Aufgabensammlung zur Mathematikvorlesung für ...

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Aufgabe 4: Der Gewinn bei der Produktion eines Gutes sei gegeben durch
die Funktion G(x) = 100 − (x − 10) 2 . Aus technischen Gründen können
nicht weniger als 4 oder mehr als 14 Einheiten produziert werden.
Man bestimme die Produktionsmenge x, für die der Gewinn
1. maximal
2. minimal (Man achte auf Randextrema!)
wird.
Für welche Produktionsmenge x steigt der Gewinn mit wachsender Produktionsmenge
für welche fällt er?
Aufgabe 5: Die Kosten für die Produktion eines Gutes seien gegeben durch
die Kostenfunktion K(x) = 60 − 12x + 2x 2 .
1. Bei welcher Produktionsmenge x sind die Produktionskosten minimal?
2. Für welche Produktionsmenge x sind die durchschnittlichen Produktionskosten
pro Stück, die durch die Durchschnittskostenfunktion DK(x) =
K(x)/x angegeben werden, minimal?
3. Man skizziere die Graphen der Kosten- sowie der Durchschnittskostenfunktion.
Aufgabe 6:
Geben Sie für die folgenden 6 Funktionen die erste Ableitung in x an:
1. ln e x
2. (x + 1) 2 (x 2 − 1) −2 (x 2 − 2x + 1)
3.
4.
(x+1) 3
2
(x+1) −1
3
(x 2 +4x+4) 1−α (x 3 +5x 2 )
(x+2) −2α (x+5)
, 0 < α < 1
5. (cos x) 2 + (sin x) 2
6.
(x−1) 2 (x+1) 2
(2x−2)(αx 2 +2αx+α) , α > 0