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5.2 Orthogonale Regression
Wir betrachten nun das Modell:
Y = β 0 + β X X + ɛ
X ∗ = X + U
ɛ,U sind unkorreliert
Bei der Orthogonalen Regression minimiert man nun die kürzesten Abstände
zur Gerade, gewichtet mit einem Faktor η = σ2 ɛ
, also 4 :
σU
2
n∑
{(Y i − β 0 − β x x i ) 2 + η(Xi ∗ − x i ) 2 )}
i=1
Abbildung 6: Hier ist der Unterschied der Abstandsdefinition bei einer normalen
und der orthogonalen Regression veranschaulicht
Vorteil gegenüber der Momentenmethode ist, dass nur das Verhältnis η
der Fehlervarianzen bekannt sein muss. Doch das ist auch eher selten möglich
und ein großes Problem bei der Anwendung der Orthogonalen Regression
besteht darin, dass es durch die ungenaue Schätzung von η, häufig zu einer
” Überkorrektur “kommt. Das kommt daher, dass der Regressionsfehler
eigentlich aus 2 Teilen besteht:
Y = β 0 + β X X + ɛ Li 5 + ɛ Mij
6
In der normen Varianzanalyse wird der ’
Gleichungsfehler‘nicht beachtet
und somit η unterschätzt, was die Überkorrektur hervorbringt.
4 Eigentlich gilt das nur für η = 1, trotzdem benutzt man den Ausdruck Orthogonale
Regression für alle Werte von η < ∞.
5 ɛ Li entspricht dem Messfehler zum Response
6 ɛ Mij entspricht dem dem Gleichungsfehler‘, welcher der Abweichung der wahren Werte
’
von der Regressionsgerade entspricht, wenn es keine Messfehler gäbe
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