B 1 × . . . × B n ] = P H [A 1 × . . . × A n+1 ]
∫
∫
∫
= µ[dx 0 ]1 A0 (x 0 ) P 0,s1 [x 0 , dx 1 ]1 A1 (x 1 ) . . . P sj−1 ,s j
[x j−1 , dx j ]1 Aj (x j )
∫
P sj,s j+1
[x j , dx j+1 ]1 Aj+1 (x j+1 )f(x j+1 )
mit
∫
f(x j+1 ) =
∫
=
∫
P sj+1 ,s j+2
[x j+1 , dx j+2 ]1 Aj+2 (x j+2 ) . . . P sn,s n+1
[x n , dx n+1 ]1 An+1 (x n+1 )
∫
P tj,t j+1
[x j+1 , dy j+1 ]1 Bj+1 (y j+1 ) . . . P tn−1 ,t n
[y n−1 , dy n ]1 Bn (y n ),

164 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
falls j < n und
f(x j+1 ) = 1,
falls j = n. Nach den Chapman-Kolmogoroff-Gleichungen gilt:
∫
∫
P sj−1 ,s j
[x j−1 , dx j ]
18.2
P sj,s j+1
[x j , dx j+1 ]1 Aj+1 (x j+1 )f(x j+1 )
= P sj−1 ,s j
P sj,s j+1
(1 Aj+1 · f)(x j+1 )
∫
= P tj−1 ,t j
(1 Bj · f)(x j+1 ) = P tj−1 ,t j
[x j−1 , dy j ]1 Bj (y j )f(y j )
Insgesamt ergibt sich
∫
π H J (P H)[B 1 × . . . × B n ] =
∫
µ[dx 0 ]
P 0,t1 [x 0 , dx 1 ]1 B1 (x 1 )
∫
∫
. . . . . .
P tj−1 ,t j
[x j−1 , dy j ]1 Bj (y j )f(y j )
∫
=
∫
µ[dx 0 ]
∫
P 0,t1 [x 0 , dx 1 ]1 B1 (x 1 ) . . .
P tj−1 ,t j
[x j−1 , dx j ]1 Bj (x j )
∫
∫
P tj,t j+1
[x j , dx j+1 ]1 Bj+1 (x j+1 ) . . .
P tn−1 ,t n
[x n−1 , dx n ]1 Bn (x n )
= P J [B 1 × . . . × B n ]
Der Fall j = n + 1, d.h. s j > t n ist trivial, weil
(π H J ) −1 (B 1 × . . . × B n ) = B 1 × . . . × B n × E
und
∫
P sn,s n+1
[., dx n+1 ] 1 An+1 (x n+1 ) = 1.
} {{ }
=1
Da die Quader ein durchschnittsstabiler Erzeuger von B J sind, folgt nach dem Eindeutigkeitssatz
der Maßtheorie 7.19
P J = π H J (P H).
✷
18.9 Definition
Existiert in 18.8 der projektive Limes
lim ←−
P J (z.B. wenn (E, B) polnisch ist), so heißt
J ⊂⊂ I
P µ :=
lim ←−
P J
J ⊂⊂ I
das Markoff-Maß der Markoff’schen Schar (P s,t ) s,t∈I
s≤t
zur Startwahrscheinlichkeit µ ∈ M 1 +(E).

18. MARKOFF’SCHE SCHAREN UND HALBGRUPPEN 165
18.10 Korollar
Ist (P s,t ) s,t∈I eine Markoff’sche Schar und µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem polnischen
s≤t
Raum (E, B), so hat der zum Markoff-Maß P µ gehörige kanonische Prozess (x t ) t∈I := (π t ) t∈I
die Verteilung
Insbesondere ist
P µ x t
= µP 0,t = P µ x s
P s,t , P µ (x s,x t) = Pµ x s
⊗ P s,t (s, t ∈ I, s ≤ t).
falls P µ [x s = x] > 0 und
P s,t [x, B] = P µ [x t ∈ B|x s = x]
P ɛx
x t
= P 0,t [x, .].
(x ∈ E, B ∈ B),
Falls P 0,0 = 1, also z.B. falls (P s,t ) normal ist, so ist P µ x 0
= µ und für 0 = t 0 < . . . < t n ist
P {t0,...,t n} = µ
n⊗
P ti−1 ,t i
.
Beweis: Ist P 0,0 = 1, so gilt wegen P 0,t0 [x 0 , .] = ɛ x0 , falls die obigen Formeln gelten
∫ ∫
∫
P {t0,...,t n}[B 0 × . . . × B n ] = µ[dx 0 ] P 0,t0 [x 0 , dx]1 B0 (x) P t0,t
} {{ }
1
[x, dx 1 ]1 B1 (x 1 ) . . .
i=1
=ɛ x0 [dx]
∫
∫
= µ[dx 0 ]1 B0 (x 0 ) P t0,t 1
[x 0 , dx 1 ]1 B1 (x 1 ) . . .
= µ
n⊗
P ti−1 ,t i
[B 0 × . . . × B n ],
i=1
d.h. die letzte Behauptung.
Allgemein ist nach 17.5 und 18.8 für B 1 , B 2 ∈ B und t ∈ I
∫
P µ x t
[B 1 ] = P {t} [B 1 ] = µ[dx 0 ]P 0,t [x 0 , B 1 ] = µP 0,t [B 1 ]
und damit auch P µ x t
[B 1 ]P 0,t [x, B 1 ] für µ = ɛ x .
Für s < t ist
∫ ∫
P µ (x [B s,x t) 1 × B 2 ] = P {s,t} [B 1 , B 2 ] = µ[dx 0 ]
∫
P 0,s [x 0 , dx 1 ]
P s,t [x 1 , dx 2 ]1 B1 (x 1 )1 B2 (x 2 )
} {{ }
=:f(x 1)
∫
18.2
= µP 0,s (f) = f(x 1 )P µ x s
[dx 1 ]
∫ ∫
= P µ x s
[dx 1 ] P s,t [x 1 , dx 2 ]1 B1 (x 1 )1 B2 (x 2 ) = P µ x s
⊗P s,t [B 1 , B 2 ].
Also ist
P µ (x s,x t) = Pµ x s
⊗P s,t ,
da Quader ein duchschnittsstabiler Erzeuger von B 2 sind.
Mit der Projektion π : (x 0 , x 1 ) ↦→ x 1 gilt dann
P µ x t
[B 1 ] = π ◦ (x s ⊗ x t )(P µ )[B 1 ] = π ( P µ (x s,x t))
[B1 ] = P µ x s
⊗ P s,t [E × B 1 ]
∫
9.17
= P µ x s
[dx 0 ]P s,t [x 0 , B 1 ] 18.2
= P µ x s
P s,t [B 1 ].

166 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
Schließlich ist
P µ x s
[{x}]P s,t [x, B] 9.17
= ( P µ x s
⊗P s,t
)
[{x} × B] = P
µ
(x s,x t) [{x} × B] = Pµ [{x s = x} ∩ {x t ∈ B}].
Also ist die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit und damit die heuristische Interpretation aus
18.7 gerechtfertigt. ✷
18.11 Beispiele
1. Der zu
und µ := ɛ x gehörige Prozess beschreibt wegen
P s,t = 1 (s ≤ t)
P ɛx
x t
= ɛ x P 0,t = P 0,t [x, .] = 1[x, .] = ɛ x
ein irrfahrendes Teilchen, das in x startet und nach dem Start in x bleibt.
2. Sei
P s,t [x, .] = µ
(s ≤ t, x ∈ E).
Der zur Startwahrscheinlichkeit µ und P s,t gehörige kanonische Prozess hat wegen
für alle x t die identische Verteilung µ.
P µ x t
= µP 0,t = µµ = µ (t ∈ I)
3. In 20 beschäftigen wir uns mit der Brown’schen Bewegung, die als Markoff’sche Schar eine
Familie von Normalverteilungen besitzt.
4. In 21 betrachten wir den Poisson-Prozess, der als Markoff’sche Schar eine Familie von Poissonverteilungen
hat.

19. PROZESSE MIT STATIONÄREN UND UNABHÄNGIGEN ZUWÄCHSEN 167
19 Prozesse mit stationären und unabhängigen Zuwächsen
Sei stets (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (E, B) = (R d , B(R d )) mit I ⊆ R +
t − s ∈ I (s, t ∈ I, s ≤ t).
und
19.1 Definition
Eine stochastischer Prozess (X t ) 0≤t≤T auf (Ω, A, P) mit Zustandsraum R d hat
• stationäre Zuwächse, wenn eine Familie (µ t ) t∈I von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf R d existiert
mit
P Xt−X s
= µ t−s (s, t, ∈ I, s ≤ t),
• unabhängige Zuwächse, wenn für je endlich viele Zeitpunkte 0 = t 0 < t 1 < . . . t n aus I die
Zufallsvariablen X t0 , X t1 − X t0 , . . . , X tn − X tn−1 unabhängig sind.
Prozesse mit diesen beiden Eigenschaften heißen Lévy-Prozesse.
19.2 Bemerkungen
1. Im Fall stationärer Zuwächse ist µ 0 = P Xt−X t
= ɛ 0 .
2. Im Fall unabhängiger Zuwächse sind die Zufallsvariablen X t0 , X t1 − X t0 , . . . , X tn − X tn−1 auch
im Falle t 0 > 0unabhängig.
Denn: Setze t −1 := 0 und beachte, dass X t0 = X t−1 + (X t0 − X t−1 ) ist. Damit ist also
σ(X t0 ) ⊆ σ(X t−1 , X t0 − X t−1 ) =: F.
Nach 12.4 sind dann F, σ(X t1 − X t0 ), . . . , σ(X tn − X tn−1 ) unabhängig. Also sind auch
unabhängig.
19.3 Lemma
σ(X t0 ), σ(X t1 − X t0 ), . . . , σ(X tn − X tn−1 ), d.h. X t0 , X t1 − X t0 , . . . , X tn − X tn−1
Sei (P s,t ) s≤t eine stationäre und translationsinvariante Markoff’sche Schar mit zugehöriger Markoff’scher
Halbgruppe (P t ) t∈I := (P 0,t ) t∈I und Faltungshalbgruppe (µ t ) t∈I = (P t [0, .]) t∈I . Dann
gilt für n ∈ N und
{
R d(n+1) −→ R d(n+1)
T n :
(y 0 , . . . , y n ) ↦−→ (y 0 , y 0 + y 1 , . . . , y 0 + y 1 + . . . + y n )
sowie für jedes Wahrscheinlichkeitsmaß µ auf R d
( ⊗ n
) ⊗ n
T n µ µ ti−t i−1 = µ P ti−t i−1
(0 ≤ t 0 < t 1 < . . . t n ).
i=1
i=1
Beweis: Die Abbildung T n ist Borel-messbar, da sie ein Homöomorphismus ist, denn es gilt
T −1
n (x 0 , . . . , x n ) = (x 0 , x 1 − x 0 , . . . , x n − x n−1 ).
Für B ∈ B(R d(n+1) ) gilt nach dem Satz von Fubini 9.19
n⊗
∫ ∫
T n
(µ µ ti−t i−1
)[B] = . . . 1 B ◦ T n (y 0 , . . . , y n )µ[dy 0 ]µ t1−t 0
[dy 1 ] . . . µ tn−t n−1
[dy n ]
i=1
∫
=
∫
. . .
1 B (y 0 , y 0 + y 1 , . . . , y 0 + . . . + y n )

168 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
.
Mit der Translation τ x : y ↦→ y + x in R d gilt P t [x, .] = τ x (µ t ), also
µ
n⊗
i=1
P ti−t i−1
[B] 9.17
=
∫
=
∫
∫
µ[dx 0 ]
∫
µ[dx 0 ]
∫
P t1−t 0
[x 0 , dx 1 ] . . .
∫
P t1−t 0
[x 0 , dx 1 ] . . .
µ[dy 0 ]µ t1−t 0
[dy 1 ] . . . µ tn−t n−1
[dy n ]
P tn−t n−1
[x n−1 , dx n ]1 B (x 0 , . . . , x n )
P tn−1 −t n−2
[x n−2 , dx n−1 ]
∫
µ tn−t n−1
[dy n ]1 B
(
x0 , . . . , x n−1 , τ xn−1 (y n ) )
∫
=
∫
µ[dx 0 ]
∫
P t1−t 0
[x 0 , dx 1 ] . . .
µ tn−1 −t n−2
[dy n−1 ]
∫
µ tn−t n−1
[dy n ]1 B
(
x0 , τ x0 (y 1 ), . . . , τ xn−2 (y n−1 ), τ xn−1 (y n ) )
∫
= . . . =
∫
µ[dx 0 ]
∫
µ t1−t 0
[dy 0 ] . . .
µ tn−t n−1
[dy n ]
1 B (y 0 , y 0 + y 1 , . . . , y 0 + . . . + y n ).
✷
19.4 Hauptsatz
1. Sei (X t ) t∈I der kanonische Prozess, der sich aus einer normalen, stationären, translationsinvarianten
Markoff’schen Schar (P s,t ) s≤t , d.h. aus einer Faltungshalbgruppe (µ
s,t∈I
t ) t∈I mit
µ 0 = ɛ 0 und einer Startwahrscheinlichkeit µ auf R d ableitet. Dann hat (X t ) t∈I bzgl. des
Markoff’schen Maßes P µ stationäre und unabhängige Zuwächse, nämlich
und P µ X 0
= µ.
P µ X t−X s
= µ t−s (s, t ∈ I, s ≤ t)
2. Ist umgekehrt (X t ) t∈I ein stochastischer Prozess auf Wahrscheinlichkeitsräumen (Ω, A, P)
mit R d als Zustandsraum, der stationäre und unabhängige Zuwächse hat, so wird durch
µ t := P Xt−X 0
(t ∈ I)
eine Faltungshalbgruppe von Wahrscheinlichkeitsmaßes µ t auf R d mit µ 0 = ɛ 0 definiert. Die
gemeinsame Verteilung des Prozesses ist das aus (µ t ) t∈I und der Startverteilung µ := P X0
konstruierte Markoff-Maß P µ .
Beweis: Es gilt
µ 0 = ɛ 0 ⇐⇒ P t,t [x, .] = ɛ 0 (. − x) = ɛ x = 1[x, .] (t ∈ I, x ∈ R d ) ⇐⇒ P t,t = 1 (t ∈ I).

19. PROZESSE MIT STATIONÄREN UND UNABHÄNGIGEN ZUWÄCHSEN 169
1. Aus 18.10 folgt für 0 = t 0 < t 1 < . . . < t n
P µ (X t0 ,...,X tn ) = µ n ⊗
i=1
P ti−t i−1
19.3
= T n
(µ
n⊗ )
µ ti−t i−1
und somit gilt für Y 0 := Y t0 = X 0 , Y 1 := X t1 − X t0 , . . . , Y n := X tn − X tn−1
i=1
(
P µ (Y = T −1
0,...,Y n) n
(X t 0
, . . . , X tn )(P µ ) = T −1
n
◦ T n µ
= µ
n⊗
µ ti−t i−1
= P µ Y 0
⊗ P µ Y 1
⊗ . . . ⊗ P µ Y n
.
i=1
Also sind Y 0 , . . . , Y n unabhängig, P µ X 0
= µ und P µ X t−X s
= µ t−s .
n⊗ )
µ ti−t i−1
2. Der Prozess (X t ) t∈I habe stationäre Zuwächse. Aus µ t = P Xt−X 0
folgt µ 0 = ɛ 0 . Da ɛ 0 die
Faltungseinheit ist, genügt der Nachweis µ s ∗ µ t = µ s+t für s, t ≥ 0. Aber X s+t − X t und
X t − X 0 sind unabhängig mit Verteilung µ s bzw. µ t , da (X t ) t∈I stationäre Zuwächse hat.
Damit ist
10.18
µ s+t = P Xs+t −X 0
= P Xs,t−X t
∗ P Xt−X 0
= µ s ∗ µ t .
Die Verteilung P µ ist genau dann die Verteilung von ⊗ t∈I
X t , wenn sich die endlichdimensionalen
Randverteilungen P N X t
für J ⊂⊂ I gemäß 18.8 mit µ := P X0 und
berechnen lassen.
t∈J
i=1
P ti−1 ,t i
[x, B] = P ti−t i−1
[x, B] = µ ti−t i−1
[B − x]
Da sowohl (P µ J ) J⊂⊂I als auch (P N X t
) J⊂⊂I projektiv sind, kann Œ
t∈J
I := {0 = t 0 < t 1 < . . . < t n }
angenommen werden. Wegen P 0,0 = 1 ist nach 19.3 wie in 1. mit Y i := X ti − X ti−1 , Y 0 = X t0
wegen stationärer unabhängiger Zuwächse
19.5 Satz
P J := T n
(µ
n⊗
i=1
= P (Xt0 ,...,X tn ) = P N
) ( ) ( )
µ ti−t i−1
= T n PY0 ⊗ P Y1 ⊗ . . . ⊗ P Yn = Tn P(Y0,...,Y n)
X t
.
t∈J
Seien (X t ) t∈I und (Y t ) t∈I Prozesse mit Zustandsraum R d .
1. Sind (X t ) t∈I und (Y t ) t∈I äquivalent und hat (X t ) t∈I stationäre und unabhängige Zuwächse,
so auch (Y t ) t∈I .
2. Haben (X t ) t∈I und (Y t ) t∈I unabhängige und stationäre Zuwächse, so sind (X t ) t∈I und (Y t ) t∈I
genau dann äquivalent, wenn
VertX 0 = VertY 0 und Vert(X t − X s ) = Vert(Y t − Y s ) (0 ≤ s < t).
✷
Beweis:

170 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
1. Sei
Wegen
{
R d × R d → R d
δ :
(x 1 , x 2 ) ↦→ x 2 − x 1 .
Vert(Y t − Y s ) = δVert(Y s ⊗ Y t ) = δVert(X s ⊗ X t ) = Vert(X t − X s )
hat (Y t ) t∈I stationäre Zuwächse.
Für 0 = t 0 < t 1 < . . . < t n gilt mit T n aus 19.3
T −1
n : (x 0 , . . . , x n ) ↦→ (x 0 , x 1 − x 0 , . . . , x n − x n−1 ).
Damit ist
Vert ( Y t0 ⊗(Y t1 − Y t0 ) ⊗ . . . ⊗ (Y tn − Y tn−1 ) ) = T −1 (
n Vert(Yt0 ⊗ Y t1 ⊗ . . . ⊗ Y tn ) )
= T −1 (
n Vert(Xt0 ⊗ . . . ⊗ X tn ) )
= Vert ( X t0 ⊗ (X t1 − X t0 ) ⊗ . . . ⊗ (X tn − X tn−1 ) )
= VertX t0 ⊗ Vert(X t1 − X t0 ) ⊗ . . . ⊗ Vert(X tn − X tn−1 )
= VertX t0 ⊗ δVert(X t0 ⊗ X t1 ) ⊗ . . . ⊗ δVert(X tn ⊗ X tn−1 )
= VertY t0 ⊗ δVert(Y t0 ⊗ Y t1 ) ⊗ . . . ⊗ δVert(Y tn ⊗ Y tn−1 )
= VertY t0 ⊗ Vert(Y t1 − Y t0 ) ⊗ . . . ⊗ Vert(Y tn − Y tn−1 ).
Damit hat (Y t ) t∈I unabhängige Zuwächse.
2. “⇒”: klar
“⇐”: Der Beweis von 1. lehrt, dass für 0 = t 0 < t 1 ≤ . . . ≤ t n
(
Vert(Xt0 ⊗ . . . ⊗ X tn ) ) = T −1 (
Vert(Yt0 ⊗ . . . ⊗ Y tn ) ) .
T −1
n
n
gilt. Also ist durch Komposition mit T n
Damit ist
Vert(X t0 ⊗ . . . ⊗ X tn ) = Vert(Y t0 ⊗ . . . ⊗ Y tn ).
VertX J = VertY J
({0} ⊆ J ⊂⊂ I).
Definiere die Projektion π : (x 0 , . . . , x n ) ↦→ (x 1 , . . . , x n ). Dann folgt die Behauptung
durch
Vert(X t1 ⊗ . . . ⊗ X tn ) = π(Vert(X t0 ⊗ . . . ⊗ X tn ))
= π(Vert(Y t0 ⊗ . . . ⊗ Y tn ))
= Vert(Y t1 ⊗ . . . ⊗ Y tn ),
d.h.
VertX J = VertY J
(J ⊂⊂ I).
✷

20. DIE BROWN’SCHE BEWEGUNG 171
20 Die Brown’sche Bewegung
Sei stets (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
20.1 Definition
Ein Prozess (X t ) t∈R+ mit Zustandsraum R d heißt d-dimensionale Brown’sche Bewegung, falls
folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. (X t ) t∈R+ hat unabhängige, stationäre und normalverteilte Zuwächse, d.h.
wobei
Vert(X t − X s ) = µ t−s
µ t :=
die Brown’sche Faltungshalbgruppe ist.
(0 ≤ s ≤ t),
d⊗
N 0,t (t > 0) und µ 0 = ɛ 0
2. Fast alle Pfade t ↦→ X t (ω) von (X t ) t∈I sind stetig.
Gilt überdies
1
3. X 0 = 0 fast sicher, so heißt die Brown’sche Bewegung normal oder standardisiert.
20.2 Bemerkung
Wir wollen zunächst die Existenz dieses Prozesses beweisen. Dabei wissen wir schon von 18.8, dass
es Prozesse gibt, die die erste Bedingung erfüllen. Zu zeigen ist also, dass es derartige Prozesse
gibt, deren Pfade stetig sind. Dazu müssen wir zeigen, dass C(R + , R d ) wesentlich für die Verteilung
des Prozesses ist (siehe 17.8). Dazu hilft uns 17.12. Zur Anwendung dieses Resultats benötigen
wir zunächst ein Lemma.
20.3 Lemma
Sei d, n ∈ N und Y eine µ t -verteilte Zufallsvariable mit Werten in R d . Dann gibt es ein c n > 0, so
dass für jedes t ∈ R ∗ +
E[||Y || 2n ] = c n t n ,
und speziell
c 1 = d,
c 2 = d(d + 2).
Beweis: Es gilt
E[||Y || 2n ] = (2πt) − d 2
∫
( )
||y|| 2n exp − 1 2t ||y|| λ d x:= √ y t
[dy] = t n (2π) − d 2
Insbesondere ist
∫ d∑
∫
c 1 = x 2 i µ 1 [dx] = d x 2 N 0,1 [dx] = d,
i=1
} {{ }
Var[N 0,1]
∫ d∑ d∑
d∑
∫
c 2 =
x 2 jµ 1 [dx] = x 4 i N 0,1 [dx i ]
x 2 i
i=1 j=1
i=1
∫
(
1
2 ||x|| )λ d [dx]
||x|| 2n exp
} {{ }
=:c n>0

