Lösung Blatt 5

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Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die induktive Statistik Lösungen zu Blatt 5
Prof. Dr. Göran Kauermann, Dr. Marco Cattaneo, Dr. Michael Windmann, Felix Heinzl SS 2013
Theorie: Stetige Zufallsvariablen
• Begriff Stetigkeit: Eine Variable oder ein Merkmal X heißt stetig, falls zu zwei Werten a < b
auch jeder Zwischenwert im Intervall [a, b] möglich ist. Falls die Werte von X als Ergebnisse eines
Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable.
• Definition: Eine Zufallsvariable X heißt stetig, falls es eine integrierbare Funktion f : R → [0, ∞)
gibt, so dass für jedes Intervall [a, b]
P (a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a
f(x)dx
gilt. Die Funktion f(x) heißt Dichtefunktion (oder Wahrscheinlichkeitsdichte) von X.
• Eigenschaften der Dichtefunktion:
(a) Nichtnegativität: f(x) ≥ 0 für jedes x ∈ R,
(b) Normierungseigenschaft:
∫ ∞
−∞
f(x)dx = 1,
d.h. die Gesamtfläche zwischen x-Achse und der Dichte f(x) ist gleich 1.
• Wahrscheinlichkeiten stetiger Zufallsvariablen:
(a) Für stetige Zufallsvariablen X gilt
(b) P (X = x) = 0 für jedes x ∈ R.
P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b),
• Als Träger T der stetigen Zufallsvariablen X bezeichnet man die Menge aller Argumente x, für
die f(x) > 0, d.h. T = {x : f(x) > 0}.
• Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariable:
F (x) = P (X ≤ x) = P (−∞ < X ≤ x) =
∫ x
−∞
f(t)dt.
• Eigenschaften der Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariable:
(a) F (x) ist stetig und monoton wachsend mit Werten im Intervall [0, 1].
(b) Für die Grenzen gilt
(c) Für Werte von x, an denen f(x) stetig ist, gilt
F (−∞) = lim x→−∞
F (∞) = lim F (x) = 1.
x→∞
F ′ (x) =
dF (x)
dx
= f(x),
d.h. die Dichte ist die Ableitung der Verteilungsfunktion.
(d) Für Intervalle erhält man
P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a),
P (X ≥ a) = 1 − F (a).

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Lösung Aufgabe 27
(a) FALSCH. f(x) kann auch größer als 1 sein.
Beispiel: X ∼ U[a, b], dann ist f(x) = 1
b−a
> 1 für b − a < 1.
(b) RICHTIG. Es gilt
F (x) =
∫ x
−∞
f(t)dt ≤
∫ x
−∞
f(t)dt +
∫ ∞
x
f(t)dt =
∫ ∞
−∞
f(t)dt = 1.
(c) RICHTIG.
(d) RICHTIG.
∫ ∞
x
f(t)dt =
∫ ∞
−∞
∫ x
f(t)dt − f(t)dt = 1 − F (x).
−∞
F (x i ) =
∫ xi
−∞
f(t)dt ≤
∫ xi
−∞
∫ xj
∫ xj
f(t)dt + f(t)dt = f(t)dt = F (x j ).
x i −∞
Lösung Aufgabe 28
Die Dichtefunktion von X lautet
⎧
⎨ 1 + x, für − 1 ≤ x ≤ 0,
f(x) = 1 − x, für 0 < x ≤ 1,
⎩
0, sonst.
Dichte- und Verteilungsfunktion sind in Abbildung 1 dargestellt.
Dichtefunktion f(x)
Verteilungsfunktion F(x)
f(x)
0.0 0.4 0.8
F(x)
0.0 0.4 0.8
−2 −1 0 1 2
x
−2 −1 0 1 2
x
Abbildung 1: Dichte- und Verteilungsfunktion zu Aufgabe 28
(a) Wie man leicht sieht, ist f(x) ≥ 0 stets erfüllt. Für das Integral erhalten wir
∫ ∞
−∞
f(t)dt =
=
∫ 0
−1
[
t + t2 2
(1 + t)dt +
] 0
−1
∫ 1
= −
((−1) + (−1)2
= 1 − 1 2 + 1 2 = 1.
0
(1 − t)dt
[ ] 1
+ t − t2 2
0
) (
+ 1 − 1 )
2
2

