Aufgabe 13 X und Y seien zwei Zufallsvariablen, deren ...

Statistik II für Statistiker (SoSe 07) Übungsblatt 16
C. Heumann, A. Bayerstadler, übernommen von L. Fahrmeir, A. Jerak
Aufgabe 13
X und Y seien zwei Zufallsvariablen, deren gemeinsame Dichtefunktion folgende Form hat
{
c · (x −
1
f (X,Y ) (x, y) =
2 x2 + y − 1 3 y3 ) 0 ≤ x, y ≤ 1
0 sonst .
(a) Zeigen Sie, dass f (X,Y ) (x, y) für c = 4 3
tatsächlich eine Dichte ist.
(b) Bestimmen Sie die Randdichte von X und Y .
(c) Berechnen Sie die Kovarianz zwischen X und Y .
Aufgabe 14
Sei X H bzw. X G die Anzahl der Tore, die die Heim- bzw. Gast-Mannschaft in einem Fußball-Spiel
erzielt. Aus langjähriger Erfahrung sind folgende Größen bekannt:
E(X H ) = 1.8 V ar(X H ) = 1.7 E(X G ) = 1.2 V ar(X G ) = 1.4 ρ(X H , X G ) = −0.1 .
Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsgrößen Torsumme S = X H + X G und Tordifferenz
D = X H − X G .
Aufgabe 15
Der Münchner Metzger Mayr verkauft alle seine Wursterzeugnisse an die Supermarktkette Irreal.
Herr Mayr hat sich auf Leberkäse (L), grobe Bratwurst (B) und Schinken (S) spezialisiert. Eine
Schweinshälfte läßt sich zu 10% zu Schinken verarbeiten. Aus dem restlichen Fleisch kann der geschickte
Fleischer sowohl Leberkäse als auch grobe Bratwurst machen. An einem Kilogramm Schinken
verdient Herr Mayr konstant 7 Euro. Die Irreal-Preise für Leberkäse und grobe Bratwurst variieren
dagegen oft und Herr Mayr muss mit einem normalverteilten Gewinn pro Kilogramm rechnen, N(5, 4)
für Leberkäse und N(3, 1) für grobe Bratwurst.
(a) Bestimmen Sie die Erwartungswerte und Standardabweichungen der Zufallsvariablen
G L (Gewinn mit Leberkäse), G B (Gewinn mit gr. Bratwurst) und G S (Gewinn mit Schinken).
(b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Herr Mayr mit der groben Bratwurst einen Gewinn
von mindestens 2.59 Euro pro Kilogramm macht? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Herr
Mayr mit dem Leberkäse einen Gewinn von genau 8 Euro macht?
(c) Berechnen Sie den erwarteten Gesamtgewinn G aus dem Verkauf von Leberkäse, grober Bratwurst
und Schinken, wenn Herr Mayr Leberkäse und Bratwurst zu gleichen Anteilen produzieren
würde.
(d) Berechnen Sie die Varianz von G. Nehmen Sie dazu an, dass Leberkäse und grobe Bratwurst zu
gleichen Anteilen hergestellt werden und dass die Gewinne G L und G B mit ρ = −0.5 korreliert
sind.
(e) Berechnen Sie die Varianz von G im Fall ρ = 0.2. Ist für Herrn Mayr eine positive oder eine
negative Korrelation zwischen G L und G B günstiger?
(f) Nehmen Sie nun ρ = −0.5 an. Der Metzger Mayr möchte die Varianz seines Gesamtgewinns
G minimieren. Wie sollte er das Fleisch in Leberkäse und Bratwurst unter dieser Bedingung
einteilen? Wie groß ist dann der Erwartungswert und die minimale Varianz?

Aufgabe 16
Seien X und Y gemeinsam normalverteilt mit der Dichte
{
[ (x )
1
f(x, y) = √
2πσ X σ exp 1 − 2 ( ) ( ) ( ) ]}
µX x − µX y − µY y −
2
µY
−
Y 1 − ρ 2 2(1 − ρ 2 − 2ρ
+
)
σ X σ Y σ Y
wobei
σ X
µ X = E(X) σ 2 X = V ar(X)
µ Y = E(Y ) σ 2 Y = V ar(Y )
und ρ mit |ρ| < 1 die Korrelation zwischen X und Y ist. Zeigen Sie, dass dann allgemein gilt:
X und Y unkorreliert =⇒ X und Y unabhängig .
Aufgabe 17
Seien X und Y gemeinsam normalverteilt mit der in Aufgabe 56 gegebenen Dichte. Zeigen Sie:
Die bedingte Dichte f(x|y) von X gegeben Y ist eine univariate Normalverteilung mit den Parametern
µ = µ X + ρ σ X
σ Y
(y − µ Y ) und σ 2 = σ 2 X(1 − ρ 2 ) .
Aufgabe 18
Der Show-Moderator Stefan R. möchte wissen, inwieweit seine Witze bei seinen Zuschauern tatsächlich
ankommen. Zur Untersuchung dieser Frage lässt er während einer Produktionswoche alle Zuschauer
im Studio zu ihrer Meinung über seinen Humor interviewen. Nach Ende der Umfrage ergab sich, dass
497 von 521 Befragten seine Späße extrem lustig finden. Dieser Umstand verleitet Stefan R. in einer
seiner folgenden Sendungen zu der Aussage, dass mehr als 95% seiner Zuschauer seine Witze mögen.
Nennen Sie zwei Gründe aus dem Kontext Gewinnung von Stichproben, warum die Aussage von Stefan
R. mit Vorsicht zu genießen ist.
Literatur: Vorlesung Kap. 9.1; Lehrbuch Kap. 8.6; Arbeitsbuch Aufg. (8.7)-(8.9)