172 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
= √ d ∫
2π
+
d∑
∫
i,j=1
i≠j
y 3( y exp ( ) )
− y2
2
dy + d(d − 1)(Var[N 0,1 ]) 2
= √ d (
−y 3 exp ( ) ∣ ∞
− y2
2π
2 ∣
−∞
} {{ }
=0
= d(d + 2)
20.4 Bemerkungen
∫
+3
y 2 exp ( )
− y2
2 dy
} {{ }
= √ 2π
∫
. . .
x 2 i x 2 jN 0,1 [dx 0 ] . . . N 0,1 [dx d ]
)
+ d(d − 1) = 3d + d(d − 1)
1. Je zwei Brown’sche Bewegungen mit derselben Startverteilung, also insbesondere zwei normale
Brown’sche Bewegungen sind äquivalent (19.5.2).
2. Ist (Y t ) t∈R+ ein stochastischer Prozess mit Zustandsraum R d und fast sicher stetigen Pfaden, der
zu einer d-dimensionalen Brown’schen Bewegung äquivalent ist, so ist (Y t ) t∈R+ eine Brown’sche
Bewegung in R d (19.5.1).
20.5 Hauptsatz
Für jede Dimension d ≥ 1 und jedes Wahrscheinlichkeitsmaß µ ∈ M 1 +(R d ) gibt es genau ein
Wahrscheinlichkeitsmaß P µ auf ( C(R + , R d ), B(C(R + , R d )) ) , so dass der C(R + , R d )-kanonische
Prozess eine d-dimensionale Brown’sche Bewegung ist mit Startwahrscheinlichkeit P µ X 0
= µ.
P µ ist die Einschränkung des äußeren Markoff-Maßes auf C(R + , R d ) zur Startwahrscheinlichkeit
µ und zur Brown’schen Faltungshalbgruppe im R d .
✷
Beweis: Nach 19.4 hat der kanonische Prozess unabhängige und stationäre Zuwächse der geforderten
Art und Startverteilung µ. Die Behuptung folgt daher aus 17.9, 19.5 und 17.10.3, sofern
C(R + , R d ) wesentlich bzgl. des projektiven Limes ist. Dies folgt aber aus 17.11 und 17.12, da nach
20.3 für n ≥ 2 die Kolmogoroff-Chentsov-Bedingung mit α = 2n, β = n − 1, c = c n erfüllt sind,
denn
E[||X t − X s || 2n ] = c n |t − s| n .
20.6 Definition
Für x ∈ E sei P x := P ɛx . Das Radon-Maß P 0 liefert das d-dimensionale Wiener-Maß.
Die C(R + , R d )-kanonische Brown’sche Bewegung ist bzgl. des Wiener-Maßes normal, denn P 0 X 0
=
ɛ 0 , d.h. X 0 = 0 fast sicher.
20.7 Bemerkung
Sei x ∈ R d . Definiere
T x :
{
C(R + , R d ) → C(R + , R d )
ω ↦→ x + ω : t ↦→ x + ω(t).
Dann ist T x bzgl. lokal gleichmäßiger Konvergenz stetig, insbesondere Borel-messbar.
Beh: Es gilt P x = T x (P 0 ).
✷

20. DIE BROWN’SCHE BEWEGUNG 173
Denn: Der Prozess (X t ) t∈R+ ist eine C(R + , R d )-kanonische Brown’sche Bewegung mit P 0 X 0
= ɛ 0 ,
also
(X t − X s )P 0 = (T x ◦ X t − T x ◦ X s )P 0 = (X t − X s )(T x (P 0 )).
Also beinhaltet die Unabhängigkeit der Zuwächse bzgl. P 0 die Unabhängigkeit der Zuwächse bzgl.
T x (P 0 ). Wegen
T x (P 0 ) X0 = X 0 ◦ T x (P 0 ) = ɛ x
ist (X t ) t∈R+ bzgl. T x (P 0 ) eine Brown’sche Bewegung mit Start in x, wegen der Eindeutigkeit in
20.5 ist also T x (P 0 ) = P x .
20.8 Satz (Eigenschaften der Brown’schen Bewegung)
Sei (X t ) t∈I eine Brown’sche Bewegung in R d .
1. Homogenität: Für jedes s ∈ R + ist der Prozess (X t+s − X s ) t∈R+ eine normale Brown’sche
Bewegung.
2. Zeitverschiebung: Der Prozess (X s+t ) t∈R+ ist eine Brown’sche Bewegung in R d (s ∈ R + ).
3. Translation: Der Prozess (X t + x) t∈R+ ist eine Brown’sche Bewegung in R d (x ∈ R d ).
4. Orthogonale Transformation, insbesondere Spiegelung und Drehung: Für jede orthogonale
Transformation A in R d ist auch (AX t ) t∈R+ eine Brown’sche Bewegung im R d . Ist (X t ) t∈I
normal, so auch (AX t ) t∈R+ .
5. Für τ > 0 ist auch (τX t
(τX t
τ 2 ) t∈R+ .
τ 2 ) t∈R+
eine Brown’sche Bewegung in R d . Ist (X t ) t∈I normal, so auch
6. Jeder der Komponentenprozesse (X i t) t∈R+ (i = 1, . . . , d) ist eine reelle Brown’sche Bewegung.
Ist (X t ) t∈I normal, so auch (X i t) t∈R+ (i = 1, . . . , d). Dann sind X 1 t , . . . , X d t unabhängige
Zufallsvariable für jedes t ≥ 0.
Beweis:
1.-3. klar unter Beachtung von 19.2.2.
4. Nur die Verteilung der Zuwächse ist zu überprüfen. Für s ≤ t und B ∈ B(R d ) gilt mit dem
Transformationssatz
∫
P[AX t − AX s ∈ B] = µ t−s [A −1 (B)] = (2π(t − s)) − d ( )
s exp − 1 ||x|| 2
2 t−s
λ d [dx]
A −1 (B)
∫
y=A −1 x
= 2π(t − s) − d (
)
2
1 ||Ay||
exp
2
2 t−s
| det A| λ d [dy] = µ t−s [B].
B } {{ }
5. Hier ist für s ≤ t und B ∈ B(R d )
6. Es gilt
P[τX t − τX s
τ 2 τ 2
= ||y||2
t−s
∈ B] = N 0, t−s [ 1 t−s
τ
B] = (2π(
τ
)) − d 2 2
τ 2
∫
y=τx
= (2π(t − s)) − d 2
B
∫
(
exp − 1 2
} {{ }
=1
exp
1
τ B
||y|| 2
t−s
(
− 1 2
)
τ 2 ||x|| 2
t−s
λ d [dx]
)
λ d [dy] = µ t−s [B].
Vert(π j ◦ (X t − X s )) = π j (Vert(X t − X s )) = π j (µ t−s ) = N 0,t−s .

174 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
Die Unabhängigkeit der Zuwächse bleibt erhalten, die Stetigkeit der Pfade ist klar. Aus der
Normalität folgt
d⊗
d⊗
VertX t = µ t = N 0,t = VertX i t
1
i=1
und VertX 0 =
d⊗
ɛ 0 und damit die Unabhängigkeit.
1
✷
20.9 Definition
Die Verteilung N d :=
d⊗
N 0,1 = µ 1 heißt d-dimensionale Standard-Normalverteilung. Gaußmaß
1
oder d-dimensionale Normalverteilung heißt jedes Bildmaß T (N d ) unter einer affin-linearen Abbildung
T : x ↦→ Ax + b des R d in sich. Dabei ist A eine reelle d × d-Matrix und b ∈ R d . Sie heißt
ausgeartet, wenn det A = 0.
Eine R d -wertige Zufallsvariable heißt Gauß’sch, wenn ihre Verteilung ein Gaußmaß ist. Ein stochastischer
Prozess heißt Gauß-Prozess, wenn seine endlich-dimensionalen Randverteilungen Gaußmaße
sind. Ein reller Gauß-Prozess (X t ) t∈I heißt zentriert, wenn E[X t ] = 0 (t ∈ I).
20.10 Beispiele
1. Sei d = 1. Dann gilt:
T (N 1 ) ausgeartet ⇐⇒ T = b konstant ⇐⇒ T (N 1 ) = ɛ b =: N b,0 .
2. Seien
t i ≥ 0, b i ∈ R, T i : x i ↦→ √ t i x i + b i (i = 1, . . . , d).
Sei außerdem T i (N 0,1 ) = N bi,t i
und
A :
⎛√ t1 0
⎜
⎝
0
. ..
√
td
⎞
⎟
⎠ und T := (T 1 , . . . , T d ) : x ↦→ Ax + b.
Beh: T (N d ) =
d⊗
i=1
N bi,t i
Denn: Für B i ∈ B(R) ist
ist eine d-dimensionale Normalverteilung,
N d
[
T −1 (B 1 × . . . × B d ) ] = N d
[ d∏
=
i=1
]
T −1
i (B i ) =
d∏
i=1
d⊗
N bi,t i
[B 1 × . . . × B d ].
i=1
N 0,1
[
T
−1
i (B i ) ] =
d∏
N bi,t i
[B i ]
i=1
3. Jedes Bildmaß eines Gaußmaßes unter affin-linearen Transformationen ist ein Gauß-Maß.

20. DIE BROWN’SCHE BEWEGUNG 175
20.11 Satz
1. Sei A =
⎛
⎞
⎜
⎝a ⊤ ⎟
1. ⎠ ∈ GL(d, R), d.h. det A ≠ 0. Sei
a ⊤ d
C := AA ⊤ = ( 〈a i , a j 〉 ) i,j=1...,d , b ∈ Rd und T : x ↦→ Ax + b.
Dann hat die nichtausgeartete Normalverteilung T (N d ) die λ d -Dichte
g(x) = (2π) − d 2 (det C) − 1 (
)
2 exp − 1 2 (x − b)⊤ C −1 (x − b)
und T (N) hat den Erwartungsvektor
sowie die Kovarianzmatrix
d.h.
V[T ] := ( Cov[T i , T j ] ) i,j=1,...,d = C,
E[T ] := ( E[T 1 ], . . . , E[T d ] ) = b
Cov[T i , T j ] = 〈a i , a j 〉
(i, j = 1, . . . , d).
Die Matrix C ist symmetrisch, positiv definit und T (N d ) ist durch C und b eindeutig bestimmt,
bezeichnet mit N(b, C).
2. Sei C eine positiv definite, symmetrische Matrix und b ∈ R. Dann gibt es genau ein Gaußmaß
N, so dass N = N(b, C). Dies ist nichtausgeartet.
Beweis:
1. Es gilt für B ∈ B(R d )
T (N)[B] = N[T −1 (B)] = (2π) − d 2
∫
x=A −1 (y−b)
= (2π) − d 2
∫
= (2π) − d 2
∫
(
1 T −1 (B)(y) exp
)
− y⊤ y
2
dy
(
1 B (x)(det A) −1 exp − 1 2 (x − b)⊤ (A ⊤ ) −1 A −1 (x − b)
1 B (x)(det C) − 1 (
)
2 exp − 1 2 (x − b)⊤ C −1 (x − b) dx.
)
dx
Mit dieser Dichte gilt
E[T i ] = (2π) − d 2
∫
(
x i exp
∫
y=A −1 (x−b)
= (2π) − d 2
=
)
− 1 2 (x − b)⊤ (AA ⊤ ) −1 (x − b) dx
(
(a ⊤ i y + b i ) exp
d∑
∫
a ij yg 0,1 (y)λ d [dy] + b i = b i
i=1
)
− y⊤ y
2
dy

176 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
und
Cov[T i , T j ] = E[T i T j ] − b i b j = (2π) − d (
2 x i x j exp
∫
y=A −1 (x−b)
= (2π) − d 2
∫
= (2π) − d 2
(
a ⊤ i yy ⊤ a j exp
(a ⊤ i y + b i )(a ⊤ j y + b j ) exp
)
− y⊤ y
2
dy
)
− 1 2 (x − b)⊤ (AA ⊤ ) −1 (x − b)
(
− y⊤ y
2
)
dy − b i b j
Da die gemischten Terme y i y j beim integrieren keinen Beitrag leisten, ist weiter
dx − b i b j
d∑
∫
Cov[T i , T j ] = (2π) − d 2
k=1
(
a ik yka 2 jk exp
)
− y⊤ y
2
dy =
d∑
a ik a jk = 〈a i , a j 〉.
k=1
2. Sei C symmetrisch und positiv definit. Dann gibt es genau ein A ∈ GL(d, R), so dass C = AA ⊤ .
Da jede affin lineare Abbildung T : Ax + b eindeutig durch A und b bestimmt ist, ist T (N)
eindeutig durch A und b bestimmt.
20.12 Hauptsatz
Jede normale Brown’sche Bewegung X t ist ein zentrierter Gauß-Prozess mit Erwartungsfunktion
b : t ↦→ E[X t ] = 0
und Kovarianzfunktion
Γ : (s, t) ↦→ Cov[X s , X t ] = inf(s, t).
✷
Beweis: Sei 0 ≤ t 1 < . . . < t n und
Also ist T ∈ GL(n, R) mit
und es gilt:
T : (y 1 , . . . , y n ) ↦→ (y 1 , y 1 + y 2 , . . . , y 1 + . . . + y n ).
T −1 = (x 1 , . . . , x n ) ↦→ (x 1 , x 2 − x 1 , . . . , x n − x n−1 )
Vert(X t1 ⊗ . . . ⊗ X tn ) = Vert ( T ◦ (X t1 ⊗ X t2 − X t1 ⊗ . . . ⊗ X tn − X tn−1 ) )
= T ( µ t1
⊗ µ ts−t 1
⊗ . . . ⊗ µ tn−t n−1
)
,
wobei µ t1
= ɛ 0 für t 1 = 0. Damit ist (X t ) t∈I nach 20.10.3 ein Gaußprozess.
Da VertX t = µ t = N 0,t , ist E[X t ] = 0 und Var[X t ] = t. Für s < t gilt:
und für s = t :
Cov[X s , X t ] = E[X s X t ] = E[(X t − X s )X s + X 2 s ] = E[(X t − X s )X s ] + E[X 2 s ]
19.2.2
= E[X t − X s ]E[X s ] + E[X 2 s ] = Var[X s ] = s = inf(s, t),
Cov[X s , X t ] = Var[X s ] = s = inf(s, t).
✷

20. DIE BROWN’SCHE BEWEGUNG 177
20.13 Satz
Fast sicher ist jeder Pfad einer Brown’schen Bewegung in R d lokal Hölder-stetig mit jedem
Exponenten γ ∈ (0; 1 2 ).
Beweis:
Nach 17.12 existiert eine lokal Hölder-stetige Modifikation (Y t ) t≥0 , mit Exponenten, der für ein
n ∈ N 0 < γ < n−1
2n
erfüllt, d.h. mit beliebigem Exponenten 0 < γ < 1 2
(vgl. 20.3, 20.5), also ist
(Y t ) t≥0 eine Brown’sche Bewegung. Aus P[X t ≠ Y t ] = 0 (t ∈ R + ) folgt mit A t := {ω : X t (ω) ≠
Y t (ω)} (t ∈ Q + ) und dem Borel-Cantelli-Lemma 12.9
P[X t ≠ Y t für höchstens endlich viele t ∈ Q + ] = 1.
Da aber sowohl fast alle Pfade von (X t ) t∈I als auch von (Y t ) t∈I stetig sind, ist
Wieder wegen der Stetigkeit der Pfade ist damit
P[X t = Y t t ∈ Q + ] = 1.
P[X t = Y t , t ∈ R + ] = 1,
also die Behauptung.
20.14 Bemerkung
Man kann zeigen, dass die Schranke 1 2
im vorangegangenen Satz scharf ist. Siehe z.B. [BW], 47.3.
✷
20.15 Hauptsatz
Fast alle Pfade einer d-dimensionalen, Brown’schen Bewegung sind nirgends rechtsseitig diferenzierbar.
Beweis: Es genügt, die Behauptung für den Fall d = 1 und die Einschränkung der reellen
Brown’schen Bewegung (X t ) t∈I für jedes Intervall I = [0; a) mit a > 0 zu beweisen.
Sei
{
X t+s (ω) − X t (ω) X t+s (ω) − X t (ω)
}
A := ω ∈ Ω : ∃t ∈ I, −∞ < lim inf
≤ lim sup
< ∞ .
s→0+ s
s→0+ s
Wir beweisen schärfer:
Beh: A ist in einer Nullmenge enthalten.
Wir beweisen, dass fast sicher, wenn der Pfad einer Brown’schen Bewegung rechtsseitig differenzierbar
wäre, die Ableitung unendlich groß wäre. Setze hierzu
A mn = { ω ∈ Ω : ∃t ∈ I : |X t+s (ω) − X t (ω)| ≤ ms (s ∈ [0; 4a n ))} ,
Damit ist
A ⊆
⋃
m,n∈N
A mn
und A mn ist eine aufsteigende Folge in n für festes (m ∈ N). Also ist nur zu zeigen, dass für alle
m, n die Menge A mn in einer Nullmenge enthalten ist.
1. Sei ω ∈ A mn und t ∈ I mit
|X t+s (ω) − X t (ω)| ≤ ms (s ∈ [0; 4a n ).

178 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
Dann gibt es ein k ∈ {1, . . . , n}, so dass t ∈ [ a k−1
n ; a n] k . Also ist für
und damit
2. Sei
B mnk :=
B mn :=
3⋂
i=1
s i := a k+i
n − t (i = 0, . . . , 3) : s i ∈ [ 0; a i+1
n
]
⊆
[
0;
4a
n
∣ ∣Xa
k+i (ω) − X t (ω) ∣ ≤
i+1
n ma ≤ 4a m n
(i = 0, . . . , 3).
n
{
|Xa k+i
n
n⋃
B mnk ∈ A
k=1
}
− X ∣
k+i−1 ≤ 8a
m
a n ,
n
und es gilt mit der Dreiecksungleichung für j ≥ n
Also ist
A mn ⊆ {|X t+s − X t ≤ ms, s ∈ [0; 4a n )}
⊆ {∃t ∈ [a k−1
j
; a k j ] : |X a k+i
j
j⋃
⊆
A mn ⊆
{|X k+i a
k=1
j
= B mj (m ∈ N).
∞⋂
B mj =: C mn ∈ A.
j=n
− X t | ≤ 4am
j
, |X k+i−1 − X t | ≤ 4am
a j
; i = 1, 2, 3}
j
− X k+i−1 | ≤ 8am
a j
(i = 1, 2, 3)}
j
3. Beh.: Es ist P[C mn ] = 0 (m, n ∈ N).
Denn: Wegen der Unabhängigkeit der Zuwächse ist
Also ist
und mit
ist also
P[B mnk ] =
3∏
i=1
P [∣ ∣ Xa k+i
n
( ∫ m
(2π ) 8a
a −1/2 n
=
n
−8a m n
= ( 2πa ) −3/2
(16a)
3 m 3
n 3/2 .
P[B mn ] = P [ ⋃
n ]
B mnk ≤
k=1
− X ∣
k+i−1 ≤ 8a
m
a n
n
n ∑
k=1
P[C mn ] ≤ P[B mj ] (j ∈ N)
P[C mn ] = 0.
exp ( )
− x2
2 a n
} {{ }
≤1
]
=
(
N 0,
a
n
]
[
− 8a
m
n ; 8a ] ) m 3
n
) 3 ( ) −3/2n
dx ≤ 2πa 3/2 (16a) 3 m3
n 3
P[B mnk ] ≤ ( 2πa ) −3/2
(16a)
3 m3
n 1/2
n→∞
−−−→ 0
✷

20. DIE BROWN’SCHE BEWEGUNG 179
20.16 Korollar
Für fast alle Pfade einer reellen Brown’schen Bewegung gilt:
1. Sie sind in keinem nicht-ausgearteten Intervall monoton.
2. Sie sind in keinem kompakten, nichtausgearteten Intervall [s, t] von beschränkter Variation, d.h.
V [s,t] X(ω) := sup { ∑
n |X ti (ω) − X ti−1 (ω)| : n ∈ N, s = t 0 < t 1 < . . . < t n = t } = ∞
für fast alle ω ∈ Ω.
i=1
Beweis: Wir benutzen (vgl. [HS] 17.12, 17.16):
1. Jede monotone Funktion ist λ-fast überall differenzierbar
2. Jede Funktion von beschränkter Variation ist Differenz zweier isotoner Funktionen, also λ-fast
überall differenzierbar.
Mit folgt die Behauptung aus 20.15.
✷
20.17 Satz
Jede d-dimensionale Brown’sche Bewegung (X t ) t≥0 ist von endlicher quadratischer Variation,
d.h. für 0 ≤ s < t und s = t 0 < t 1 < . . . < t n = t, einer Zerlegung von [s; t] ist
[( ∑
n ) 2 ]
E ||X ti − X ti−1 || 2 n→∞
− d(t − s) −−−→ 0,
i=1
wenn der Feinheitsgrad der Zerlegung gegen 0 konvergiert, d.h. wenn
max (t i − t i−1 ) n→∞
−→ 0.
1≤i≤n
Beweis: Zunächst ist nach 20.3
[ ∑
n
E ||X ti − X ti−1 || 2] =
i=1
und wegen der Unabhängigkeit gilt
[ ( ∑
n
E ||X ti − X ti−1 || 2) ] 2
=
i=1
20.3
=
n∑
E [ ||X ti − X ti−1 || 4] +
i=1
n∑
i=1
n∑
d(d + 2)(t i − t i−1 ) 2 +
i=1
i=1
i=1
n∑
d(t i − t i−1 ) = d(t − s)
i=1
n∑
E [ ||X ti − X ti−1 || 2 ||X tj − X tj−1 || 2]
j=1
j≠i
n∑
i=1
n∑
d(t i − t i−1 )d(t j − t j−1 )
j=1
j≠i
= d 2[ ∑
n (t i − t i−1 ) ] 2
∑ n n∑
+ 2d (t i − t i−1 ) 2 = d 2 (t − s) 2 + 2d (t i − t i−1 ) 2 .
i=1

180 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
Also ist
[( ∑ n
E ||X ti − X ti−1 || 2
i=1
} {{ }
=:Y
) 2 ]
− d(t − s) = E[Y 2 ] − E 2 [Y ] =
} {{ }
=E[Y ]
2d
n∑
(t i − t i−1 ) 2 ≤ 2d max (t i − t i−1 )(t − s) n→∞
−→ 0.
1≤i≤n
i=1
✷

21. DER POISSON’SCHE PROZESS 181
21 Der Poisson’sche Prozess
Ziel dieses Paragraphen ist die Konstruktion eines Zählprozesses. Beispiele für Anwendungen dieses
Zählprozesses sollen z.B. die Anzahl der von einem Sender emittierten Signale in einem Zeitintervall
der Länge t sein, z.B. beim radioaktiven Zerfall, eingehenden Telefonanrufen in einer
Telefonzentrale oder Schadensmeldungen bei Versicherungen. Ein gutes Modell für die Verteilung
der Zufallsvariablen, die die Anzahl der Ereignisse in einem bestimmten Zeitintervall zählt, ist,
wie aus der elementaren Stochastik bekannt, die Poissonverteilung mit Parameter proportional
zur Intervalllänge t.
Für α ≥ 0 ist also
−αt (αt)n
π αt [n] = e
n!
gleich die Wahrscheinlichkeit, dass genau n Signale in einem Zeitintervall der Lämge t eintreffen.
Speziell sind die Wahrschinlichkeiten für kein bzw. genau ein Signal
π αt [0] = e −αt , bzw. π αt [1] = αte −αt .
Die anschauliche Interpretation des Parameters α ergibt sich durch
π αt [1]
lim = α
t→0+ t
als die mittlere Emissionszahl oder auch ’Intensität’
Die Wahrscheinlichkeit, in einem Zeitintervall mindestens zwei Signale zu erhalten, ist
und damit
π αt [2, 3, . . .] = 1 − π αt [0] − π αt [1] = 1 − e −αt − αte −αt = e −αt (e αt − 1 − αt)
π αt [2, 3, . . .]
lim
= lim
t→0+ t
e−αt( e αt − 1
)
− α = 0,
t→0+ t
d.h. asymptotisch klein im Vergleich zur Intervalllänge.
Zählprozesse haben Sprünge in folgendem Sinne:
Sei f : R + → R isoton, dann heißt
S f : t ↦→ lim f(s) − lim f(s)
s→t+ s→t−
Sprungfunktion von f. Man sagt, f habe Sprünge der Größe 1, wenn
S f (R + ) ⊆ {0, 1}.
21.1 Definition
1. Ein stochastischer Prozess (X t ) t∈R+ mit Zustandsraum Z heißt Poisson-Prozess zum Parameter
α > 0, wenn gilt:
1. (X t ) t∈R+ hat stationäre, unabhängige und Poisson-verteilte Zuwächse hat, d.h es gilt
Vert(X t − X s ) = π α(t−s)
(0 ≤ s < t).
2. Fast alle Pfade sind isoton und rechtsseitig stetig mit Sprüngen der Größe 1.
Gilt überdies
3. X 0 = 0 fast sicher,

182 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
so heißt der Poisson’sche Prozess normal oder standardisiert.
Beispiel für einen typischen Pfad eines normalen Poisson-Prozesses:
t ↦→ X t (ω)
. .
•
.
•
.
• .
•
.
•
.
• .
•
.
• .
•
.
t
.
..
2. Definiere die Menge aller iosotonen, rechtsseitig stetigen Pfaden mit Sprüngen der Größe 1 als
D(R + , Z) := {ω : R + → Z : ω isoton, rechtsseitig stetig mit Sprüngen der Größe 1}.
21.2 Bemerkungen
1. Je zwei Poisson-Prozesse mit derselben Startwahrscheinlichkeit sind äquivalent, siehe 19.5.2.
2. Ist (Y t ) t≥0 ein Prozess mit der Pfadeigenschaft 21.1.2, der zu einem Poisson-Prozess äquivalent
ist, so ist (Y t ) t≥0 selbst ein Poisson-Prozess, siehe 19.5.1.
21.3 Hauptsatz
Sei α > 0 und µ ∈ M 1 +(Z). Dann gibt es genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß P µ auf
(D(R + , Z), D(R + , Z) ∩ P(Z R+ )),
so dass der D(R + , Z)-kanonische Prozess ein Poisson-Prozess zum Parameter α mit Startverteilung
µ ist.
Die Verteilung P µ ist die Einschränkung des äußeren Markoff-Maßes auf D(R + , Z) zur Startwahrscheinlichkeit
µ und zur Poisson’schen Faltungshalbgruppe (π αt ) t∈R+ .
Beweis: Zu µ und der Faltungshalbgruppe (π αt ) t∈R+ gehört der kanonische Prozess mit gemeinsamer
Verteilung P µ . Nach 19.4 besitzt der Prozess unabängige und stationäre Poisson-verteilte
Zuwächse. Außerdem gilt VertX 0 = µ.
Damit ist die Aussage bewiesen, wenn zu diesem kanonischen Prozess ein äquivalenter Prozess mit
den gewünschten Pfadeigenschaften existiert.
Hierzu bezeichne
S := {k2 −n : k, n ∈ N 0 }
die Menge aller dyadischen Zahlen in R + .

