Handout

2.4 Differentieller bzw Nichtdifferentieller Fehler
Eine vierte Unterscheidung kann über die Information getroffen werden, die
in dem gemessenen Wert enthalten ist. Wenn dieser keine zusätzlichen Informationen
über den Response (gegenüber dem wahren Wert und den anderen
Kovariablen) enthält, dann bezeichnet man den Fehler als nicht−differentiell.
X ∗ kann dann auch als Surrogat bezeichnet werden (z. B. Angst ist nicht
direkt meßbar, sondern man misst die Steigerung der Herzfrequenz ̂= Surrogat).
Alle anderen Fehler heißen differentiell. Es ist recht praktisch, einen
nicht-differentiellen Fehler zu haben, da man die Parameterschätzung, gegeben
dem wahren Wert dann auch ohne den wahren Wert berechnen kann. Das
ist beim differentiellen Fehler im Allgemeinen nicht möglich. Das heißt also
das E(Y |X, X ∗ ) = E(Y |X) ist, da X ∗ keine weiteren Informationen über X
enthält. Somit ist
E(Y |X ∗ ) = E{E(Y |X, X ∗ |)X ∗ )})
= E{E(Y |X)|X ∗ )})
= E(β 0 + β X X|W )
= β 0 + β X E(X|W )
Damit ist gezeigt, dass der Erwartungswert des Response gegeben dem gemessenen
Wert, alleine mit dem wahren Wert berechnet werden kann.
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