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(b) Es gilt F (x) = ∫ x
−∞
f(t)dt mit
⇒
• für x < −1:
• für −1 ≤ x ≤ 0:
F (x) = F (−1) +
• für 0 < x ≤ 1:
F (x) = F (0) +
• für x > 1:
(c) Wir erhalten
∫ x
∫ x
0
−1
F (x) =
[
(1 + t)dt = 0 + t + t2 2
(1 − t)dt = 1 [
2 + t − t2 2
F (x) = F (1) +
∫ x
−∞
] x
−1
=
0 dt = 0.
) (x + x2
−
2
] x
= 1 ) (x
0
2 + − x2
−
2
∫ x
1
0 dt = 1 + 0 = 1.
⎧
0, x < −1,
⎪⎨ x 2
F (x) = 2 + x + 1 2
, −1 ≤ x ≤ 0,
⎪⎩
− x2
2 + x + 1 2 , 0 < x ≤ 1,
1, x > 1
(−1 + (−1)2
P (|X| ≤ 0.5) = P (−0.5 ≤ X ≤ 0.5) = P (X ≤ 0.5) − P (X < −0.5)
= F (0.5) − F (−0.5)
= − 1 8 + 1 2 + 1 ( 1
2 − 8 − 1 2 + 1 )
= 3 2 4 .
2
)
= x2
2 + x + 1 2 .
) (0 − 02
= − x2
2 2 + x + 1 2 .
Lösung Aufgabe 29
Theorie: Parameter stetiger Zufallsvariablen
• Erwartungswert: Der Erwartungswert E(X) einer stetigen Zufallsvariable X mit Dichtefunktion
f(x) ist
E(X) =
• Eigenschaften von Erwartungswerten:
∫ ∞
−∞
xf(x)dx,
(a) Transformationen: Sei g(x) eine reelle Funktion. Dann gilt für Y = g(X)
E(Y ) = E(g(X)) =
(b) Lineare Transformationen: Für Y = aX + b ist
∫ ∞
−∞
g(x)f(x)dx.
E(Y ) = E(aX + b) = aE(X) + b.
(c) Symmetrische Verteilungen: Ist die Dichte f(x) symmetrisch um den Punkt c, d.h. ist f(c−x) =
f(c + x) für alle x > 0, so gilt
E(X) = c.
(d) Additivität: Für zwei Zufallsvariablen X und Y ist
E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
Allgemeiner gilt mit beliebigen Konstanten a 1 , . . . , a n
E(a 1 X 1 + . . . + a n X n ) = a 1 E(X 1 ) + . . . + a n E(X n ).

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• Modus: Jeder x-Wert, für den f(x) ein Maximum besitzt, ist Modus, kurz x mod . Falls das Maximum
eindeutig ist und f(x) keine weiteren lokalen Maxima besitzt, heißt f(x) unimodal.
• Median und Quantile: Für 0 < p < 1 ist das p-Quantil die Zahl auf der x-Achse, für die
F (x p ) = p
gilt. Der Median x med ist das 50%-Quantil, es gilt also
F (x med ) = 1 2 .
Für streng monotone Verteilungsfunktionen F (x) sind p-Quantil und Median eindeutig bestimmt.
• Varianz und Standardabweichung: Die Varianz V ar(X) einer stetigen Zufallsvariable X mit
Dichte f(x) ist
σ 2 = V ar(X) = E((X − µ) 2 ) =
∫ ∞
−∞
mit µ = E(X). Die Standardabweichung ist σ = + √ V ar(X).
• Eigenschaften von Varianzen:
(x − µ) 2 f(x)dx
(a) Verschiebungsregel
V ar(X) = E(X 2 ) − (E(X)) 2 = E(X 2 ) − µ 2
(b) Lineare Transformationen: Für Y = aX + b ist
• Lageregel:
V ar(Y ) = V ar(aX + b) = a 2 V ar(X),
σ Y = |a|σ X .
symmetrisch unimodal, wenn x mod = x med = E(X)
linkssteil, wenn x mod < x med < E(X)
rechtssteil, wenn x mod > x med > E(X)
Zur Aufgabe:
Da f(x) symmetrisch um x = a ist, gilt f(a+(x−a)) = f(a−(x−a)) für alle x. Für den Erwartungswert
erhalten wir damit
E(X) =
∫ ∞
−∞
xf(x)dx =
Symmetrie
=
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
Durch Substitution von u := 2a − x mit du
dx
= −1 erhalten wir
und damit
E(X) = −
∫ −∞
+∞
(2a − u)f(u)du =
∫ ∞
= 2a
−∞
∫ ∞
xf(a + (x − a))dx
xf(a − (x − a))dx
xf(2a − x)dx
(2a − u)f(u)du
−∞
f(u)du −
} {{ }
=1
∫ ∞
uf(u)du
−∞
} {{ }
=E(X)
⇔
2E(X) = 2a
E(X) = a