21. DER POISSON’SCHE PROZESS 183
1. Beh.: Es gibt ein Ω 1 mit P µ [Ω 1 ] = 1 und
X s (ω) ≤ X t (ω), (s, t ∈ S, s < t, ω ∈ Ω 1 ).
Denn: für s, t ∈ S mit s < t ist
P µ [X t − X s ≥ 0] = π α(t−s) [Z + ] = 1.
Da mit S auch die Menge aller Paare (s, t) ∈ S×S mit s < t abzählbar ist, folgt die Behauptung.
2. Für 0 ≤ s ≤ t ist
P[X t − X s ≥ 1] = π α(t−s) [N] = 1 − e −α(t−s) .
3. Für ω ∈ Ω 1 existiert nach 1.
Y t (ω) := lim X s (ω).
s∈S,
s→t+
Offenbar ist t ↦→ Y t (ω) isoton und rechtsseitig stetig.
4. Sei ω ∈ Ω 1 und S ω = S YR+ (ω) die Sprungfunktion des Pfades.
Beh: Es gibt eine messbare Menge Ω 2 ⊆ Ω 1 mit P[Ω 2 ] = 1, so dass
{ω ∈ Ω 2 : S ω (t) ≥ 2} = ∅ (t ∈ R + ),
d.h. der Pfad t ↦→ Y t (ω) hat für ω ∈ Ω 2 Sprünge der Größe 1.
Denn: Sei dazu für m ∈ N
∞⋂ ⋃
B m := n2 n − 1{X (i+1)2 −n − X (i−1)2 −n ≥ 2}.
n=m i=1
Dann ist B m messbar (m ∈ N). Für n ≥ m ist
und damit
(i + 1)2 −n − (i − 1)2 −n = 2 −n+1
[ n2
P[B m ] = lim P ⋃
n −1
]
{X (i+1)2 −n − X (i−1)2 −n ≥ 2}
n→∞
i=1
n2
∑
n −1
≤ lim P [ X (i+1)2 −n − X (i−1)2 −n ≥ 2 ]
n→∞
= lim
n→∞
i=1
Also ist P[B m ] = 0 (m ∈ N) und damit
Dann ist Ω 2 := Ω 1 \
5. Wir setzen noch
∞⋃
m=1
∑
i = 1
2 n −1 π α2 −n+1[2, 3, . . .]
= lim
n→∞ (n2n − 1)e −α2−(n−1) α 2 2 −(n−1)2
≤ lim
n→∞ α2 (n2 n − 1)2 −(n−1)2 = 0.
P [ ∞ ⋃
m=1
B m
]
= 0.
B m messbar mit P[Ω 2 ] = 1.
Y t (ω) = 0 (t ∈ R + , ω ∈ CΩ 2 ).
∞ ∑
α k 2 −(n−1)k
(k + 2)!
k=0
} {{ }
≤e α2−(n−1)
Dann sind (X t ) t∈R+ und (Y t ) t∈R+ äquivalent und (Y t ) t∈R+ ist D(R + , Z)-kanonisch.
✷

184 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
21.4 Satz
Für jeden Poisson-Prozess (X t ) t∈R+
zum Parameter α > 0 gilt:
1. Sei t 0 ∈ R + . Dann sind fast alle Pfade stetig in t 0 .
2. Fast alle Pfade besitzen unendlich viele Sprünge der Größe 1.
3. Ist (X t ) t∈R+ normal, so haben fast alle Pfade ihre Werte in Z + .
Beweis:
1. Œ liege jeder Pfad t ↦→ X t (ω) in D(R + , Z).
In t 0 = 0 sind alle Pfade rechtsseitig stetig, also stetig.
Ist t 0 > 0 so ist
A := ⋂ s∈Q,
s 0}
die Menge der ω, deren Pfad in t 0 unstetig ist. Wegen
lim P[X t − X s > 0] = lim 1 − P[X t0 − X s = 0] = lim 1 − e −α(t0−s) = 0
s↑t 0 s↑t0 s↑t0
und der Stetigkeit von Wahrscheinlichkeitsmaßen ist A eine Nullmenge.
2. Es genügt zu zeigen: Mit
B := {ω : X n (ω) − X n−1 (ω) ≥ 1 für unendlich viele n ∈ N}
ist P[B] = 1.
Denn: Für jedes ω ∈ B und jedes n ∈ N mit mit X n (ω) − X n−1 (ω) ≥ 1 liegt in [n − 1; n]
die Sprungstelle t = inf{s ∈ [n − 1; n] : X s (ω) = X n (ω)}. Also hat der Pfad unendlich viele
Sprungstellen.
Die obige Behauptung folgt wegen
∞∑
∞∑
P[X n − X n−1 ≥ 1] = 1 − e −α = ∞
n=1
und der Unabhängigkeit der Zuwächse aus dem Borel-Cantelli Lemma 12.9.
3. Da X 0 = 0 fast sicher, ist X t ≥ 0 fast sicher (t ∈ R + ) und damit X t (ω) ∈ Z + .
n=1

Kapitel 6
Martingaltheorie
22 Satz von Radon-Nikodym und bedingte Erwartungen
Sei stets (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
22.1 Hauptsatz (Radon-Nikodym)
Seien µ und ν endliche Maße auf A. Genau dann besitzt ν eine Dichte dν bzgl. µ, wenn ν
dµ
stetig bzgl. µ ist, d.h wenn für N ∈ A mit µ[N] = 0 auch ν[N] = 0 gilt. Dann ist diese Dichte
µ-fast-überall eindeutig bestimmt.
Beweis:
“⇒”: siehe 11.10.
“⇐”: Zunächst sei ν ≤ µ. Da µ ein endliches Maß ist, gilt L 2 (Ω, A, µ) ⊆ L 2 (Ω, A, ν) ⊆
L 1 (Ω, A, ν). Definiere nun die Linearform
⎧
⎨L 2 (Ω, A, µ) → R
∫
φ :
⎩f
↦→ fdν.
Nach einem Resultat der Funktionalanalysis (siehe [Ru], 12.5) existiert daher auf dem
Hilbertraum der Äquivalenzklassen L 2 (µ) bzw. einfacher auf L 2 (µ) ein g ∈ L 2 (µ) derart,
dass
∫
φ(f) = 〈f, g〉 = fgdµ.
Somit ist
∫
∫
fdν = φ(f) =
fgdµ (f ∈ L 2 (Ω, A, µ)).
Damit ist, wenn man f = 1 A für A ∈ A einsetzt,
∫ ∫
ν[A] = 1 A gdµ =
A
gdµ.
Zu zeigen bleibt g ≥ 0 µ−fast-überall. Sei dazu A := {g < 0} ∈ A. Dann ist
∫ ∫
0 ≤ ν[A] = gdµ = 1 A g dµ ≤ 0,
A
}{{}
≤0
185

186 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
also 1 A g = 0 µ−fast-überall und damit µ[A] = 0. Definiere nun die Dichte durch
dν
dµ := g1 CA.
Allgemeiner ist µ, ν ≤ µ + ν. Nach obigem Vorgehen ergeben sich dann messbare Funktionen
dµ
d(ν + µ) , dν
d(ν + µ) ≥ 0
mit
Sei N :=
dµ
µ =
d(ν + µ) (µ + ν), ν = dν
(µ + ν).
d(ν + µ)
{
dµ
}
d(ν + µ) = 0 . Dann ist µ[N] = ν[N] = 0. Definiere
Dann ist für A ∈ A
∫
ν[A] = ν[A \ N] =
∫
=
A\N
d(ν + µ)
dµ
d(ν + µ)
⎧
dν
⎪⎨
dν
dµ := ⎪ ⎩
A\N
auf CN
0 auf N.
∫
dν
d(ν + µ) d(µ + ν) =
dν
(
dµ d dµ
) ∫
d(ν + µ) (µ + ν) =
A\N
dν dµ
d(µ + ν)
dµ d(ν + µ)
dν
dµ
∫A
dµ = dν
dµ dµ.
Also ist ν = dν
dµ µ. ✷
22.2 Bemerkung
Der Satz von Radon-Nikodym gilt allgemeiner für σ-endliches µ und beliebiges Maß ν. Der obige
Beweis lässt sich wörtlich übernehmen für ein allgemeines endliches Maß µ.
22.3 Problemstellung
Sei X eine reeller Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P). Wie prognostiziert
man X bei gegebener ’Information’, gemessen durch eine Unter-σ-Alegbra B von A, d.h. durch
eine B-messbare Zufallsvarieble ’möglichst gut’? Eine erste Idee ist die Gauß’sche Methode des
kleinsten quadratischen Fehlers.
22.4 Satz
Zu X ∈ L 2 (Ω, A, P) und jeder Unter-σ-Algebra B ⊆ A gibt es eine P-fast sicher eindeutig
bestimmte, B-messbare Zufallsvariable X B ∈ L 2 (Ω, B, P| B ) =: L 2 (B) mit
||X − X B || 2 =
min ||X − Y || 2.
Y ∈L 2 (B)
Für B ∈ B gilt
∫
∫
X B dP = XdP.
B
B
Beweis: Wegen B ⊆ A ist L 2 (B) ⊆ L 2 (A). Außerdem induziert die Halbnorm ||.|| 2 von L 2 (A) die

22. SATZ VON RADON-NIKODYM UND BEDINGTE ERWARTUNGEN 187
Halbnorm ||.|| 2 von L 2 (B). Zu f ∈ L 2 +(B) gibt es eine Folge (t n ) n∈N von B-Treppenfunktionen
mit t n ↑ f. Mit dem Satz über monotone Konvergenz folgt
∫
∫
lim |f − t n | 2 dP = lim |f − t n | 2 dP| B = 0
n→∞
n→∞
mit
∫
∫
t n dP =
t n dP| B .
Da der Hilbertraum L 2 (B) als vollständiger Unterraum von L 2 (A) in L 2 (A) abgeschlossen ist,
gibt es nach dem Projektionssatz (siehe [Ru], 12.3, 12.4) zu ˆf ∈ L 2 (A) genau ein ĝ ∈ L 2 (B) mit
bestimmt durch die Eigenschaft
|| ˆf − ĝ|| = min || ˆf − ĥ||,
ĥ∈L 2 (B)
〈 ˆf − ĝ, ĥ〉 = 0 (ĥ ∈ L2 (B).
Also folgt die Behauptung mit X = ˆf mit X B = g.
Für B ∈ B ist mit 1 B = ĥ
∫ ∫
∫
∫
XdP = X1 B dP = X B 1 B dP = X B dP.
B
B
✷
22.5 Hauptsatz
Zu X ∈ L 1 (Ω, A, P) gibt es eine P-fast-sicher eindeutig bestimmte, B-messbare Funktion
X B ∈ L 1 (Ω, A, P) mit ∫
∫
X B dP = XdP (B ∈ B).
Ist X ≥ 0, so auch X B P-fast sicher.
B
B
Beweis:
Existenz: Sei zunächst X ≥ 0 und
⎧
⎨B → [0;
∫
∞)
Q :
⎩B
↦→ XdP
ein endliche Maß auf B. Damit ist Q

188 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
Dann ist
∫
B
(Y 1 − Y 2 )dP = 0 (B ∈ B).
Da {Y 1 − Y 2 > 0} ∈ L(B), ist {Y 1 > Y 2 } eine P-Nullmenge. Entsprechend ist {Y 2 > Y 1 } eine
P-Nullmenge. Damit ist Y 1 = Y 2 P-fast sicher.
Isotonie: Sei X ≥ 0. Definiere B := {X B < 0} ∈ B und es gilt
∫
∫
0 ≥ X B dP = XdP ≥ 0.
Damit ist B eine P-Nullmenge.
22.6 Bezeichnungen und Bemerkung
1. Die Zufallsvariable
B
B
X B =: E B [X] =: E[X|B]
heißt Version der bedingten Erwartung von X unter der Hypothese B, oder kürzer bedingte
Erwartung von X unter B.
Ist speziell Y : (Ω, A) → (Ω ′ , A ′ ), so definiert man die bedingte Erwartung bzgl. der Zufallsvariablen
Y durch
E[X|Y ] := E[X|σ(Y )].
Sei allgemeiner (Y i ) i∈I eine Familie von Zufallsvariablen mit Y i : (Ω, A) → (Ω ′ , A ′ ) (i ∈ I), so
definiert man die bedingte Erwartung bzgl. der Familie von Zufallsvariablen (Y i ) i∈I durch
E[X|Y i ; i ∈ I] := E [ X| ⊗ i∈I
Y i
]
.
✷
2. Die bedingte Erwartung bzgl. einer Zufallsvariablen und einer Unter-σ-Algebra sind äquivalente
Begriffe, was aus
{
(Ω, A) → (Ω, B)
Y :
y ↦→ y
folgt.
3. Sei X ∈ L 2 (A). Dann ist X B ∈ L 2 (A) und B-messbar. Hier ist X B nach 22.4 gekennzeichnet als
L 2 (B)-Funktion, die die quadratischen Fehler minimiert. Außerdem ist X B fast sicher eindeutig
bestimmt.
22.7 Beispiele
1. Sei B = A und X ∈ L 1 (Ω, A, P). Dann ist nach Definition X B ∈ L 1 (Ω, A, P) und B-messbar
mit
∫
∫
X B dP = XdP.
B
Also X B = X fast sicher. Hier stellt die σ-Algebra B bereits die gesamte Information bereit,
so dass A keine weitere Information bereithält.
2. Sei B = {∅, Ω} und X ∈ L 1 (Ω, A, P). Dann ist
X B = E[X] P-fast sicher.
Somit enthält B keine Information über das genauere Aussehen der Zufallsvariable X.

22. SATZ VON RADON-NIKODYM UND BEDINGTE ERWARTUNGEN 189
3. Sei B ∈ A mit 0 < P[B] < 1 und B = σ ( {B} ) = {∅, B, CB, Ω} und außerdem X ∈ L 1 (Ω, A, P).
Dann ist X B = α1 B + β1 CB , da X B nach Definition B-messbar ist mit
∫
∫ ∫
αP[B] = X B dP = XdP = Xd(1 B P),
B
B
also ist
α = 1 ∫
P[B]
∫
Xd(1 B P) =
( 1B
)
Xd
P[B] P =: E B [X] =: E[X|B]
die bedingte Erwartung unter der Hypothese B. Die elementare bedingte Wahrscheinlichkeit ist
definiert durch das Maß
{
1 A → [0; 1]
P[B] 1 BP :
A
=: P[A|B].
Analog ist β = E[X|CB] ∈ R. Also ist
↦→ P[A∩B]
P[B]
X B = E[X|B]1 B + E[X|CB]1 CB fast sicher.
4. Sei (B i ) i∈I eine höchstens abzählbare messbare Zerlegung von Ω. Dann gilt für B = σ(B i : i ∈ I)
und X ∈ L 1 (Ω, A, P)
X B = ∑ i∈I
E[X|B i ]1 Bi fast sicher.
Ist speziell X = 1 A mit A ∈ A, so gilt
E[1 A |B] = ∑ i∈I
P[A|B i ]1 Bi fast sicher.
22.8 Satz (Linearität und Monotonie bedingter Erwartungen)
Für X, Y ∈ L 1 (Ω, A, P) und α, β ∈ R gilt fast sicher
1. E[X B ] = E[X],
2. X B-messbar ⇒ X B = X fast sicher,
3. X = Y fast sicher ⇒ X B = Y B fast sicher,
4. E[α|B] = α,
5. E[αX + βY |B] = αE[X|B] + βE[Y |B],
6. X ≤ Y fast sicher ⇒ X B ≤ Y B fast sicher,
7. ∣ E B [X] ∣ ≤ E
B [ |X| ] .
Beweis:
1.-5. klar
6. Sei Z := X − Y . Damit ist Z ≥ 0 fast sicher. Nach 22.5 ist also Y B − X B = Z B ≥ 0 fast sicher.
7. Klar ist ±X ≤ |X|. Mit 6. ist damit ±E B [X] = E B [±X] ≤ E B [|X|], also |E B [X]| ≤ E B [|X|].
✷

190 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
22.9 Satz (Konvergenzeigenschaften)
Sei ((X n ) n∈N ) ∈ (L 1 (Ω, A, P)) N eine Folge, die nach dem Konvergenzkriterium der monotonen
bzw. majorisiert Konvergenz gegen X ∈ L 1 (Ω, A, P) konvergiert. Dann gilt
Beweis:
lim E[X n|B] = E[X|B] fast sicher.
n→∞
Bei monotoner Konvergenz: Sei Œ (X n ) n∈N eine aufsteigende Folge mit X n ↑ X. Die Zufallsvariable
sup Xn B ist B-messbar. Damit gilt für B ∈ B:
n∈N
∫
∫
∫
∫
∫
sup Xn B dP 6.1
= sup Xn B dP = sup X n dP 6.1
= sup X n dP = XdP < ∞.
B n∈N
n∈N B
n∈N B
n∈N
B
B
Damit ist sup Xn
B
n∈N
integriebar und es gilt
E[X|B] = sup E[X n |B] fast sicher.
n∈N
Bei majorisierter Konvergenz: Sei |X n | ≤ Y fast sicher (n ∈ N). Dann gilt
Y n := sup X k ↓ lim sup X n = X fast sicher,
k≥n n→∞
Z n := inf
k≥n X k ↑ lim inf
n→∞ X n = X fast sicher.
Damit ist −Y ≤ Z n ≤ X n ≤ Y n ≤ Y , also Z n , Y n ∈ L 1 (Ω, A, P) (n ∈ N). Damit ist fast sicher
X B 1.
= lim
n→∞ ZB n
≤ lim inf
n→∞ XB n
≤ lim sup Xn
B n→∞
≤ lim
n→∞ Y B n = X B ,
also
X B = lim
n→∞ XB n
fast sicher.
22.10 Satz (Jensen’sche Ungleichung)
Sei φ : R → R konvex und X ∈ L 1 (Ω, A, P) mit φ ◦ X ∈ L 1 (Ω, A, P). Dann gilt
φ ◦ E B [X] ≤ E B [φ ◦ X] fast sicher.
Beweis: Es gibt eine folge affin linearer Abbildungen φ n : t ↦→ a n t + b n mit a n , b n ∈ R, so dass
φ = sup φ n . (siehe z.B. [BW], 3.27). Für n ∈ N ist fast sicher
n∈N
und damit fast sicher
φ n ◦ E B [X] = a n E B [X] + b n = E B [a n X + b
} {{ n ] ≤ E B [φ ◦ X]
}
=φ◦X
φ ◦ E B [X] = sup φ n E B [X] ≤ E B [φ n ◦ X].
n∈N
✷

22. SATZ VON RADON-NIKODYM UND BEDINGTE ERWARTUNGEN 191
22.11 Korollar (Jensen’sche Ungleichung für Erwartungswerte)
Sei φ : R → R konvex und X ∈ L 1 (Ω, A, P) mit φ ◦ X ∈ L 1 (Ω, A, P). Dann gilt
φ(E[X]) ≤ E[φ ◦ X].
Beweis: Setze B = {∅, Ω}. Dann folgt die Behauptung aus
φ(E[X]) = φ ◦ E B [X] ≤ E B [φ ◦ X] = E[φ ◦ X].
✷
22.12 Korollar
Sei p ∈ [0; ∞]. Für X ∈ L p (Ω, A, P) und jede σ-Algebra B ⊆ A ist E B [X] ∈ L p (Ω, A, P) mit
||E B [X]|| p ≤ ||X|| p .
Für p < ∞ gilt schärfer
|E B [X]| p ≤ E B[ |X| p] .
Beweis:
Für p < ∞: folgt die Aussage aus 22.10 mit φ : t ↦→ |t| p , denn aus φ ◦ X ∈ L 1 (Ω, A, P) folgt die
schärfere Aussage. Bildet man dann den Erwartungswert auf beiden Seiten der Ungleichung, folgt
die obere Aussage.
Für p = ∞ folgt die Aussage aus 22.8.6, denn sei α = ||X|| ∞ . Dann ist X ≤ α fast sicher, also
auch X B ≤ α fast sicher.
✷
22.13 Satz (Multiplikativität)
Für p, q ∈ [1; ∞] mit 1 p + 1 q = 1 und X ∈ Lp (Ω, A, P), Y ∈ L q (Ω, A, P) ist, falls X eine B-messbare
Zufallsvariable ist,
E B [XY ] = XE B [Y ] = E B [X]E B [Y ] fast sicher.
Beweis: Esi ist nur zu zeigen, dass E B [XY ] = XE B [Y ]. Sei hierzu Œ X ≥ 0, denn wegen
majorisierter Konvergenz ist Œ X eine B-Elementarfunktion und wegen Linearität ist Œ X = 1 B
mit B ∈ B. Da XE B [Y ] stets B-messbar ist, genügt es,
∫
∫
XE B [Y ]dP = XY dP (A ∈ B)
zu zeigen. Dies folgt aber aus
∫
∫
∫
XE B [Y ]dP = 1 B E B [Y ]dP =
A
22.14 Satz (Glättung)
A
A
A∩B∈B
A
∫
E B [Y ]dP =
A∩B
∫
Y dP =
Sind B 1 ⊆ B 2 ⊆ A Unter-σ-Algebren von A, so gilt für X ∈ L 1 (Ω, A, P)
(X B2 ) B1 = X B1 = (X B1 ) B2 fast sicher.
A
∫
1 B Y dP =
A
XY dP.
✷

