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Nachtrag zur Vorlesung vom 8.12.2005, 

allgemeine IxJ-Kontingenztafel 

2 

χ 

= 

I 

J 

∑∑ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

n 

− 

i+ 

i= 1 j= 1 i+ 

+ j 

ij 

n 

n 

n 

n 

n 

n 

+ 

j 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

= 

I 

J 

∑∑ 

i= 1 j= 

1 

( ) n − e 

ij 

e 

ij 

ij 

2 

1 

Vorlesung: Biometrie für Studierende 

der Veterinärmedizin 15.12.2005

Korrelation zweier stetiger Merkmale X und Y 

• Grafische Darstellung zweier Merkmale als 

Punktewolke / Scatterplot / Streudiagramm / X-Y- 

Diagramm 

• Geht man davon aus, dass X auf Y wirkt im Sinne 

einer Ursache-Wirkungs-Beziehung, so ist es 

sinnvoll, X auf der x-Achse und Y auf der y-Achse der 

Grafik abzutragen (wie bei einer mathematischen 

Funktion) 

• Beispiel: siehe Vorlesung vom 20.10.2005, EKG bei 

Leguanen 

• X: Temperatur, Y: Elek. Herzachse 


der Veterinärmedizin 15.12.2005 

2

Scatterplot / Streudiagramm 

150,0 

100,0 

Elek. Herzachse 

50,0 

0,0 

15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 

Temperatur 

3 



Korrelation nach Bravais-Pearson 

• Die Korrelation nach Bravais-Pearson ist ein Maß für 

den linearen Zusammenhang von X und Y 

• Exakter linearer Zusammenhang: y = a + bx (Gerade) 

• Exakte lineare Zusammenhänge sind bei 

empirischen Daten nicht zu erwarten. Bestenfalls 

erhält man eine Punktewolke, die einen 

approximativen linearen Zusammenhang nahe legt 

• Beispiel (nächste Folie): Linearer Zusammenhang in 

rechter Grafik „stärker“ als in linker Grafik 



4

Korrelation nach Bravais-Pearson II 

150,0 

1,000000 

Elek. Herzachse 

100,0 

50,0 

II RT Intervall 

0,800000 

0,600000 

0,400000 

0,0 

0,200000 

15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 

Temperatur 

0,00 1,00 2,00 3,00 

Gewicht 

5 



Korrelation nach Bravais-Pearson III 

• Visuelle Beurteilung genügt nicht. Wir brauchen eine Maßzahl 

• Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson ist eine 

solche normierte Maßzahl 

• Definition: 

r 

XY 

= 

n 

n 

∑( x − x)( y − y) 

i 

i 

i= 

1 

∑( x − x) 2 

⋅∑( y − y) 

i 

i 

i= 1 i= 

1 



n 

2 

6

Korrelation nach Bravais-Pearson IV 

x : 

y : 

Arithmetisches Mittel 

Arithmetisches Mittel 

von X 

von Y 

• Der Korrelationskoeffizient nimmt Werte im Bereich 

-1 ≤ r XY ≤ +1 

an. 

• r XY = +1 : Perfekter positiver linearer Zusammenhang, d.h. 

alle Punkte liegen exakt auf einer Geraden y = a+bx mit b>0 

• r XY = -1 : Perfekter negativer linearer Zusammenhang, d.h. 

alle Punkte liegen exakt auf einer Geraden y = a+bx mit b

Korrelation nach Bravais-Pearson V 

• r XY =0: Die Merkmale sind linear unabhängig 

• Hypothetische Datenbeispiele zur 

Veranschaulichung 

8 



Beispiel 1: r XY =+1, exakter positiver linearer 

Zusammenhang 

Daten: 

x y 

1 12 

2 14 

3 16 

4 18 

5 20 

6 22 

y=10+2 x 

9 



Beispiel 2: r XY =-1, exakter negativer linearer 

Zusammenhang 

Daten: 

x y 

1 8 

2 6 

3 4 

4 2 

5 0 

6 -2 

y=10-2 x 

10 



Beispiel 3: r XY =0.72, starker positiver linearer 

Zusammenhang 

Daten: 

x y 

1 12 

2 15 

3 13 

4 18 

5 17 

6 16 

11 



Beispiel 4: r XY ≈ 0, kein linearer Zusammenhang 

Daten: 

x y 

1 10 

2 12 

3 9 

4 10 

5 8.33 

6 12 



12

Beispiel 5: r XY = 0, kein linearer Zusammenhang 

Daten: 

x y 

1 3.125 

2 1.125 

3 0.125 

4 0.125 

5 1.125 

6 3.125 

y 

= 

0.5⋅ 

( x − x 

2 

) 

13 



Alternative: Rangkorrelationskoeffizient nach 

Spearman r Sp 

• Alternative zum Korrelationskoeffizienten nach 

Bravais-Pearson, wenn 

– X metrisch, Y ordinal 

– Y metrisch, X ordinal 

– X ordinal, Y ordinal 

– der Fokus nicht auf der Linearität des 

Zusammenhangs liegt, sondern nur interessiert, 

ob der Zusammenhang monoton ist 



14

Definition von r Sp 

• Vorarbeit: Die Originaldaten werden durch Rangzahlen 

ersetzt 

• Die Berechnung erfolgt wie beim Korrelationskoeffizienten 

nach Bravais-Pearson, indem statt den Originaldaten ihre 

Ränge verwendet werden: 

r 

XY 

= 

n 

∑ 

n 

∑ 

i= 

1 

( Rang( x ) − Rang( x) 