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Lösung Aufgabe 31
Theorie: Stetige Gleichverteilung
• Definition: Eine stetige Zufallsvariable heißt gleichverteilt auf dem Intervall [a, b], wenn sie die
Dichte
{ 1
f(x) =
b−a
, für a ≤ x ≤ b,
0, sonst
besitzt.
• Bemerkung: Eine auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable nennt man auch standardgleichverteilt.
• Die Verteilungsfunktion einer gleichverteilten Zufallsvariable lautet
⎧
⎨ 0, x < a,
x−a
F (x)
⎩
b−a , a ≤ x ≤ b,
1, x > b.
• Bemerkung: Die Dichte ist an den Stellen a und b unstetig =⇒ die Verteilungsfunktion ist dort
nicht differenzierbar.
• Der Erwartungswert lautet
die Varianz lautet
E(X) = a + b
2 ,
V ar(X) =
(b − a)2
.
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Zur eigentlichen Aufgabe:
Sei X der in Minuten angegebene Zeitpunkt, zu dem der Fahrgast den Bahnsteig erreicht. Dann gilt
X ∈ [0, 60]. Da laut Aufgabenstellung X eine gleichverteilte stetige Zufallsvariable ist, gilt
f(x) =
{ 1
60
, x ∈ [0, 60],
0, sonst.
Die S-Bahnen fahren im Zeitraum von 7.00 Uhr bis 8.00 Uhr zu folgenden Zeitpunkten
Richtung A Richtung B
7.00 Uhr 7.07 Uhr
7.15 Uhr 7.27 Uhr
7.30 Uhr
7.45 Uhr 7.47 Uhr
8.00 Uhr
Der Fahrgast fährt in Richtung A, wenn seine Ankunft in einen der folgenden Intervalle fällt
{X = 0}, {7 < X ≤ 15}, {27 < X ≤ 45}, {47 < X ≤ 60}.
Sei A das Ereignis, dass der Fahrgast eine S-Bahn in Richtung A wählt. Aufgrund der Disjunktheit der
Intervalle gilt
P (A) = P (X = 0) + P (7 < X ≤ 15) + P (27 < X ≤ 45) + P (47 < X ≤ 60)
=
∫ 0
0
1/60dx +
∫ 15
= 0 + 8 60 + 18
60 + 13
60
= 39
60 = 0.65.
7
1/60dx +
∫ 45
27
1/60dx +
∫ 60
47
1/60dx
Mit einer Wahrscheinlichkeit von P (A) = 0.65 nimmt der Fahrgast eine S-Bahn in Richtung A.

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Lösung Aufgabe 32
Seien U 1 , . . . , U n unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit U i
i.i.d.
∼ U([a, b]) ∀i und Z n :=
max{U 1 , . . . , U n }.
(a) Für die Verteilungsfunktion von Z n erhalten wir
(b)
F Zn (z) = P (Z n ≤ z) = P (U 1 ≤ z, . . . , U n ≤ z)
unabhängig
=
n∏
n∏
P (U i ≤ z) = F Ui (z)
ident.ver.
=
i=1
⎧
⎪⎨
⎪⎩
i=1
0, z < a
(
z−a
b−a
) n
, z ∈ [a, b],
1, z > b.
P (Z n > a + 0.9(b − a)) = 1 − P (Z n ≤ a + 0.9(b − a)) = 1 − F Zn (a + 0.9(b − a) )
} {{ }
∈[a,b]
( ) a + 0.9(b − a) − a n
= 1 −
b − a
= 1 − 0.9 n ! > 0.99
⇐⇒ 0.9 n < 0.01
ln monoton
⇐⇒
⇐⇒ n >
n ln(0.9) < ln(0.01)
} {{ }