192 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
Beweis: Die zweite Gleichung, also X B1 = (X B1 ) B2 ist klar, da X B1 B 2 -messbar ist. Für B ∈ B 1
gilt außerdem ∫
∫
∫ ∫
(X B2 ) B1 dP = X B2 dP = XdP = X B1 dP.
B
B
B
B
22.15 Satz
Ist X ∈ L 1 (Ω, A, P) unabhängig von B bzw. von der Zufallsvariablen Y ∈ L 1 (Ω, A, P), so ist
E[X|B] = E[X] fast sicher bzw.
E[X|Y ] = E[X] fast sicher.
✷
Beweis: Da ω ↦→ E[X] B-messbar ist, genügt es zu zeigen, dass
∫
∫
X B dP = E[X]dP = E[X]P[B].
Dies folgt jedoch aus
∫
∫
X B dP =
B
B
B
B
∫
∫
XdP = 1 B XdP =
da die Zufallsvariablen 1 B und X unabhängig sind.
∫
1 B dP
XdP = P[B]E[X],
✷
22.16 Definition
Für A ∈ A heißt
P[A|B] := P B [A] := E[1 A |B]
Version der bedingten Wahrscheinlichkeit von A unter der Hypothese B, oder kurz bedingte Wahrscheinlichkeit
von A unter B. Entsprechend definiert man
P[A|Y i : i ∈ I] := P [ A| ⊗ ] [ ( ⊗ )]
Y i := P σ Y i
i∈I
i∈I
für eine Familie von Zufallsvariablen (Y i ) i∈I mit Y i : (Ω, A) → (Ω i , A i ) (i ∈ I).
22.17 Bemerkung
Sei A ∈ A und (A n ) n∈N ∈ A N .
1. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P[A|B] ist fast sicher eindeutig bestimmt als B-messbare Zufallsvariable
in L 1 (Ω, A, P) mit
∫
P[A|B]dP = P[A ∩ B] (B ∈ B).
2. Es gilt 0 ≤ P[A|B] ≤ 1 fast sicher.
3. Es ist P[∅|B] = 0 und P[Ω, B] = 1 fast sicher.
4. Ist A 1 ⊆ A 2 , so gilt P[A 1 |B] ≤ P[A 2 |B] fast sicher.
B
5. Ist A i ∩ A j = ∅ für i ≠ j, so ist P [ ⊎
A n |B ] ∞∑
= P[A n |B] fast sicher.
n∈N
n=1

22. SATZ VON RADON-NIKODYM UND BEDINGTE ERWARTUNGEN 193
6. Für ω ∈ Ω ist A ↦→ P[A|B](ω) im allgemeinen kein Wahrscheinlichkeitsmaß auf A, denn z.B. in
5. hat man für jede Folge eine Ausnahmenullmenge, aber im allgemeinen keine universelle. In
22.27 erhalten wir jedoch ein Resultat, wann diese Nullmenge universell gewählt werden kann.
7. Ist (B i ) i∈I ∈ A I eine höchstens abzählbare, messbare Zerlegung von Ω mit B = σ(B i : i ∈ I),
so ist für A ∈ A
P[A|B] = P[A|B i ]1 Bi .
22.18 Faktorisierungssatz
Sei
∑ i∈I
P[B i ]>0
Y : (Ω, A) → (Ω ′ , A ′ ) und Z : Ω → R
mit einem Messraum (Ω ′ , A ′ ). Dann ist Z genau dann σ(Y )-messbar, wenn es eine A ′ -messbare
Funktion g : Ω ′ → R gibt mit Z = g ◦ Y gibt.
Y
Ω ..
Ω ′
Z
g
. . .
.
R
Beweis:
“⇐”: Klar.
“⇒”. Sei
Z =
n∑
α i 1 Ai
i=1
mit A i ∈ σ(Y ) (i = 1, . . . , n) eine σ(Y )-Elementarfunktion. Dann gibt es A ′ i ∈ A′ mit
Aus 1 Ai = 1 {Y ∈A ′
i } = 1 A ′
i
◦ Y folgt
A i = Y −1 (A ′ i) = {Y ∈ A ′ i}.
( ∑
n )
Z = α i 1 A ′
i
◦ Y.
Durch monotone Konvergenz gilt die Aussage damit für σ(Y )-messbare Z ≥ 0.
i=1
Sei allgemein Z = Z + − Z − . Dann gibt es g 1 , g 2 ≥ 0 A ′ -messbare Zufallsvariablen mit
Z + = g 1 ◦ Y und Z − = g 2 ◦ Y und damit
Wegen
folgt
also die Behauptung.
Z = g 1 ◦ Y − g 2 ◦ Y.
{g 1 = ∞} ∩ {g 2 = ∞} ∩ Y (Ω) = ∅
} {{ }
=:A∈A ′
Z = g 1 1 CA ◦ Y − g 2 1 CA ◦ Y = ( g 1 1 CA − g 2 1 CA
)
◦ Y,
✷

194 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
22.19 Korollar
Sei Y : (Ω, A) → (Ω ′ , A ′ ) eine Zufallsvariable. Dann existiert zu jedem X ∈ L 1 (Ω, A, P) eine
Faktorisierung g : Ω ′ → R der bedingten Erwartung E[X|Y ], d.h. g ist A ′ -messbar und E[X|Y ] =
g◦Y. Dabei ist g P Y -integrierbar mit
∫
∫
gdP Y = XdP (A ′ ∈ A ′ )
A ′
Y −1 (A ′ )
und ist durch diese Eigenschaften P Y -fast-sicher eindeutig bestimmt.
Beweis:
Existenz: Nach Definition ist E[X|Y ] σ(Y )-messbar. Mit 22.18 gibt es ein g : Ω ′ → R mit E[X|Y ] =
g ◦ Y und
g ◦ Y ∈ L 1 (Ω, A, P) ⇐⇒ g ∈ L 1 (Ω ′ , A ′ , P Y )
Ferner gilt für A ′ ∈ A ′
∫
∫
XdP =
Y −1 (A ′ )
Y −1 (A ′ )
∫
E[X|Y ]dP =
∫
∫
= 1 A ′gdP Y = gdP Y .
A ′
Y −1 (A ′ )
∫
g ◦ Y dP = (1 A ′g) ◦ Y dP
Eindeutigkeit: Ist h : Ω ′ → R eine P Y -integriebare Zufallsvariable mit
∫
∫
hdP Y = XdP (A ′ ∈ A ′ ),
A ′ Y −1 (A ′ )
so ist h ◦ Y = E[X|Y ] fast sicher, denn h ◦ Y ist σ(Y )-messbar, P-integrierbar mit
∫
∫
∫
h ◦ Y dP = (1 A ′h) ◦ Y dP = hdP Y
Y −1 (A ′ )
A
∫
′
= XdP
Y −1 (A ′ )
und damit h ◦ Y = E[X|Y ] = g ◦ Y P-fast sicher, also h = g P Y -fast sicher.
✷
22.20 Definition
In der Situation von 22.19 heißt g heißt Version der faktorisierten bedingten Erwartung von X
unter der Hypothese Y oder kurz faktorisierte bedingte Erwartung von X unter Y und wird mit
E[X|Y = .] bezeichnet. Für y ∈ Ω heißt
E[X|Y = y] := E[X|Y = .](y)
bedingter Erwartungswert
von X unter der Hypothese {Y = y} (vgl. 22.21.3). Damit gilt
E[X|Y = .] ◦ Y = E[X|Y ] fast sicher
und folgendes Diagramm kommutiert
Y
Ω ..
Ω ′
E[X|Y ] E[X|Y = .]
. . .
.
R

22. SATZ VON RADON-NIKODYM UND BEDINGTE ERWARTUNGEN 195
22.21 Bemerkungen
Sei Y : (Ω, A) → (Ω ′ , A ′ ) eine Zufallsvariable und X ∈ L 1 (Ω, A, P).
1. Die faktorisierte bedingte Erwartung E[X|Y = .] ist P Y -integrierbar mit
∫
∫
E[X|Y = .]dP Y = XdP (A ′ ∈ A ′ )
A ′ {Y ∈A ′ }
und ist durch diese beiden Eigenschaften P Y -fast-sicher eindeutig bestimmt.
2. Ist y ∈ Ω ′ und {y} ∈ A ′ mit P Y [{y}] = P[Y = y] > 0, so ist
∫
E[X|Y = y]P Y [{y}] = XdP,
also ist
der bedingte Erwartungswert
E[X|Y = y] =
{Y =y}
∫
1
XdP 22.7.3
= E {Y =y} [X]
P[Y = y] {Y =y}
3. Faktorisierte bedingte Wahrscheinlichkeit
Sei A ∈ A. Dann ist
P[A|Y = .] := E[1 A |Y = .]
P Y -fast-sicher eindeutig bestimmt als P Y -integrierbare Funktion mit
∫
A ′ P[A|Y = y]P Y [dy] = P[A ∩ {Y ∈ A ′ }] (A ′ ∈ A ′ ).
Für y ∈ Ω ′ , {y} ∈ A ′ mit P Y [{y}] = P[Y = y] > 0 ist dann
P[A|Y = y] =
P[A ∩ {Y = y}]
P[Y = y]
= P[A|{Y = y}]
die elementare bedingte Wahrscheinlichkeit unter der Hypothese {Y = y}.
4. Es ist
P[A|Y ] = P[A|Y = .] ◦ Y
(A ∈ A).
Die Ungleichung 0 ≤ P[A|Y = y] ≤ 1 und jede der Gleichungen
⊎ ]
P[∅|Y = y] = 0, P[Ω|Y = y] = 1, P[
An |Y = y =
gelten P Y -fast sicher, jedoch nicht außerhalb einer universellen Nullmenge.
22.22 Definition
Erwartungskern zu einer Unter-σ-Algebra B ⊆ A heißt jeder Markoff-Kern
P B : Ω × A → [0; 1] von (Ω, B) nach (Ω, A),
∞∑
P[A n |Y = y]
für den P B [., A] für jedes A ∈ A eine Version der bedingten Wahrscheinlichkeit P B [A] = P[A|B]
ist, d.h.
∫
P B [ω, A]P[dω] = P[A ∩ B].
Anders ausgedrückt ist
B
n=1
P[A|B] = P B [., A] fast sicher
(A ∈ A).

196 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
22.23 Satz
Ist P B ein Erwartungskern zu B ⊆ A, so gilt für die bedingte Erwartung von X ∈ L 1 (Ω, A, P)
∫
E[X|B] = X(ω ′ )P B (., dω ′ ) fast sicher.
Insbesondere ist
∫ ( ∫
E[X] =
)
X(ω ′ )P B (ω, dω ′ ) P[dω].
Beweis: Für X = 1 A mit A ∈ A ist dies die Definition des Erwartungskerns, also ist für solche X
die Behauptung richtig. Damit gilt sie ebenso für positive Treppenfunktionen, also wegen monotoner
Konvergenz für integrierbare X ≥ 0. Damit folgt die Behauptung aus X = X + − X − und
der Linearität der bedingten Erwartung (22.8, 22.9).
✷
22.24 Definition
Sind (Ω ′ , A ′ ) und (Ω ′′ , A ′′ ) Messräume, X : Ω → Ω ′′ und Y : Ω → Ω ′ Zufallsvariablen, so heißt ein
Markoff-Kern
P X|Y : Ω × A ′′ → [0; 1] von (Ω, σ(Y )) nach (Ω ′′ , A ′′ ),
für den P X|Y [., A ′′ ] eine Version der bedingten Wahrscheinlichkeit P[X −1 (A ′′ )|Y ] für jedes A ′′ ∈
A ′′ ist, bedingte Verteilung von X unter der Hypothese Y . Anders ausgedrückt ist
22.25 Bemerkung
P X|Y [., A ′′ ] = P[X −1 (A ′′ )|Y ] fast sicher (A ′′ ∈ A ′′ ).
Der Spezialfall (Ω ′ , A ′ ) = (Ω, B) und Y = id Ω liefert σ(Y ) = B und damit die bedingte Verteilung
von X unter der Hypothese B. Ist überdies (Ω ′′ , A ′′ ) = (Ω, A) und X = id Ω , so ergibt sich der
Erwartungskern P B , denn
P X|Y [., A ′′ ] = P[X −1 (A ′′ )|Y ] = P[A ′′ |B] = P B [., A ′′ ] fast sicher (A ′′ ∈ A ′′ ).
22.26 Definition
Ein Markoff-Kern K von (Ω ′ , A ′ ) nach (Ω ′′ , A ′′ ) heißt faktorisierte bedingte Verteilung von X unter
der Hypothese Y , falls für jedes A ′′ ∈ A ′′ die Abbildung K[., A ′′ ] eine Version der faktorisierten
bedingten Wahrscheinlichkeit P[X −1 (A ′′ )|Y = .] ist. Für y ∈ Ω ′ bezeichnet man das Wahrscheinlichkeitsmaß
K[y, .] suggestiv mit P X|Y =y und folglich mit
P X|Y =. : (y, A ′′ ) ↦→ P X|Y =y [A ′′ ]
PY -f.s.
= P[X −1 (A ′′ )|Y = y],
also
Damit gilt
P X|Y =. ◦ Y = P X|Y .
K[., A ′′ ] = P[X −1 (A ′′ )|Y = .] = P X|Y =. [X −1 (A ′′ )] P Y -fast sicher.
22.27 Bemerkung
Definitionsgemäß sind für A ′′ ∈ A ′′ P X|Y [., A ′′ ] und P X|Y =. [A ′′ ] P Y -fast-sicher, also bis auf von
A ′′ abhängige Nullmengen eindeutig bestimmt. Gibt es jedoch einen abzählbaren Erzeuger B ′′
von A ′′ = σ(B ′′ ), so kann man die Nullmengen universell, d.h. unabhängig von A ′′ wählen: Sei
dazu Œ B ′′ ∩-stabil, Ω ′′ ∈ B ′′ . Eindeutigkeit gilt dann universell für A ′′ ∈ B ′′ , außerhalb der
Vereinigung abzählbar vieler Nullmengen, also einer Nullmenge N. Die Behauptung folgt dann

22. SATZ VON RADON-NIKODYM UND BEDINGTE ERWARTUNGEN 197
aus dem Eindeutigkeitssatz der Maßtheorie. Ist insbesondere Ω ′′ polnisch mit A ′′ = B(Ω ′′ ), so
sind die bedingten Verteilungen und die faktorisierten bedingten Verteilungen universell fast sicher
eindeutig bestimmt. Wähle dazu ein System B ′′ = der offenen Kugeln mit rationalen Radien in
Mittelpunkten aus einer abzählbaren, dichten Teilmenge von Ω.
22.28 Existenzsatz
Zu jeder Zufallsvariable X : (Ω, A, P) → (Ω ′′ , A ′′ ) mit polnischem Raum Ω ′′ , A ′′ = B(Ω ′′ ) gibt
es ’genau’ eine bedingte Erwartung von X unter der Hypothese Y und genau eine faktorisierte
bedingte faktorisierte Erwartung von X unter der Hypothese Y .
Beweis: Folgt aus der inneren Regularität der Wahrscheinlichkeitsmaße auf polnischen Räumen
(vgl. z.B. [BW], 44.3, [GS], 5.3.16, wobei dort reguläre bedingte Verteilung das heißt, was hier
unter dem Namen faktorisierte bedingte Verteilung eingeführt wurde).
✷
22.29 Satz
Seien X : (Ω, A, P) → (Ω ′′ , A ′′ ) und Y : (Ω, A, P) → (Ω ′ , A ′ ) Zufallsvariablen und K ein Markoff-
Kern von (Ω ′ , A ′ ) nach (Ω ′′ , A ′′ ).
Genau dann ist K eine faktorisierte bedingte Verteilung von X unter der Hyposthese Y , wenn
P (Y,X) = P Y ⊗ K.
Beweis: Für A ′ ∈ A ′ und A ′′ ∈ A ′′ gilt
P (Y,X) [A ′ × A ′′ ] = P[X −1 (A ′′ ) ∩ {Y ∈ A ′ }] 22.21.2
=
∫
A ′ P[X −1 (A ′′ )|Y = y]P Y [dy].
Andererseits ist
∫
P Y ⊗ K[A ′ × A ′′ ] = K[y, A ′′ ]P Y [dy].
A ′
Mit 22.26 folgt die Behauptung.
✷
22.30 Korollar
Sei (Ω, A, P, (X t ) t∈I , E, B(E)) ein stochastischer Prozess mit Zustandsraum E, dessen gemeinsame
Verteilung das Markoff-Maß P µ aus einer Markoff’schen Schar (P s,t ) s,t∈I und einer Startwahrscheinlichkeit
µ auf E ist.
s≤t
Dann ist für s < t der Markoff-Kern P s,t eine faktorisierte bedingte Verteilung von X t unter der
Hypothese X s .
Beweis: Nach 18.10 ist
P (Xs,X t) = P µ (π s,π t) = Pµ π s
⊗ P s,t = P Xs ⊗ P s,t .
Deshalb folgt die Behauptung aus 22.29.
✷

198 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
23 Martingale, Sub- und Supermartingale
Sei stets (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
23.1 Definition
1. Sei (I, ≤) eine nicht notwendig total geordnete Menge und (F t ) t∈I eine Filtration, d.h. für jedes
t ∈ I ist F t eine Unter-σ-Algebra von A und
F s ⊆ F t (s, t ∈ I, s ≤ t).
und (Ω, A, P, (F t ) t∈I ) ein filtrierter Wahr-
Dann heißt (Ω, A, (F t ) t∈I ) filtrierter Messraum
scheinlichkeitsraum.
2. Sei I := I ⊎ {∞} mit t ≤ ∞ (t ∈ I). Damit ist die Ordnung auf I auf I fortgesetzt und
F ∞ := σ ( ⋃ )
F t .
t∈I
3. Für t ∈ I sei
Dann ist F t+ eine σ-Algebra.
F t+ := ⋂ s∈I
s≤t
F s .
Gilt F t = F t+ (t ∈ I), so heißt die Filtration rechtsstetig. Ein stochastischer Prozess (X t ) t∈I
auf (Ω, A, P) heißt an eine Filtration (F t ) t∈I adaptiert, wenn jedes X t F t -messbar ist.
23.2 Beispiel
Sei (X t ) t∈I ein stochastischer Prozess auf (Ω, A, P). Dann wird durch
F ∗ ≤t := σ(X s : s ∈ I, s ≤ t)
die sogenannte kanonische Filtration des Prozesses definiert, d.h. die kleinste Filtration, an die
der Prozess (X t ) t∈I adaptiert ist. Dabei nennt man F ≤t auch σ-Algebra der t-Vergangenheit.
23.3 Definition
Sei (Ω, A, P, (F t ) t∈I ) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum und (X t ) t∈I ein adaptierter stochastischer
Prozess auf (Ω, A, P). Gilt dann
1. E[|X t |] < ∞ (t ∈ I),
2. X s ≥ E[X t |F s ] fast sicher (s, t ∈ I, s ≤ t),
dann heißt (X t ) t∈I Supermartingal bzgl. (F t ) t∈I oder ein (F t ) t∈I -Supermartingal. Kurz sagt man
auch, (X t , F t ) t∈I ist ein Supermartingal.
Ist (−X t ) t∈I ein Supermartingal bzgl. (F t ) t∈I , dann heißt (X t ) t∈I Submartingal. Sind sowohl
(X t ) t∈I als auch (−X t ) t∈I Supermartingale bzgl. (F t ) t∈I , dann heißt (X t ) t∈I Martingal bzgl.
(F t ) t∈I .
Ist (F t ) t∈I = (F ≤t ) t∈I die kanonische Filtration von (X t ) t∈I , so spricht man von Supermartingalen,
Submartingalen oder Martingalen schlechthin.

23. MARTINGALE, SUB- UND SUPERMARTINGALE 199
23.4 Bemerkung
Sei (X t ) t∈I ein Prozess, mit E[|X t |] < ∞ (t ∈ I).
Beh: Der Prozess (X t ) t∈I ist genau dann ein Supermartingal, wenn
∫ ∫
X s dP ≥ X t dP (A ∈ F s , s, t ∈ I, s ≤ t).
Denn:
“⇒”: Es ist
“⇐”: Sei
Dann ist
∫
A
A
∫
X s dP ≥
Also folgt P[A] = 0.
23.5 Beispiel
∫
A
A
A
∫
E[X t |F s ]dP =
A
X t dP
A := {X s (ω) < E[X t |F s ]} ∈ F s .
A
(A ∈ F s , s, t ∈ I, s ≤ t).
(
Xs − E[X t |F s ] ) ∫
dP = (X s − X t )dP ≥ 0.
Betrachte eine unabhängige Folge von Glücksspielen, beschrieben durch die Folge (Y n ) n∈N unabhängiger,
identisch verteilter Zufallsvariablen, die den Gewinn bzw. den Verlust des n-ten Spiels
durch Y n = 1 bzw. Y n = −1 beschreiben mit VertY n = pɛ 1 + (1 − p)ɛ −1 . Also ist p die Gewinnwahrscheinlichkeit.
Vor Spielbeginn wird eine Strategie
e 1 := 0, e n : {−1; 1} n → R + (n ∈ N)
festgelegt. Diese liefert den Einsatz in der n + 1-ten Spielrunde e n (Y 1 , . . . , Y n ). Das Spiel ist so
angelegt, dass es den doppelten Einsatz zurückgibt bei Gewinn und man seinen Einsatz einbehält,
wenn man verliert. Der Verlust wird an den Gegenspeiler bzw. die Bank bezahlt, die keinen Einsatz
macht.
Sei S n der Gesamtgewinn bzw. -verlust nach der n-ten Runde. Damit ist
S 1 = Y 1 , S n+1 = S n + e n (Y 1 , . . . , Y n )Y n+1 .
Da e n beschränkt und messbar ist und Y n integrierbar ist, ist auch e n (Y 1 , . . . , Y n )Y n+1 integrierbar.
Also ist S n integrierbar (n ∈ N) und S n ist σ(Y 1 , . . . , Y n )-messbar. Fast sicher gilt dabei
E[S n+1 |Y 1 , . . . Y n ] 22.13
= S n + e n (Y 1 , . . . , Y n )E[Y n+1 |Y 1 , . . . , Y n ]
22.15
= S n + e n (Y 1 , . . . , Y n )E[Y n+1 ] = S n + e n (Y 1 , . . . , Y n )(p − (1 − p))
⎧
⎪⎨ > S n ⇐⇒ p > 1 2
= S n + e n (Y 1 , . . . , Y n )(2p − 1) = S n ⇐⇒ p = 1 2
⎪⎩
< S n ⇐⇒ p < 1 2 .
Sind alle e n für n ∈ N strikt positiv, so ist σ(Y 1 , . . . , Y n ) = σ(S 1 , . . . , S n ) und es gilt
⎧
⎪⎨ > S n , falls p > 1 2
(begünstigte Spiele),
E[S n+1 |S 1 , . . . , S n ] = S n , falls p = 1 2
(faire Spiele),
⎪⎩
< S n , falls p < 1 2
(beungünstigte Spiele).
ein Super-
Nachfolgende Bemerkung 1. zeigt, dass (S n ) n∈N für p = 1 2 ein Martingal, für p ≤ 1 2
martingal und für p ≥ 1 2
ein Submartingal ist.