)( Rang( y ) − Rang( y) 

) 

i 

( ) 

2 

Rang( x ) − Rang( x) 

⋅ ( Rang( y ) − Rang( y) 

) 

∑ 

i 

i= 1 i= 

1 



n 

i 

i 

15 

2

Fortsetzung Beispiel 3 (Seite 11) 

i 

Originaldaten 

Rangdaten 

x 

y 

Rang(x) 

Rang(y) 

1 

1 

12 

1 

1 

2 

2 

15 

2 

3 

3 

3 

13 

3 

2 

4 

4 

18 

4 

6 

5 

5 

17 

5 

5 

6 

6 

16 

6 

4 

16 



Fortsetzung Beispiel 3 (II) 

Rang( x) 

= 

Rang( y) 

= 3.5 = (1 + 

2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 

Zähler : 

(1 − 3.5) ⋅(1 

− 3.5) + (2 − 3.5) ⋅(3 

− 3.5) + (3 − 3.5) ⋅(2 

− 3.5) + 

(4 − 3.5) ⋅(6 

− 3.5) + (5 − 3.5) ⋅(5 

− 3.5) + (6 − 3.5) ⋅(4 

− 3.5) = 

6.25 + 0.75 + 0.75 + 1.25 + 2.25 + 1.25 = 12.5 

Nenner : 

r Sp 

17.5⋅17.5 

= 17.5 

= 12.5 /17.5 = 0.71 

17 



Hinweise 

• -1 ≤ r Sp ≤ +1 

• Sind alle (Original-)Werte von X und Y verschieden, 

so sind die Rangzahlen eindeutig zu vergeben. Man 

sagt: es treten keine Bindungen (no ties) auf 

• Kommen (Original-)Werte von X und/oder Y doppelt 

oder mehrmals vor, so wird folgender „Trick“ 

angewendet (Verwendung von Durchschnittsrängen): 

Datenreihe y: 12 13 13 14 15 15 15 16 

Rangzahlen : 1 2.5 2.5 4 6 6 6 8 



18

Hinweise (II) 

• Kommen keine Bindungen vor, so kann r Sp einfacher 

berechnet werden: 

r 

Sp 

mit 

= 

d 

i 

n 

1− 

i= 

1 

2 

= 

6 

∑ 

n( 

n 

Rang 

d 

2 

i 

−1) 

( x ) − Rang( y ) 



i 

i 

19

Fortsetzung (II) Beispiel 3 (Seite 11) 

6 

∑ 

i= 

1 

r 

Sp 

d 

2 

i 

= 

(1 −1) 

(4 − 

2 

6) 

= 0 + 1+ 

1+ 

+ (2 − 3) 

4 + 0 + 4 

= 10 

6⋅10 

= 1− 

= 0.71 

2 

6⋅(6 

−1) 

2 

2 

+ (5 − 5) 

+ (3 − 

2 

+ (6 − 

2) 

2 

4) 

2 

+ 

20 



Noch ein Beispiel 

• Datenreihe x: 1 2 3 4 5 6 

• Datenreihe y: 1 4 9 16 25 36 

• y=x 2 

• Zusammenhang ist monoton (quadratisch), aber nicht 

linear 

• Rang(x i )=Rang(y i ) 

• r Sp =1 (da d i =0 für alle Paare i) 

• r nach Bravais-Pearson ist 0.98 



21

Scheinkorrelationen (Nonsens-Korr.) 

• Klassiker: Positive Korrelation zwischen der Anzahl 

beobachteter Störche und der Anzahl der Geburten 

in Regionen in Deutschland (Korrelation ≠ Kausalität) 

• Confounder-Problematik (u.a.) 

• Im Storchenbeispiel: es gibt andere Variablen 

(Urbanität, Sozialverhalten), die ihrerseits assoziert 

sein können und mit den untersuchten Variablen 

(Anzahl Störche, Anzahl Geburten) in Verbindung 

stehen 



22

Weitere Anmerkungen 

• Auch das Gegenteil von Scheinkorrelation kann 

auftreten: Tatschlich vorhandene Korrelationen 

werden nicht erkannt 

• Vorzeichenumkehr: in der Gesamtpopulation wird 

eine (z.B.) positive Korrelation beobachtet. Zerlegt 

man die Gesamtpopulationen in Teilpopulationen, so 

kann der Fall eintreten, dass in jeder Teilpopulation 

eine negative Korrelation beobachtet wird 



23

Zusammenfassung I (was Sie wissen sollten) 

• Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson ist ein 

Maß für den linearen Zusammenhang von zwei stetigen 

Merkmalen (grafisch: Streudiagramm). Wert in [-1;1] 

• Der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman ist ein 

Maß für den monotonen Zusammenhang. Die beiden 

Merkmale können stetig und ordinal sein (alle 

Kombinationen erlaubt: stetig/stetig, stetig/ordinal, 

ordinal/ordinal). Er verwendet Ränge statt Originalwerte 

(Berechnungsformel wie bei Bravais-Pearson bzw. 

vereinfachte Formel, wenn keine Bindungen vorkommen) 

• Problematik: Schein-/verdeckte Korr., Vorzeichen 



24

Zusammenfassung II (was Sie können sollten) 

• Streudiagramm zeichnen 

• Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson 

berechnen 

• Ränge bilden (auch: bei Bindungen) 

• Korrelationskoeffizient nach Spearman berechnen 

• Interpretation: linearer Zusammenhang, monotoner 

Zusammenhang, positiver/negativer Zusammenhang 



25

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