Handout

Das liegt daran, das der Erwartungswert E(X|X ∗ ) = X ∗ ist und somit
ist E(Y |X ∗ ) = β 0 + β x X ∗ .
Daraus folgt dann, das der Schätzer von Y unverzerrt für β 0 und β x ist.
3.3 Regression mit komplexerer Fehlerstruktur
Wenn man nun neue Annahmen hinzunimmt, z.B.:
• X* ist nun nicht mehr unbedingt unverzerrt für X.
• Fehler im Regressionsmodell dürfen mit Fehlern in den Prädiktoren
korrellieren, d.h. differentieller Fehler sind nun erlaubt.
Die Möglichkeit der Verzerrung in X ∗ , wird durch X ∗ = γ 0 +γ x X +U ausgedrückt.
U ist unabhängig von X, hat einen Mittelwert von 0 und eine Varianz
von σ 2 u. Die Korrelation zwischen Messfehler (ɛ) und Regressionsfehler(U)
bezeichnet man als ρ ɛU .
Die KQ-Schätzer ergeben sich dann mit
β 0 ∗ = β 0 + β X µ X − β X ∗(γ 0 + γ X µ X )
β X ∗ = β Xγ 1 σX 2 + ρ √
ɛU σ
2
ɛ σU
2
γ1σ 2 X 2 + σ2 U
Bei genauerer Betrachtung von β X ∗ erkennt man, das falls X ∗ verzerrt
ist (γ − 1 ≠ 1)oder (ρ eU ¬0), ist es möglich dass es keine Abschwächung der
Schätzer gibt, sondern genau das Gegenteil eintritt!
3.4 Zusammenfassung der linearen Einfachregressionsmodelle
Diese Tabelle zeigt eine Zusammanfassung der behandelten linearen Modelle.
Bei allen wird eine multivariate Normalverteilung angenommen. Das zugrundeliegend
Modell ist Y = β 0 + β x X + ɛ mit X undɛ sind unabhängig und ɛ ist
(0, σ 2 ) verteilt. Die Fehlermodelle sind geordnet, nach dem negativen Einfluss
den der Meßfehler hat (von groß nach klein).
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