200 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
Der Name ’Martingal’ bedeutet vermutlich folgende Strategie im Provenzalischen bei Roulettespiel:
e n (Y 1 , . . . , Y n ) = (1 − Y n )e n−1 (Y 1 , . . . , Y n−1 ),
d.h. die Strategie, bei der man bei Verlust den in der Vorrunde verlorenen Einsatz verdoppelt, bis
man gewinnt.
23.6 Bemerkungen
1. Sei I = N. Gilt X n ≥ E[X n+1 |F n ] (n ∈ N), so ist (X n ) n∈N bereits ein Supermartingal, denn für
k ∈ N gilt
E[X n+k |F n ] = E Fn [X n+k ] 22.14
= E Fn[ . . . E F n+k−2
[E F n+k−1
[X n+k ]] . . . ] ≥ X n fast sicher.
2. Sei I total geordnet und (X t ) t∈I ein stochastischer Prozess. Dann ist die Funktion t ↦→ E[X t ]
antiton, falls (X t ) t∈I ein Supermartingal ist, isoton im Falle eines Submartingals und konstant,
falls (X t ) t∈I ein Martingal ist.
3. Ist (X t ) t∈I ein Supermartingal, Submartingal bzw. ein Martingal bzgl. einer Filtration (F t ) t∈I .
Ist (F ′ t) t∈I eine Filtration, so dass
F ′ t ⊆ F t ,
X t ist F ′ t-messbar,
so ist (X t ) t∈I ebenso ein Supermartingal, Submartingal bzw. ein Martingal bzgl. (F ′ t) t∈I . Insbesondere
sind (F t ) t∈I -Super- bzw. Sub- bzw. Martingale ebenfalls Super- bzw. Sub- bzw.
Martingale schlechthin, d.h. bzgl. der kanonischen Filtration.
23.7 Satz
Sei X ∈ L 1 (Ω, A, P) und (F t ) t∈I eine Filtration in A. Dann wird durch
ein Martingal(X t ) t∈I bzgl. (F t ) t∈I definiert.
X t := E[X|F t ]
Beweis: Sei s ≤ t. Dann ist X t = E[X|F t ] messbar bzgl. F t , integrierbar und für A ∈ F s ⊆ F t
gilt
∫ ∫
∫ ∫
∫
X s dP = E[X|F s ]dP = XdP = E[X t |F t ]dP = X t dP.
A
A
A
A
A
23.8 Satz
Für jede Folge (X n ) n∈N reeller Zufallsvariablen sind folgende Aussagen äquivalent:
( ∑
n )
1. Die Folge (S n ) n∈N := X i
i=1
n∈N
ist ein Martingal.
2. Der Prozess (X n ) n∈N ist eine Martingaldifferenzfolge, d.h. es gibt ein Martingal (S n ) n∈N mit
X 1 = S 1 , X n+1 = S n+1 − S n .
3. Alle X n sind integrierbar und ’an der bedingten Erwartung zentriert’, d.h.
✷
E[X n+1 |X 1 , . . . , X n ] = 0 fast sicher
(n ∈ N).
Beweis:

23. MARTINGALE, SUB- UND SUPERMARTINGALE 201
“1.⇔2.”: Klar.
“2.⇒3.”: Es gilt wegen σ(X 1 , . . . , X n ) = σ(S 1 , . . . , S n ) fast sicher
E[X n+1 |X 1 , . . . , X n ] = E[S n+1 − S n |X 1 , . . . , X n ] = E[S n+1 − S n |S 1 , . . . , S n ]
= E[S n+1 |S 1 , . . . , S n ] − E[S n |S 1 , . . . , S n ] = S n − S n = 0.
“3.⇒2.”: Hier gilt fast sicher
E[S n+1 |S 1 , . . . S n ] = E[S n + X n+1 |S 1 , . . . , S n ]
= E[S n |S 1 , . . . , S n ] + E[X n+1 |X 1 , . . . , X n ] = S n .
✷
23.9 Korollar
Für jede Folge (X n ) n∈N unabhängiger, zentrierter Zufallsvariablen, d.h. Zufallsvariablen mit
ist die Folge der Partialsummen
ein Martingal.
E[X n ] = 0 (n ∈ N)
( ∑
n )
(S n ) n∈N := X i
i=1
Beweis: Die Bedingung 23.8.3 ist erfüllt, denn es gilt
n∈N
E[X n+1 |X 1 , . . . , X n ] 22.15
= E[X n+1 ] = 0.
✷
23.10 Satz
Seien (X t , F t ) t∈I und (Y t , F t ) t∈I Martingale bzw. Supermartingale. Dann gilt
1. Für α, β ∈ R + ist (αX t + βY t ) t∈I ein Martingal bzw. ein Supermartingal. Die Menge der
(F t ) t∈I -Supermartingale ist also ein konvexer Kegel, die Menge der (F t ) t∈I -Martingale sogar
ein Vektorraum.
2. Der Prozess ( inf(X t , Y t ) ) t∈I
ist ein Supermartingal.
Beweis:
1. Das ist klar wegen der Linearität der bedingten Erwartung.
2. Seien s, t ∈ I mit s ≤ t. Dann ist E Fs [X t ] ≤ X s und E Fs [Y t ] ≤ Y s . Damit ist auch
E Fs [inf(X t , Y t )] ≤ inf ( E Fs [X t ], E Fs [Y t ] ) ≤ inf(X s , Y s ) fast sicher.
✷

202 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
23.11 Satz
1. Ist (X t , F t ) t∈I ein Submartingal, so ist auch (X t + , F t ) t∈I ein Submartingal.
2. Sei φ : R → R, so dass φ ◦ X t ∈ L 1 (Ω, A, P) (t ∈ I), wobei entweder
• (X t , F t ) t∈I ein Martingal und φ konvex oder
• (X t , F t ) t∈I ein Submartingal und φ isoton und konvex ist.
Dann ist (φ ◦ X t ) t∈I ein Submartingal.
Beweis:
1. Die Behauptung folgt wegen X + t = sup(X t , 0) aus 23.10.2
2. Sei zuerst (X t ) t∈I ein Martingal. Für s, t ∈ I mit s ≤ t ist X s = E Fs [X t ]. Damit ist
φ ◦ X s = φ ◦ E Fs [X t ] 22.10
≤ E Fs [φ ◦ X t ].
Ist (X t ) t∈I ein Submartingal, so ist X s ≤ E Fs [X t ] und, da φ isoton ist
23.12 Korollar
φ ◦ X s ≤ φ ◦ E Fs [X t ] 22.10
≤ E Fs [φ ◦ X t ].
Sei p ≥ 1. Ist )(X t , F t ) t∈I ein p-fach integrierbares Martingal, d.h. X t ∈ L p (Ω, A, P) (t ∈ I), so
ist
(|X t | p , F t ein Submartingal. Insbesondere ist für jedes Martingal (X t , F t ) t∈I der Prozess
( ) t∈I
|Xt |, F t ein Submartingal.
t∈I
Beweis: Verwende 23.11 mit der konvexen Funktion φ : x ↦→ |x| p und φ◦X t = |X t | p ∈ L 1 (Ω, A, P).
✷
23.13 Hauptsatz
Sei I ⊆ R + und (X t ) t∈I ein integrierbarer stochastischer Prozess mit konstantem Erwartungwert
und unabhängigen Zuwächsen. Dann ist (X t ) t∈I ein Martingal.
✷
Beweis:
Beh: X t − X s ist nach unabhängig von F ≤s (s ≤ t).
Denn: Im Fall s = t ist die Behauptung trivial, sei also s < t. Nach Voraussetzung ist X t − X s
unabhängig von σ(X t0 , . . . , X tn ) = σ(X t0 , X t1 − X t0 , . . . , X tn − X tn−1 ) für je endlich viele t 0 <
t 1 < . . . < t n = s < t. Die Vereinigung aller dieser σ-Algebren ist ein ∩-stabiler Erzeuger von F ≤s .
Damit ist nach 12.1 σ(X t − X s ) von F ≤s unabhängig.
Für s, t ∈ I mit s ≤ t ist X t = X s + X t − X s und damit ist fast sicher
E[X t |F ≤s ] = X s + E[X t − X s |F ≤s ] 22.15
= X s + E[X t − X s ] = X s .
✷
23.14 Bemerkung
Man kann zeigen, dass die Unabhängigkeit der Zuwächse X t − X s von F ≤s
Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen kennzeichnen. Siehe [BW], 45.1.
(0 ≤ s ≤ t) sogar

23. MARTINGALE, SUB- UND SUPERMARTINGALE 203
23.15 Korollar
Für jeden Poisson-Prozess (X t ) t∈R+ ist (X t − E[X t ]) t∈R+ ein Martingal.
23.16 Hauptsatz
Sei (X t ) t∈I eine Brown’sche Bewegung und F ∗ ≤t := σ(X s : s ≤ t) die kanonische Filtration.
Dann gilt
1. (X t ) t∈R+ ist ein Martingal.
2. Ist (X t ) t∈I normal und α ∈ R, so ist der Prozess
ein Martingal bzgl. (F ∗ ≤t ) t∈R +
.
(
exp
(
αXt − α2
2 t)) t∈R +
3. Für jede Brown’sche Bewegung (X t ) t∈R+ in R d ist (||X t || 2 − dt) t∈R+ ein Martingal bzgl.
(F≤t ∗ ) t∈R +
.
Beweis:
1. Wegen Vert(X t − X s ) = N(0, t − s), also E[X t − X s ] = 0 (s ≤ t) folgt die erste Behauptung
aus 23.13.
2. Sei Y eine reelle, N(0, σ 2 )-verteilte Zufallsvariable. (
Beh: exp(Y ) ist integrierbar mit E[exp(Y )] = exp
Denn: Es gilt
σ 2
2 − (y − σ2 ) 2
2σ 2 = σ2
2 − y2
2σ 2 + 2yσ2
2σ 2 − σ4
2σ 2 = y − y2
2σ 2 (y ∈ R)
und nach dem Transformationssatz
∫
∫
E[exp(Y )] = exp(y) N(0, σ 2 1 ∞
)
)(dy) = √ exp
(y − y2
} {{ } 2πσ
2
−∞ 2σ 2 dy
=P Y
Definiere nun
=
1
√
2πσ
2
∫ ∞
−∞
σ 2
2
)
.
( σ
2
exp
2 − (y − σ2 ) 2 ) ( σ
2 )
2σ 2 dy = exp < ∞.
2
Y t := exp ( αX t − α2
2 t) (0 ≤ t ≤ T ).
Damit ist Y t integrierbar, (F t ) ∗ ≤t -messbar und es gilt P αX t
= N(0, α 2 t).
Für 0 ≤ s ≤ t ≤ T gilt fast sicher
E[Y t |F ∗ ≤s] = exp ( − α2
2 t) E[exp(αX t )|F ∗ ≤s]
= exp ( − α2
2 t) E[exp(α(X t − X s )) exp(αX s )|F≤s]
∗
22.13
= exp(αX s ) exp(− α2
2 t)E[exp(α(X t − X s ))|F≤s]
∗
= exp(αX s ) exp(− α2
2 t)E[exp(α(X t − X s ))]
= exp(αX s − α2
2 t) exp( α2 (t−s)
2
) = exp(αX s − α2
2 s) = Y s.

204 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
3. Sei (X t ) t∈R+ eine Brown’sche Bewegung in R d und s ≤ t. Dann ist
Es ist
Y t := ||X t || 2 − dt = ||X t − X s || 2 + 2〈X t , X s 〉 − ||X s || 2 − dt ∈ L 1 (Ω, A, P).
E[〈X t , X s 〉|F ∗ ≤s] =
Damit ist nach 23.13 fast sicher
23.17 Bemerkungen
d∑
i=1
E[XsX i t|F i ≤s] ∗ 22.13
=
d∑
i=1
Xs i E[Xt|F i ≤s]
∗ = ||X s || 2 .
} {{ }
=Xs
i
E[Y t |F ∗ ≤s] 22.15
= E [ ||X t − X s || 2] + 2||X s || 2 − ||X s || 2 − dt
20.3
= d(t − s) + ||X s || 2 − dt = Y s .
1. Der Beweis von 23.16 ist gilt ebenso für Brown’sche Bewegungen im R d mit Filtration (F t ) t∈R+ ,
d.h. für adaptierte Prozesse (X t ) t∈R+ mit Zustandsraum R d und fast sicher stetigen Pfaden, so
dass für 0 ≤ s < t der Zuwachs X t − X s unabhängig von F s und µ t−s -verteilt ist.
2. Brown’sche Bewegungen lassen sich durch Martingaleigenschaften kennzeichnen. Es gilt das
Resultat von P. Lévy (1948):
Sei (X t ) t∈R+ mit X t ∈ L 2 (Ω, A, P) (t ∈ R + ) mit fast sicher stetigen Pfaden. Genau dann ist
(X t ) t∈R+ eine reelle Brown’sche Bewegung, wenn (X t ) t∈R+ und (X 2 t − t) t∈R+ Martingale sind.
Zum Beweis siehe [BW], p. 407).
✷

24. MARKOFFZEITEN 205
24 Markoffzeiten
Sei stets I ⊆ R eine Indexmenge und (Ω, A, P, (F t ) t∈I ) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum.
24.1 Definition
Sei I = Z + oder I = R + und (Ω, A, (F t ) t∈I ) ein filtrierter Raum. Eine Abbildung
T : Ω → I
heißt Options- bzw. Stoppzeit bzgl. (F t ) t∈I , wenn
Der Oberbegriff ist der Begriff der Markoffzeit.
24.2 Bemerkung
{T < t} ∈ F t bzw. {T ≤ t} ∈ F t (ti ∈ I).
1. In der Literatur werden obige Begriffe uneinheitlich gebraucht. Beispielsweise ist in [BW] eine
strenge Optionszeit eine Stoppzeit nach obiger Definition.
2. Jede konstante Zeit T : ω ↦→ t 0 mit t 0 ∈ I ist eine Options- und Stoppzeit, da {T < t} = ∅
oder {T < t} = Ω bzw. {T ≤ t} = ∅ oder {T ≤ t} = Ω.
3. Die in 23.1 eingeführte Filtration (F t+ ) t∈I ist eine Filtration in A mit F t ⊆ F t+ ⊆ F s (s > t).
4. Sei (F t ) t∈I eine Filtration mit I = R + oder I = Z + und T : ω → I.
Beh: Es gilt
T ist Optionszeit bzgl. F t ⇐⇒ T ist Stoppzeit bzgl. F t+ .
Denn: Sei I = R + .
“⇐”: Für t ∈ I ist
“⇒”: Für t ∈ I ist
{T < t} = ⋃ n∈N
{
T ≤ t −
1
n}
∈ Ft .
{T ≤ t} = ⋂ n∈N
{
T <
(
t +
1
n)
∧ s
}
∈ Fs (s > t),
d.h. {T ≤ t} ∈ F t+ .
Für I = Z + ist F t+ = F t+1 und
{T < t} = {T ≤ t − 1}.
✷
1. Aus 4. folgt im Fall I = Z + :
Jede Stoppzeit bzgl. (F t ) t∈I ist eine Optionszeit bzgl. (F t ) t∈I .
2. Seien (T n ) n∈N eine Folge von Abbildungen mit T n : Ω → I. Dann gilt:
1. Ist T n eine Stoppzeit (n ∈ N), so auch inf(T 1 , T 2 ) und sup T n .
n∈N
Ist T n eine Optionszeit (n ∈ N), so auch inf T n, sup T n .
n∈N
n∈N
2. Ist I = R + und T 1 , T 2 Optionszeiten, so auch T 1 + T 2 .
3. Ist I = Z + und T 1 , T 2 Optionszeiten, so auch T 1 + T 2 .

206 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
4. Ist I = Z + und T 1 , T 2 Stoppzeiten, so auch T 1 + T 2 .
Beweis:
1. Es gilt
{inf(T 1 , T 2 ) ≤ t} = {T 1 ≤ t} ∪ {T 2 ≤ t} ∈ F t ,
{sup T n ≤ t} = ⋂ {T n ≤ t} ∈ F t
n∈N
n∈N
und
2. Es gilt
{ inf T n < t} = ⋃ {
inf T } ⋃
n < t − 1
n∈N n∈N
k =
k∈N
k∈N
{sup T n < t} = ⋃ ⋂ { }
Tn < t − 1 k ∈ Ft .
n∈N
k∈N n∈N
{T 1 + T 2 < t} = ⋃
r,s∈Q +
r+s

24. MARKOFFZEITEN 207
3. 1. Sind S und T Stoppzeiten mit S ≤ T , so ist F S ⊆ F T .
2. Sind S und T Optionszeiten mit S ≤ T , so ist F S+ ⊆ F T + .
3. Ist S eine Optionszeit und T eine Stoppzeit mit S ≤ T und {S < ∞} ⊆ {S ≤ T }, so ist
F S+ ⊆ F T .
Beweis:
1. Sei A ∈ F S und t ∈ I. Dann ist
2. Sei A ∈ F S+ und t ∈ I. Dann ist
A ∩ {T ≤ t} = A ∩ {S ≤ t}
} {{ }
∈F t
∩{T ≤ t} ∈ F t .
A ∩ {T < t} = A ∩ {S < t}
} {{ }
∈F t
∩{T < t} ∈ F t .
3. Es gilt
{T ≤ t} = {S < ∞} ∩ {T ≤ t} ⊆ {S < T } ∩ {T ≤ t} ⊆ {S < t}
und damit für A ∈ F S+
A ∩ {T ≤ t} = A ∩ {S < t}
} {{ }
∈F t
∩{T ≤ t} ∈ F t .
4. Beh.: Sei T eine Stoppzeit. Dann ist F T ⊆ F T + .
Denn: Ist A ∈ F T , so ist
A ∩ {T < t} = ⋃ n∈N
A ∩ { T ≤ t − 1 n } ∈ F t (t > 0).
5. Beh.: Sind S und T Stoppzeiten, so ist
Denn: Sei t ∈ I Dann gilt
und
{S < T }, {S ≤ T }, {S = T } ∈ F inf(S,T ) ⊆ F S ∩ F T .
{S < T } ∩ {inf(S, T ) ≤ t} = {S < T } ∩ {S ≤ t} = ⋃
= ⋃
r∈Q + ∪{t}
r≤t
r∈Q + ∪{t}
r≤t
{S ≤ r} \ {T ≤ r} ∈ F t
{S ≤ r} ∩ {r < T }
{S ≤ T } = C{T < S} ∈ F inf(S,T ) ,
{S = T } = {S ≤ T } ∩ {T ≤ S} ∈ F inf(S,T ) .
✷

208 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
24.4 Satz
Sei (X t ) t∈I ein an (F t ) t∈I adaptierter Prozess mit Zustandsraum (E, B).
Für B ∈ B sei
T B : ω ↦→ inf { t ∈ I : X t (ω) ∈ B }
die Eintrittszeit in B. Es gilt:
1. Ist I = Z + , so ist T B eine Stoppzeit.
2. Ist I = R + und E ein topologischer Raum mit B = B(E), so dass t ↦→ X t (ω) rechtsseitig
stetig ist (ω ∈ Ω), so ist T B eine Optionszeit für alle offenen B ⊆ E.
3. I = R + und E ein metrischer Raum, so dass t ↦→ X t (ω) stetig ist (ω ∈ Ω), so ist T B eine
Stoppzeit für alle abgeschlossenen Mengen B ⊆ E und eine Optionszeit für B ∈ F(E) σ , d.h.
für alle Mengen, die als abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen dargestellt werden
können.
Beweis:
1. Sei B ∈ B und n ∈ Z + . Dann ist
{T B ≤ n} =
n⋃
{X i ∈ B} ∈ F n .
2. Sei B offen und t ∈ R + . Dann folgt wegen der rechtsseitigen Stetigkeit
{T B < t} = ⋃ {X s ∈ B} = ⋃
{X s ∈ B} ∈ F t .
s

24. MARKOFFZEITEN 209
24.5 Definition
Sei (Ω, A, (F t ) t∈I ) ein filtrierter Raum mit I ⊆ R + und (X t ) t∈I
Prozess auf diesem Raum. Gilt dann für alle s ∈ I, dass
{
I ∩ [0; s] × Ω → E
Y s :
(t, ω) ↦→ X t (ω)
ein adaptierter stochastischer
I ∩ B([0; s]) ⊗ F s messbar ist, so heißt (X t ) t∈I progressiv messbar bzgl. (F t ) t∈I .
24.6 Beispiel
Sei I ⊆ R + höchstens abzählbar und (X t ) t∈I an (F t ) t∈I adaptiert. Dann ist (X t ) t∈I auch progressiv
messbar.
Beweis: Sei B die σ-Algebra im Zustandsraum und B ∈ B. Dann gilt für s ∈ I
Y −1
s
(B) = ⋃ t∈I
t≤s
{t} × X −1
t (B) ∈ ( I ∩ B([0; s]) ) ⊗ F s .
✷
24.7 Satz
Sei I = R + . Ist (X t ) t∈I ein an (F t ) t∈I adaptierter Prozess mit Zustandsraum (E, B(E)) mit
rechtsseitig stetigen Pfaden, so ist (X t ) t∈I progressiv messbar.
Beweis: Für s ∈ I und n ∈ N sei
⎧
⎪⎨ I ∩ [0; s] × Ω →
{
E
Ys n :
X
⎪⎩ (t, ω) ↦→ (k+1)2 −n(ω),
X s (ω)
t ∈ [k2 −n , (k + 1)2 −n ) mit k ∈ N 0 , k + 1 ≤ 2 n s
sonst.
Sei k n := [2 n s − 1]. Dann ist für B ∈ B(E)
(Y n
s ) −1 (B) =
⋃
k∈N 0
(k+1)2 −n ≤s
∈ B([0; s]) ⊗ F s .
(
) (
)
[k2 −n , (k + 1)2 −n ) × X −1
(k+1)2
(B) ∪ [(k −n n + 1)2 −n , s] × Xs
−1 (B)
Damit ist Y s := lim Y s n B([0; s]) ⊗ F s -messbar. ✷
n→∞
24.8 Hauptsatz
Sei I ⊆ R + und (Ω, A, P, (F t ) t∈I ) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum, T eine Stopp- bzw.
Optionszeit bzgl (F t ) t∈I und (X t ) t∈I∩T (Ω) ein progressiv messbarer stochastischer Prozess mit
Zustandsraum (E, B).
Dann ist die Abbildung
{
{T < ∞} → E
X T :
ω ↦→ X T (ω) (ω)
{T < ∞} ∩ F T - bzw. {T < ∞} ∩ F T + -messbar, also insbesondere F ∞ - und A-messbar.

210 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
Beweis: Es ist X T = Y ◦ φ mit
{
{T < ∞} → T (Ω) × Ω
φ :
ω ↦→ (T (ω), ω),
{
I ∩ T (Ω) × Ω → E
Y :
(t, ω) ↦→ X t (ω).
Dabei ist φ {T < ∞} ∩ F ∞ − ( I ∩ T (Ω) ∩ B(R + ) ) ⊗ F ∞ -messbar und Y ist ( I ∩ T (Ω) ∩ B(R + ) ) ⊗
F ∞ − B-messbar. Also ist X T {T < ∞} ∩ F ∞ -messbar.
Ist T eine Stoppzeit, s, t ∈ I und B ∈ B, so gilt
X −1
T (B) ∩ {T ≤ t} = ( φ −1 ( Yt
−1 ) )
(B) ∩ {T ≤ t} ∈ Ft ,
} {{ } } {{ }
∈(T (Ω)∩B([0;t]))⊗F t ∈F t
Somit ist X T F T -messbar.
Ist T eine Optionszeit, ist der Beweis analog.
✷

25. MARTINGALKONVERGENZSÄTZE 211
25 Martingalkonvergenzsätze
Sei stets (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und I ⊆ R so, dass es eine abzählbare Teilmenge
I 0 ⊆ I gibt, die rechtsseitig dicht in I ist, d.h.
t ∈ I 0 ∩ [t, ∞)
(t ∈ I).
Beispielsweise ist I ⊆ Z, R + , R − endlich oder abzählbar.
25.1 Definition
1. Sei (X t ) t∈I ein Prozess. Gilt
t ↦→ X t (ω) ist rechtsseitig stetig
(ω ∈ Ω),
so heißt (X t ) t∈I rechtsseitig stetig.
2. Sei (X t ) t∈I ein stochastischer Prozess und p ≥ 1. Genau dann heißt (X t ) t∈I L p (Ω, A, P)-
beschränkt oder einfacher L p -beschränkt, wenn
sup E[|X p t |] < ∞.
t∈I
3. Seien f : I → R eine Funktion und a, b ∈ R, a < b. Definiere dann
U (a;b) (f) := sup { n ∈ N : ∃t 1 < . . . < t 2n in I mit f(t 2j−1 ) < a, f(t 2j ) > b (1 ≤ j ≤ n) } ,
wobei sup ∅ = 0. Dann heißt U (a;b) (f) die Anzahl der aufsteigenden Überquerungen von (a; b)
durch f.
25.2 Bemerkung
1. Ist I ⊆ Z, so sind alle stochastischen Prozesse (X t ) t∈I rechtsseitig stetig.
2. Um die Definition der Anzahl der aufsteigenden Überquerungen zu veranschaulichen, hier eine
Darstellung:
b
a
. .
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . .
.
.
.
.
.
.
t 1 t 2 t 3 t 4
.
..
.
.
.
3. Offenbar ist U (a;b) (f) = sup U (a;b) (f|J).
J⊂⊂I

212 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
4. Sei f : I → R.
Beh: Ist
so existieren
lim
t→t 0
tt 0
f(t) ∈ R (t 0 ∈ I).
Denn: Wäre z.B. im ersten Fall
lim inf
t→t 0
t

25. MARTINGALKONVERGENZSÄTZE 213
wobei I 0 := {s i : i ∈ I 0 } eine abzählbare und rechtsseitig dichte Teilmenge in I ist. Wir definieren
zunächst für eine Funktion f : I → R
U ′ (a;b) (f) := sup { n ∈ N : ∃t 1 < . . . < t 2n in I mit f(t 2j−1 ) ≤ a, f(t 2j ) ≥ b (1 ≤ j ≤ n) } .
Damit ist U
(a;b) ′ (f) ≥ U (a;b)(f). Es genügt wegen monotoner Konvergenz zu zeigen:
Beh: Für jede endliche Teilmenge J = {t 1 , . . . , t n } ⊆ I mit t 1 < . . . t n ist U (a;b) (X J ) messbar und
es gilt
E [ U (a;b) ′ (X J) ] ≤ 1
b − a sup E[(X t − a) + ].
Definiere dazu die Stoppzeiten T n : Ω → J ∪ {∞} (n ∈ N) rekursiv durch
T 0 = 0,
{
min{t k ∈ J : T 2i−2 < t k , X tk ≤ a} falls {t k ∈ J : T 2i−2 < t k , X tk ≤ a} ≠ ∅
T 2i−1 =
t n falls {t k ∈ J : T 2i−2 < t k , X tk ≤ a} = ∅,
{
min{t k ∈ J : T 2i−1 < t k , X tk ≥ b} falls {t k ∈ J : T 2i−1 < t k , X tk ≥ b} ≠ ∅
T 2i =
t n falls {t k ∈ J : T 2i−2 < t k , X tk ≥ b} = ∅,
Beh.: Es gilt {T i ≤ t} ∈ F t
Denn: Wegen
(t ∈ I).
{T i ≤ t} =
t∈I
n⋃
{T i = t k }
k=1
t k ≤t
genügt es zu zeigen, dass {T i = t k } ∈ F tk ⊆ F t . Dies zeigt man mit Induktion:
“i = 0”: Klar.
“2i − 2 → 2i − 1”: Für k ≤ n ist
(
) ( ⋃
{T 2i−1 = t k } = {T 2i−2 < t k } ∩ {X tk ≤ a} \
und ebenso für {T 2i = t k } ∈ F tk .
Also sind alle T i Stoppzeiten. Offenbar ist
U (a;b) (X I )(ω) ∈ { 0, . . . , [ ]}
n
2
und für i ≤ [ n
2
]
ist
{U ′ (a;b) (X J) ≥ i} =
⋃
{s 1U ′ (a;b) (X J )
X T2i − X T2i−1 =
U ′ (a;b) (X J) = U ′ (0;b−a)(
((Xt − a) +) t∈J)
.
{
Xtn − X 2U ′
(a;b) (X J )+1, T 2U ′
(a;b) (X J )+1 < t n
≤ X tn .
0, T 2U ′
(a;b) (X J )+1 ≥ t n

214 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
Definiere für k ≥ 2
Damit gilt
∫
[ n 2 ]
⊎
⊎
A k := {T 2i−1 < t k ≤ T 2i } = {T 2i−1 ≤ t k−1 } \ {T 2i ≤ t k−1 } ∈ F tk−1 .
i=1
bU ′ (a;b) (X J)dP ≤
wegen X t ≥ 0. Damit ist
∫ U ′ (a;b) (X J )
∑
i=1
i=1 k=2
[ n 2 ]
i=1
∫ [ ]
n
2
( ) ∑ ( )
XT2i − X T2i−1 dP ≤ XT2i − X T2i−1 dP
i=1
∫ [ ]
n
2
∑ n∑
∫
= 1 {T2i−1

25. MARTINGALKONVERGENZSÄTZE 215
also
und damit
sup
t∈I
E[X − t ] ≤ E[X + t ] − E[X 0 ] ≤ E[X + t ] + E[|X 0 |]
E[|X t |] ≤ sup
t∈I
E[X t + ] + sup E[Xt − ] ≤ 2 sup E[X t + ] + E[|X 0 |] < ∞.
t∈I
1. Nach 25.3 ist E[U (a;b) (X I )] < ∞ und damit ist U (a;b) (X I ) < ∞ fast sicher (a, b ∈ R).
Seien a, b ∈ R mit a < b. Dann gibt es α, β ∈ Q mit a < α < β < b und es gilt
U (a;b) (X I ) ≤ U (α;β) (X I ) < ∞
fast sicher. Also gibt es eine Nullmenge N α,β mit
Damit ist
U (α;β) (X I )(ω) < ∞ (ω /∈ N α,β ).
N :=
⋃
α,β∈Q
α

216 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
25.6 Bemerkung
In 25.4 kann man i.A. das Submartingal nicht auf I fortsetzen, auch dann nicht, wenn X t ein
Martingal ist (vgl. [BW], p. 164).
25.7 Hauptsatz
Sei I = Z + oder I = R + und (X t ) t∈I ein an (F t ) t∈I adaptierter stochastischer Prozess.
1. Ist (X t , F t ) t∈I ein Submartingal und gleichgradig integrierbar, so ist (X t ) t∈I L 1 (Ω, A, P)-
beschränkt und konvergiert fast sicher und im Mittel gegen eine F ∞ -messbare integrierbare
Zufallsvariable X ∞ .
2. Ist (X t , F t ) t∈I ein Submartingal bzw. ein Martingal und konvergiert (X t ) t∈I im Mittel gegen
eine integrierbare Zufallsvariable X ∞ , so kann man X ∞ F ∞ -messbar wählen und dann ist
(X t , F t ) t∈I
ein Submartingal bzw. Martingal.
3. Ist (X t , F t ) t∈I
ein Martingal bzw. ein nach unten beschränktes Submartingal, so ist (X t ) t∈I
gleichgradig integrierbar.
Beweis:
1. Nach 6.22 ist (X t ) t∈I L 1 (Ω, A, P)-beschränkt, also nach 25.4 fast sicher konvergent gegen X ∞ ∈
L 1 (Ω, F ∞ , P). Für alle Folgen (t n ) n∈N ∈ I N mit lim t n = ∞ gilt X ∞ = lim X t n
fast sicher.
n→∞ n→∞
Gemäß 6.25 folgt aus der gleichgradigen Integrierbarkeit der Teilfolge (X tn ) n∈N die Konvergenz
im Mittel, d.h.
∫
lim |X ∞ − X t |dP = 0.
t→∞
2. Für Folgen (t n ) n∈N in I mit lim t n = ∞ konvergiert X tn → X ∞ in L 1 (Ω, A, P). Gemäß 6.12.3
t→∞
konvergiert eine geeignete Teilfolge fast sicher gegen X ∞ , also ist X ∞ F ∞ -messbar wählbar.
Für t ∈ I gilt
∫
∫
∫
lim ∣ X ∞ dP − X s dP∣ ≤ lim |X ∞ − X s |dP = 0 (A ∈ F t ).
s→∞
A
A
s→∞
A
Im Falle eines Martingals folgt daraus
∫
∫
X t dP = s→∞
lim
A
s≥t
und im Falle eines Submartingals
∫
∫
X t dP ≤ s→∞
lim
A
s≥t
A
A
∫
X s dP =
∫
X s dP =
A
A
X ∞ dP (A ∈ F t )
X ∞ dP (A ∈ F t ).
3. Sei (X t ) t∈I
ein Martingal. Mit 23.12 ist (|X t |, F t ) t∈I ein Submartingal. Damit genügt es, die
Behauptung für nach unten beschränkte Submartingale zu zeigen.
Sei zunächst (X t ) t∈I
ein Submartingal mit X t ≥ 0
∫
∫
|X t |dP ≤
Nun genügt es zu zeigen:
Beh: lim P[X t ≥ α] = 0.
sup
α→∞
t∈I
{X t≥α}
(t ∈ I). Da {X t ≥ α} ∈ F t ist, gilt
{|X t|≥α}
X ∞ dP.

25. MARTINGALKONVERGENZSÄTZE 217
Denn dann ist (X t ) t∈I
gleichgradig integrierbar. Mit der Tschebyscheff-Markoff’schen Ungleichung
ist aber
∫
∫
lim sup P[X t ≥ α] ≤ lim sup 1
1
α→∞ α→∞ α
X t dP ≤ lim
α→∞ α
X ∞ dP = 0.
t∈I
t∈I
Sei nun (X t ) t∈I
ein nach unten beschränktes Submartingal, d.h. es gibt ein c ∈ R mit
X t ≥ c (t ∈ I). Dann ist aber (X t − c) t∈I
ein positives Submartingal und es gilt
∫
∫
∫
lim sup |X t |dP ≤ lim sup (X t − c)dP + cdP = 0
α→∞
t∈I {|X
α→∞ t|≥α}
t∈I {X t−c≥α}
{X t−c≥α}
wie oben.
✷
25.8 Bemerkung
Für I = Z + kann in 3. im Fall eines Submartingals die Beschränktheit nach unten ersetzt werden
durch
lim
n→∞ E[X n] = E[X ∞ ]
(siehe [BW], 19.3).
25.9 Korollar
Sei I = Z + oder I = R + . Dann sind für jedes rechtsseitig stetige Martingal (X t , F t ) t∈I äquivalent:
1. (X t ) t∈I ist gleichgradig integrierbar.
2. (X t ) t∈I konvergiert im Mittel.
3. Es existiert eine integrierbare Zufallsvariable X ∞ , so dass (X t , F t ) t∈I
ein Martingal ist, d.h.
X t = E[X ∞ |F t ] fast sicher
(t ∈ I).
Dann ist
X ∞ := lim
t→∞
X t
fast sicher eindeutig bestimmt, wobei die Konvergenz fast sicher und im Mittel ist.
Beweis:
“1. ⇒ 2.”: Folgt aus 25.7.1
“2. ⇒ 3.”: Da (X t ) t∈I im Mittel konvergiert, ist (X t ) t∈I ebenfalls L 1 (Ω, A, P)-beschränkt. Mit
25.4 ist daher X ∞ := lim X t mit I = Z + oder I = R + sind ∈ L 1 (Ω, A, P) und F ∞ -
t→∞
messbar. Damit ist für jede Folge (t n ) n∈N mit lim t n = ∞
n→∞
lim X t n
= X ∞ ∈ L 1 (Ω, A, P) fast sicher.
n→∞
Mit 6.12.4 konvergiert X tn gegen X ∞ im Mittel. Damit konvergiert X t gegen X ∞ im
Mittel und die Behauptung folgt aus 25.7.2.
“3. ⇒ 1.”: Dies folgt direkt aus 25.7.3.
✷

218 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
25.10 Definition
Sei I = Z − oder I = R − . Ist (X t , F t ) t∈I ein Submartingal, so heit (X t , F t ) t∈−I inverses Submartingal.
Analog definiert man inverse Supermartingale und inverse Martingale. Außerdem ist
F −∞ := ⋂ t∈I
F t .
25.11 Lemma
Sei I = Z − oder I = R − . Dann gibt es für jedes rechtsseitig stetige Submartingal (X t , F t ) t∈I eine
Zufallsvariable X −∞ , die messbar ist bzgl. F −∞ und für die
gilt.
lim X t = X −∞ fast sicher
t→−∞
Beweis: Gemäß 25.3 ist für a < b wegen E[X t + ] ≤ E[X 0 + ] nach 23.11 und 23.6.2
E[U (a;b) (X I )] ≤ 1 (
E[X
+
b − a 0 ] + a −) < ∞.
Mit 25.2 folgt dann wie im Beweisschritt 2. von 25.4 die fast sichere Konvergenz von X t
t → −∞ gegen eine F −∞ -messbare Funktion X −∞ .
für
✷
25.12 Lemma
Sei I = Z − . und (X t , F t ) t∈I ein Submartingal. Dann sind äquivalent:
1. (X t ) t∈I ist L 1 (Ω, A, P)-beschränkt, d.h. eine der zwei für Submartingale mit I = Z − äquivalenten
Bedingungen
ist erfüllt.
2. (X t ) t∈I ist gleichgradig integrierbar.
sup E[|X t |] < ∞ oder inf E[X t] > −∞
t∈I
t∈I
Beweis: Zunächst zeigen wir die Äquivalenz der Bedingungen in 1. Ist (X t ) t∈I
beschränkt, so gilt
− inf E[X t] = sup E[−X t ] ≤ sup E[|X t |] < ∞
t∈I t∈I
t∈I
und andererseits folgt aus der zweiten Bedingung
L 1 (Ω, A, P)-
sup
t∈I
Nun zur Behauptung.
E[|X t |] = sup E[2Xt − Xt − ] ≤ 2E[X 0 + ] − inf E[X t] < ∞.
t∈I
t∈I
“1.⇒2.”: Da (X t ) t∈I L 1 (Ω, A, P)-beschränkt ist, gibt es für ɛ > 0 ein t ∈ I mit
Ferner gilt für r, s ∈ I und α > 0
∫
E[X r ] =
inf E[X s] ≥ E[X t ] − ɛ.
s∈I
{X s>−α}
∫
X r dP + X r dP
{X s≤−α}

25. MARTINGALKONVERGENZSÄTZE 219
und
|X r |1 {|Xs|≥α} = ∣ Xr 1 {Xs≥α} − X r 1 {Xs≤−α}
∣
und damit für s, t ∈ I mit s ≤ t
∫
{|X s|≥α}
∫
|X s |dP =
{X s≥α}
∫
= −E[X s ] +
∫
X s dP −
∫
≤ ɛ − E[X t ] +
{X s>−α}
{X s>−α}
{X s≤−α}
X s dP
∫
X s dP +
∫
X t dP +
{X s≥α}
{X s≥α}
∫
∫
= ɛ + X t dP − X t dP
{X s≥α}
{X
∫ s≤−α}
∣∣ ∣
≤ ɛ + X t 1 {Xs≥α} − X t 1 {Xs≤−α}
∣dP
∫
= ɛ + |X t |dP.
{|X s|≥α}
X s dP
X t dP
Um zu zeigen, dass (X t ) t∈I gleichgradig integrierbar ist, wollen wir zeigen, dass
∫
sup |X s |dP ≤ 2ɛ
s≤t {|X s|≥α}
für hinreichend große α. Dann ist (X s ) s≤t , aber auch (X s ) s>t gleichgradig integrierbar,
da {s > t} endlich ist. Damit ist dann (X t ) t∈I gleichgradig integrierbar. Nun ist aber
{X t } gleichgradig integrierbar und nach 6.22 gibt es ein δ > 0 mit
∫
A
|X t |dP ≤ ɛ (A ∈ A, P[A] ≤ δ).
Ferner ist (X s + , F s ) s∈I
23.6.4 und folglich ist
ein Submartingal nach 23.11, also ist s ↦→ E[X + s ] isoton nach
sup
s∈I
E[|X s |] = sup E[−X s + 2X s + ] ≤ − inf E[X s] + 2E[X 0 + ] =: β < ∞.
s∈I
s∈I
Also gilt nach 6.14 für s ∈ I und hinreichend große α
P[|X s | ≥ α] ≤ 1 α E[|X s|] ≤ β α ≤ δ,
also
∫
∫
sup |X s |dP ≤ ɛ + |X t |dP ≤ 2ɛ
s≤t {|X s|≥α}
{|X s|≥α}
für hinreichend großes α. Nach der Definition der gleichgradigen Integrierbarkeit 6.21
folgt die Behauptung.
“2.⇒1.”: Jede gleichgradig integrierbare Menge ist nach 6.22 L 1 (Ω, A, P)-beschränkt.
✷

220 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
25.13 Hauptsatz (Doob’scher Konvergenzsatz für inverse Submartingale)
Sei I = Z + . und (X t , F t ) t∈I ein rechtsseitig stetiges Submartingal. Dann konvergiert (X t ) t∈I
genau dann fast sicher und im Mittel gegen eine integrierbare F −∞ -messbare Zufallsvariable
X −∞ , wenn
inf
t∈I E[X t] > −∞.
Dann ist auch (X t , F t ) t∈I
ein Submartingal.
Beweis:
“⇒”: Aus X t → X −∞ im Mittel folgt
inf E[X t] 23.6.2
= lim E[X t] = E[X −∞ ] > −∞.
t∈I t→−∞
“⇐”: Aus 25.11, 25.12 und 6.25 folgt, dass es eine F −∞ -messbare Zufallsvariable X −∞
L 1 (Ω, A, P) gibt mit
X −∞ = lim X t
t→−∞
fast sicher und im Mittel.
∈
Wie im Beweisschritt 2. von 25.7 folgt nun, dass für t ∈ I
∫
∫ ∫
X −∞ dP = X s dP ≤ X t dP (A ∈ F t )
A
lim
s≤t
s→−∞
A
A
Damit ist (X t , F t ) t∈I
ein Submartingal.
✷
25.14 Korollar
Sei I = Z − . Dann konvergiert jedes rechtsseitig stetige Martingal (X t , F t ) t∈I fast sicher und im
Mittel gegen eine integrierbare Zufallsvariable X −∞ , so dass (X t , F t ) t∈I
ein Martingal ist.
Beweis: Die Konvergenz folgt direkt aus 25.13. Außerdem ist
∫
∫ ∫
X −∞ dP = X s dP = X t dP (A ∈ F t )
A
lim
s≤t
s→−∞
A
A
und damit (X t , F t ) t∈I
ein Martingal.
✷
25.15 Anwendungen
1. Kolmogoroff’sches Kriterium (13.5):
Beh: Sei X n eine unabhängige Folge quadratisch inegrierbarer reeller Zufallsvariablen mit
∞∑
n=1
1
n 2 Var[X n] < ∞.
Dann gilt für (X n ) das starke Gesetz der großen Zahlen.
Beweis: Œ ist E[X n ] = 0 (n ∈ N). Nach 23.9 ist
(S n ) n∈N := ( n ∑
i=1
1
i X i
)
n∈N

25. MARTINGALKONVERGENZSÄTZE 221
ein Martingal mit
E[|S n |] 2 5.4
≤ E[S 2 n] = Var[S n ] =
n∑
i=1
1
i 2 Var[X i ] ≤
∞∑
n=1
1
n 2 Var[X n ] < ∞,
also L 1 (Ω, A, P)-beschränkt. Mit 25.4 konvergiert (S n ) n∈N fast sicher. Außerdem gilt
1
lim
n→∞ n
n∑
X i = 0
i=1
fast sicher
nach folgendem Lemma, das hier nicht bewiesen wird.
Beh: Lemma von Kronecker
Sei (s n ) n∈N ∈ R N eine Folge mit s n → s ∈ R. Dann gilt
Mit diesem Lemma ist
und damit
1
lim
n→∞ n
n∑
X i =
i=1
1
n
n∑
(iS i − iS i−1 )
i=1
n∑
s i → 0.
i=1
= −S 0 + S 1 − 2S 1 + 2S 2 − 3S 2 + 3S 3 − . . . − nS n−1 ) + nS n
n−1
∑
= nS n − S i .
i=1
n∑
X i = lim S n − n−1
n→∞ n
i=1
n∑
1
n−1
i=1
S i = lim
n→∞ S n − lim
n→∞
n 1
n+1 n
i=1
n∑
S i = 0
Damit folgt die Behauptung.
✷
2. Starkes Gesetz der großen Zahlen von Kolmogoroff (13.2)
Beh: Sei (X n ) n≥0 eine Folge integrierbarer, identisch verteilter Zufallsvariablen. Dann gilt
1
lim
n→∞ n+1
n∑
X i = E[X 0 ] fast sicher.
i=0
Beweis: Sei ΠE[X 0 ] = 0 Πzentriert und
n∑
S n = X i , F −n := σ(S k : k ≥ n) (n ≥ 0).
i=0
Wegen der identischen Verteilung ist
E[X j |S n ] = E[X 0 |S n ] (j ≤ n)
und da σ(X 0 , . . . , X n ) unabhängig von σ(X n+1 , X n+2 , . . .) ist, gilt fast sicher
E[X j |S n ] = E[X 0 |S n ] = E[X 0 |F −n ] (j ≤ n)

222 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
aufgrund der Symmetrie. Damit ist
also wird durch
lim
n→∞
[
E[X 0 |F −n ] = E
1
n+1
n∑
i=0
X i |S n
]
= 1
n+1 S n fast sicher,
Y −n := 1
n+1 S n = E[X 0 |F −n ]
gemäß 23.7 bzgl (F −n ) n∈N ein Martingal definiert, welches nach 25.14 fast sicher und im Mittel
gegen ein Y −∞ ∈ L 1 (Ω, A, P) konvergiert, so dass (Y −n , F −n ) n∈Z+
ein Martingal ist. Somit ist
1
n+1 S n = Y −∞ fast sicher und
also insbesondere
E[X 0 |F −∞ ] = E[Y 0 |F −∞ ] = Y −∞ ,
E[Y −∞ ] = E[X 0 ] = 0.
Als terminale Zufallsvariable ist Y −∞ nach 12.13 fast sicher konstant, also fast sicher 0.

26. ZUFÄLLIGES STOPPEN VON MARTINGALEN (OPTIONAL SAMPLING) 223
26 Zufälliges Stoppen von Martingalen (Optional Sampling)
Sei stets (Ω, A, P, (F t ) t∈I ) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum.
26.1 Lemma
Sei I ⊆ R + und (X t , F t ) t∈I ein Supermartingal. Für die Stoppzeiten S, T bzgl. (F t ) t∈I gelte
S ≤ T, |S(Ω)| < ∞, |T (Ω)| < ∞,
d.h. S und T nehmen nur endlich viele Werte an. Dann gilt für die Zufallsvariablen X S und X T
aus 24.8
X S ∈ L 1 (Ω, A, P), X T ∈ L 1 (Ω, A, P)
und
X S ≥ E[X T |F S ]
fast sicher,
insbesondere gilt
E[X S ] ≥ E[X T ].
Beweis: Sei
T (Ω) ∪ S(Ω) =: J = {t 1 , . . . , t n } ⊆ I
mit t 1 < . . . < t n . Dann sind mit 24.6 und 24.8 X S F S - und X T F T -messbar. Ferner ist
X S = ∑ t∈J
1 {S=t} X t ∈ L 1 (Ω, A, P)
und ebenso X T ∈ L 1 (Ω, A, P).
Somit genügt es, zu zeigen, dass
∫
Es ist aber für A ∈ F S
∫
A
X T dP =
n∑
∫
j=1
A
A∩{T =t j}
∫
X S dP ≥
A
X tj dP =
X T dP (A ∈ F S ).
n∑
n∑
∫
k=1 j=k
n∑ ( ∫ ∫
=
X tk dP −
k=1
A∩{S=t k }∩{T >t k−1 }
∫
∫
+
X tk+1 dP −
A∩{S=t k }∩{T >t k }
A∩{S=t k }∩{T =t j}
X tj dP
A∩{S=t k }∩{T >t k }
A∩{S=t k }∩{T >t k+1 }
X tk dP
X tk+1 dP+
∫
)
. . . +
X tn dP
A∩{S=t k }∩{T >t n−1}
n∑
∫
∫
≤
X tk dP = X S dP.
k=1
A∩{S=t k }
A
✷

224 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
26.2 Bemerkung
Ist in 26.1 (X t ) t∈I ein Submartingal, so gilt
und im Falle eines Martingales
X S ≤ E[X T |F S ] fast sicher
X S = E[X T |F S ] fast sicher.
26.3 Hauptsatz (Doob’s Optional Sampling Theorem im diskreten Fall)
Sei I = Z + , (X t , F t ) t∈I ein Supermartingal und (T n ) n∈N eine isotone Folge beschränkter Stoppzeiten
bzgl (F t ) t∈I . Dann ist ( X Tn , F Tn
)n∈N ein Supermartingal. Ist (X t, F t ) t∈I ein Submartingal,
so ist ( )
X Tn , F Tn n∈N ebenso ein Submartingal. Im Falle eines Martingals ist ( X Tn , F Tn
)n∈N
ebenso ein Martingal.
Beweis: Nach 24.6 und 24.8 ist (X Tn ) n∈N an (F Tn ) n∈N adaptiert und jedes T n nimmt nur endlich
viele Werte an, da es sich um in N beschränkte Funktionen handelt. Die Behauptung folgt daher
aus 26.1 und 26.2.
✷
26.4 Korollar (Optional Stopping)
Sei I = Z + , (X t , F t ) t∈I ein Supermartingal bzw. Submartingal bzw. Martingal und T eine Stoppzeit.
Dann ist (
XT ∧n , F T ∧n
)
n∈N
ein Supermartingal bzw. Submartingal bzw. Martingal.
Beweis: Durch
T n := T ∧ n := inf(T, n)
wird eine isotone Folge beschränkter Stoppzeiten definiert. Deshalb folgt die Behauptung direkt
aus 26.3.
✷
26.5 Lemma
Sei I = R + . Zu jeder Optionszeit T bzgl. (F t ) t∈I gibt es eine Folge (T n ) n∈N von Stoppzeiten, so
dass auf {T < ∞}
T n > T, T n (Ω) ⊆ { }
k
2
: k ∈ N n + (n ∈ N)
und T n ↓ T gilt.
Beweis: Für n ∈ N 0 sei
T n :=
{
k+1
2 n falls { k
2 n ≤ T < k+1
2 n } für ein k ∈ N 0
+∞ falls {T = ∞}.
Dann ist T n > T auf {T < ∞} und T n ↓ T . Außerdem sind die T n Stoppzeiten, denn für t ≥ 0 ist
{T n ≤ t} = ⋃ { }
Tn = k
2 n
k∈N 0
k/2 n ≤t
= ⋃
k∈N 0
k/2 n ≤t
{
T <
k+1
2 n }
\
{
T <
k
2 n }
∈ Ft .
✷

26. ZUFÄLLIGES STOPPEN VON MARTINGALEN (OPTIONAL SAMPLING) 225
26.6 Hauptsatz
Sei I = R + , (X t , F t ) t∈I ein rechtsseitig stetiges Supermartingal. Für Optionszeiten S, T bzgl.
(F t ) t∈I gelte fast sicher
S ≤ T, ∃C ∈ R : S ≤ C, T ≤ C,
d.h. S und T sind beschränkte Optionszeiten. Dann gilt für die Zufallsvariablen X S und X T
X S ∈ L 1 (Ω, A, P), X T ∈ L 1 (Ω, A, P)
und
Ist (X t ) t∈I ein Submartingal, so gilt
X S ≥ E[X T |F S ]
fast sicher.
X S ≤ E[X T |F S ] fast sicher
und im Falle eines Martingales
X S = E[X T |F S ] fast sicher.
Beweis: Sei Œ (X t ) t∈I ein Supermartingal. Gemäß 26.5 gibt es Stoppzeiten S n ↓ S, T n ↓ T , die
Œ beschränkt sind, also mit
|S n (Ω)| < ∞, |T n (Ω)| < ∞, S n > S, T n > T (n ∈ N).
Wegen S ≤ T ist oBdA S n ≤ T n (n ∈ N). Aus 26.1 folgt
X Sn ∈ L 1 (Ω, A, P), X Tn ∈ L 1 (Ω, A, P), (n ∈ N)
und für A ∈ F S+ ⊆ F Sn
(siehe 24.3) gilt
∫
∫
X Sn dP ≥ X Tn dP.
A
A
Gemäß 24.3 ist (F Sn ) n∈N antiton, also (F S−n ) n∈−N eine Filtration und damit (X S−n , F S−n ) n∈−N0
ein Supermartingal nach 26.3 mit
sup E[X Sn ] 26.1
≤ E[X 0 ] < ∞,
n∈N 0
also ist (X Sn ) n∈N0 und ebenso (X Tn ) n∈N0 ein Supermartingal und gemäß dem Konvergenzsatz
25.13 für inverse Supermartingale fast sicher und im Mittel konvergent, und zwar wegen rechtsseitiger
Stetigkeit gegen X S ∈ L 1 (Ω, A, P) bzw. X T ∈ L 1 (Ω, A, P). Damit ist für A ∈ F S+
∫
∫
∫
∫
A
X S dP = lim
n→∞
A
X Sn dP ≥ lim
n→∞
A
X Tn dP =
A
X T dP.
26.7 Korollar (Doob’s Optional Sampling Theorem im kontinuierlichen
Fall)
Sei I = R + , (X t , F t ) t∈I ein rechtsseitig stetiges Supermartingal und (T n ) n∈N eine isotone Folge
von beschränkten Options- bzw. Stoppzeiten bzgl (F t ) t∈I . Dann ist auch (X Tn , F Tn+) n∈N bzw.
(X Tn , F Tn ) n∈N ein Supermartingal. Analog gilt die Behauptung, falls I = R + , (X t , F t ) t∈I ein
✷

226 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
rechtsseitig stetiges Submartingal bzw. Martingal ist.
Beweis: Nach 24.8 ist (X Tn ) n∈N an (F Tn+) n∈N bzw. an (F Tn ) n∈N adaptiert. Beides sind nach
24.3 Filtrationen. Sind die (T n ) n∈N Optionszeiten, folgt die Behauptung daher aus 26.6. Sind die
(T n ) n∈N Stoppzeiten bzgl. (F t ) t∈I , so sind (T n ) n∈N wegen
{T i ≤ t} ∈ F t ⊆ F t+
ebenfalls Stoppzeiten bzgl. (F t+ ) t∈I und damit wegen 24.2.3 eine Optionszeit bzgl. (F t ) t∈I . Nach
der ersten Behauptung ist damit (X Tn , F Tn+) n∈N ein Supermartingal. Damit ist aber wegen F Tn ⊆
F Tn+ mit 24.3.3
X Tj = E[X Tj |F Tj ] ≥ E[E[X Ti |F Tj+]|F Tj ] = E[X Ti |F Tj ] (i > j).
und (X Tn , F Tn ) n∈N ist ein Supermartingal.
✷
26.8 Korollar
Sei I = R + , (X t , F t ) t∈I ein rechtsseitig stetiges Supermartingal bzw. Submartingal bzw. Martingal
und T eine Stoppzeit. Dann ist
(
XT ∧n , F T ∧n
)
ein Supermartingal bzw. Submartingal bzw. Martingal.
n∈N
26.9 Bemerkung
Eine Anwendung des Optional-Sampling-Theorems sind die Maximal-Ungleichungen von Doob,
die nun folgen.
26.10 Satz
Sei I ⊆ R abzählbar und (X t ) t∈I ein Submartingal. Dann gilt
αP[sup
t∈I
X t ≥ α] ≤ sup E[X t + ] (α > 0).
t∈I
Beweis: Da mit (X t ) t∈I auch (X + t ) t∈I ein Submartingal ist, genügt es, die Behauptung für X t ≥
0 (t ∈ I) zu zeigen. Aufgrung der Stetigekeit von unten von P genügt es auch, nur endliches I
anzunahmen. Seien dann
t n := max I, T := t n ∧ inf{t ∈ I|X t ≥ α}
mit inf ∅ = ∞. Dann ist T eine Stoppzeit nach 24.4.1. Dann ist mit 24.6 und 24.8, da (X t ) t∈I
progressiv messbar ist,
und damit
αP[sup X t ≥ α] ≤
t∈I
∫
{sup X t ≥ α} = {X T ≥ α} ∈ F T
t∈I
{sup X t ≥ α} X T dP 26.1
≤
t∈I
∫
{sup
t∈I
X t ≥ α} X t n
dP ≤ sup E[X t ].
t∈I
✷

26. ZUFÄLLIGES STOPPEN VON MARTINGALEN (OPTIONAL SAMPLING) 227
26.11 Korollar
Sei I ⊆ R + und (X t ) t∈I ein rechtsseitig stetiges Martingal oder positives Submartingal. Dann gilt
für p > 1
|| sup X t || p ≤
p
t∈I p − 1 sup ||X t || p .
t∈I
Ist insbesondere I kompakt mit t n = max{t : t ∈ I}, so ist
|| sup X t || p ≤
t∈I
p
p − 1 sup
t∈I
||X t || p =
p
p − 1 sup ||X tn || p .
n∈N
Beweis: siehe [BW], 46.3.
26.12 Korollar
Sei I = R + und (X t ) t∈I eine normale Brown’sche Bewegung. Dann gilt für α, t > 0
P[ sup X s ≥ α] ≤ exp ( − α2
2 t) .
0≤s≤t
Beweis: Anwendung von 26.10 auf das Martingal ( exp ( αX t − α2
2 t)) . Siehe [BW], 46.5.
t>0

228 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
27 Markoff-Prozesse
Sei stets (Ω, A, P, (F t ) t∈I ) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum, (X t , F t ) t∈I ein an die Filtration
adaptierter Prozess mit Werten in einem Messraum (E, B) und I total geordnet.
27.1 Definition
Der Prozess (X t , F t ) t∈I heißt Markoff-Prozess, wenn er die elementare Markoff-Eigenschaft besitzt,
d.h.
P[X t ∈ B|F s ] = P[X t ∈ B|X s ] fast sicher (s < t, B ∈ B).
Man schreibt auch (Ω, A, P, (X t ) t∈I ).
27.2 Bemerkung
1. In Worten ausgedrückt heißt das, dass für das Verhalten des Prozesses in der Zukunft t > s die
Information über die Vergangenheit gleichwertig ist mit der Information σ(X s ) der Gegenwart
s.
2. Die Formel gilt auch für s = t, da 1 X
−1
t (B) messbar ist sowohl bzgl. F t als auch bzgl. σ(X t ).
Damit gilt hier fast sicher
27.3 Satz
P[X t ∈ B|F t ] = P[X t ∈ B|X t ] = 1 X
−1
t (B) .
Sei (X t ) t∈I eine unabhängige Familie von Zufallsvariablen und (Ft ∗ ) t∈I := (σ(X s : s ≤ t) (t ∈
I)) t∈I die kanonische Filtration. Dann ist (X t ) t∈I ein Markoff-Prozess bzgl. der kanonischen
Filtration.
Beweis: Für s < t und B ∈ B ist σ(X t ) unabhängig von F ∗ s . Damit ist nach 22.15 fast sicher
P[X t ∈ B|F ∗ s ] = E[1 {Xt∈B}|F ∗ s ] = E[1 {Xt∈B}] = P[X t ∈ B] = P[X t ∈ B|X s ].
✷
27.4 Lemma
Sei (X t ) t∈I ein stochastischer Prozess und (F ∗ t ) t∈I die kanonische Filtration. Genau dann ist
(X t ) t∈I ein Markoff-Prozess bzgl. der kanonischen Filtration, wenn fast sicher
P[X t ∈ B|X s1 , . . . , X sn ] = P[X t ∈ B|X sn ]
(s 1 < . . . < s n < t, B ∈ B).
Beweis:
“⇒”: Sei also
E[1 {Xt∈B}|F ∗ s ] = E[1 Xt∈B}|X sn ] fast sicher.
Mit 22.14 ist dann fast sicher
E[1 {Xt∈B}|X s1 , . . . , X sn ] = E [ E[1 {Xt∈B}|F ∗ s ]|X s1 , . . . , X sn
]
= E [ E[1 {Xt∈B}|X sn ]|X s1 , . . . , X sn
]
= E[1{Xt∈B}|X sn ].

27. MARKOFF-PROZESSE 229
“⇐”: Es ist zu zeigen:
Für s < t und jede Version Y von P[X t ∈ B|X s ] und A ∈ Fs ∗ gilt
∫ ∫
Y dP = 1 {Xt∈B}dP = P[A ∩ {X t ∈ B}].
A
A
Nach Voraussetzung gilt dies für s 1 < . . . < s n = s und A ∈ σ(X s1 , . . . , X sn ). Da diese
σ-Algebra ein ∩-stabiler Erzeuger der σ-Algebra Fs ∗ ist die beiden Abbildungen
∫
A ↦→ P[A ∩ {X t ∈ B}], A ↦→ Y dP
endliche Maße auf F s sind folgt die Behauptung aus dem Eindeutigkeitssatz der Maßtheorie
7.19.
27.5 Hauptsatz
Ist (E, B) ein polnischer Zustandsraum und ist die gemeinsame Verteilung von (X t ) t∈I das
Markoff-Maß P µ aus einer normalen Markoff’schen Schar (P s,t ) s,t∈I und Startwahrscheinlichkeit
µ aus E, dann ist (X t ) t∈I bzgl. der kanonischen Filtration ein Markoff-Prozess und es gilt
s≤t
fast sicher für x ∈ E, B ∈ B = B(E) und s ≤ t
P[X t ∈ B|X s = x] = P s,t [x, B],
P[X t ∈ B|F ∗ s ] = P[X t ∈ B|X s ] = P s,t [X s , B].
A
✷
Beweis: Gemäß 22.30 gilt
P[X t ∈ B|X s = x] = P s,t [x, B].
Zu zeigen bleibt nach 27.4 für (s 0 < s 1 < . . . < s n = s < t =: s n+1 )
P[X t ∈ B|X s0 , . . . , X sn ] = P s,t [X s , B] = P s,t [., B] ◦ X s = P s,t [., B] ◦ π J s ◦ X J fast sicher
mit J = {s 0 , . . . , s n } und Πs 0 = 0. Ansonsten folgt die Behauptung durch Bildung der bedingten
Erwartung E[.|X s1 , . . . , X sn ] auf beiden Seiten.
Dies ist äquivalent zum Nachweis, dass der Kern
K s,t := P s,t [π J s , .] : E J × B → [0; 1]
eine faktorisierte bedingte Verteilung von X t unter der Hypothese X J = (X s0 , . . . , X sn ) ist, also
nach 22.29 P (XJ ,X t) = P XJ ⊗ K s,t gilt. Mit s n+1 := t genügt dafür der Nachweis von
denn dann ist nach 18.10
⊗
P si−1 ,s i
= ( µ
n+1
µ
i=1
n⊗ )
P si−1 ,s i ⊗Ks,t
i=1
n+1
P (XJ ,X t) = P (Xsi ) i=0,...,n+1
= P = µ ⊗
π{s0 ,...,s n+1 }
18.10
= P µ π J
⊗K s,t = P XJ ⊗ K s,t .
i=1
P si−1 ,s i
= ( µ
n⊗
i=1
P si−1 ,s i
} {{ }
∈M 1 + (E J ,B J )
)
⊗Ks,t

230 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
Für A ∈ B J und B ∈ B ist aber
∫
P µ π J
⊗K s,t [A × B] = P µ [
π d(x0
J
, . . . , x n ) ] K s,t [x 0 , . . . , x n , B]
A∫
∫
∫
9.17
= µ[dx 0 ] P s0,s 1
[x 0 , dx 1 ] . . . P sn−1 ,s n
[x n−1 , dx n ]
∫
=
∫
µ[dx 0 ]
K s,t [x 0 , . . . , x n , dx n+1 ]1 A (x 0 , . . . , x n )1 B (x n+1 )
∫
P s0,s 1
[x 0 , dx 1 ] . . .
P sn−1 ,s n
[x n−1 , dx n ]
∫
P sn,s n+1
[x n , dx n+1 ]1 A (x 0 , . . . , x n )1 B (x n+1 )
= ( µ ⊗ n+1
i=1 P )
s i−1 ,s i [A × B].
✷
27.6 Korollar
Jeder Lévy-Prozess, d.h. jeder Prozess mit Zustandsraum (R d , B(R d )) und stationären unabhängigen
Zuwächsen ist ein Markoff-Prozess.
Beweis: Folgt direkt aus 19.4 und 27.5.
27.7 Beispiele
Jede Brown’sche Bewegung in R d und jeder Poisson-Prozess ist ein Lévy-Prozess und damit auch
ein Markoff-Prozess.
27.8 Definition
Eine Familie von Tupeln (Ω, A, P x , (X t ) t∈R+ ) x∈E
universeller Markoff-Prozess, wenn gilt:
heißt Markoff’sche Prozessfamilie oder auch
1. Die Abbildung x ↦→ P x [A] ist B-messbar (A ∈ A).
2. Es ist P x [X 0 = x] = 1 (x ∈ E).
3. Für s, t ∈ R + , x ∈ E und B ∈ B ist
P x [X s+t ∈ B|Fs ∗ ] = P Xs [X t ∈ B]
P x -fast-sicher.
27.9 Bemerkung
Die Eigenschaft 3. heißt universelle Markoff-Eigenschaft. Anders geschrieben bedeutet sie
P x [X s+t ∈ B|Fs ∗ ](ω) = P Xs(ω) [X t ∈ B]
für fast alle ω ∈ Ω.

27. MARKOFF-PROZESSE 231
27.10 Lemma
Sei (E, B) polnisch, µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf E, (P s,t ) s,t∈I eine Markoff’sche Schar auf
s≤t
(E, B) und mit dem zugehörigen Markoff-Maß P µ . Dann ist für B ∈ B I die Abbildung
x ↦→ P ɛx [B]
B-messbar und es gilt
∫
P µ [B] =
P ɛx [B]µ[dx].
Beweis: Definiere
Dann ist D ein Dynkin-System.
Sei
E := {B ∈ B I : B = ∏
D := {B ∈ B I : x ↦→ P ɛx [B] ist B-messbar}.
j∈J
B j ×
∏
i∈I\J
Ω, J ⊂⊂ I, B i ∈ B, i ∈ J}.
Beh: E ⊆ D
Denn: Es ist für B 1 , . . . , B n ∈ B und J := {1, . . . , n}
∫ ∫
P ɛx [π −1
J (B 1 × . . . × B n )] 18.8
= ɛ x [dx 0 ] P 0,t1 [x 0 , dx 1 ]1 B1 (x 1 ) · . . . ·
∫
P tn−1 ,t n
[x n−1 , dx n ]1 Bn (x n )
∫
= P 0,t1 [x, dx 1 ]1 B1 (x 1 ) · . . . ·
P tn−1 ,t n
[x n−1 , dx n ]1 Bn (x n ).
Nach 9.12 folgt, dass x ↦→ P ɛx [B] für B ∈ E messbar ist. Wegen der ∩-Stabilität von E folgt
B I ⊇ D = δ(D) ⊇ δ(E) = σ(E) = B I .
Damit folgt die Behauptung.
Beh: Es gilt
∫
P µ [B] =
P ɛx [B]µ[dx] (B ∈ B I ).
Denn: Es genügt wegen 4.12, die Behauptung für B ∈ E zu zeigen. Sei also J = {1, . . . , n} und
B = π −1
J
(B 1 × . . . × B n ). Dann ist
∫ ∫
P ɛx [B] = P ɛx
J [B 1 × . . . × B n ] 18.8
= ɛ x [dx 0 ] P 0,t1 [x 0 , dx 1 ]1 B1 (x 1 ) · . . . ·
∫
P tn−1 ,t n
[x n−1 , dx n ]1 Bn (x n )
∫
=
∫
P 0,t1 [x, dx 1 ]1 B1 (x 1 ) · . . . ·
P tn−1 ,t n
[x n−1 , dx n ]1 Bn (x n ).
Damit ist
∫
∫
P ɛx [B]µ[dx] =
∫
µ[dx]
∫
P 0,t1 [x, dx 1 ]1 B1 (x 1 ) · . . . ·
P tn−1 ,t n
[x n−1 , dx n ]1 Bn (x n )
= P µ J [B 1 × . . . × B n ] = P µ [B].
✷

232 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
27.11 Hauptsatz
Sei (E, B) ein polnischer Raum.
1. Zu jeder normalen Markoff’schen Halbgruppe (P t ) t≥0 auf (E, B) gibt es eine Markoff’sche
Prozessfamilie (Ω, A, P x , (X t ) t∈R+ ) x∈E mit
P t [x, B] = P x [X t ∈ B]
(t ≥ 0, x ∈ E, B ∈ B).
2. Jede Markoff’sche Prozessfamilie (Ω, A, P x , (X t ) t≥0 ) x∈E definiert durch
P t [x, B] := P x [X t ∈ B]
(t ≥ 0, x ∈ E, B ∈ B).
eine normale Markoff’sche Halbgruppe (P t ) t≥0 von Markoff-Kernen auf (E, B). Für x ∈ E ist
der Prozess (Ω, A, P x , (X t ) t≥0 ) der bis auf Äquivalenz eindeutig bestimmte Markoff-Prozess,
dessen gemeinsame Verteilung das Markoff-Maß zur Startwahrscheinlichkeit ɛ x und (P t ) t≥0
ist.
Beweis:
1. Sei P ɛx das Markoff-Maß zu ɛ x und (P t ) t≥0 . Wähle den kanonischen Prozess (X t ) t≥0 zu ɛ x
und (P t ) t≥0 gemäß 18.4 und 18.10. Definiere P x := P ɛx .
Beh: Nun ist (Ω, A, P x , (X t ) t∈R+ ) t≥0 eine Markoff’sche Prozessfamilie, die die obigen Bedingungen
erfüllt.
Denn: Für die Bedingungen 1.-3. gilt:
1. Folgt aus 27.10.
2. Folgt aus 18.10.
3. Dies folgt ebenfalls aus 18.10 und 27.5. Zunächst ist P x X t
18.10
= P t [x, .]. Dann lehrt 27.5 für
s, t ≥ 0, x ∈ E und B ∈ B P x -fast sicher
P x [X s+t ∈ B|F x s ] = P x [X s+t ∈ B|X s ] = P t (X s , B) = P Xs [X t ∈ B]
2. Durch obige Definition ist P t ein stochastischer Kern auf (E, B), denn für x ∈ E ist es ein
Wahrscheinlichkeitsmaß als Verteilung von X t und für B ∈ B messbar nach Eigenschaft 1.
einer Markoff’schen Prozessfamilie.
Aus P 0 = 1 folgt die Normalität. Die Halbgruppeneigenschaft, also die Chapman-Kolmogoroff-
Gleichungen, folgen aus
P s+t [x, B] = P x [X s+t ∈ B] = E x [1 {Xs+t∈B}] = E x[ E x [1 {Xs+t∈B}|F ∗ s ] ]
= E x[ P x [X s+t ∈ B|Fs ∗ ] ] 3.
= E x[ P Xs [X t ∈ B] ] = E x[ P t [X s , B] ]
∫
∫
∫
= P t [X s (ω), B]P x [dω] 8.4
= P t [y, B]P x X s
[dy] = P s [x, dy]P t [y, B]
= P s P t [x, B].
Für x ∈ E ist (Ω, A, P x , (X t ) t≥0 ) ein Markoff-Prozess denn für s, t ∈ R + und B ∈ B ist
Y := P Xs [X t ∈ B] = P . [X t ∈ B] ◦ X s
eine σ(X s )- also F ∗ s -messbare Zufallsvariable und wegen Eigenschaft 3. eine Version von
P x [X s+t ∈ B|F ∗ s ] = E[1 B ◦ X s−t |F ∗ s ].

27. MARKOFF-PROZESSE 233
Also ist P x -fast sicher
P x [X s+t ∈ B|F ∗ s ] = Y = E x [Y |X s ] = E x[ E x [1 B ◦ X s+t |F ∗ s ]|X s
] 22.14
= E x [1 B ◦ X s+t |X s ]
= P x [X s+t ∈ B|X s ].
Damit ist (Ω, A, P x , (X t ) t≥0 ) ein Markoff-Prozess.
Zu zeigen bleibt, dass P ɛx die gemeinsame Verteilung von (X t ) t∈R+ ist, d.h. für jedes n ∈ N,
B 1 , . . . , B n ∈ B und t 1 < . . . < t n ist
∫
∫
∫
P (Xt1 ,...,X tn )[B 1 × . . . × B n ] = P t1 [x, dx 1 ] P t2−t 1
[x 1 , dx 2 ] . . . P tn−t n−1
[x n−1 , dx n ]
·1 B1×...×B n
(x 1 , . . . , x n ).
Der Beweis erfolgt mittels Induktion nach n. Für n = 1 ist die Formel klar. Für n → n + 1 gilt
für
A := {X t1 ∈ B 1 } ∩ . . . ∩ {X tn ∈ B n } ∈ F ∗ t n
P x (X t1 ,...,X tn+1 ) [B 1 × . . . × B n+1 ] = P x[ {X tn+1 ∈ B n+1 } ∩ A ]
∫
∫
22.17.1
= P x [X tn+1 ∈ B n+1 |Ft ∗ n
]dP x 3.
= P Xtn [X tn+1−t n
∈ B n+1 ]dP x
A
A
∫
= (1 B1 ◦ X t1 ) . . . (1 Bn ◦ X tn ) P tn+1 −t
} {{ }
n
[X tn , B n+1 ]dP x
=1
∫
A
= 1 B1×...×B n
◦ (X t1 , . . . , X tn )P tn+1 −t n
[., B n+1 ]
∫
8.4
=
Ind.Ann.
=
◦ π {t1,...,tn}
t n
◦ (X t1 , . . . , X tn ) dP x
} {{ }
=X tn
1 B1×...×B n
P tn+1 −t n
[., B n+1 ] ◦ π {t1,...,t n}dP x (X t1 ,...,X tn )
∫
∫
P t1 [x, dx 1 ] P t2−t 1
[x 1 , dx 2 ] . . .
∫
P tn−t n−1
[x n−1 , dx n ]1 B1 (x 1 ) . . . 1 Bn (x n )
∫
P tn+1 −t n
[x n , dx n+1 ]1 Bn+1 (x n+1 )
∫
=
∫
P t1 [x, dx 1 ]
P t2−t 1
[x 1 , dx 2 ] . . .
∫
P tn+1 −t n
[x n , dx n+1 ]1 B1×...×B n+1
(x 1 , . . . , x n+1 ).
✷

234 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
27.12 Korollar
Sei (E, B) polnisch und (Y t ) t∈R+ ein stochastischer Prozess mit Zustandsraum E. Ist die gemeinsame
Verteilung von (Y t ) t∈R+ das Markoff-Maß P µ zu einer normalen Markoff’schen Halbgruppe
(P t ) t≥0 und einer Startwahrscheinlichkeit µ auf E, so existiert eine Markoff’sche Prozess-Familie
(Ω, A, P x , (X t ) t∈R+ ) x∈E , so dass (Y t ) t∈R+ äquivalent zum Markoff-Prozess (Ω, A, P µ , (X t ) t∈R+ )
ist, wobei gilt
∫
P µ [B] = P x [B]µ[dx] (B ∈ B I ).
Beweis: Wähle (X t ) als den kanonischen Prozess zum Markoff-Maß P µ . Da durch P µ die Markoff’sche
Halbgruppe (P t ) t≥0 eindeutig bestimmt ist, gibt es nach 27.11.1 eine Markoff’sche Prozessfamilie
mit
P t [x, B] = P x [X t ∈ B] (t ≥ 0, x ∈ E, B ∈ B)
und P x = P ɛx . Die Behauptung folgt nun aus 27.10.
✷

Bezeichnungen
Allgemeines
N
Z
Q
R
C
E
H
K
R
Menge der natürlichen Zahlen.
Menge der ganzen Zahlen.
Menge der rationalen Zahlen.
Menge der reellen Zahlen.
Menge der komplexen Zahlen.
bezeichnet ein Mengensystem.
bezeichnet einen Halbring
ein kompaktes System.
bezeichnet einen Ring.
K: Ω 1 × A 2 → R + bezeichnet einen stochastischen Kern.
m
bezeichnet einen Inhalt, ein Prämaß oder ein Maß.
µ bezeichnet einen Inhalt, ein Prämaß oder ein Maß.
P
(E, d)
bezeichnet ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
bezeichnet einen metrischen Raum.
J ⊂⊂ I bezeichnet eine endliche Teilmenge J von I.
a n = O(b n ) ⇐⇒ ∃c > 0 : a n
≤ c (n ∈ N)
b n
Vergleich der Asymptotiken zweier Zahlenfolgen (a n ) n∈N und (b n ) n∈N .
a n = o(b n ) ⇐⇒
a n
lim = 0
n→∞ b n
(E J , B J )
Vergleich der Asymptotiken zweier Zahlenfolgen (a n ) n∈N und (b n ) n∈N .
:= ⊗ ( ∏
j , B j ) := E, B J =
j∈J(E )
B (p. 150)
j∈J
j∈J
GL(d, R) Menge der reeller d × d-Matrizen mit det A ≠ 0.
Rz der Realteil einer komplexen Zahl z.
Iz der Imaginärteil einer komplexen Zahl z.
Tr f Träger einer Funktion f.
Œ
”ohne Einschränkung”
235

Mengen
G(Ω)
die Menge der offenen Mengen in Ω, d.h. die Elemente der Topologie von
Ω. (p. 7)
F(Ω) die Menge der abgeschlossenen Mengen in Ω. (p. 7)
A ∩ E := {A ∩ E; E ∈ E}. (p. 9)
CA das Komplement der Menge A. (p. 15)
Ω J := ∏ Ω j der Produktraum von (Ω j ) j∈J . (p. 81)
j∈J
P(Ω) die Potenzmenge der Menge Ω.
σ Ω (E) die vom Mengensystem E ⊆ P(Ω) erzeugte σ-Algebra. (p. 6)
σ(E) := σ Ω (E). (p. 6)
B(Ω)
die Borelsche σ-Algebra des Raumes Ω, der mit einer Topologie versehen
ist. (p. 7)
σ(X i : i ∈ I) die von den (X i ) i∈I erzeugte σ-Algebra. (p. 80)
⊗
A i = A I die Produkt-σ-Algebra der (A i ) i∈I . (p. 81)
i∈I
A 1 ⊗ . . . A n :=
T n :=
n⊗
i=1
A i
die Produkt-σ-Algebra der (A i ) i=1,...,n (p. 82)
( ⋃ )
σ A i
i≥n
die von (A i ) i≥n erzeugte σ-Algebra. (p. 111)
∞⋂
T ∞ :=
F ∞
F t+
n=1
T n
die σ-Algebra der terminalen Ereignisse von (A n ) n∈N . (p. 111)
:= σ ( ⋃ )
F t
t∈I
die σ-Algebra einer Filtration, die von allen Elementen der Filtration
erzeugt wird. (p. 198)
:= ⋂ F s
s∈I
s≤t
die rechtsstetige Filtration einer gegebenen Filtration (F t ) t∈I . (p. 198)
F ∗ ≤t := σ(X s : s ∈ I, s ≤ t)
kanonische Filtration eines Prozesses (X t ) t∈I . (p. 198)
F T
:= { A ∈ F ∞ : A ∩ {T ≤ t} ∈ F t (t ∈ I) } ⊆ F ∞
σ-Algebra der T -Vergangenheit für eine Stoppzeit T . (p. 206)
F T
:= { A ∈ F ∞ : A ∩ {T < t} ∈ F t (t ∈ I) } ⊆ F ∞
σ-Algebra der T -Vergangenheit für eine Optionszeit T . (p. 206)
F −∞ := ⋂ t∈I
F t für I = Z − oder I = R − . (p. 218)
δ(E)
:= δ Ω (E) := ⋂ {D : D Dynkin-System, E ⊆ D} das von E erzeugte
Dynkin-System. (p. 69)
236

{ ⋃
n K ∪ :=
i=1
}
K i : n ∈ N, K i ∈ K
der von einem kompakten System K erzeugte Verband, der auch ein
kompaktes System ist. (p. 65)
R loc := {A ⊆ Ω : A ∩ R ∈ R (R ∈ R)} ⊇ R
der von einem Ring R erzeugte lokale Ring. (p. 68)
∞⋃
lim inf A ⋂
n := A k
n→∞
lim sup A n :=
n→∞
n=1 k≥n
die Menge aller ω, die in allen bis auf endlich vielen A n liegen. (p. 50)
∞⋂ ⋃
n=1 k≥n
A k
die Menge aller ω, die in unendlich vielen A n liegen. (p. 50)
A(ω 1 , Ω 2 ) := {ω 2 ∈ Ω 2 : (ω 1 , ω 2 ) ∈ A} (p. 85)
∂A Rand einer Menge A. (p. 128)
Maße
µ σ Fortsetzung von µ auf E σ (Ω, R, m). (p. 30)
µ ∗ inneres Maß eines Maßes µ. (p. 66)
P ∗ I
A ↦→ inf P I [B]
B∈B I
B⊇A
äußeres Maß von P I . (p. 152)
X(m) Bildmaß von X unter m. (p. 78)
ɛ ω singuläre Verteilung von ω. (p. 1)
m[A|B]
bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Hypothese A, falls m ein
Wahrscheinlichkeitsmaß ist. (p. 16)
N µ,σ 2 := g µ,σ 2 · λ 1
die Normalverteilung mit Parametern µ und σ. (p. 104)
[
]
1
g µ,σ 2(x) = √ exp (x − µ)2
−
2πσ
2 2σ 2
die Dichte der Normalverteilung N µ,σ 2. (p. 104)
Φ Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. (p. 133)
π λ Poisson-Verteilung zum Parameter λ. (p. 2)
B(n, p) Binomialverteilung auf {0, . . . , n} zum Parameter p. (p. 2)
m 1 ∗ . . . ∗ m n := n ∗
i=1
( ⊗
n )
m i := S n m i
i=1
die Faltung von m 1 , . . . , m n . (p. 99)
m ′

µ n
vage
−−→ µ vage Konvergenz von endlichen Borel-Maßen. (p. 122)
(p ij ) i∈I,j∈J eine stochastische Matrix. (p. 84)
lim ←−
P J
J ⊂⊂ I
K 1 K 2 :
projektiver Limes einer Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen
(P J ) J⊂⊂I . (p. 94)
∫
(x, B) ↦−→ K 1 [x, dy]K 2 [y, B]
Produkt zweier stochastischer Kerne. (p. 158)
(P s,t ) s,t∈I eine Markoff’sche Schar. (p. 159)
s≤t
(P t ) t∈I eine Markoff’sche Halbgruppe. (p. 159)
(µ t ) t∈I eine Faltungshalbgruppe von Wahrscheinlichkeitsmaßen. (p. 159)
P µ := lim ←−
P J Markoff-Maß zu einer Startwahrscheinlichkeits µ und einer
J ⊂⊂ I
Markoff’schen Schar. (p. 164)
P x := P ɛx das Markoff-Maß mit Startwahrscheinlichkeit ɛ x . (p. 172)
P[A|B]
:= P B [A] := E[1 A |B]
bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Hypothese B. (p. 192)
P[A|Y = .] := E[1 A |Y = .]
faktorisierte bedingte Wahrscheinlichkeit. (p. 195)
P B
P X|Y
P X|Y =y
Erwartungskern zu B, falls
P[A|B] = P B [., A] fast sicher (A ∈ A). (p. 195)
bedingte Verteilung von X unter der Hypothese Y , falls
P X|Y [., A ′′ ] = P[X −1 (A ′′ )|Y ] fast sicher (A ′′ ∈ A ′′ ). (p. 196)
faktorisierte bedingte Verteilung von X unter {Y = y}, falls
P X|Y =. ◦ Y = P X|Y . (p. 196)
f Maßdefinierende eines Borel-Maßes m. (p. 75)
F Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes. (p. 76)
F − (ω) := inf{y ∈ R : F (y) ≥ ω}
inverse Verteilungsfunktion der Verteilungsfunktion F . (p. 125)
Funktionen
1 A Indikatorfunktion der Menge A. (p. 19)
1 A(ω1,Ω 2) := 1 A (ω 1 , .) (p. 85)
f + := sup(f, 0), Positivteil von f. (p. 22)
f − := inf(f, 0), Negativteil von f. (p. 22)
f − := −f − , negativer Negativteil von f. (p. 22)
f A := f| A . (p. 37)
f A := f1 A . (p. 37)
⊗
X j = X J = (X j ) j∈J Produktabbildung von (X j ) j∈J . (p. 82)
j∈J
S n :=
n∑
X i die Summenzufallsvariable der X 1 , . . . , X n . (p. 99)
i=1
238

X I (ω)(t) := X t (ω) ein Pfad eines stochastischen Prozesses (X t ) t∈I . (p. 149)
X I (Ω)
:= {X I (ω) : ω ∈ Ω} die Pfadmenge eines stochastischen Prozesses
(X t ) t∈I . (p. 149)
X T (ω) := X T (ω) (ω) die durch einen stochastischen Prozess (X t ) t∈I und eine
Options- oder Stoppzeit T definierte Zufallsvariable. (p. 209)
X(m) Bildmaß von X unter m. (p. 78)
VertX = Vert m X = m X Verteilung der Zufallsvariable X. (p. 78)
σ(X i : i ∈ I) die von den (X i ) i∈I erzeugte σ-Algebra. (p. 80)
∫
E[X] := XdP
Erwartungswert einer integrierbaren Zufallsvariablen X. (p. 33)
∫
E[X] = xg(x)m[dx]
Erwartungswert von X, falls die Verteilung von X die Dichte g bzgl. m
hat. (p. 103)
Var[X] :=
∫ (X
− E[X]
) 2dP
Varianz einer Zufallsvariable. (p. 46)
∫
( ∫
Var[X] = x 2 g(x)m[dx] − xg(x)m[dx]
σ[X]
Varianz von X, falls die Verteilung von X die Dichte g bzgl. m hat. (p.
103)
:= √ Var[X] Standardabweichung oder Streuung einer Zufallsvariablen.
(p. 46)
Kov[X, Y ] := E [ (X − E[X])(Y − E[Y ]) ] = E[X · Y ] − E[X · Y ]
Kovarianz von zwei integrierbaren Zufallsvariablen X und Y . (p. 98)
kor[X, Y ] = Kov[X, Y ] der Korrellationskoeffizient zweier quadratisch integrierbarer
Zufallsfariablen X und Y . (p.
σ[X] · σ[Y ]
98)
X B bedingte Erwartung von X unter B. (p. 187)
E B [X] := X B := E[X|B] bedingte Erwartung von X unter B. (p. 188)
E[X|B]
:= E[X|{∅, B, CB, Ω}] bedingte Erwartung von X unter der Hypothese
B. (p. 189)
E[X|Y = .] faktorisierte bedingte Erwartung von X unter Y . (p. 194)
E[X|Y = y]
:= E[X|Y = .](y)
bedingter Erwartungswert von X unter {Y = y}. (p. 194)
f ⊗ g Tensorprodukt von f und g. (p. 85)
∫
f ∗ g(x) := f(x − y)g(y)λ d [dy]
Faltung zweier Funktionen. (p. 161)
m − lim n
n→∞
stochastischer Limes der Folge (f n ) n∈N . (p. 54)
S(F ) := {x ∈ R : F stetig in x}
Menge der Stetigkeitsstellen der Verteilungsfunktion F . (p. 125)
) 2
239

[
]
1
g µ,σ 2(x) = √ exp (x − µ)2
−
2πσ
2 2σ 2
V [s,t] X(ω)
die Dichte der Normalverteilung N µ,σ 2. (p. 104)
:= sup { ∑
n |X ti (ω) − X ti−1 (ω)| : n ∈ N, s = t 0 < t 1 < . . . < t n = t }
i=1
Variation eines stochastischen Prozesses (X t ) t∈I . (p. 179)
S f (R + ) Sprungfunktion einer Funktion f. (p. 181)
U (a;b) (f)
:= sup { n ∈ N : ∃t 1 < . . . < t 2n in I mit f(t 2j−1 ) < a, f(t 2j ) > b
(1 ≤ j ≤ n) }
Anzahl der aufsteigenden Überquerungen von f von (a; b). (p. 211)
Räume
(Ω, A, P) Wahrscheinlichkeitsraum. (p. 11)
(Ω, A, (F t ) t∈I ) filtrierter Messraum. (p. 198)
(Ω, A, P, (F t ) t∈I ) filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum. (p. 198)
L 0 (Ω, A) := L(Ω, A, R), Menge aller messbaren Abbildungen. (p. 18)
F + := {f ∈ F : f ≥ 0}
für eine Menge aus Funktionen F . (p. 23)
F σ := {f ∈ R Ω : ∃(f n ) n∈N ∈ F N : f n ↑ f}
für eine Menge aus Funktionen F . (p. 23)
T (Ω, R) Menge der R-Treppenfunktionen. (p. 23)
E(Ω, R, m) = {t ∈ T (Ω, R) : m[t < 0] < ∞}
Menge der Elementarfunktionen. (p. 26)
E + (Ω, R, m) := (E(Ω, R, m)) + . (p. 26)
T + (Ω, R) := (T (Ω, R)) + . (p. 26)
E σ (Ω, R, m) := (E(Ω, R, m)) σ . (p. 30)
E σ := E σ (Ω, A, m). (p. 31)
L p (m) := L p (Ω, A, m) = {f ∈ L 0 (Ω, A), N p (f) < ∞}
Menge aller reellen, messbaren, p-fach integrierbaren Funktionen. (p. 42)
( ∫ ) 1/p
N p (f) := |f| p dm
Ω
Halbnorm, durch die L p (Ω) definiert ist. (p. 42)
L ∞ (m)
:= L ∞ (Ω, A, m) Menge aller rellen, A-messbaren m-fast überall beschränkten
Funktionen. (p. 42)
N ∞ (f) := inf{α ∈ R + : |f| ≤ α fast überall}. (p. 42)
L p C (m)
:= Lp (C, B(C), m) Menge aller messbaren, p-fach integrierbaren, komplexen
Funktionen. (p. 45)
l p C
(I) Menge aller p-fach absolut summierbaren Folgen auf C. (p. 46)
l ∞ C
(I) Raum der beschränkten Folgen in C. (p. 46)
240

L p (m)
:= Lp (m)
∼ Äquivalenzklassen aller Funktionen, die fast überall übereinstimmen.
(p. 45)
L p C (m)
:= Lp (C, B(C), m) Äquivalenzklassen aller messbaren, p-fach integrierbaren,
komplexen Funktionen. (p. 45)
∫
〈f, g〉 := fgdm
Pseudoskalarprodukt auf L 2 (m). (p. 44)
C(I, E) Menge aller stetigen Funktionen von I nach E. (p. 152)
C b (E)
K(E)]
Menge der stetigen, beschränkten Funktionen auf E versehen mit der
Supremumsnorm ||.||. (p. 121)
Menge der stetigen Funktionen auf E mit kompaktem Träger, versehen
mit der Supremumsnorm ||.||. (p. 121)
C (0) (R)] :={f ∈ C b (R) : f gleichmäßig stetig}. (p. 121)
C (k) (R)] :={f ∈ C b (R) : f, f (1) , . . . , f (k) ∈ C (0) (R)} (p. 121)
M b +(E)] Menge der endlichen Borelmaße auf E. (p. 121)
M 1 +(E) Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße auf (E, B(E)). (p. 121)
D(R + , Z)
Menge der Funktionen ω : R + → Z, die isoton, rechtsseitig stetig sind
mit Sprüngen der Größe 1. (p. 182)
Integrale
∫
∫
1 A dm := m[A]. (p. 26)
∫
∫
f(ω)m[dω] :=
∫
fdm (p. 85)
∫
f(ω 1 , ω 2 )K 2 [ω 1 , dω 2 ] :=
∫
f(ω, .)dK 2 [ω 1 , .]. (p. 85)
K 2 [ω 1 , A 2 ]m 1 [dω 1 ] := K 2 [., A 2 ]dm 1 (p. 86)
∫A 1 ∫
∫ A 1 ( ∫
)
∫
m 1 [dω 1 ] K 2 [ω 1 , dω 2 ]f(ω 1 , ω 2 ) :=
∫
f(ω 1 , ω 2 )K 2 [ω 1 , dω 2 ] m 1 [dω 1 ] (p. 87)
K[., dy]f(y) :=
∫
f(y)K[., dy] (p. 158)
K 1 K 2 [x, B] := K 1 [x, dy]K 2 [y, B] (p. 158)
241